專題17最值問題中的將軍飲馬模型

【模型展示】

傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫。一天，一位羅馬將軍專程去拜

訪他，向他請教一個百思不得其解的問題。將軍每天從軍營A出發，先到河邊飲(yin)馬，然后

再去河岸同側的B地開會，應該怎樣走才能使路程最短?從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題

廣泛流傳。

▲

1

E▲廿二■

-ii11111i

特點

實際問題：應該怎樣走才能使路程最短？

C

作圖問題：在直線1上求作一點C,

使AC+BC最短問題.

結論AC+BC最短

【模型證明】

(1)現在假設點A,B分別是直線1異側的兩個點，如何在1上找到一個點，使得這個點到點A,

點B的距離的和最短？

解決方案

連接AB,與直線1相交于一點C.

AC+BC最短J兩點2線段最短)

(2)現在假設點A,B分別是直線1同側的兩個點，如何在1上找到一個點，使得這個點到點A,

點B的距離的和最短？

作法：

(1)作點B關于直線1的對稱點B，

(2)連接AB。與直線1相交于點C.

則點C即為所求.

所作的AC+BC最短嗎？請說明理由？

【證明】

如圖，在直線1上任取一點C(與點C不重合),

連接AC,BC,B，C.由軸對稱的性質知，

BC=BC,BC,=B,C,.

AAC+BC=AC+B,C=AB,,

AC'+BC'=AC'+B'C'.

在AAB，C中,

ABYAC+BC,

.e.AC+BCVAC+BC.

即AC+BC最短.

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，正方形ABCZ）的邊長是4,點E是。C上一個點，且。E=l,P點在4c上移動，則PE+PD的最

小值是（）

C.5.5D.5

2.如圖，正方形A8C。的邊長為4,點〃在。C上，且。M=l,N是AC上一動點，則OV+MN的最小值為

()

C.2A/5D.5

3.如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點尸是矩形ABCD內一動點，且％則尸C+PD的最

小值是（）

A.473B.4有

C.2713D.2a

4.如圖，等邊AABC的邊長為6,是BC邊上的中線，M是A。上的動點，E是邊AC上一點，若AE=2,

則EM+CM的最小值為（）

C.2幣D.472

5.已知線段AB及直線I,在直線/上確定一點尸，使叢+PB最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（）.

6.如圖，點M是菱形ABCD的邊8C的中點，尸為對角線2D上的動點，若AB=2,ZA=120°,則PM+

PC的最小值為（）

A.2B.&C.72D.1

7.如圖，在AABC中，A3=2,ZABC=60°,/ACB=45。，。是BC的中點，直線/經過點。,AE，/,BFLI,

垂足分別為E,F,則AE+B尸的最大值為（）

Di

BC

A.A/6B.272C.2也D.30

8.如圖，凸四邊形A8CD中，NA=90o,NC=90o,Nr)=60o,AO=3,AB=^,若點M、N分別為邊CZ),AD

上的動點，則ABMN的周長最小值為（）

3娓C.6D.3

二、填空題

9.在現實生活中，我們經常會看到許多“標準”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實這些矩形

的長與寬之比都為虛:1,我們不妨就把這樣的矩形稱為“標準矩形”，在“標準矩形"ABCD中，如圖所示,

點。在。C上，且若G為2C邊上一動點，當“G。的周長最小時，則能的值為

10.如圖，點尸是一403內任意一點，OP=3cm,點M和點N分別是射線和射線08上的動點,

ZAOB=30。，則APMN周長的最小值是

11.如圖，等邊AABC的邊長為4,點E是AC邊的中點，點尸是AABC的中線AD上的動點，則EP+CP的

最小值是.

A

12.如圖，正方形ABC。的邊長為8,點M在。C上且DM=2,N是AC上的一動點，則。N+MN的最小

13.如圖所示，在AA5c中，AB=AC,直線斯是A8的垂直平分線，。是BC的中點，M是EF上一個動

點，AABC的面積為12,BC=4,則周長的最小值是.

14.如圖，在四邊形A8CD中，ZBC￡>=50°,/8=/。=90。，在8C、上分別取一點〃、N,使△AMN

的周長最小，則NMAN='

15.如圖，在矩形A8C。中，AB=15,8c=20,把邊A8沿對角線8。平移，點4,9分別對應點A,B給

出下列結論:

①順次連接點4,B',C,。的圖形是平行四邊形;

②點C到它關于直線AY的對稱點的距離為50；

③4C-8C的最大值為15；

④AC+QC的最小值為9J萬.

其中正確結論的序號是

16.如圖，O為矩形4BCD對角線AC,8。的交點，AB=8,M,N是直線8C上的動點，且MN=2,則OM+ON

的最小值是____________

17.如圖，菱形ABC。的邊長為6,ZABC=120°,M是BC邊的一個三等分點，P是對角線AC上的動點,

當PB+PM的值最小時，的長是

三、解答題

18.如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=2,以BC為邊向左作等邊△8CE,點。為AB

中點，連接8,點、P、0分別為CE、C。上的動點.

(1)求證：AAOC為等邊三角形；

(2)求PO+PQ+QE的最小值.

19.如圖，在平面直角坐標系中，直線A8分別與x軸的負半軸、y軸的正半軸交于A、8兩點，其中OA=

2,S4ABe=12,點C在x軸的正半軸上，且0c=02.

(1)求直線A3的解析式；

(2)將直線A8向下平移6個單位長度得到直線直線0與y軸交于點E,與直線C8交于點D過點E作

y軸的垂線⑸若點尸為y軸上一個動點，。為直線/2上一個動點，求PD+PQ+OQ的最小值；

(3)若點M為直線AB上的一點，在y軸上是否存在點M使以點A、D、M.N為頂點的四邊形為平行四邊

形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

20.如果有一條直線經過三角形的某個頂點，將三角形分成兩個三角形，其中一個三角形與原三角形相似，

則稱該直線為三角形的“自相似分割線”.如圖1,在AABC中，AB=AC=l,ZBAC=108°,OE垂直平分AB,

且交BC于點連接AD

⑴證明直線AD是公ABC的自相似分割線;

(2)如圖2,點P為直線DE上一點,當點P運動到什么位置時，PA+PC的值最小？求此時PA+PC的長度.

(3)如圖3,射線CF平分/AC8,點。為射線CF上一點，當AQ+西二1c。取最小值時，求/QAC的正弦

4

值.

21.在長方形ABC。中，AB=4,8c=8,點尸、。為BC邊上的兩個動點(點P位于點。的左側，P、。均

不與頂點重合)，PQ=2

(1)如圖①，若點E為C。邊上的中點，當0移動到BC邊上的中點時，求證：AP=QE；

(2)如圖②，若點E為。邊上的中點，在尸。的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求8尸的長;

(3)如圖③，若M、N分別為邊和C。邊上的兩個動點(M、N均不與頂點重合)，當8P=3,且四邊形

PQW的周長最小時，求此時四邊形PQVM的面積.

22.在AABC中，？390?,D為延長線上一點，點E為線段AC,CD的垂直平分線的交點，連接E4,

EC,ED.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當N54C=50。時，則/AEE>=°；

(2)當NB4C=60。時，

①如圖2,連接A。，判斷△AED的形狀，并證明；

②如圖3,直線CP與即交于點R滿足NCED=NC4E.P為直線CP上一動點.當PE-尸。的值最大時,

用等式表示PE,PD與之間的數量關系為,并證明.

23.已知如圖，在YABCD中，點E是AZ)邊上一點，連接BE,CE,BE=CE,BE工CE,點F是EC上一動點,

連接BF.

(1)如圖1,當防_LAB時，連接。k，延長BE,CD交于點K,求證：FD=DK；

(2)如圖2,以3尸為直角邊作等腰RAEBG,NEBG=90。，連接GE,若DE=&CD=E當點廠在運

動過程中，求周長的最小值.

專題17最值問題中的將軍飲馬模型

【模型展示】

傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫。一天，一位羅馬

將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題。將軍每天從軍營A出發，

先到河邊飲(yin)馬，然后再去河岸同側的B地開會，應該怎樣走才能使路程最短？

從此，這個被稱為”將軍飲馬”的問題廣泛流傳。

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1

F心」.

小，t1M..M?I

||||||g|

特點

三三三

實際問題：應該怎樣走才能使路程最短？

C

作圖問題：在直線1上求作一點C,

使AC+BC最短問題.

結論AC+BC最短

【模型證明】

(1)現在假設點A,B分別是直線1異側的兩個點，如何在1上找到一個點，使得這

個點到點A,點B的距離的和最短？

一

解決方

案

連接AB,與直線1相交于一點C.

AC+BC最短(兩點之間線段最短)

(2)現在假設點A,B分別是直線1同側的兩個點，如何在1上找到一個點，使得這

個點到點A,點B的距離的和最短？

作法：

(1)作點B關于直線1的對稱點B，；

(2)連接AB，，與直線1相交于點C.

則點C即為所求.

所作的AC+BC最短嗎？請說明理由？

【證明】

如圖，在直線1上任取一點C(與點C不重合)，

連接AC,BC,B，C.由軸對稱的性質知，

BC=B，C,BC=BC.

AC+BC=AC+B,C=AB;

AC+BC=AC+BC.

在AABC，中，

AB,<AC,+B,C,,

.".AC+BC<AC,+BC,.

即AC+BC最短.

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，正方形A8CO的邊長是4,點E是。C上一個點，且DE=1,尸點在AC上移動,

則PE+P。的最小值是()

A.4B.4.5C.5.5D.5

【答案】D

【分析】連接BE,交AC于點N,連接ON,N即為所求的點，則BE的長即為DP+PE的

最小值，利用勾股定理求出BE的長即可.

【詳解】解：如圖，

?.?四邊形ABCO是正方形，

，點、B與點D關于直線AC對稱，

連接交AC于點、N,連接

:.DN=BN,

DN+EN=BN+EN2BD,

則BE的長即為。尸+PE的最小值，

；.AC是線段8。的垂直平分線，

又CE=CD-DE=4-1=3,

在RtABCE中，

BE2=CE2+BC2=25,

VBE>0,

：.BE=5,

即DP+PE的最小值為5,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，軸對稱-最短路線問題，兩點之間，線段最短等知

識，將PE+PD的最小值轉化為BE的長是解題的關鍵.

2.如圖，正方形的邊長為4,點M在。C上，且DM=1,N是AC上一動點，則。N+MN

的最小值為（）

C.2#)D.5

【分析】由正方形的對稱性可知點8與。關于直線AC對稱，連接交AC于M,V即為

所求在RtABCM中利用勾股定理即可求出的長即可.

【詳解】???四邊形ABC。是正方形,

點8與。關于直線AC對稱,

：.DN=BN,

連接BDBM交AC于N',連接DN',

.?.當8、N、/共線時，ON+MN有最小值，貝!的長即為。N+MN的最小值，

???AC是線段BD的垂直平分線，

又?；cr>=4,DM=1

：.CM=CD-DM=4-1=^3,

在RtABCM中，BM=y/CM2+BC2=732+42=5

故DN+MN的最小值是5.

故選：D.

【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題及正方形的性質，先作出。關于直線AC的對

稱點，由軸對稱及正方形的性質判斷出D的對稱點是點B是解答此題的關鍵.

3.如圖，矩形ABCD中，AB=4,8c=6,點P是矩形ABC。內一動點，且S4raB=白.。，

則尸C+PD的最小值是（）

A.4^/3B.4A/5

C.2屈D.2炳

【答案】B

【分析】作于M,作點。關于直線PM的對稱點E,連接PE,EC.設由

尸M垂直平分線段。￡,推出PO=PE,PC+PD=PC+PE>EC,利用勾股定理求出EC的

值即可.

【詳解】解：如圖，作于作點。關于直線PM的對稱點E,連接PE,EC.設

AM=x.

???四邊形ABC都是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=4,BC=AD=6f

,：SABIB=-SAPCD,

2

A—x4x%=—x—x4x(6-x),

222

.,.x=2,

：.AM=2,DM=EM=4,

在Rt>ECD中，EC=1C￡)2+￡)￡2=4下,

〈PM垂直平分線段O￡,

:?PD=PE,

：.PC+PD=PC+PE^EC,

:.PD+Pg非,

.?.PO+PC的最小值為4G.

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的

性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點.

4.如圖，等邊△ABC的邊長為6,是BC邊上的中線，〃是上的動點，E是邊AC上

一點，若AE=2,則EM+CM的最小值為()

B

A.726B.3月C.2幣D.40

【答案】C

【分析】連接BE,交AD于點M,過點E作EfUBC交于點R此時EM+CM的值最小,

求出BE即可.

【詳解】解：連接8E,交A。于點M,過點E作EFL8c交于點凡

?.?△48C是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，

點與C點關于AD對稱，

：.BM=CM,

：.EM+CM=EM+BM=BE,此時EM+CM的值最小，

；AC=6,AE=2,

：.EC=4,

在RfAEPC中，NECF=60。,

:.FC=2,EF=26,

在RmBEF中，BF=4,

：.BE=2y/l,

故選：C.

【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，靈活運用勾股定

理是解題的關鍵.

5.已知線段AB及直線/,在直線/上確定一點尸，使R4+P3最小，則下圖中哪一種作圖方

法滿足條件（）.

A

C.

【答案】c

【分析】根據對稱的性質以及兩點之間線段最短即可解決問題.

【詳解】解：???點48在直線/的同側，

，作B點關于I的對稱點B',連接4?與/的交點為P,由對稱性可知BP=B'P,

：.PA+PB=PB'+PA=AB'^}^.^

故選：C.

【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，掌握兩點在直線同側時，在直線上找一點到兩點距離

最短的方法是解題的關鍵.

6.如圖，點M是菱形ABC。的邊BC的中點，P為對角線8。上的動點，若AB=2,ZA=

120°,則PM+PC的最小值為（）

A.2B.6C.0D.1

【答案】B

【分析】連接AM、AC,AM交BD于P,此時PM+PC最小，連接CP,由菱形的性質可知

C和A關于2。對稱,4P=CP,由條件易證△ABC是等邊三角形，根據三線合一可知

再根據勾股定理可求4W的值，即可求解.

【詳解】解：連接AM、AC,AM交BD于P,

此時PM+PC最小，連接CP,

AD

BMC

:四邊形ABC。是菱形，

OA=OC,ACLBD,

；.C和A關于對稱，

：.AP=PC,

'：ZA=120°,

ZABC=60°,

...△ABC是等邊三角形，

：.AC=AB=2,

是BC的中點，

：.AM±BC,

：.Na4M=30°,

-'-AM=VAB2-BM2=y/3，

:.PM+PC=AM=6.

故選B.

【點睛】本題考查了將軍飲馬類型的求最小值問題，涉及菱形的性質、等邊三角形的判定與

性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是準確找到P的位置.

7.如圖，在AABC中，AB=2,NABC=60。，ZACB=45°,。是BC的中點，直線/經過

點、D,AELl,BFLI,垂足分別為E,F,貝UAE+B尸的?最大值為（）

c

A.mB.272C.2百D.3金

【答案】A

【分析】把要求的最大值的兩條線段經過平移后形成一條線段，然后再根據垂線段最短來進

行計算即可.

【詳解】解：如圖，過點C作CKL1于點K,過點A作AHLBC于點H,

在RtAAHB中,

VZABC=60°,AB=2,

AH=5

在RtAAHC中,ZACB=45°,

?*-AC=^AH-+CH2=7(A/3)2+(^)2=A/6，

?.?點D為BC中點，

；.BD=CD,

在ABFD與八CKD中，

ZBFD=ZCKD=90°

<NBDF=NCDK,

BD=CD

.?.△BFD也△CKD(AAS),

；.BF=CK,

延長AE,過點C作CNLAE于點N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中，AN<AC,

當直線1J_AC時，最大值為指，

綜上所述，AE+BF的最大值為".

故選：A.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質定理及平移的性質，構建全等三角形

是解答此題的關鍵.

8.如圖，凸四邊形ABC。中，44=90。,/。=90。,/￡>=60。,4。=3,48=6，若點M、N

分別為邊CRAD上的動點，則的周長最小值為()

c

B

D'--------------------A

A.B.3屈C.6D.3

【答案】C

【分析】由軸對稱知識作出對稱點，連接兩對稱點，由兩點之間線段最短證明笈8〃最短，

多次用勾股定理求出相關線段的長度，平角的定義及角的和差求出角度的大小，最后計算出

的周長最小值為6.

【詳解】解：作點8關于。、的對稱點分別為點？和點

連接？"交OC和AD于點〃和點N,DB,連接MB、NB,

再DC和AD上分別取一動點M'和N'（不同于點M和N）,

連接M'B,MB,N'B和MB",如圖1所示：

B'

B

B"

-.B'B"<M'B'+M'N'+N'B",

B'M'=BM',B"N'=BN',

BM'+MN+BN'>B'B",

又B'B"=B'M+MN+NB",

MB=MB',NB=NB",

:.NB+NM+BM<BM'+M'N'+BN',

；?—=NB+MW+BM時周長最小；

連接DB,過點B'作B'H_LDB"于B"D的延長線于點H,

如圖示2所示：

在RtAABD中，AD=3,AB=5/3,

DBuy/AD2+AB2、=舊+詆2=2』,

.-.Z2=30°,

.-.Z5=30o,DB=DB",

XvZAZ)C=Zl+Z2=60o,

.?./l=30。，

.-.Z7=30°,DE=DB,

ZB'DB"=Z1+Z2+Z5+Z7=120°,

DB'=DB"=DB=273,

又?.?ZB'DB"+N6=180。，

.-.Z6=60°,

:.HD=5HB'=3,

在Rf△中,由勾股定理得：

B'B"=-JHB'2+HB"2=行+(3舟=727+9=6.

=NB+NM+BM=6,

故選：C.

【點睛】本題綜合考查了軸對稱一最短路線問題，勾股定理，平角的定義和兩點之間線段最

短等相關知識點，解題的關鍵是掌握軸對稱-最短路線問題，難點是構建直角三角形求兩點

之間的長度.

二、填空題

9.在現實生活中，我們經常會看到許多“標準”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，

其實這些矩形的長與寬之比都為0:1，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標準矩形”，在“標準

矩形"ABCD中，如圖所示，點。在。C上，S.DQ=AD,若G為BC邊上一動點，當AAG。

的周長最小時，則笑的值為.

【分析】先設出矩形的邊長，將A。和C。表示出來，再通過作對稱點確定AAG。的周長最

小時的G點位置后，利用平行線分線段成比例的基本事實的推論建立等式求解即可.

【詳解】解：設DC=?x，DQ=AD=x,

\?矩形ABCD

ZD=ZDCB=ZB=90°,AB=DC=&c,BC=A￡>=尤，

AQ=S]AD2+DQ2=y[2x,

如圖，作。點關于BC的對稱點E,連接AE交BC于點M,

AGQ=GE,C2=C￡=(V2-l).x

AQ+QG+AG=亞x+AG+EGN也x+AE，

...當A、G、E三點共線時，△AG。的周長最小，

此時G點應位于圖中的M點處；

\?矩形ABC。中，ZQCG=9Q°,

；.E點位于QC的延長線上，

：.CE//AB,

...CM__笠_(Ql)x2-母

,MB一瓶一缶一2

BpCG=2-V2；

GB2

故答案為：生史.

【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理、最短路徑、平行線分線段成比例的基本事實的

推論等內容，解題關鍵是能正確找到滿足題意的G點位置，同時要牢記平行線分線段成比

例的推論，即平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段

成比例.

10.如圖，點尸是/AOB內任意一點，。尸=3cm,點M和點N分別是射線。I和射線。3上

的動點，4408=30。，則APMN周長的最小值是.

OA

【答案】3

【分析】根據“將軍飲馬”模型將最短路徑問題轉化為所學知識“兩點之間線段最短”可找到

周長的最小的位置，作出圖示，充分利用對稱性以及ZAOB=30。，對線段長度進行等

量轉化即可.

解：如圖所示，過點P分別作P點關于OB、OA邊的對稱點P'、P",連接"、PP、PP、

OP'、OP",其中戶產分別交。8、于點MM,根據“兩點之間線段最短”可知，此時點

M、N的位置是使得APMN周長的最小的位置.

由對稱性可知：PN=PN,PM=P"M,ZP'OB=NPOB,ZPOA=ZP"OA

OP=OP"=OP=3,

NPOA+NPOB=ZAOB=30°

:.ZP"OA+ZP'OB=30°

NPOA+NPOB+NP"OA+NPOB=NPOP"=60°

.【△POP"為等邊三角形

PP"=OP=OP'=3

^PMN^jJ^^z=PN+PM+MN^P'N+P"M+MN=P'P"=3

故答案為：3

【點睛】本題是典型的的最短路徑問題，考查了最短路徑中的“將軍飲馬”模型，能夠熟練利

用其原理“兩點之間線段最短”作出最短路徑示意圖是解決本題的關鍵.

11.如圖，等邊AABC的邊長為4,點E是AC邊的中點，點尸是AABC的中線AD上的動點，

則EP+CP的最小值是.

【答案】23

【分析】當連接8E,交于點P時，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值.

【詳解】解：連接8E

A

「△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，

：.AD±BC,

：.AD是BC的垂直平分線，

；?點C關于AD的對應點為點B,

/.BE就是EP+CP的最小值.

是等邊三角形，￡是AC邊的中點，

BE是△ABC的中線，

：.CE=^AC=2,

BE=^BC2-CE2=243

即EP+CP的最小值為2JL

故答案為：2vL

【點睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題以及等邊三角形的性質，勾股定理，熟練掌

握等邊三角形和軸對稱的性質是解題的關鍵.

12.如圖，正方形ABC。的邊長為8,點M在。C上且。M=2,N是AC上的一動點，貝U

LW+MN的最小值是.

【分析】要求LW+MN的最小值，DN,不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化￡W,

MN的值，從而找出其最小值求解.

【詳解】解：???正方形是軸對稱圖形，點2與點〃是關于直線AC為對稱軸的對稱點,

二連接BN,BD,

：.DN+MN^BN+MN,

連接交AC于點尸，

?.?點N為AC上的動點，

由三角形兩邊和大于第三邊，

知當點N運動到點P時，BN+MN=BP+PM=BM,

BN+MN的最小值為BM的長度，

:四邊形ABCO為正方形，

:.BC=CD=8,CM=8-2=6,ZBCM=90°,

BM=+8?=10,

.,.ON+MN的最小值是10.

故答案為：10.

【點睛】本題主要考查正方形的性質和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用.

13.如圖所示，在44BC中，AB=AC,直線EF是AB的垂直平分線，。是3C的中點，M

是E尸上一個動點，AMC的面積為12,BC=4,則AgZW周長的最小值是.

【答案】8

【分析】連接A。，AM,由EP是線段AB的垂直平分線，得到則△BOM的周長

=BD+BM+DM=AM+DM+BD,要想△的周長最小，即要使的值最小，故當A、

M、。三點共線時，最小，即為A。，由此再根據三線合一定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接4D,AM,

1/EF是線段AB的垂直平分線，

：.AM=BM,

：.△BOM的周長

...要想4的周長最小，即要使AM+OW的值最小，

...當A、M、。三點共線時，4M+DM最小，即為AD,

■：AB=AC,。為BC的中點，

J.ADLBC,BD=LBC=2,

2

S"BC=]AD,BC=12,

.\AD=6f

：.ABDM的周長最小值=AZ)+5Z)=8,

故答案為：8.

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，三線合一定理，解題的關鍵在于能夠根據

題意得到當A、。三點共線時，AM+QM最小，即為AD

14.如圖，在四邊形A8C￡＞中，ZBCD=50°,/2=/。=90。，在BC、CD上分別取一點

M、N,使AAMV的周長最小，則NMAN=°.

【分析】作點A關于BC、CD的對稱點4、4,根據軸對稱確定最短路線問題，連接4、

4分別交BC、0c于點M、N,利用三角形的內角和定理列式求出/4+/A2，再根據軸對

稱的性質和角的和差關系即可得/MAN.

【詳解】如圖，作點A關于BC、C￡＞的對稱點4、A2,連接4、4分別交BC、DC于點M、

N,連接AM、AN,則此時△AMN的周長最小，

VZBCZ)=50°,ZB=ZD=90°,

：.NA4D=360。-90°-90°-50。=130。，

ZA7+ZA2=180°-130°=50°,

???點A關于BC、CO的對稱點為A/、A2,

:?NA=NA2,MA=MAI，

：.ZA2=ZNADfZA]=ZMABf

：./NAD+/MAB=ZA7+ZA2=50°,

AZMAN=ZBAD-Q/NAD+/MAB)

=130°-50°

=80°,

故答案為：80.

【點睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉化為兩點間線

段最短問題是解決本題的關鍵.

15.如圖，在矩形A8CD中，AB=15,8c=20,把邊AB沿對角線8。平移，點4,9分別

對應點A,B給出下列結論：

①順次連接點4,B',C,。的圖形是平行四邊形；

②點C到它關于直線A4,的對稱點的距離為50；

③4C-BC的最大值為15；

?A'C+B'C的最小值為9J萬.

其中正確結論的序號是

【答案】③④

【分析】①根據平行四邊形的判定定理判斷即可；②作點C關于直線A4,的對稱點E,交直

線44,于點T,交直線2。于點0,貝UCE=40C,利用等面積法求出0C即可；③根據

川。一3'。＜43',當線段42平移至9與￡)點重合,即：4,8,(7三點共線時，AC-3'C=A3'

即可判斷;④作D關于直線AV的對稱點",連接DD交直線AV于點J,過點M乍D'E±CD,

交C。延長線于E點，連接CD',交直線A4'于點4,此時滿足4C+BC的值最小，即為CD'

的長度，結合相似三角形的判定與性質求解即可.

【詳解】解：①由平移的性質可知：AB//AB,,AB=AB，

由矩形的性質可知：AB//CD,AB=CD,

：.AB7/CD,AB'=CD,

四邊形A'B'CD為平行四邊形，

當點*與。重合時，四邊形不存在，

故①錯誤；

②如圖1所示，作點C關于直線AV的對稱點E,交直線A4,于點T,交直線于點0,則

CE=4OC,

?.?四邊形ABCO為矩形，

：.ZBCD=90°,CD=AB=15,

BD=A/BC2+CD2=25，

SZAAoC￡z=一2BC?CD=2_BD?0C,

.\￡C=4x12=48,故②錯誤;

E.

如圖2所示,當線段AB平移至Q與D點重合，即：4,9,C三點共線時，AC-B'C=AB'=15,

HC-B'C最大值為15,故③正確；

④如圖2所示，由①可知，B'C^A'D,

：.AC+B'C^A!C+AD,

作D關于直線44,的對稱點連接交直線4V于點J,

過點。掰乍D'ELCD,交C。延長線于E點，連接CD,交直線4r于點4,

此時滿足4C+QC的值最小，即為CZX的長度，

由對稱的性質可知：ZAJD=9Q°,

由平行的性質可知：ZBDJ=1800-ZAJD=90°,

即：ZADJ+ZADB=9Q°,

'：ZABD+ZADB=90°,

：.ZABD=ZADJ,

：.

.DJAD

??瓦一茄’

DJ20

R即n：一=—,

1525

：.DD'=2DJ=24,

又：D'E//AD,

：.NED'D=ZADJ,

：.ZEDfD=ZABD,

ZE=ZBAD=9Q°,

^ABD^EDfD,

D'E=,ED=—

95?171

EC=ED+DC=--+15=——,

55

由勾股定理：CD'='JiyE2+EC2=9A/17，故④正確,

L

w

AN:

4rx------------1~D

r

故答案為：③④.

【點睛】本題考查矩形的性質，平移的性質，平行四邊形的判定與性質，相似三角形的判定

與性質等，理解并掌握平行四邊形和特殊平行四邊形的判定與性質，熟練運用相似三角形的

判定與性質是解題關鍵.

16.如圖，。為矩形ABC。對角線AC,8。的交點，48=8,M,N是直線BC上的動點，且

MN=2,則OM+ON的最小值是.

【答案】2后

【分析】根據題意，過。作。//〃BC,且令。8=2,連接作。點關于2c的對稱點K,

連接OK,KH,典\OM+ON=NH+ON=NH+NK^HK,當H、N、K三點共線的時候，OM+ON

有最小值，最小值為HK的長.根據矩形性質及圖形的對稱性，易知NKOH=90。，在

RtAKOH中,運用勾股定理求得HK的長即可.

【詳解】解：過。作OH〃BC,且令。H=2,連接NH,作O點關于BC的對稱點K,連接

OK,KH,

AD

'JOH//BC,0H=MN=2,

???四邊形OMNH是平行四邊形，

???OM=NH,

：.OM+ON=NH+ON.

???O點關于BC的對稱點是點K,

：?ON=NK,

：.OM+ON=NH+ON=NH+NK,

,：NH+NKNHK,

???當H、N、K三點共線的時候，OM+ON有最小值，最小值為"K的長.

OH//BC,O點關于BC的對稱點是點K,

：./KOH=90。.

:。為矩形A5CO對角線AC,3。的交點，O點關于3C的對稱點是點K,

：.OK=AB=S.

?：OH=2,NKOH=90。,

HK=JOH?+OK?=2后，

???OM+ON的最小值是2JI7.

【點睛】本題考查了最短路徑問題，矩形性質，勾股定理求直角三角形的邊長，其中熟練畫

出OM+ON取最小值時所對應的線段，是解題的關鍵.

17.如圖，菱形ABC。的邊長為6,ZABC=120°,M是3。邊的一個三等分點，尸是對角

線AC上的動點，當PB+PM的值最小時，的長是.

AD

P

BMC

【答案】旦

2

【分析】如圖，連接。P,BD,作8c于H.當D、P、M共線時，P'B+P'M=DM愜最

小，利用勾股定理求出。M,再利用平行線的性質即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接DP,BD,作DH_LBC于H.

:四邊形ABCO是菱形，

C.ACLBD,B、。關于AC對稱，

：.PB+PM=PD+PM

當。、P、M共線時，夕6+尸〃=我的值最小,

'：CM=-BC=2

3

,/ZABC=120°,

：.ZDBC=ZABD=60°

...△■DBC是等邊三角形，

?：BC=6,

:.CM=2,HM=1,DH=3yf3，

在RtADMH中，

DM=4DH2+W2=7（3A/3）2+12=2A/7

\'CM//AD

.P'MCM_2

,?而IF63

P'M=-DM=—

42

故答案為：旦.

2

【點睛】本題考查軸對稱一最短問題、菱形的性質、等邊三角形的判定和性質、勾股定理、

平行線線段成比例定理等知識,解題的關鍵是靈活用所學知識解決問題,屬于中考常考題型.

三、解答題

18.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=2,以BC為邊向左作等邊4BCE,

點Z）為AB中點，連接CD點、P、Q分別為CE、C。上的動點.

（1）求證：AAOC為等邊三角形；

（2）求尸。+PQ+QE的最小值.

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【分析】（1）先根據直角三角形的性質可得ZBAC=60。,AD=CD,再根據等邊三角形的判

定即可得證；

（2）連接尸AQB,先根據等邊三角形的性質可得ZACE=；NACD,再根據等腰三角形的

三線合一可得CE垂直平分AD,然后根據線段垂直平分線的性質可得可=如，同樣的方

法可得QB=QE,PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,最后根據兩點之間線段最短即

可得出答案.

【詳解】證明：（1）,??在RGABC中，/408=90。,/48。=30。,4。=2,

ABAC=60°,AB=2AC=4,

?點。是RUABC斜邊AB的中點，

:.AD=AC=2,

是等邊三角形；

（2）如圖，連接PAQB,

QVBCE和AADC都是等邊三角形，

:./BCE=60。,ZACD=60°,

ZACE=ZACB-NBCE=30°=-ZACD,

2

r.CE垂直平分AO,

:.PA=PD,

同理可得：CD垂直平分5E,

QB=QE,

PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,

由兩點之間線段最短可知，當點ARQI共線時，尸4+尸。+8取得最小值A3,

故尸。+尸。+QE的最小值為4.

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質、含30。角的直角三角形的性質等知識點，熟

練掌握等邊三角形的性質是解題關鍵.

19.如圖，在平面直角坐標系中，直線A8分別與無軸的負半軸、y軸的正半軸交于A、B兩

點，其中。4=2,S/ABC=12,點C在x軸的正半軸上，且0c=。艮

(1)求直線AB的解析式；

(2)將直線向下平移6個單位長度得到直線"，直線〃與y軸交于點E,與直線交于

點、D,過點E作y軸的垂線以若點尸為y軸上一個動點，Q為直線為上一個動點，求

PD+PQ+DQ的最小值；

⑶若點M為直線AB上的一點，在y軸上是否存在點N,使以點A、D、M、N為頂點的四

邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=2x+4

(2)4^/5

(3)存在以點A、D、M.N為頂點的四邊形為平行四邊形，N的坐標為(0,-2)或(0,10)

【分析】(1)設02=0C=m,由LABC=12,可得B(0,4),設直線48解析式為〉=日

+b,利用待定系數法即可求解；

(2)將直線向下平移6個單位，則直線//解析式為y=2x-2,可得E(0,-2),垂線心

的解析式為＞=-2,由B(0,4),C(4,0),得直線8C解析式為y=-x+4,從而可求得

D(2,2),作。關于y軸的對稱點少，作￡＞關于直線＞=-2對稱點。"，連接交y

軸于尸，交直線y=一2于。此時PO+PQ+。。的最小，根據少(一2,2),D"(2,-6),

得直線DD"解析式為y=—2x—2,從而尸(0,-2),Q(0,-2),故此時PO=226,PQ

=0,DQ=2A/5,PO+PQ+。。的最小值為4班.

(3)設尸(p,2p+4),N(0,q),而A(-2,0),D(2,2),①以A。、MN為對角線，

此時A。中點即為MN中點，根據中點公式得N(0,-2)；②以AM、LW為對角線，同理可

得NCO,10)；③以AN、為對角線，同理可得N(0,-2).

(1)

解：(1)設08=0C=MI,

,：OA=2,

AC—^n+2,A(-2,0),

u

：SAABC=12f

：.^AC-OB=n,即(m+2)=12,

解得m=4或m=-6(舍去)，

：.OB=OC=4,

：.B(0,4),

設直線AB解析式為y=kx+b,

.jO=-2k+b

,,I4=6'

k=2

解得

6=4

直線AB解析式為y=2x+4;

(2)

將直線ASy=2x+4向下平移6個單位，則直線//解析式為y=2x-2,

令x—0得＞=-2,

：.