專題02全等三角形中的半角模型

【模型展示】

特點

過正方形ABCD頂角頂點（設頂角為A）,引兩條射線且它們的夾角為號；這兩條射線與

過底角頂點的相關直線交于兩點E、F,則BE,EF,FC之間必存在固定關系。這種關系僅與兩條

相關直線及頂角A相關.

【模型證明】

以點A為中心，把AADF（順時針或逆時針）旋轉角A度，至AABF;

解決方法

1、AAMN全等于AAMN,MN=MN';

2、△AEF全等于△AEF',EF=EF-BE+EF=EF;

結論

3、MN2^BM2+DN\

4、△CEF的周長等于正方形ABCD的一半；

5、點A到EF的距離等于正方形的邊長（AB）o

1:頂角為特殊角的等腰三角形，如頂角為30。、45。、60。、75。或它們的補角、90°;

2:正方形、菱形等也能產生等腰三角形；

應用環境3:過底角頂點的兩條相關直線：底邊、底角兩條平分線、腰上的兩高、底角的鄰補角的兩條角

平分線，底角的鄰余角另外兩邊等；正方形或棱形的另外兩邊；

4:此等腰三角形的相關弦.

【模型拓展】

90。中夾45。（正方形中的半角模型）

ADAD

BEcBEC

圖1圖2

條件：在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，ZEAF=45°,BD為對角線，交

AE于M點，交AF于N點。

結論①：圖1、2中，EF=BE+FD

證明證明：如圖3中，將AF繞點A順時針旋轉90。，F點落在F處，連接BP,

.*.ZEAF,=90o-ZEAF=90°-45o=45°=ZEAF,

且AE=AE,AF=AF,

???AFAE^AF^ECSAS),

???EF=EP,

又ND二NABF'=90°,ZABE=90°,,NABE+NABF'=900+90°=180。，

???FFB、E三點共線，

???EF=BE+BF=BE+DF。

結論②：圖2中MN2=BM2+DN2;

證明：如圖4中，將AN繞點A順時針旋轉90。，N點落在N'處，連接AN'、BN\MN\

ZN,AM=90o-ZEAF=90°-45o=45°=ZMAN,

且AM=AM,AN=AN\

AMAN?2AMAN(SAS),

???MN=MN',

又NADN=450=NABN',ZABD=45°,

.?.ZMBN,=ZABD+ZABN,=45°+45°=90°,

???在RtAMBN'中,MN，2=BM2+BN，2,

即MN』BM2+BN'2。

結論③：圖1、2中EA平分NBEF,FA平分NDFE。

證明過程見證明①中時4FAE^AF'AE即可。

結論④：圖1、2中8兇所=S0BE+^/SADF°

AD

BEC

圖5

證明：如圖5中，過A點作AH_LEF于H點，由結論③可知：ZAEH=ZAEB,

且NAHE=NABE=90。，AE=AE,△AEB△AEH(AAS),

???AH=AB=AD,進而可以證明△AHF^AADF(AAS),

,,SMEF=S^HE+S^HF-S^BE+SMDF，

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，四邊形ABC。內接于。O,AB=AD,ZBCD=120°,E、尸分另ij為BC、CD上一點，ZEAF=30°,

EF=3,DF=1.則BE的長為(

A.1B.2C.3D.4

2.如圖，點M、N分別是正方形ABC。的邊BC、CD上的兩個動點，在運動過程中保持/M4N=45。，連

接EN、相交于點0,以下結論：①MN=8M+DN；②臺嚴+八產二后尸；③BC2=BF?DE；?0M=72OF

)

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

二、填空題

3.如圖，在RtAABC和R38C。中，ZBAC^ZBDC^90°,BC=4,AB=AC,NCBD=30。,M,N分別

在BD,CD±,ZMAN^45°,則△OWN的周長為.

4.如圖，在邊長為6的正方形ABC。內作ZE4F=45。，AE交3C于點E,AF交CD于點尸，連接E1尸，將

一ADF繞點A順時針旋轉90。得到若BE=2,則政的長為.

D

5.如圖，正方形ABC。的邊長為6,點E,尸分別在邊AB,2c上，若尸是BC的中點，且/即P=45。,

則DE的長為

三、解答題

6.正方形ABCD的邊長為3,E、尸分別是AB、BC邊上的點，且/即尸=45。.將4D4E繞點。逆時針旋轉90°,

得到△DCM.

(1)求證：EF=FM

(2)當AE=1時，求EF的長.

E,尸分別在邊8C,CO上，且ZE4F=45。，AE,AF分別交5。

于H,G,連跖，求證:

@DF+BE=EF②DG+BH2=H停.

8.如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線BD上兩點，將一AD尸繞點A順時針旋轉90°后，得至上ABM,

連接EM,AE,且使得NA￡4E=45。.

(1)求證：ME=EF；(2)求證：EF2=BE2+DF1.

9.已知：邊長為4的正方形ABC。，的兩邊分別與射線CB、0c相交于點E、F,且NE4F=45。,

連接EF求證：EF^BE+DF.

圖1圖2圖3

思路分析：

⑴如圖1,「正方形ABC。中，AB=AD,ZBAD=ZB=ZADC=90°,

...把AABE繞點A逆時針旋轉90。至△&￡>￡,則只。、E在一條直線上,

ZE'AF^度，……

根據定理，可證：AAEFdAEF.

；.EF=BE+DF.

類比探究:

(2)如圖2,當點E在線段的延長線上，探究ERBE、。尸之間存在的數量關系，并寫出證明過程；

拓展應用：

(3)如圖3,在△ABC中，AB=AC,。、￡在8C上，ZBAC=2ZDAE.若SAABC=14,SAADE=6,求線

段B。、DE、EC圍成的三角形的面積.

10.如圖1,在菱形A8CD中，AC=2,BD=2^,AC,8。相交于點。.

(1)求邊AB的長；

(2)求/8AC的度數；

(3)如圖2,將一個足夠大的直角三角板60。角的頂點放在菱形的頂點A處，繞點A左右旋轉，其中三

角板60。角的兩邊分別與邊BC,C。相交于點E,F,連接￡尺判斷△AEE是哪一種特殊三角形，并說明理

由.

11.(1)如圖1,在正方形A8CD中，E是A8上一點，G是上一點，ZECG=45°,求證EG=BE+GO.

(2)請用(1)的經驗和知識完成此題：如圖2,在四邊形48。中，AG//8C(8C>AG),ZB=90°,AB=BC=12,

E是A3上一點，且NECG=45。，BE=4,求EG的長？

12.如圖，點E是正方形ABC。的邊2C上一點，連接OE,將DE繞著點E逆時針旋轉90。，得至UEG,過

點G作GF_LC8,垂足為RGHA.AB,垂足為“，連接。G,交AB于/.

(1)求證：一GEF'EDC

(2)求證：四邊形是正方形；

(3)求證：ED平分/CEI

13.學完旋轉這一章，老師給同學們出了這樣一道題：

“如圖1,在正方形A8CZ)中，ZEAF=45°,求證：EF=BE+DF.,,

小明同學的思路：\?四邊形A8C。是正方形，：.AB^AD,ZB=ZADC^90°.

把小ABE繞點A逆時針旋轉到AADE1的位置，然后證明AAFE也△AF0,從而可得EF=E'F.

EF=E'D+DF=BE+DF,從而使問題得證.

圖3圖4

(D【探究】請你參考小明的解題思路解決下面問題:

如圖2,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZEAF=^ZBAD,直接寫出EF,BE,。尸之間的

數量關系.

(2)【應用】如圖3,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,ZEAF=^ZBAD,求證：EF=BE+

DF.

(3)【知識遷移】如圖4,四邊形ABPC是：。的內接四邊形，8c是直徑，AB=AC,請直接寫出P2+PC與

AP的關系.

專題02全等三角形中的半角模型

【模型展示】

特點

過正方形ABCD頂角頂點（設頂角為A）,引兩條射線且它們的夾角為竽；

這兩條射線與過底角頂點的相關直線交于兩點E、F,則BE,EF,FC之間必存在固

定關系。這種關系僅與兩條相關直線及頂角A相關.

【模型證明】

以點A為中心，把AADF（順時針或逆時針）旋轉角A度，至AABF;

解決方

法

1、△AMN全等于△AMN',MN=MN';

2、AAEF全等于AAEF,EF=EF'—BE+EF=EF;

結論3、MN~^BM2+DN2;

4、△CEF的周長等于正方形ABCD的一半；

5、點A到EF的距離等于正方形的邊長（AB）。

1：頂角為特殊角的等腰三角形，如頂角為30。、45。、60。、75。或它們的補角、90°;

應用環2:正方形、菱形等也能產生等腰三角形；

境3:過底角頂點的兩條相關直線：底邊、底角兩條平分線、腰上的兩高、底角的鄰

補角的兩條角平分線，底角的鄰余角另外兩邊等；正方形或棱形的另外兩邊；

4:此等腰三角形的相關弦.

【模型拓展】

90。中央45。(正方形中的半角模型)

ADAD

E「

BECBEC

圖1圖2

條件：在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，ZEAF=45°,BD為

對角線，交AE于M點，交AF于N點。

結論①：圖1、2中，EF=BE+FD

證明：如圖3中，將AF繞點A順時針旋轉90。，F點落在F處，連接BF\

.?./EAF=90°-NEAF=90°-45°=45°=NEAF,

且AE=AE,AF=AF',

△FAE0AF,AE(SAS),

證明

???EF=EP,

又ND二NABF'=90。，ZABE=90°,\NABE+NABF'=900+90°=180。，

AF\B、E三點共線，

EF=BE+BF=BE+DF。

結論②：圖2中MN2=BM2+DN2;

證明：如圖4中，將AN繞點A順時針旋轉90。，N點落在N，處，連接AN'、BN\

MN',

ZN,AM=90o-ZEAF=90°-45o=45°=ZMAN,

且AM=AM,AN=AN',

△MAN5gAMAN(SAS),

.,.MN=MN,,

又NADN=45°=NABN',/ABD=45°,

；./MBN'=/ABD+/ABN'=45°+45°=90°,

.?.在RtAMBN'中,MN，2=BM2+BN，2,

即MN2=BM2+BN，2o

結論③：圖1、2中EA平分NBEF,FA平分NDFE。

證明過程見證明①中時4FAEgZiF'AE即可。

結論④：圖1、2中S,即二SMBE+S.DF°

AD

BEc

圖5

證明：如圖5中，過A點作AH_LEF于H點，由結論③可知：ZAEH=ZAEB,

且NAHE=NABE=90。，AE=AE,△AEB△AEH(AAS),

???AH=AB二AD,進而可以證明△AHF^AADF(AAS),

**SMEF~SMHE+SMHF~SMBE+$MDF*

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，四邊形ABCZ）內接于＜30,AB=AD,ZBCD=\2Q0,E、/分別為BC、CD上一

點，/EAF=30°,EF=3,DF=1.則BE的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延長CB到X,使BH=DF=1,連接AH,則可證得△ABH0△ADR從而

ZBAH=ZDAF,易證△可得HE=EP=3,則可求得BE■的長.

【詳解】延長CB到H,使BH=DF=1,連接AH,如圖

???四邊形ABCD內接于。。

ZABC+ZA￡>C=180°

VZABH+ZABC=1SO°

???ZABH=ZADF

在△AB〃和△AD/中

AB=AD

</ABH=ZADF

BH=DF

：.AABH^AADF

：.AH=AFfZBAH=ZDAF

VZBA￡>+ZBC￡>=180°,ZBCD=120°

ZBAD=180°-ZBCD=60°

VZEAF=30°

AZBAE-^ZDAF=ZBAD-ZEAF=30°

AZEAH=ZBAE+ZBAH=30°

在△AHE和△AbE中

AH=AD

<NEAH=ZEAF

AE=AE

：.HE=EF=3

：.BE=HE-BH=3-1=2

故選：B

【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，構造輔助線得到全等

三角形的問題的關鍵與難點.

2.如圖，點"、N分別是正方形A5CD的邊5。、CD上的兩個動點，在運動過程中保持NM4N

=45°,連接EN、相交于點0,以下結論：?MN=BM+DN；②BEZ+DF^nEF2；③5。

=BF?DE；@OM=41OF()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由旋轉的性質可得BM=DM,ZBAM=ZDAM,,ZA/AAf=90°,

ZABM=ZADM'=90°,由“SAS”可證AAMN四△AATN,可得MN=NM\可得MN=BM+DN,

故①正確；由“SAS'可證△AEPq△AED',可得EF=DE,由勾股定理可得2層+￡）產=石產；

故②正確；通過證明AZMEs△9丸可得”=42,可證BCZMDQBF故③正確；通過

證明點4點3,點點F四點共圓，ZABM=ZAFM=90°,ZAMF=ZABF=45°,

NBAM=NBFM,可證MO二行80,由NA4MrNQAN,可得OE手OF,故④錯誤，即可求解.

【詳解】解：將繞點A逆時針旋轉90。，得到將△ADb繞點A順時針旋轉

90°,得到△A3。，

,

：.AM=AM,BM=DM,ZBAM=ZDAM'fZMAAf=90°,ZABM=ZADM=90°,

：.NADM+NA00180。,

???點M在直線CO上，

?IZMAN=45°,

：.ZDAN+ZMAB=45°=ZDAN+ZDA^ZNfAN,

：./M'AN=/MAN=45。,

又"：AN=AN,AM=AM^,

：.LAMN咨AAMW(SAS),

：.MN=NM'

：.M，N=M，D+DN=BM+DN,

：.MN=BM+DN；故①正確；

??,將△ADF繞點A順時針旋轉90°,得到△ABD\

：.AF=AD',DF=D'B,ZADF=ZABD'=45°,ZDAF=ZBAD\

：./D'BE=90。,

,/ZMAN=45°,

,,

???ZBAE+ZDAF=45°=ZBAD+ZBAE=ZDAEf

ZD'AE=ZEAF=45°f

5L'：AE=AE,AF=AD',

：./\AEF^/\AED'(SAS),

：.EF=D'E,

D'E2=BE2+D'B2,

：.BE2+DF2=EF2；故②正確；

,?ZBAF=ZBAE+ZEAF=ZBAE+45°,ZAEF=ZBAE+ZABE=45°+ZBAE,

：.NBAF=NAEF,

又,/ZABF=ZADE=45°,

：.4DAEs4BFA,

.DEAD

AB=AD=BC,

：.BC2=DE>BF,故③正確；

ZFBM^ZFAM=45°,

.?.點4,點、B,點M,點尸四點共圓，

/.ZABM=ZAFM=90°,ZAMF=ZABF=45°,/BAM=/BFM,

同理可求NAEN=90。，NDAN=NDEN,

：.ZEOM=45°=ZEMO,

：.EO=EM,

：.MO=4iEO,

ZBAM^ZDAN,

：.NBFM豐NDEN,

J.EOtFO,

：.OM^y/2FO,故④錯誤，

故選：A.

BMC

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，正方形的性質，相似三角形的判定和性質,

旋轉的性質等知識，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

二、填空題

3.如圖，在R3ABC和RtABCD中，ZBAC=ZBZ)C=90°,BC=4,AB=AC,NCBD=

30°,M,N分別在2D,CD上，ZMAN=45°,則AOMN的周長為.

【分析】將AACN繞點A逆時針旋轉，得到AABE,由旋轉得出NNAE=90。，AN=AE,

ZABE=ZACD，/EAB=NCAN,求出/EAM=/MAN,根據SAS推出△AEM0AANM,

根據全等得出MN=ME,求出MN=CN+BM,解直角三角形求出DC,即可求出△DMN

的周長=BD+DC,代入求出答案即可.

【詳解】將AACN繞點A逆時針旋轉，得到AABE,如圖：

由旋轉得：NNAE=90。,AN=AE,ZABE=ZACD,ZEAB=ZCAN,

?.,ZBAC=ZD=90°,

ZABD+ZACD=36Q°-90°-90°=180°,

ZABD+NABE=180°,

：.E,B,M三點共線，

'：ZMAN=45°,/R4c=90°,

ZEAM=ZEAB+ZBAM=ZCAN+ZBAM=ABAC-ZMAN=90°-45°=45°,

：.ZEAM=ZMAN,

在△AEM和△ANM中,

AE=AN

<NEAM=/NAM,

AM=AM

：.AAEM^AANM(SAS),

:?MN=ME,

：?MN=CN+BM,

???在R35CQ中，/BDC=90。,ZCBD=30°,8C=4,

i.----------------------

.,.CD=-BC=2,BD=VBC2-CD2=V42-22=2出,

：.ADMN的周長為DM+DN+MN^DM+DN+BM+CN=BD+DC=2S/3+2,

故答案為：2&+2.

【點睛】本題考查直角三角形、全等三角形的性質和判定、旋轉的性質的應用，能正確作出

輔助線是解此題的關鍵.

4.如圖，在邊長為6的正方形ABCD內作ZE4F=45。，AE交BC于點E,AF交以?于點

連接跖，將AD尸繞點A順時針旋轉90。得到ABG,若BE=2,則政的長為.

【答案】5

【分析】由題意易得BG=ORAG=A尸,NG4F=90。，則有/G4E=NE4E=45。，然后可

vEi.GAE^FAE,則有GE=EF,T^GB=DF=X,貝!］有C尸=6-x,CE=4,￡F=x+2,進

而根據勾股定理可求解.

【詳解】解：：四邊形ABC。是正方形，且邊長為6,

，CD=BC=6,ZC=ZABC=ZD=90°,

?/^ADF繞點A順時針旋轉90。得到，ABG,

BG=DF,AG=AF,ZGAF=ZABC=ND=90°,

...點G、B、E三點共線，

ZE4F=45°,

ZGAE=ZFAE^45°,

'：AE=AE,

：.^GAE^,FAE,

：.GE=EF,

設GB=DP=x,則有CF=6—無,庭=4,跖=尤+2,

...在RtXECF中，由勾股定理可得EC2+CF2=EF-,

即16+(6-J;—=(x+2)2,

解得：x=3,

二EF=5；

故答案為5.

【點睛】本題主要考查正方形的性質、旋轉的性質及勾股定理，熟練掌握正方形的性質、旋

轉的性質及勾股定理是解題的關鍵.

5.如圖，正方形A8C。的邊長為6,點E,尸分別在邊A8,8C上，若歹是的中點，且

NEDF=45°,則。E的長為.

【答案】2廂

【分析】延長54到點G,使AG=CF,連接OG,EF,利用SAS證明△AOGg△C。尸，得

/CDF=/GDA,DG=DF,再證明△GDEgZXEDE(SAS),得GE=EF,設則BE=6-

x,EF=x+3,再利用勾股定理解決問題.

【詳解】解：延長8A到點G,使AG=CR連接。G,EF,

,:AD=CD,NDAG=NDCF,

：.^ADG^/\CDF(SAS),

：.ZCDF=ZGDA,DG=DF,

"：ZEDF=45°,

：.ZEDG=ZADE+ZADG=ZADE+ZCDF=45°,

,:DE=DE,

:AGDE"4FDE(SAS),

：.GE=EF,

1尸是BC的中點,

：.AG=CF=BF=3,

設AE=x,貝i」8E=6-x,EF=x+3,

由勾股定理得，（6-x）2+32=（x+3）2,

解得x=2,

.,.4￡=2,

DE=VAD2+AE2=依+2?=2回，

故答案為：2M.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，熟練

掌握半角模型的處理策略是解題的關鍵.

三、解答題

6.正方形A8CD的邊長為3,E、尸分別是A3、BC邊上的點，且NEZ）尸=45。.將△D4E繞點

。逆時針旋轉90。，得到△OCM.

（1）求證：EF=FM

（2）當AE=1時，求取的長.

【答案】（1）見解析；（2）

【分析】（1）由折疊可得。/EZW為直角，可得出（尸=90。，由/E。尸=45。，

得到尸為45。，可得出/￡￡甲=/四。/，MSDF=DF,利用SAS可得出三角形DE尸與

三角形ML甲全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF；

（2）由第一問的全等得到AE=CM=1,正方形的邊長為3,用求出EB的長，再由

8C+CM求出的長，設EF=MF=x,可得出尸M=8M-EF=4-無，在直角三角形8EF

中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為的長.

【詳解】⑴??,△D4E逆時針旋轉90。得到△DCM,

：.DE=DM,ZEDM=90°,

ZEDF+ZFDM=90°,

'：ZEDF=45°,

???ZFDM=ZEDM=45°,

'：DF=DF,

:?ADEFmADMF,

：.EF=MF

(2)設EF=x,

'：AE=CM=1,

BF=BM-MF=BM-EF=4-xf

;EB=2,

在放AM尸中，由勾股定理得石片+呂尸二石尸，

即22+(4-x)2=x2,

解得，

7.已知，如圖所示，正方形ABC。中，E,b分別在邊3C,CD上，且ZE4F=45。，AE,

AF分別交3D于"，G,連石尸，求證：

@DF+BE=EF?DG-+BH2=HG2.

【答案】見解析

【分析】①把△ABE逆時針旋轉90。得到△ADG,根據旋轉的性質可得BE=GD,AE=AG,

再根據NEAF=45。求出/FAG=45。，然后利用邊角邊定理證明△AEF與△AGF全等，根據

全等三角形對應邊相等可得EF=GF,即EF=GD+FD,即可證明EF=BE+DF；

②把△ADH繞點A順時針旋轉90。得到△ABN,連接GN,根據旋轉的性質得到

ZNAE=ZEAF,根據全等三角形的性質得到GH=GN,求得

ZNBG=ZABN+ZABG=45°+45°=90°,根據勾股定理得到BG2+HD2=GH2；

【詳解】①如圖，把△ABE逆時針旋轉90。得到△ADM,

M

ABE=MD,AE=AM,

?.,ZEAF=45°,

???ZFAM=90°-45o=45°,

ZEAF=ZFAM,

在△AEF和△AMF中，

AE=AM

<ZEAF=ZFAM,

AF=AF

.'.△AEF^AAMF(SAS),

.*.EF=MF,

即EF=MD+DF,

ABE+DF=EF；

②如圖，把AADH繞點A順時針旋轉90。得到△ABN,連接GN,

???BN=DH,AN=AH,ZBAN=ZDAH,NABN=NADH,

ZEAF=45°,

.,.ZNAE=ZBAN+ZBAE=ZDAH+ZBAE=ZBAD-ZEAF=90°-45o=45°,

/.ZNAE=ZEAF,

在^ANG和^AGH中，

AN=AH

<ZNAG=ZEAF,

AG=AG

/.△AGN^AAGH(SAS),

???GH=GN,

在正方形ABCD中，ZABE=ZADH=45°,

???ZNBG=ZABN+ZABG=45°+45°=90°,

.*.BG2+BN2=NG2,

即BG2+HD2=GH2.

【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質；熟練掌握正方形的性質是解

決問題的關鍵.

8.如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線BD上兩點，將，ADR繞點A順時針旋轉90。

后，得到一連接EM,AE,且使得NMAE=45。.

（1）求證：ME=EF；（2）求證：EF1=BE1+DF1.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【分析】（1）直接利用旋轉的性質證明△AME0ZXAFE（SAS）,即可得出答案;

（2）利用（1）中所證，再結合勾股定理即可得出答案.

【詳解】證明：（1）:將AD尸繞點A順時針旋轉90。后，得到

:.MB=DF,AM=AF,ZBAM=NDAF,

:.MA±AF,

ZMAE^45°,

ZE4F=45°,

:.ZMAE=ZFAE,

在^AME和AAFE中

AM=AF

<NMAE=ZFAE,

AE=AE

AME=AFE（SAS）,

.\ME=EF；

（2）由（1）得：ME=EFf

在RtMBE中，MB2+BE2=ME2,

又：MB=DF,

EF2=BE2+DF2.

【點睛】此題主要考查了旋轉的性質、全等三角形的判定和性質以及勾股定理等知識，正確

得出△AME^AAFE是解題關鍵.

9.已知：邊長為4的正方形ABC。，NE4尸的兩邊分別與射線CB、。。相交于點E、F,且

ZEAF=45°,連接EE求證：EF=BE+DF.

圖1圖2圖3

思路分析：

⑴如圖1,,正方形A8CD中，AB=AD,/BAD=/B=/ADC=90°,

...把△ABE繞點A逆時針旋轉90。至△AOE,則F、D、E在一條直線上,

ZE'AF=.度，

根據定理，可證：△AEF0ZVIET.

:.EF=BE+DF.

類比探究：

(2)如圖2,當點E在線段C8的延長線上，探究EF、BE、。尸之間存在的數量關系，并寫出

證明過程；

拓展應用：

(3)如圖3,在^ABC中，AB=AC,￡>、E在8C上，ZBAC=2ZDAE.若ABC=14,SAADE

=6,求線段80、DE、EC圍成的三角形的面積.

【答案】⑴45

(2)DF=BE+EF,證明見解析

(3)2

【分析】(1)把AABE繞點A逆時針旋轉90。至A4DE,則尸、。、廳在一條直線上，

MDE芻SBE,再證AE'F,得EF=EF,進而得出結論；

(2)將AABE繞點A逆時針旋轉90。得到A4DE,由旋轉的性質得AWE2A4BE,再證AAEF/

△AE'F,得EF=EF,進而得出結論；

(3)將AABD繞點A逆時針旋轉得到AACD',連接￡D"則AACD3AABD,得

因此SMBC=S四邊形￡A)，C￡>=14,同(2)得AADE^AAD'E,則DE=DE，DE=SAD'E=6，得BD、

DE、EC圍成的三角形面積=Sme,即可求解.

U)

解：如圖1,?.,正方形ABC。中，AB=AD,ZBAD=ZB=ZADC=90°,

：.把4ABE繞點A逆時針旋轉90。至AADE,

E'

圖1

則RD、￡在一條直線上，MDE'^AABE,

：.DE'=BE,ZDAE'=ZBAE,AE'=AE,

：.ZE'AE=ZEAD+ZDAE'=ZEAD+ZBAE=ZBAD=90°,

則ZEAF=ZE'AE-ZEAF=45°,

：.ZEAF^ZEAF,

/.^AEF^/\AE'F(SAS),

/.E'F=EF,

'：E'F=DE'+DF,

：.EF=BE+DF.

故答案為：45；

(2)

解：DF=BE+EF理由如下：

將4ABE繞點A逆時針旋轉90。得到△ADE^t,

圖2

.,.△ADE^AABE,

：.AE=AE',BE=DE',/DAE'=/BAE,

：.ZE'AE=ZBAE+ZE'AB=ZE'AD+Z.E'AB=ZBAD=90°,

則ZE'AF=ZE'AE-ZEAF=45°,

，ZEAF=ZEAF=45°,

在AAE尸和△AEN中，

'AE=AE'

<NE'AF=NEAF,

AF=AF

：.^AEF^^AE'F(SAS),

E'F=EF,

,/DF=DE'+E'F,

；.DF=BE+EF；

(3)

解：將△ABD繞點A逆時針旋轉得到AACD,,連接ED',

則4ACD'ABD,

:.CD,=BD,

,—<J—14

??OMac一。四邊形ACTco-if,

同(2)得：AADE絲AAD，E(SAS),

DE=D'E，S&ADE=S,毋￡=6，

:?BD、DE、EC圍成的三角形面積為CD、D'E,EC圍成的三角形面積

S&ED'C=S四邊舷urczi-ADE~SfjyE=2.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、旋轉的性質、正方形的性

質以及四邊形和三角形面積等知識，本題綜合性強，解此題的關鍵是根據旋轉的啟發正確作

出輔助線得出全等三角形，屬于中考常考題型.

10.如圖1,在菱形48C。中，AC=2,BD=25AC,8。相交于點。.

⑴求邊AB的長；

(2)求N8AC的度數；

(3)如圖2,將一個足夠大的直角三角板60。角的頂點放在菱形A8CD的頂點A處，繞點A左

右旋轉，其中三角板60。角的兩邊分別與邊8C,CD相交于點E,F,連接取.判斷AAEF

是哪一種特殊三角形，并說明理由.

【答案】(1)2；(2)60°；(3)見詳解

【分析】(由菱形的性質得出,根據勾股定理可得出答案；

1)OA=1,OB=A/3

(2)得出△ABC是等邊三角形即可；

(3)由△ABC和△ACD是等邊三角形，利用ASA可證得△ABE咨Z\ACF；可得AE=AF,

根據有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形推出即可.

【詳解】解：(1):四邊形ABCD是菱形，

/.AC±BD,

...△AOB為直角三角形，且OA=^AC=1,OB=-BD=y/3.

22

AB=yjo^+OB2=+詆2=2.

(2)?.?四邊形ABCD是菱形，

；.AB=BC,

由(1)得：AB=AC=BC=2,

/.△ABC為等邊三角形，

ZBAC=60°；

(3)△AEF是等邊三角形，

?.?由(1)知，菱形ABCD的邊長是2,AC=2,

.,.△ABC和八ACD是等邊三角形，

NBAC=NBAE+NCAE=60。，

,?ZEAF=ZCAF+ZCAE=60°,

ZBAE=ZCAF,

在4ABEAACF中，

ZBAE=ZCAF

<AB=AC

ZEBA=ZFCA

/.△ABE^AACF(ASA),

/.AE=AF,

ZEAF=60°,

/.△AEF是等邊三角形.

【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質以及圖形的

旋轉.解題的關鍵是熟練掌握菱形的性質.

11.(1)如圖1,在正方形A8CD中，E是A2上一點，G是上一點，ZECG=45°,求證

EG=BE+GD.

(2)請用(1)的經驗和知識完成此題:如圖2,在四邊形A8C￡>中,AG//BC(BC>AG),ZB=90°,

AB=BC=12,E是AB上一點，且/ECG=45。，BE=4,求EG的長？

【答案】(1)證明見解析；(2)EG=10.

【分析】(1)延長AD至E使DF=BE,連接CR根據正方形的性質，可直接證明

AEBC^/\FDC,從而得出NBCE=NDCF,根據/GCE=45。，得NGCF=NGCE=45。,利用

全等三角形的判定方法得出△ECG必FCG,即GE=GF,即可證出EG=BE+GD；

(2)過C作CDLAG,交AG延長線于。，則四邊形ABCD是正方形，設EG=_r,則AE=8,

根據（1）可得：AG=16-x,在直角△AGE中利用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖3所示，延長AO至尸，使DF=BE,連接CR

圖3

???四邊形ABCO是正方形，

:?BC=DC,ZABC^ZADC^ZBCD^90°,

'：ZCDF=1SO°-ZADC,

：.ZCDF=90°,

：.NABC=/CDF,

■:BE=DF,

:?△EBCm/\FDC,

：.ZBCE=ZDCF,EC=FC,

???ZECG=45°,

.?.ZBCE+ZGC￡>=90°-ZECG=90o-45o=45°,

???ZGCD+ZDCF=ZFCG=45°,

???ZECG=ZFCG.

■:GC=GC,EC=FC,

AAECG^AFCG,

：.EG=GF.

???GF=GD+DF=BE+GD,

；?EG=BE+GD.

(2)解：如圖4,過C作。OLAG,交AG延長線于。,

在直角梯形A8CG中,

\'AG.BC,ZA=ZB=90°,

XZCDA=90°,AB=BC,

...四邊形ABC。為正方形.

：.AD=AB=BC=12.

已知/ECG=45°,根據(1)可知，EG=BE+DG,

設EG=x,貝i|AG=AD-DG=AD-(EG-BE)=12-(x-4)=16-x,

；.AE=12-BE=12-4=8.

在RtXAEG中

?：EG2=AG2+AE2,

即(16-x)2+82,

解得:x=10.

.\EG=10.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質以及正方形的性質，注意每個題目之間的關系,

正確作出輔助線是解題的關鍵.

12.如圖，點E是正方形A8C。的邊上一點，連接。E,將。E繞著點E逆時針旋轉90°,

得到EG,過點G作GF_LCB,垂足為FGH±AB,垂足為H,連接。G,交AB于I.

⑴求證：GEF3EDC

(2)求證：四邊形8FG8是正方形;

(3)求證：ED平分NCEI

【答案】⑴見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)先證明/尸EG=/EOC,即可利用A4S證明全等；

(2)首先證明四邊形FBHG是矩形，再證明F8=FG即可解決問題；

(3)延長BC到J,使得CJ=A/.證明△/DEgZVDE(SAS)即可解決問題.

(1)

?四邊形A8CZ)是正方形，

:.BC=CD,ZDCE=ZABC=ZABF=90°,

VGF±CF,GHLAB,

：.ZF=ZGHB=ZFBH=90°,

???四邊形MHG是矩形，

■:ED=EG,NDEG=90。,

VZDEC+ZFEG=90°,ZDEC+ZEDC=90°,

：.NFEG=NEDC,

在△DCE和AE尸G中

ZF=ZDCE

<ZFEG=ZEDC

GE=DE

:?△DCE/AEFG(AAS)