專題18最值問題中的胡不歸模型

解決方案構(gòu)造射線4。使得sinN/MN=左，CH/AC=k,CH=kAC.

一、單選題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-爐+法+3的圖像與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C(3,0),

若尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為連接P。，則行PD+PC的最小值是()

32]-

A.4B.2+20C.2y/2D.—+—\/2

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=N-2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)8(0,

-3),若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。(0,1)在y軸上，連接PD,則0PO+PC的最小值是()

A.4B.2+20C.272D.|+172

二、填空題

3.如圖，矩形A3。中AB=3,BC=y[3,E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,則3AE+CE的最小值為

4.如圖，在"CE中，CA=CE,/C4E=30。，半徑為5的：。經(jīng)過點(diǎn)C,CE是圓。的切線，且圓的直

徑A3在線段AE上，設(shè)點(diǎn)。是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則8+gcD的最小值為.

5.如圖，AABC中，/BAC=15。,/ACB=60。，AC=4,則△ABC的面積為一；點(diǎn)。，點(diǎn)E,點(diǎn)尸分別為

BC,AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接。E,EF,FD,則△的周長最小值為一.

E

B

備用圖

6.如圖，正方形ABC。的邊長為4,點(diǎn)E為邊AO上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CO上，且線段￡尸=4,點(diǎn)G為

線段E尸的中點(diǎn)，連接BG、CG,則8G+[CG的最小值為

7.如圖，口ABCD中NA=60。，AB=6,AD=2,尸為邊CO上一點(diǎn)，則&PO+2PB的最小值為

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=分別交x軸、y軸于A、8兩點(diǎn)，若C為x軸上的一

動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為

9.如圖，在AA8C中，AB=AC=4,ZCAB=30°,AD1BC,垂足為。，P為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接

PB、PC.則PA+2PB的最小值為.

10.如圖，在邊長為4的正方形ABC。內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,且BP=&.連接CP,將線段PC繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到線段PQ.連接CQ、DQ,則goQ+CQ的最小值為一.

三、解答題

12.已知，在正方形ABC。中，點(diǎn)、E,尸分別為上的兩點(diǎn),連接BE、CF,并延長交于點(diǎn)G,連接。G,

H為CF上一點(diǎn),連接8H、DH,ZGBH+ZGED=90°

(1)如圖1,若以為CF的中點(diǎn)，且AF=2ZW,DH=

(2)如圖2,若BH=BC,過點(diǎn)8作由，C”于點(diǎn)/,求證：BI+—DG=CG;

2

(3)如圖2,在(1)的條件下，尸為線段AD(包含端點(diǎn)A、。)上一動(dòng)點(diǎn)，連接“，過點(diǎn)B作BQ，”于

點(diǎn)Q,將△BC。沿8C翻折得BCM,N為直線A2上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN,當(dāng)..BCM面積最大時(shí)，直接寫出

AN+MN的最小值.

2

45

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線丁=-7％-4分另U與％,y軸交于點(diǎn)A,B,拋物線y=區(qū)+。恰

318

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,6),將△ACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△￡<平,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E.

①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；

3

②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求二8尸+以取最小值時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo).

14.如圖1,拋物線,=辦2+(。+3卜+3(。片0)與x軸交于點(diǎn)4(4,0),與y軸交于點(diǎn)8,在無軸上有一動(dòng)點(diǎn)

E(/M,0)(0<m<4),過點(diǎn)E作無軸的垂線交直線A2于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作PMLAB于點(diǎn)M.

(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：

(2)設(shè)APMN的周長為G，AAEN的周長為C?,若才=二求相的值.

(3)如圖2,在(2)的條件下，將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE,旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<90°),連接EA、

2

E'B,求+的最小值.

15.如圖1,已知正方形ABC。,AB=4,以頂點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△跳戶繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，癡，

連接AE,CF.

(1)求證：4ABE咨ACBF.

(2)如圖2,連接。E,當(dāng)。E=8E時(shí)，求S.BCF的值.(S〃8CF表示△8CF的面積)

(3)如圖3,當(dāng)R3BEF旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD外部,且線段AE與線段CF存在交點(diǎn)G時(shí)，若M是CD的中點(diǎn)，

產(chǎn)是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)滿足亞MP+PG的值最小時(shí)，求的值.

16.如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、V軸的正半軸上，點(diǎn)5的坐標(biāo)為(273,4)，一次函數(shù)產(chǎn)一乎苫+6

的圖象與邊。C、AB.x軸分別交于點(diǎn)。、E、F,ND尸0=30,并且滿足OD=3E,點(diǎn)M是線段。尸上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求b的值；

(2)連接加，若AOL癡的面積與四邊形。3的面積之比為1:3,求點(diǎn)/的坐標(biāo)；

(3)求的最小值.

2

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=aN+b尤+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,。)，B(0,-/')，C(2,

0),其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)M為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱

形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD,求gPB+尸。的最小值.

每用圖

18.已知拋物線y=0+bx+c與無軸交于A(-1,0),B(5,0)兩點(diǎn)，C為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)

稱軸交x軸于點(diǎn)連接8C,且tan/CBog,如圖所示.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

①過點(diǎn)尸作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作所，PE交拋物線于點(diǎn)R連接EB、FC,求ABCF

的面積的最大值；

3

②連接尸8,求《PC+PB的最小值.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)、=依2(。＞。)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得

到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、5(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，OA=1,經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)

丁=辰+6/工。)的圖象與丁軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為。，AABD的面積為5.

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求AACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

3

(3)若點(diǎn)尸為x軸上任意一點(diǎn)，在⑵的結(jié)論下，求尸E的最小值.

20.已知拋物線〉=依2+法+。(。x0)過點(diǎn)41,0),8(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OC=3.

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)A作A"_L8C,垂足為求證：四邊形A。8M為正方形；

(3)點(diǎn)尸為拋物線在直線8c下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP3c面積最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(4)若點(diǎn)。為線段0C上的一動(dòng)點(diǎn)，問：AQ+；QC是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，

請說明理由.

T

21.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=一1/-"1了+后與x軸交于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的

33

左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

圖2

（1）求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連接AC,點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上（不與A、C重合）的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸OLAC交AC于點(diǎn)。，

PE±x軸交AC于點(diǎn)E,求PD+DE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2,將原拋物線沿射線CB方向平移3百個(gè)單位得到新拋物線V，點(diǎn)M為新拋物線y'對(duì)稱軸上一點(diǎn),

在新拋物線V上是否存在一點(diǎn)N,使以點(diǎn)C、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫

出點(diǎn)〃的坐標(biāo)，并選擇一個(gè)你喜歡的點(diǎn)寫出求解過程；若不存在，請說明理由.

k

22.如圖，已知拋物線y=3（尤+2）（x-4）（人為常數(shù)，且上＞0）與天軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn)，與

O

y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)B的直線y=與拋物線的另一交點(diǎn)為D.

3

（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若在第一象限的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A,B,P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求上的值；

（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段

AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止.當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)

是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少.

專題18最值問題中的胡不歸模型

解決方構(gòu)造射線AD使得sinNZMN=Ar,CH/AC=k,CH=kAC.

案

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)＞=-/+法+3的圖像與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與

x軸交于點(diǎn)C(3,0),若尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,-D,連接尸，則行PD+PC的

A.4B.2+2A/2C.2>/2D.—+-V2

【答案】A

【分析】過點(diǎn)P作/于J,過點(diǎn)。作?！?，水?于H,根據(jù)

42PD+PC=yf2PD+^PC^=42（PD+PJ）,求出DP+PJ的最小值即可解決問題.

【詳解】解：連接BC,過點(diǎn)尸作/VLBC于J,過點(diǎn)D作ZJHLBC于凡

.二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖像與x軸交于點(diǎn)C(3,0),

:.b=2,

二次函數(shù)的解析式為丁=-九2+2x+3,令y=0,-N+2X+3=0,

解得x=-1或3,

AA(-1,0),

令x=0,產(chǎn)3,

：.B(0,3),

???OB=OC=3,

VZBOC=90°,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

VZ)(0,-1),

AOD=\,80=4,

'：DH±BCf

：.ZDHB=90°,

設(shè)。H=無，則=

"：DH'BH?=BD?，

X2+X2=42,

**-X=2A/2，

???DH=2y/2，

?；PJ2CB,

???NPJC=90。,

???PJ=—PC,

2

y/2PD+PC=42PD+^PCJ=V2（PD+PJ）,

,?DP+PJ>DH,

DP+PJ22近，

：.DP+PJ的最小值為2近，

-J2PD+PC的最小值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短

等知識(shí)，得到/OBC=/OC3=45。，尸）=走尸（7是解題的關(guān)鍵.

2

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=N-2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)8（0,-3）,若P是無軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。（0,1）在y軸上，連接PD,則血尸。

+PC的最小值是（）

32

A.4B.2+2忘C.2夜D.-+-72

【答案】A

【分析】過點(diǎn)尸作PJ±BC于J,過點(diǎn)D作DHLBC于H.根據(jù)

RPD+PCfPD+^PC^=y/2（PD+PJ）,求出。尸+PJ的最小值即可解決問題.

【詳解】解：過點(diǎn)P作/VLBC于J,過點(diǎn)。作。于〃.

?.?二次函數(shù)y=/-2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)8（0,-3）,

.?.c=-3,

，二次函數(shù)的解析式為y=——2x-3,令y=0,x2-2x-3=0,

解得了=-1或3,

/.A(-1,0),B(0,-3),

???OB=OC=3,

*：ZBOC=90°,

：.ZOBC=ZOCB=45°f

,:D(0,1),

AOD=1,50=4,

VZ)H±BC,

/./DHB=90。,

設(shè)=光，貝=

DH2+BH2=BD1>

f+爐=42,

：?x=2垃,

?-DH=2y/2，

；PJ上CB,

：.NPJCN。。,

：.s/2PD+PC=y/2PD+^PCj=yf2（PD+PJ）,

'：DP+PJ>DH,

DP+PJ>2V2，

...OP+PJ的最小值為20，

加尸O+PC的最小值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

二、填空題

3.如圖，矩形A8CO中AB=3,BC=6,E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,則3AE+CE

的最小值為一.

D

【答案】3

【詳解】思路引領(lǐng)：在射線AB的下方作NM4B=30。，過點(diǎn)E作于T,過點(diǎn)C作

CHLAM于H.易證ET=1-AE,推出;AE+EC=CE+ET>CH,求出CH即可解決問題.

答案詳解：：四邊形ABC。是矩形，

：.ZB=90°,

?+/「同口CB百

..tanZCAB==——,

AB3

：.ZCAB=30°,

:.AC=2BC=26，

在射線AB的下方作/跖48=30。，過點(diǎn)E作￡T_LAM于T,過點(diǎn)C作于

?：ZCAH=60°,ZCHA=90°,AC=2也,

：.CH=AC'sin60=2括x#=3,

-AE+EC^CE+ET>CH,

2

：.-AE+EC>3,

2-

...JAE+EC的最小值為3,

故答案為3.

4.如圖，在△ACE中，CA^CE,NC4E=30。，半徑為5的。經(jīng)過點(diǎn)C,CE是圓。的

切線，且圓的直徑A3在線段AE上，設(shè)點(diǎn)。是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則

如+）。的最小值為一一—

【分析】過點(diǎn)C作關(guān)于AE的平行線，過點(diǎn)。作O"垂直于該平行線于可將gc。轉(zhuǎn)化

為DH,此時(shí)OO+gc。就等于OD+DH,當(dāng)OD”共線時(shí)，即為所要求的最小值.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作關(guān)于AE的平行線，過點(diǎn)。作。以垂直于該平行線于H,

CH//AB,NC4E=30。，OC=OA,

:.ZHCA=ZOCA=30°,

sinZHCD=—=~,NHCO=60°,

CD2

;.-CD=HD,

2

:.OD+~CD=OD+DH,

2

.當(dāng)。，D,H三點(diǎn)共線，即在圖中H在〃位置，。在。位置的時(shí)候有OD+D”最小,

，當(dāng)。，D,H三點(diǎn)共線時(shí)，OO+gc。有最小值，

此時(shí)OH'=OCxsinZHCO=OCxsin60°=5x—=—,

22

1CD的最小值為生叵，

22

故答案為攣.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關(guān)鍵是在于將;0D進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

5.如圖，△ABC中，/BAC=15。,NACB=60。，AC=4,則△ABC的面積為二點(diǎn)。，點(diǎn)

E,點(diǎn)尸分別為2C,AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接。E,EF,FD,則△。斯的周長最小值為一.

AA

備用圖

【答案】6+26372+76

【分析】(1)過點(diǎn)A作AH，BC于X,根據(jù)NA4c=75。，ZC=60°,即可得到

(2)過點(diǎn)B作A/LAC于J,作點(diǎn)尸關(guān)于43的對(duì)稱點(diǎn)M,點(diǎn)尸關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)M連接

BM,BN,BJ,MN,MN交AB于■EI交BC于D,此時(shí)△尸￡。的周長=MN的長，然后證

明ABA/N是等腰直角三角形，8M的值最小時(shí)，MN的值最小，再根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)

8廠與即重合時(shí)，的值最小，由此求解即可.

【詳解】解：①如圖，過點(diǎn)A作AHL8C于凡

/AHB=/AHC=90°,

'：ZBAC=15°,ZC=60°,

ZB=180°-ZBAC-NC=45°,/HAC=30°

：.BH=AH,HC=-AC=2

2

AH=yjAC2-HC2=2A/3

:.AH=BH=26,

：.BC=BH+CH=2^3+2,

：.SAABC^I>BC>AH=I?(26+2)，6=6+2g.

②如圖，過點(diǎn)B作R7LAC于J,作點(diǎn)/關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)跖點(diǎn)尸關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)N,

連接BN,BJ,MN,MN交AB于E,交BC于。，此時(shí)△的周長=m的長.

,:BF=BM=BM,ZABM=ZABJ,ZCBJ=ZCBN,

：.NMBN=2NABC=9。。,

叢BMN是等腰直角三角形，

...BA1的值最小時(shí)，MN的值最小，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)與重合時(shí)，2M的值最小，

?；BJ=2SAABCJ2+4g=3+6,

AC4

：.MN的最小值為&BJ=30+?,

4DEF的周長的最小值為3短+底.

故答案為：6+2g,3^+76.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性

質(zhì)與判定，垂線段最短，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

6.如圖，正方形A8CD的邊長為4,點(diǎn)E為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊C。上，且線段

EF=4,點(diǎn)G為線段EE的中點(diǎn)，連接8G、CG,則8G+/CG的最小值為.

【分析】因?yàn)椤=：Eb=2,所以G在以。為圓心，2為半徑圓上運(yùn)動(dòng)，取￡>/=1,可證

△GDI^/\CDG,從而得出G/=^CG,然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出2/是其最小值

在RtADE/中，G是EF的中點(diǎn),

：.DG^-EF=2,

2

...點(diǎn)G在以。為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

在CD上截取￡)/=1,連接G/,

,DI_DG_1

"DG-CD-2'

：.ZGDI=ZCDG,

：./\GDI^/\CDG,

.IGDI_i

,*CG-DG2)

/./G=-CG,

2

/.BG+-CG=BG+IG>BI,

2一

.?.當(dāng)8、G、/共線時(shí)，BG+；CG最小=8/,

在RtABC/中，CI=3,BC=4,

：.BI=5,

故答案是：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的

關(guān)鍵.

7.如圖，。ABCD中NA=60。，AB=6,AD=2,P為邊。上一點(diǎn)，則6尸。+2尸3的最

小值為.

【答案】66

【分析】作交的延長線于8，由直角三角形的性質(zhì)可得》尸=也。?，因此收

2

PD+2PB=2也DP+PB)=2(PH+PB),當(dāng)H、P、B三點(diǎn)共線時(shí)”尸+尸8有最小值，即右尸。十

■2

2PB有最小值，即可求解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)尸作PHLAZ),交AD的延長線于H,

H

「四邊形A3co是平行四邊形，

:.ABHCD,

：.ZA=ZPDH=6Q0

VPH±AD

：.NDPH=30。

DH=-PD,PH=sj3DH=—PD,

22

，下PD+2PB=2(#PD+PB)=2(PH+PB)

二當(dāng)點(diǎn)7/,點(diǎn)P,點(diǎn)3三點(diǎn)共線時(shí)，HP+PB有最小值，即退尸D+2PB有最小值，

此時(shí)BHYAH,ZABH=30。，ZA=60°,

.'.AH=^AB=3,BH=6AH=36

則43PD+2PB最小值為6A/3,

故答案為：6幣.

【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知

識(shí).構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)＞=［》-若分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn),若

C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為.

【答案】6

【分析】先求出點(diǎn)4點(diǎn)8坐標(biāo)，由勾股定理可求的長，作點(diǎn)8關(guān)于0A的對(duì)稱點(diǎn)8'，

可證AA班'是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得C”=3AC,則

2BC+AC=2（B,C+CH）,即當(dāng)點(diǎn)〃，點(diǎn)C,點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，"C+CH有最小值，即2BC

+AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：???一次函數(shù)y=?x-6分別交x軸、y軸于A、8兩點(diǎn)，

二點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)網(wǎng)0,-若卜

：.AO=3,BO=y/3,

?*-AB=VOA2+OB2=^32+(V3)2=2百,

作點(diǎn)2關(guān)于。4的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB',B'C,過點(diǎn)C作SLAB于如圖所示:

OB=OB'=43,

：.BB'=273,AB=AB'=2百

**?\ABBr是等邊三角形，

?.*AO±BBr,

：.ZBAO^-ZBAB'=30°,

2

VCH±AB,

：,CH=-AC,

2

：.2BC+AC=2^BC+^AC^=2(B'C+CH),

當(dāng)點(diǎn)2',點(diǎn)C,點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，3'C+S有最小值，即2BC+AC有最小值,

此時(shí)，B'H±AB,AAB?是等邊三角形，

:.BH=AH=6々37/=30。，

B'H=^B'^-AH2=J(2商一(周=3,

...2BC+AC的最小值為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角

形的性質(zhì)，確定點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在AABC中，AB=AC=4,ZCAB=30°,AD±BC,垂足為。，P為線段上

的一動(dòng)點(diǎn)，連接尸8、PC.則B4+2P8的最小值為.

【答案】472

【分析】在NBAC的外部作NCA￡=15。，作燈」AE于憶交AD于P,止匕時(shí)加+2尸2=2

^PA+PB^=^PF+PB)=2BF,通過解直角三角形進(jìn)一步求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖，

A

在NBAC的外部作NCAE=15。，作即tLAE于R交于尸，

此時(shí)B4+2P8最小，

ZAFB=90°

'：AB=AC,ADLBC,

：.ZCAD=ZBAD=-ZBAC=-x3O°=15°,

22

：.ZEAD=ZCAE+ZCAD=3Q°,

：.PF=-PA,

2

PA+2PB=2^PA+PB^=^(PF+PB)=2BF,

在RtAABF中，AB=4,ZBAF=ZBAC+ZCAE=45°,

：.BF=AB?sin45°=4x也=272,

2

(B4+2PB)最大=2BF=，

故答案為：472.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線.

10.如圖，在邊長為4的正方形A8CD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,且8尸=血.連接CP,將線段PC

繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸。.連接C。、DQ,則goQ+CQ的最小值為

【答案】5

【分析】連接AC、AQ,先證明△BCPS/XAC。得皆=*即AQ=2,在AD上取AE=1,

證明△QAESZXQAQ得EQ=T。。，故TOQ+CQ=EQ+CQNCE,求出CE即可.

【詳解】解：如圖，連接AC、AQ,

?：四邊形A2CO是正方形，PC繞點(diǎn)、尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PQ,

：.ZACB=ZPCQ^45°,

：.ZBCP=ZACQ,cosZACB=—=^,cosZPCQ=—=—,

AC2QC2

：.ZACB=ZPC0,

:.叢BCPs叢ACQ,

.AQ及

??---=---

BP2

,:BP=C，

：.AQ=2,

在以A為圓心，AQ為半徑的圓上,

在AD上取AE=1,

.w些」

ZQAE=ZDAQ,

■AQ~2'而一/，

：./\QAE^/\DAQ,

EQ1I

QD2。2。

^DQ+CQ^EQ+CQ>CE,

連接CE,

CE=y/DE2+CD2=5-

.??3OQ+CQ的最小值為5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù),

解題的關(guān)鍵在于能夠連接AC、AQ,證明兩對(duì)相似三角形求解.

三、解答題

11.NAO8=30。，0M=2,。為0B上動(dòng)點(diǎn)、,求+的最小值.

【詳解】思路引領(lǐng)：（胡不歸經(jīng)典）作/8ON=/AOB=30。，過點(diǎn)M作MC_L0N于點(diǎn)C,交

。8于點(diǎn)。'，當(dāng)MC_LON時(shí)，（此時(shí)點(diǎn)。即為點(diǎn)。）+的值最小，最小

值是CM的長，

答案詳解：如圖，

作/BON=ZAOB=30°,過點(diǎn)M作MC_L0N于點(diǎn)C,交0B于點(diǎn)D',

所以當(dāng)MCL0N時(shí)，（此時(shí)點(diǎn)。即為點(diǎn)。）

MD+LOZ)=M￡)+C。的值最小，最小值是CM的長,

2

/.在RSOCM中，ZOMC=30°，OA/=2

；.OC=1,

：.CM=43.

答：AW+；。。的最小值為后.

12.已知，在正方形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別為上的兩點(diǎn)，連接BE、CF,并延長交于

點(diǎn)G,連接。G,H為CF上一點(diǎn)，連接8”、DH,ZGBH+ZGED=90°

(1)如圖1,若》為b的中點(diǎn)，且瓶=2DF,DH=—,求線段A3的長；

2

(2)如圖2,若BH=BC,過點(diǎn)8作3/LC”于點(diǎn)/,求證：BI+~DG=CG;

2

(3)如圖2,在(1)的條件下，P為線段AD(包含端點(diǎn)A、D)上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,過點(diǎn)8

作于點(diǎn)°,將△BC。沿BC翻折得,BCM,N為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN,當(dāng)

3cM面積最大時(shí)，直接寫出走AN+MV的最小值.

2

【答案】⑴3

(2)見解析

⑶3亞

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得

FC=2DH=Vi0,設(shè)正方形的邊長為3x,AF=2DF,可得FD=x,在Rt_FDC中，根據(jù)

勾股定理建立方程，即可求解；

(2)過點(diǎn)。作DMLGC于點(diǎn)證明aG3/是等腰直角三角形，^BIC^CMD,進(jìn)而證

明AGMD是等腰直角三角形，根據(jù)GC=G/+/C=3/+=8/+走GO即可得證；

2

(3)取BC的中點(diǎn)S,連接SM,連接PN,以PN為底邊，在PN的左側(cè)作等腰直角三角形

13

TPN,根據(jù)直角三角形中斜邊上的中點(diǎn)等于斜邊的一半可得=則當(dāng)

時(shí)，BCK的面積最大，由力V+MN=42AN+MNN7M,可得當(dāng)T,N,"三點(diǎn)共線時(shí)，

2

—AN+MN取得最小值，證明四邊形ATMC是矩形，可得7加=AC=3?，即走AN+

22

的最小值為3亞.

(1)

解：：四邊形A3CD是正方形，

/.ZADC=90°,AB=AD=DC,

以為CF的中點(diǎn)，DH=—,

2

FC=2DH=Vio,

設(shè)正方形的邊長為3尤，AF=2DF,可得FD=x,

在RtFDC中，F(xiàn)D2+DC2=FC2,

即(3x『=io,

解得x=l，

AB=3x=3；

(2)

如圖，過點(diǎn)。作DMLGC于點(diǎn)M,

ZAEB=/GED,/GBH+NGED=90。,

ZAEB-^ZABE=90°,

ZABE=ZGBH=-ZABH,

2

BH=BC,BI1CH,

：.ZHBI=ZCBI=-/HBC,

2

ZABC=90°,

/.ZGBI=ZGBH+ZHBI=-ZABH+-/HBC=-ZABC=45°,

222

是等腰直角三角形，

/.GI=BI,

ABIC=ACMD=90°,ZICB=90°-ZDCM=ZCDM,BC=DC,

:._BI8_CMD,

:.MD=IC,MC=BI,

,\GM=GC-CM=GC-BI=GC-GI=ICf

..GM=MD,

.'GMO是等腰直角三角形，

:.MD=—GD,

2

GC=GI+IC=BI+MD=BI+—GD,

2

SPB/+—DG=CG；

2

(3)

如圖甲所示，取8C的中點(diǎn)S,連接SM,連接PN,以PN為底邊,在PN的左側(cè)作等腰直

角三角形7PN,

:.TN=—PN,

2

BQ1PC,

△BCQ是直角三角形，

將XBCQ沿BC翻折得_BCM,

即紇是直角三角形，

13

:.SM=-BC=-,

22

當(dāng)SML3C時(shí)，的面積最大，

S是BC的中點(diǎn)，

3MC是等腰直角三角形，

則,8QC也是等腰直角三角形，

CQ=BQ=^BC=；AC,

此時(shí)如圖乙所示，則點(diǎn)尸與A重合，

TN+MN=—AN+MN>TM,

2

，T,N,M三點(diǎn)共線時(shí)，走AN+MN取得最小值，

2

Z.PCM=ZACB+Z.BCM=90°,

ZBMC=90°,Z.TAC=ZTAB+ABAC=90°,

則四邊形A770C是矩形，

:.TM=AC=3貶,

即乎AN+MN的最小值為3萬.

圖甲圖乙

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，兩點(diǎn)

之間線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

4

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=分另IJ與羽y軸交于點(diǎn)A,B,拋物線

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,6),將△ACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ECF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

是點(diǎn)E.

①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；

3

②若點(diǎn)尸是y軸上的任一點(diǎn)，求+“取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)丫=2/-；尤-4

loZ

3

(2)①點(diǎn)E在拋物線上；②P(0,--)

【分析】(1)先求出A、8坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

(2)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出EF=A0=3,CF=CO=6,從而可求E的坐標(biāo)，然后把E的坐標(biāo)

代入(1)的函數(shù)解析式中，從而判斷出點(diǎn)E是否在拋物線上；

AnHP33

②過點(diǎn)石作E“，AS交y軸于尸，垂足為“，sinZABO=——=—=-,貝ijH尸=—

ABBP55

3

得嚴(yán)+EP=HP+PE,可知HP+PE的最小值為EH的長，從而解決問題.

(1)

解：當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，產(chǎn)-4,

4

當(dāng)y=0時(shí)，一］兀一4=0,

.*.x=-3,

???A(-3,0),B(0,-4),

把A、5代入拋物線丁二三/+人工+C,

18

f5

,—X(-3)92-3Z?+C=O

得18,

c=-4

???拋物線解析式為y=工尤

Io2

(2)

解：①(-3,0),C(0,6),

.'.A0=3,CO=6,

由旋轉(zhuǎn)知：EF=AO=3,CF=CO=6,ZFCO=90°

至Ux軸的距離為6-3=3,

二點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6,3),

當(dāng)x=3時(shí)，y=—x62--x6-4=3,

182

...點(diǎn)E在拋物線上；

②過點(diǎn)E作即，A2,交y軸于尸，垂足為H,

VA(-3,0),B(0,-4),

：.OA=3,OB=4,

\AB=5,

HPJi

sinZABO=—

ABBP~5

3

\HP=-BP,

3

\-BP+EP=HP+PE,

5

??.HP+PE的最小值為EH的長,

作EGLy軸于G,

?：/GEP=/ABO,

\tanZGEP=tanZABO,

PGAO

~EG~~BO

PG3

~6~~4,

9

??PG=-,

2

93

.OP=--3=-

2

3

,?尸(0,——).

2

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角

3

函數(shù)，兩點(diǎn)之間、線段最短等知識(shí)，利用三角函數(shù)將二8尸轉(zhuǎn)化為HP的長是解題的關(guān)鍵.

14.如圖1,拋物線丁=冰2+(〃+3卜+3(。。0)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,在

x軸上有一動(dòng)點(diǎn)磯引0)(0<m<4),過點(diǎn)E作l軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N,交拋物線于

點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)

(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：

⑵設(shè)△尸的周長為C],的周長為g，若才求機(jī)的值.

⑶如圖2,在(2)的條件下,將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE,旋轉(zhuǎn)角為。(0。vav90。),

2

連接EU、EB,求￡/+§石右的最小值.

33

【答案】直線A3解析式為產(chǎn)-=x+3；

44

(2)2

(3)亞

【分析】(1)令產(chǎn)0,求出拋物線與無軸交點(diǎn)，列出方程即可求出。，根據(jù)待定系數(shù)法可以

確定直線解析式；

(2)由APNMsAANE,推出N=列出方程即可解決問題；

AN5

49

(3)在y軸上取一點(diǎn)M使得。必=工，構(gòu)造相似三角形，可以證明AM就是E'A+-E'B的

最小值.

(1)

令產(chǎn)0,則加+(。+3)x+3=0,

(x+1)(ox+3)=0,

..x--\或,

a

;拋物線產(chǎn)加+(q+3)x+3(。邦)與1軸交于點(diǎn)A(4,0),

.?.-3=4,

a

,3

..a=--.

4

VA(4,0),B(0,3),

(b=3

設(shè)直線AB解析式為產(chǎn)區(qū)+。，貝IJ-7，

[4左+Q0n

f,3

解得，4,

b=3

3

直線AB解析式為y=--x+3；

(2)

如圖1,

圖1

VPM±AB,PELOA,

：.ZPMN=ZAEN,

???/PNM=/ANE,

:?叢PNMS/\ANE,

??G=9

,C25

.PN_6

??—―，

AN5

,:NE〃OB,

.ANAE

**AB-04)

AN=?(4—附，

4

3o

;拋物線解析式為y=-4x2+：x+3,

44

3933

PN=——m2+—m+3-(——m+3)=——m2+3m,

4444

32

——m+3m(

.4_6

??------------——,

彳(4一機(jī))5

解得m=2或4,

經(jīng)檢驗(yàn)了=4是分式方程的增根，

m=2；

(3)

4

如圖2,在y軸上取一點(diǎn)財(cái)使得。的=],連接A的，在W上取一點(diǎn)E使得。￡=0E.

OE'-=OM'-OB,

.OE'OB

"OM'~OE'

；ZBOE'=ZM'OE',

.ME'OE'2

2

，M'E'=-BE',

3

22

/.AE'+-BE'=AE'+E'M'=AM',此時(shí)AE'+§8E'最小(兩點(diǎn)間線段最短，A、M\￡共

線時(shí))，

最小值=AM'=業(yè)+=生暑.

【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、最小值

問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，找到線段AM'就是4￡+:8石'的最小值.

15.如圖1,已知正方形ABC。，48=4,以頂點(diǎn)8為直角頂點(diǎn)的等腰RtABEF繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，

BE=BF=M,連接AE,CF.

D________CD.___________C入—___C

(1)求證：AABE出ACBF.

(2)如圖2,連接。E,當(dāng)時(shí)，求LBCT的值.(必8。尸表示△8CF的面積)

(3)如圖3,當(dāng)RtABEF旋轉(zhuǎn)到正方形ABC。外部，且線段AE與線段CF存在交點(diǎn)G時(shí)，若

M是C。的中點(diǎn)，尸是線段。G上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)滿足0Mp+PG的值最小時(shí)，求的值.

【答案】⑴見解析

(2)2或6

(3)加了

【分析】(1)由“SAS”可證△ABEgACBF；

(2)由“SSS'可證△ADE四△ABE,可得/ZME=/R4E=45。，可證由勾股定理

可求2E的長，即可求解；

（3）先確定點(diǎn)尸的位置，過點(diǎn)2作BQLCF于。，由勾股定理可求CE的長，由平行線分

線段成比例可求解.

(1)

證明：?.,四邊形ABCD是正方形，

C.AB^BC,/A2C=90°,

'：ZEBF=9Q°=ZABC,

NABE=NCBF,

又；BE=BF,AB=BC,

在△人^后和4C8尸中，

AB=CB

<ZABE=ZCBF,

BE=BF

:.AABE烏ACBF(SAS)；

(2)

解：如圖2,過點(diǎn)E作于H,

：.SAABE=SACBF,

'SAD^AB,AE^AE,DE=BE,

：.AADE^/\ABE(SSS),

：.ZDAE=ZBAE=45°,

；EH_LAB,

：.ZEAB=ZAEH=45°,

：.AH=EH,

\'BE2=BH2+EH2,

：.10=EH2+(4-EH)2,

或3,

當(dāng)EH=1時(shí)

SAABE=SABCF=yABxEH=《x4x1=2,

當(dāng)EH=3時(shí)

???SAABE=SABCF=gABxEH=x4x3=6,