第02講整式［3大考點13大題型】

【題型1實際問題中的代數式】

1.（2024中考?湖北宜昌?中考真題）從前，古希臘一位莊園主把一塊邊長為a米（a＞6）的正方形土地租

給租戶張老漢.第二年，他對張老漢說："我把這塊地的一邊增加6米，相鄰的另一邊減少6米，變成矩形

土地繼續租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？"如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會（）

A.沒有變化B.變大了C.變小了D.無法確定

2.（2024中考?浙江臺州?中考真題）將x克含糖10%的糖水與了克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含

糖（）

A.20%B.100%C.100%D.100%

3.（2024中考?浙江金華?中考真題）某超市出售一商品，有如下四種在原標價基礎上調價的方案，其中調

價后售價最低的是（）

A.先打九五折，再打九五折B.先提價50%,再打六折

C.先提價30%,再降價30%D.先提價25%,再降價25%

4.（2024中考?吉林?中考真題）籃球隊要購買10個籃球，每個籃球M元，一共需要元.（用含m

的代數式表示）

5.（2024中考?重慶?中考真題）某銷售商五月份銷售N、B、C三種飲料的數量之比為3：2：4,4、B、C

三種飲料的單價之比為1：2：1.六月份該銷售商加大了宣傳力度，并根據季節對三種飲料的價格作了適當

的調整，預計六月份三種飲料的銷售總額將比五月份有所增加，A飲料增加的銷售占六月份銷售總額的2，

B、C飲料增加的銷售額之比為2：1.六月份/飲料單價上調20%且N飲料的銷售額與8飲料的銷售額之

比為2：3,則/飲料五月份的銷售數量與六月份預計的銷售數量之比為.

【題型2求代數式的值】

1.（2024中考?湖北鄂州?中考真題）已知不等式組｛二7宗的解集是一1＜久＜1，則（口+6嚴3=（

A.0B.-1C.1D.2023

2.（2024中考?安徽蕪湖?中考真題）若|ni-3|+|九+2|=0,則?n+2n的值為（）

A.-4B.-1C.0D.4

3.（2024中考,四川雅安?中考真題）在平面直角坐標系中，點（4+2,2）關于原點的對稱點為（4,-b）,

則ab的值為（）

A.-4B.4C.12D.-12

432234

4.（2024中考?貴州六盤水?中考真題）已知Q+y）4=arx+a2xy+a3xy+a4xy+a5y,則由+a2+

。3+44+￡15的值是（）

A.4B.8C.16D.12

5.（2024中考?內蒙古赤峰?中考真題）已知（％+2）（x—2）-2%=1,貝!J2/—4K+3的值為（）

A.13B.8C.-3D.5

6.（2024中考?山東煙臺?中考真題）按如圖所示的程序計算函數y的值，若輸入的x值為-3,則輸出y的

結果為.

7.（2024中考?山東煙臺?中考真題）若一元二次方程2久2—4乂-1=0的兩根為m,n,則3機2-4根4-7』的值

為.

【題型3與代數式有關的規律探究】

1.（2024中考?廣東廣州?中考真題）如圖，用若干根相同的小木棒拼成圖形，拼第1個圖形需要6根小木

棒，拼第2個圖形需要14根小木棒，拼第3個圖形需要22根小木棒......若按照這樣的方法拼成的第n個圖

形需要2022根小木棒，則n的值為（）

第1個圖形第2個圖形第3個圖形

A.252B.253C.336D.337

2.（2024中考,新疆?中考真題）將全體正偶數排成一個三角形數陣:

2

46

81012

14161820

2224262830

■?????

按照以上排列的規律，第10行第5個數是（）

A.98B.100C.102D.104

3.（2024中考?山東聊城?中考真題）人行道用同樣大小的灰、白兩種不同顏色的小正方形地磚鋪設而成,

如圖中的每一個小正方形表示一塊地磚.如果按圖①②③…的次序鋪設地磚，把第n個圖形用圖髓表示,

那么圖中的白色小正方形地磚的塊數是（）.

A.150B.200C.355D.505

4.（2024中考?內蒙古呼和浩特?中考真題）如圖，下列圖案均是長度相同的火柴按一定的規律拼搭而成:

第1個圖案需7根火柴，第2個圖案需13根火柴，…，依此規律，第11個圖案需（）根火柴.

第1個第2個第3個第4個

A.156B.157158D.159

5.（2024中考?江蘇徐州?中考真題）如圖，四邊形ZBCD與力EGF均為矩形，點E尸分別在線段4B/D上.若

BE=FD=2cm,矩形4EGF的周長為20cm,則圖中陰影部分的面積為cm.

6.（2024中考?山東濰坊?中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，曲線遇?…是由一段段9。度

的弧組成的.其中：的圓心為點A,半徑為4D；

不瓦的圓心為點B,半徑為B①；

國7的圓心為點C,半徑為CBi；

27員的圓心為點D,半徑為DC1；...

D&,五耳，甌…的圓心依次按點A,B,C,D循環.若正方形4BCD的邊長為1,則通荷瓦詼的長

是.

7.（2024中考?安徽?中考真題）【觀察思考】

◎

◎

◎◎*◎◎**?

◎◎*◎◎**◎◎***◎

◎*◎*◎◎*◎*◎*◎◎*◎*◎*◎*◎

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

【規律發現】

請用含兀的式子填空：

⑴第九個圖案中"◎"的個數為_；

（2）第1個圖案中“★”的個數可表示為黃，第2個圖案中"★"的個數可表示為詈，第3個圖案中“★”的個數可表

示為罷，第4個圖案中"★"的個數可表示為等，……，第n個圖案中"★"的個數可表示為

【規律應用】

⑶結合圖案中"★"的排列方式及上述規律，求正整數n,使得連續的正整數之和1+2+3+-+n等于第n個

圖案中"◎”的個數的2倍.

考點二I整式及其運算

【題型4整式的相關概念】

1.（2024中考?海南?中考真題）下列整式中，是二次單項式的是（）

A.%2+1B.xyc.x2yD.-3x

2.（2024中考?云南?中考真題）按一定規律排列的單項式：x,3x2,5x3,lx4,9x5,，第"個單項式是

（）

A.（2n-l）xnB.（2?+l）xnC.（?-l）xnD.（n+l）xn

3.（2024中考?四川綿陽?中考真題）若多項式町皿一面+（n—2）久2y2+i是關于x,y的三次多項式，則

mn=.

【題型5整式的加減與塞的運算】

1.（2024中考?浙江?中考真題）下列計算正確的是（）

A一6n6.2_3r'2x3-6卜3?2_5

A.ci,ci-ciB.ci~ci-ciC.（—ci）——ciD.a+a—a

2.（2024中考?青海?中考真題）計算12久-20%的結果是（）

A.8xB.-8%C.-8D.%2

3.（2024中考?四川廣元?中考真題）如果單項式--巧？與單項式2/y2f的和仍是一個單項式，則在平面

直角坐標系中點（以死）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（2024中考?山西?中考真題）下列各式中，運算結果為6m4的是（）

A.3m+3m3B.（-3m2）2C.12m52mD.-2m3-3m

5.（2024中考?四川成都,中考真題）下列計算正確的是（）

A.（3x）2=3/B.3x+3y=6xy

C.（x+y）2=/+y2D.（%+2）（x-2）=x2-4

【題型6整式的乘除】

1.（2024中考?山東青島?中考真題）計算：8dy+（2x）2=.

1

2.（2024?江蘇蘇州?一模）已知%2-4%+1=。，則％2+2的值是.

3.（2024?浙江杭州?模擬預測）計算：（5%3y2-4盯2+3%）+（-3%）=.

4.（2024?吉林?一模）若3,+依2+4被3支一1除后余3,貝妹的值為.

5.（2024中考.江蘇南京?中考真題）+|+1+1+

（I+1+Z+1）的結果是------

6.（2024中考?江蘇鹽城?中考真題）如圖，正方形卡片4類，B類和長方形卡片C類若干張，如果要拼一個

長為（a+2b），寬為（a+6）的大長方形，則需要。類卡片張.

【題型7乘法公式的應用】

1.（2024中考,四川廣元?中考真題）如圖①，在△2BC中，N4C8=90。，點P從點/出發沿/玲Cf8以

lcm/s的速度勻速運動至點8,圖②是點P運動時，AABP的面積?（cn?）隨時間x（s）變化的函數圖象，

則該三角形的斜邊AB的長為（）

A.5B.7C.3近D.2百

2

2.（2024中考?江蘇南通?中考真題）已知實數m,n滿足+n=2+mn,則（2m-3n）2+（m+2n）（m-2n）

的最大值為（）

4416“

A.24B.yC.yD.-4

3.（2024中考?四川南充?中考真題）已知a>6>0,且a2+62=3a6,則&+/+?_*）的值是（）

A.V5B.-V5C.當D.普

222（

4.（2024中考?江蘇泰州?中考真題）已知。=2血一根九力=71m-2/1=租一九7n士九）用〃〈〃表示仄c

的大小關系為.

5.（2024中考,廣東?中考真題）若無+工=”且0<久<1,則必―1=.

6.（2024中考?浙江杭州?中考真題）設M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=l,N=2,則尸=.

7.（2024中考?四川內江?中考真題）若代數式/-6%+b可化為（久-砌2-1,貝必-a的值是.

8.（2024中考?湖南張家界?中考真題）閱讀下面材料：

將邊長分別為a,a+VF，a+2近,a+3立的正方形面積分別記為Si，S?,S3，S4-

則S2-Si=（a+VK）—a2

=[（a+VF）+a]-[（a+Vb）—a]

=（2a+Vb）-VF

=b+2aVb

例如：當a=l,b=3時，S2-51=3+2行

根據以上材料解答下列問題：

（1）當a=1,b=3時，S3—$2="S4—S3=;

（2）當a=l,6=3時，把邊長為a+n互的正方形面積記作Sn+「其中"是正整數，從（1）中的計算結果，

你能猜出又+i-Sn等于多少嗎？并證明你的猜想；

（3）當a=1,b—3時?令t[=52-S、,t2=S3一52，:%=S4—S3'…'tn—Sn+i—Sn,且T=11+12+打”+

t50-求T的值.

9.（2024中考?河北?中考真題）現有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示（a>1）.某

同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形（不重疊無縫隙），如圖2和圖3,其面積分別為Si，S2.

圖1

乙乙乙乙乙丙

圖2圖3

⑴請用含a的式子分別表示S],52；當a=2時，求Si+52的值;

⑵比較Si與52的大小，并說明理由.

【題型8化簡求值】

1.（2024中考?吉林長春?中考真題）先化簡，再求值：（a-3）2+2（3a一1）,其中a=VL

2.（2024中考?四川涼山?中考真題）先化簡，再求值：（a+3）2-（a+l）（a-l）-2（2a+4）,其中a=—《

3.（2024中考?湖南邵陽?中考真題）先化簡，再求值：（a-2b）（a+2b）(a-2b)2+8b2,其中a=-2,

b4-

4.（2024中考?湖南婁底?中考真題）先化簡，再求值:

（a+6）（a—坊+9一4―Ra?—ab）,其中a,6是一元二次方程/+x—2=0的兩個實數根.

5.（2024中考?湖南長沙?中考真題）先化簡,再求值：（x+y）（%_y）T（x+y）+2xy,其中尤=（3—兀）°,y=2.

6.（2024中考?湖北隨州?中考真題）先化簡，再求值：（2+a）（2-a）+a（a—5b）+3a5b3-（—a2b）2,其中

ab=~.

7.（2024中考?北京?中考真題）已知2a2+34-6=0.求代數式3a（2a+l）—（2a+l）（2a-l）的值.

【題型9用圖形面積驗證乘法公式】

1.（2024中考?四川攀枝花?中考真題）我們可以利用圖形中的面積關系來解釋很多代數恒等式.給出以下4

組圖形及相應的代數恒等式:

②(a-b)2=a^—lab+b2

③(a+()(a—b)

④(a—爐=(a+b)2-4ab

其中，圖形的面積關系能正確解釋相應的代數恒等式的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2024中考?四川資陽?中考真題）4張長為°、寬為6（a>b）的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長

為（a+b）的正方形，圖中空白部分的面積為Si，陰影部分的面積為若SI=2S2,則。、6滿足（）

A.2a=5bB.2a=3bC.a=3bD.a=2b

3.（2024中考,四川眉山,中考真題）如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家

趙爽的“弦圖"，是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現

將這四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

4.（2024中考?湖北孝感,中考真題）如圖所示，圖1是一個邊長為a的正方形剪去一個邊長為1的小正方

形，圖2,是一個邊長為（a-1）的正方形，記圖1,圖2中陰影部分的面積分別為Si，S2，則尚可化簡為—.

5.（2024中考?浙江寧波,中考真題）一個大正方形和四個全等的小正方形按圖①、②兩種方式擺放，則

圖②的大正方形中未被小正方形覆蓋部分的面積是（用°、6的代數式表示）.

①②

6.（2024中考?浙江衢州?中考真題）如圖，從邊長為Q+3）的正方形紙片中剪去一個邊長為3的正方形,

剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖所示的長方形（不重疊無縫隙），則拼成的長方形的另一邊長是.

7.（2024中考?河北?中考真題）現有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖）.

（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為;

（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片

塊.

8.（2024?吉林長春?一模）【教材呈現】下圖是華師版八年級下冊數學教材第121頁的部分內容.如圖,

在正方形力BCD中，CE1DF.

⑴求證:CE=DF.

⑵【結論應用】如圖②，設CE,相交于點G,若2B=3,圖中陰影部分的面積和與正方形力BCD的面積

之比為2:3,則△DCG的面積為，CG+DG的長為

圖②

9.（2024?浙江杭州?模擬預測）（1）①如圖1,從動長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形,

設圖1中的陰影部分面積為s,貝卜=（用含a,b代數式表示）

②若把圖1中的圖形，沿著線段4B剪開（如圖2）,把剪成的兩張紙片拼成如圖3的長方形，請寫出上述

過程你所發現的乘法公式.

（2）下列紙片中有兩張是邊長為a的正方形，三張是長為a,寬為b的長方形紙片，一張是邊長為b的正

方形紙片，你能否將這些紙片拼成一個長方形，請你畫出草圖，并寫出相應的等式.

考點三、因式分解

【題型10提公因式法因式分解】

1.（2024?廣東佛山?一模）將ma+mb+nw因式分解的結果是（）

A.mabcB.m（a+b+c）C.m（a+b）+meD.abc

2.（2024中考?浙江?中考真題）因式分解：az-7a=

3.（2024?安徽?模擬預測）已知實數a,b,滿足a-力=6,ab=-8,貝！jYb-q//的值為

4.（2024,湖南長沙?模擬預測）已知（久+3）（%—2）+%（無—2）可因式分解成①久+6）（2久+c）,其中a,b,c

均為整數，求的值.

5.（2024?浙江寧波?模擬預測）用兩種不同的方法計算：（a+2猿-a（a+2>（方法一：運用完全平方公

式計算；方法二：運用因式分解計算，兩種方法都須做）

【題型11直接運用公式法因式分解】

1.（2024中考?廣西柳州,中考真題）下列多項式中，能用平方差公式進行因式分解的是（）

A.a2-b2B.-a2-b2C.a2+b2D.a2+2ab+b2

2.（2024中考?四川涼山?中考真題）已知&2-y=12,且a—b=—2,則a+6=.

3.（2024中考?浙江杭州?中考真題）若整式*2+小、2（6為常數，且小中。）能在有理數范圍內分解因式，

則小的值可以是（寫一個即可）.

4.（2024中考?浙江麗水?中考真題）如圖，標號為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形PQMN,已

知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個矩形的面積都是5.4E==6,且a>b.

①

P

0

③

④

X

XI

②

B

（1）若a,6是整數，貝葉Q的長是；

（2）若代數式。2-2就-反的值為零，則尹竺生的值是

5.（2024中考,安徽?中考真題）觀察以下等式：

第1個等式：（2X1+1）2=（2X2+1猿一（2X2產

第2個等式：（2x2+1）2=（3x4+1）2-（3X4猿，

第3個等式：（2x3+I?=（4x6+1）2-（4x6）2,

第4個等式：（2X4+1猿=（5X8+1）2-（5X8產

按照以上規律.解決下列問題：

⑴寫出第5個等式：;

（2）寫出你猜想的第〃個等式（用含〃的式子表示），并證明.

6.（2024中考?河北?中考真題）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的4區就會自動加上a2,同時B區就會

自動減去3a,且均顯示化簡后的結果.已知4B兩區初始顯示的分別是25和一16,如圖.

如，第一次按鍵后，A,B兩區分別顯示：

A區嘔

25+8-16-3a

（1）從初始狀態按2次后，分別求4B兩區顯示的結果；

（2）從初始狀態按4次后，計算4B兩區代數式的和，請判斷這個和能為負數嗎？說明理由.

【題型12提公因式后應用公式法因式分解】

1.（2024中考?廣西賀州,中考真題）把多項式4久2y—4町2——分解因式的結果是（）

A.4xy（x-y）-x3

B.—x（x—2y）2

C.x（4xy-4y2—x2）

D.—x（—4xy+4y2+%2）

2.（2024中考?黑龍江綏化?中考真題）分解因式：X3-4X2+4X=.

3.（2024中考,貴州黔東南?中考真題）分解因式：2022%2_4044X+2022=.

4.（2024中考?山東威海?中考真題）分解因式：-3X2+2X—：=—.

5.（2024中考?湖北十堰,中考真題）已知xy=2,x-3y=3,貝版/y一直一產+18%/=.

【題型13因式分解的實際應用】

1.（2024?江蘇蘇州?一模）計算（一2尸°°+（—2）99的結果為（）

A.-299B.299C.-2D.2

2.（2024?河北秦皇島?模擬預測）如果一個數等于兩個連續奇數的平方差，那么我們稱這個數為"幸福

數”.下列數中為"幸福數”的是（）

A.268B.330C.512D.588

3.（2024?河北滄州?一模）已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足c?—r。2c2—b2c2,則△說是（