專題53固定面積的存在性問題

【題型演練】

一、解答題

1.【探索發(fā)現(xiàn)】

⑴如圖1,是一張直角三角形紙片，ZB=90。，小明想從中剪出一個以NB為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)

過多次操作發(fā)現(xiàn)，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗證了其正

確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為.

【拓展應(yīng)用】

⑵如圖2,在AABC中，BC=a,BC邊上的高AD=h,矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上,

頂點Q、M在邊BC上，求出矩形PQMN面積的最大值（用含a、h的代數(shù)式表示）；

【靈活應(yīng)用】

⑶如圖3,有一塊“缺角矩形"ABCDE,AB=28,BC=36,AE=18,CD=14,小明從中剪出了一個面積

最大的矩形（4為所剪出矩形的內(nèi)角），直接寫出該矩形的面積.

2.已知二次函數(shù)、="2+法-4（a>0）的圖象與x軸交于A、B兩點，（A在B左側(cè)，且OACOB）,與y

軸交于點C.

（1）求C點坐標，并判斷b的正負性;

（2）設(shè)這個二次函數(shù)的圖像的對稱軸與直線AC交于點D,已知DC：CA=1：2,直線BD與y軸交于點E,

連接BC,

①若△BCE的面積為8,求二次函數(shù)的解析式；

②若△BCD為銳角三角形，請直接寫出OA的取值范圍.

y

X

萬一

3.“構(gòu)造圖形解題”，它的應(yīng)用十分廣泛，特別是有些技巧性很強的題目，如果不能發(fā)現(xiàn)題目中所隱含的幾

何意義，而用通常的代數(shù)方法去思考，經(jīng)常讓我們手足無措，難以下手，這時，如果能轉(zhuǎn)換思維，發(fā)現(xiàn)題

目中隱含的幾何條件，通過構(gòu)造適合的幾何圖形，將會得到事半功倍的效果，下面介紹兩則實例：

實例一：1876年，美國總統(tǒng)伽非爾德利用實例一圖證明了勾股定理：由S四邊彩旗8=5少?+5加￡+5少￡得

222

g(a+6)2=2x："+gc2,化簡得：a+b=c.

實例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關(guān)于x的方程Y+依=〃的圖解法是：畫RfABC,使NACF=90。，

BC=|,AC=\b\,再在斜邊AB上截取BC=5,則的長就是該方程的一個正根(如實例二圖).

根據(jù)以上閱讀材料回答下面的問題：

(1)如圖1,請利用圖形中面積的等量關(guān)系，寫出甲圖要證明的數(shù)學(xué)公式是,乙圖要證明的數(shù)學(xué)

公式是,體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是;

(2)如圖2,按照實例二的方式構(gòu)造成AABC,連接。，請用含字母b的代數(shù)式表示AO的長，AD的

表達式能和己學(xué)的什么知識相聯(lián)系；

(3)如圖3,已知。。，A3為直徑，點C為圓上一點，過點C作于點。，連接CO,設(shè)D4=a,

BD=b,求證：^-^->\[ab.

2

a

bAaDB

實例TB實例二as

4.【探索發(fā)現(xiàn)】

如圖①，是一張直角三角形紙片，?B90?,小明想從中剪出一個以為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過

多次操作發(fā)現(xiàn)，當沿著中位線小、防剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗證了其正確

性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為.

如圖②，在AABC中，BC=a,邊上的高AD=//,矩形PQMN的頂點尸、N分別在邊A3、AC上，

頂點Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為.（用含〃的代數(shù)式表示）

【靈活應(yīng)用】

如圖③，有一塊“缺角矩形"ABCDE,AB=32,3c=40,AE=20,CD=16,小明從中剪出了一個面積最

大的矩形（/3為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積.

【實際應(yīng)用】

如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD,經(jīng)測量AB=60cro,BC=105cm,CD=y0cm,且tan8=；

tanC=2,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點V、N在邊上且面積最大的矩形尸QWN,求該矩形的

面積.

5.某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（ABVBC）的對

角線的交點。旋轉(zhuǎn)（①一②—③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的

交點.

（1）該學(xué)習(xí)小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①中（三角板一邊與CC重合），BN、CN、CD這三條線段之間存在一定的

數(shù)量關(guān)系：CN2=BN2+CD2,請你對這名成員在圖①中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論說明理由；

（2）在圖③中（三角板一直角邊與0D重合），試探究圖③中BN、CN、CD這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接

寫出你的結(jié)論.

（3）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由.

6.如圖1,在RdABC中，ZACB=90°,AC^BC,點。為AB邊上一點，連接CD,/ADC=120。，把△AOC

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADC'（旋轉(zhuǎn)后點C、D的對應(yīng)點分別為C'、"），設(shè)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為m（0°<m<360°）.

（1）當加=30。時，如圖2,連接CC并延長，交A8于點E.請直接寫出NACC'的度數(shù)；

（2）在（1）的條件下，請判斷AOCE的形狀，并說明理由；

（3）①小明在探究的過程中發(fā)現(xiàn)：當機=90。時，如圖3,四邊形ACBC'為平行四邊形，請證明小明的結(jié)

論的正確性；

②請你再探究：在AAOC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在其他的情形，使以A、B、C、C'四點組成的

四邊形為平行四邊形？若存在，請在備用圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并請直接寫出機的值；若不能，請說明

理由.

7.如圖示AB為。。的一條弦，點C為劣弧AB的中點，E為優(yōu)弧AB上一點，點F在AE的延長線上,

且BE=EF,線段CE交弦AB于點D.

①求證：CE//BF；

②若BD=2,且EA：EB：EC=3：1：石，求△BCD的面積（注：根據(jù)圓的對稱性可知OCLAB）.

\C

D

■

2

8.如圖，已知正方形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，0c在x軸的正半軸上，0A=AB=2,拋物線y=-^

x2+bx+c經(jīng)過點A,B,交正x軸于點D,E是0C上的動點(不與C重合)連接EB,過B點作BFLBE

交y軸與F

(1)求b,c的值及D點的坐標；

(2)求點E在0C上運動時，四邊形OEBF的面積有怎樣的規(guī)律性？并證明你的結(jié)論；

(3)連接EF,BD,設(shè)OE=m,△BEF與△BED的面積之差為S,問：當m為何值時S最小，并求出這個

最小值.

9.在一次數(shù)學(xué)活動課上，兩個同學(xué)利用計算機軟件探索函數(shù)問題，下面是他們交流片斷：

MN

圖1：小韓：若直線x=m(m>0)分別交x軸，直線y=x和y=2x于點P、M、N時，有——=1.

圖2：小蘇：若直線x=m(m>0)分別交x軸，雙曲線y=—(x>0)和y=—(x>0)于點P、M、N時,

XX

*MN

有---=...

PM

問題解決

mK

圖①圖②VJA/

1圖①

(1)填空：圖2中，小蘇發(fā)現(xiàn)的M箸N=_______________；

PM

(2)若記圖1,圖2中MN為山，ch分別求出山，d2與m之間的函數(shù)關(guān)系式.并指出函數(shù)的增減性；

(3)如圖3,直線x=m(m>0)分別交x軸，拋物線y=x2-4x和y=x2-3x于點F>,M,N,設(shè)A,B為拋物

線y=x2-4x,y=x2-3x與x軸的非原點交點.當m為何值時，線段OP,PM,PN,MN中有三條能圍成等邊

三角形？并直接寫出此時點A,B,M,N圍成的圖形的面積.

10.如圖：已知直線/：y=-2元+2與X軸、y軸分別相交于A、B兩點、,拋物線＞=-/+6x+c經(jīng)過點且

與x軸交于點C(2,0).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM,設(shè)點M的橫坐標為如四

邊形。4MB的面積為S,求S與相的函數(shù)表達式，并求出S的最大值；

(3)若點P在平面內(nèi)，點Q在直線A3上，平面內(nèi)是否存在點尸使得以O(shè),B,P,。為頂點的四邊形是菱形.若

存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

11.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)〉=混+扇+。交》軸于點4(-4,0),3(2,0),交y軸于點C(0,6),

在y軸上有一點醺0,-2),連接AE.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)若點。為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求VADE的面積的最大值；

(3)拋物線的對稱軸上存在著點P,使△AEP為等腰三角形.符合條件的點P坐標有若干個，請求出任意一

個符合要求的點P的坐標.

12.如圖，拋物線y-d+bx+c與無軸交于A(2,0),B(T,0)兩點.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點。，使得的周長最小？若存在，求出

。點的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)在拋物線的第二象限圖像上是否存在一點P,使得APBC的面積最大？若存在，求出點尸的坐標及APBC

的面積最大值；若不存在，請說明理由.

13.如圖，己知拋物丫=-/+法+°與軸交于4(-1,0),8(3,0)兩點，與y軸交于點C,連接3C.

(1)求拋物線的解析式；

⑵若點尸為線段BC上的一動點(不與2、C重合)，RW//y軸，且交拋物線于點交x軸于點N,求AMBC

的面積的最大值；

(3)若點。為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點E,使E到點8的距離與點E到點。的距離之差最大？若

存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

14.如圖1,拋物線y=*-4x與x軸相交于原點。和點A,直線與拋物線在第一象限的交點為8點，

拋物線的頂點為C點.

(1)求點8和點C的坐標；

(2)拋物線上是否存在點。，使得/DOB=/OBC?若存在，求出所有點。的坐標；若不存在，請說明理由；

(3汝口圖2,點E是點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，點P是直線下方的拋物線上的動點，所與直線08

交于點G.設(shè)△班G和ABEG的面積分別為既和邑，求善的最大值.

15.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AS=10cm,AC:BC=4:3,點尸從點A出發(fā)沿A3方向向點B運

動，速度為lcm/s,同時點。從點B出發(fā)沿CfA方向向點A運動，速度為2cm/s,當一個運動點到達

終點時，另一個運動點也隨之停止運動.

C

4——apB

(1)AC=______cm；BC=______cm；

⑵設(shè)點P的運動時間為x秒(x>0),APBQ的面積為ycm2,當APBQ存在時，求y與尤的函數(shù)關(guān)系式，并

寫出自變量x的取值范圍；

>

(3)當點。在BC上運動時，多少秒時APB。的面積為15cm?!

16.如圖，AC、是。O的兩條弦，且3DLAC于點E

(1)如圖1：若AE=BE,求證DE=CE；

(2)如圖2：若AC=8,BD=6,OE=而，求弓形BAD的面積

(3)連結(jié)AB/CC。，若C4=CD,

①-ACB與/ACD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明.

②在8。上存在點產(chǎn)，滿足斯=2AB,點M是AO的中點，連結(jié)MF,已知AB=2應(yīng),加=2,求O。的半

徑.

17.如圖，直線4：y=履+1與無軸交于點。，直線4：y=r+b與X軸交于點A,且經(jīng)過定點2(-1,5),直

線4與4交于點C(2,㈤.

⑴填空：k=；b-;m=;

(2)在x軸上是否存在一點E,使A3CE的周長最短？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由;

(3)若動點尸在射線。C上從點。開始以每秒1個單位的速度運動，連接AP,設(shè)點尸的運動時間為，秒.是

否存在/的值，使△ACP和△4PP的面積比為1:2?若存在，直接寫出/的值；若不存在，請說明理由.

k

18.如圖，一次函數(shù)必=x+l的圖像與反比例函數(shù)%=—的圖像相交于點A(肛2),8兩點，分別連接0B.

x

⑴求這個反比例函數(shù)的表達式；

(2)請根據(jù)函數(shù)圖像的軸對稱性，直接寫出點8的坐標為,當M＞為，則自變量尤的取值范圍

是;

(3)在平面直角坐標系內(nèi)，是否存在一點尸，使以點。，A,B,P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接

寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

專題53固定面積的存在性問題

【題型演練】

一、解答題

1.【探索發(fā)現(xiàn)】

⑴如圖1,是一張直角三角形紙片，4=90。，小明想從中剪出一個以NB為內(nèi)角且面積

最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，

隨后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為

【拓展應(yīng)用】

（2）如圖2,在AABC中，BC=a,BC邊上的高AD=h,矩形PQMN的頂點P、N分別在

邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，求出矩形PQMN面積的最大值（用含a、h的代數(shù)

式表示）；

【靈活應(yīng)用】

（3）如圖3,有一塊“缺角矩形"ABCDE,AB=28,BC=36,AE=18,CD=14,小明從中

剪出了一個面積最大的矩形（NB為所剪出矩形的內(nèi)角），直接寫出該矩形的面積.

1ah

【答案】⑴⑵7⑶當x=21時，矩形BGPH的面積取得最大值，最大值為567.

S矩形五瓦用_EF?DE

【分析】（1）由中位線知EF=^BC、ED=2AB、由S一1gA「可得;

2

PNAEa

（2）由△APNs^ABC知力7=77?，可得PN=a-：P。，設(shè)PQ=x,由S矩形PQMN=PQ?PN=

AUh

-^（彳一4『+￥，據(jù)此可得；

h24

（3）結(jié)合圖形過DE上的點P作PGLBC于點G,延長GP交AE延長線于點I,過點P作

EIPJQ

PHXAB,設(shè)PG=x,知PI=28-x,由△EIPs/\EKD知——=——,據(jù)此求得EI=36一-%,

EKDK7

999

PH=54--x,再根據(jù)矩形BGPH的面積5二%（54-7］）=-7（1-21）2+567可得答案.

777

【詳解】解：（1）???EF、ED為△ABC中位線,

..ED//AB,EF//BC,EF=-BC,ED=-AB,

22

又ZB=90°,

四邊形FEDB是矩形，

S矩形FEDB_EF?DE_

則S-1—2，

人J^ABC-ABBC乙

2

故答案為彳；

2

（2）vPN//BC,

/.△APN^AABC,

PNAEf,口ETa「八

二.——二——,可得PN=a——PQ,

BCADh

2

設(shè)PQ=x,由s矩形PQMN=PQ-PN=-^-（x-^）+^-,

「?當PQ=5時，S矩形PQMN最大值為—.

（3）如圖，過DE上的點P作PGLBC于點G,延長GP交AE延長線于點I,過點P作PHLAB

于點H,

則四邊形AHPI和四邊形BGPH均為矩形，

設(shè)PG=x,貝iJPI=28—x,

???AB=28,CD=14,BC=36,AE=18,

.?.DK=14,EK=18,

,,EIPI

由△EIPS^EKD知一=大二，

EKDK

EI28-x4曰9

18147

99

.?.PH=AI=AE+EI=18+36——x=54——x,

77

則矩形BGPH的面積S=X（54_￡XJ=_T（X_21）2+567,

???當x=21時，矩形BGPH的面積取得最大值，最大值為567.

【點睛】本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理（三角形的中位線

平行于第三邊并且等于第三邊的一半），相似三角形的判定與性質(zhì)（相似三角形任意對應(yīng)線

段的比等于相似比），矩形的判定與性質(zhì)（對邊平行且相等）等知識點.

2.已知二次函數(shù)>=依2+區(qū)-4（a>0）的圖象與x軸交于A、B兩點，（A在B左側(cè)，且

OA<OB),與y軸交于點C.

(1)求C點坐標，并判斷b的正負性；

(2)設(shè)這個二次函數(shù)的圖像的對稱軸與直線AC交于點D,已知DC：CA=1：2,直線BD

與y軸交于點E,連接BC,

①若△BCE的面積為8,求二次函數(shù)的解析式；

②若△BCD為銳角三角形，請直接寫出OA的取值范圍.

【答案】(1)C(0,-4),b<0；(2)①y=gx2-x-4；②2乓OA<4

【分析】⑴把x=0代入y=QX-4,即可求得點C坐標，根據(jù)OAVOB,可知一丁>。，

2a

由a>0即可求得b<0；

⑵①過點D作DMLy軸，垂足為M,則有饕=奈=會=；,由此可得。

設(shè)A(-2m,0)m>0,則AO=2m,DM=m,繼而可得D(m,-6),B(4m,0),AB=6m,BN=3m,

再由DN//OE,可得△BNDs^BOE,繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得OE=8,再根據(jù)

S-BCE=gx4x4〃2=8,可求得m=1,由此可得A(-2,0),B(4,0),設(shè)y=a(x+2)(x-4),

繼而可得C(0,-8a),再根據(jù)C點(0,-4)可求得a值，即可求得答案；

②由①易知：B(4m,0),C(0,-4),D(m,-6),/CBD一定為銳角，利用勾股定理求得

CB2=16m2+l6,CD2=m2+4,DB2=9m2+36,然后分兩種情況進行討論即可得.

【詳解】⑴當x=0時，y=ax2+Z?x-4=-4,

.,.C(0,-4),

h

VOA<OB,對稱軸在y軸右側(cè)，Bp-->0,

2a

Va>0,.,.b<0；

(2)①過點D作DM，y軸，垂足為M,則有DM〃OA,

/.△DCM^AACO,

.DMMCDC

"~OA~^O~~CA~2"

：.DM=~AO,

2

設(shè)A(-2m,0)m>0,則AO=2m,DM=m,

VOC=4,???CM=2,

-6),B(4m,0),AB=6m,BN=3m,

VDN//OE,

.,.△BND^ABOE,

.DNBN

9，~OE~~OB"

口r63m

即——=——，

OE4m

AOE=8,

.,.CE=OE-OC=4,

S^BCE=5*4x4m=8,

m=1,

AA(-2,0),B(4,0),

設(shè)y=〃(x+2)(x-4),

即y=ax2-lax-Sa,

令x=0,則y=-8a,

AC(O,-8a),

.*.-8a=-4,

,1

1

y=—x9-x-4；

2

②由①易知：B(4m,0),C(0,-4),D(m,-6),NCBD一定為銳角,

由勾股定理可得：CB2=16m2+16,CD2=m2+4,DB2=9m2+36,

當NCDB為銳角時，CD2+DB2>CB2,

m2+4+9m2+36>16m2+16，

解得-2VmV2；

當NBCD為銳角時，CD2+CB2>DB2,

m2+4+16m2+16>9m2+36，

解得或mV-疝舍)，

綜上：V2<m<2，

20V2m<4，

2^<OA<4.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，勾股定理以

及不等式等知識，綜合性較強，有一定的難度，熟練掌握相關(guān)知識并運用數(shù)形結(jié)合思想是解

題的關(guān)鍵.

3.“構(gòu)造圖形解題”，它的應(yīng)用十分廣泛，特別是有些技巧性很強的題目，如果不能發(fā)現(xiàn)題

目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數(shù)方法去思考，經(jīng)常讓我們手足無措，難以下手，這

時，如果能轉(zhuǎn)換思維，發(fā)現(xiàn)題目中隱含的幾何條件，通過構(gòu)造適合的幾何圖形，將會得到事

半功倍的效果，下面介紹兩則實例：

實例一：1876年，美國總統(tǒng)伽非爾德利用實例一圖證明了勾股定理：由S四邊形

ABC￡>=S44BC+S44DE+SA4BE得=2X,化間得：+6"=/.

實例二：歐幾里得的《幾何原本》記載，關(guān)于X的方程無2+依=〃的圖解法是：畫RSABC,

使/ACB=90。，BC=|,AC=\b\,再在斜邊AB上截取2C=f則AD的長就是該方程

的一個正根（如實例二圖）.

根據(jù)以上閱讀材料回答下面的問題：

（1）如圖1,請利用圖形中面積的等量關(guān)系，寫出甲圖要證明的數(shù)學(xué)公式是,乙

圖要證明的數(shù)學(xué)公式是,體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是；

（2）如圖2,按照實例二的方式構(gòu)造成AABC,連接請用含字母。、6的代數(shù)式表示AO

的長，AO的表達式能和已學(xué)的什么知識相聯(lián)系；

（3）如圖3,已知。0,A3為直徑，點C為圓上一點，過點C作。。，他于點。，連接CO,

設(shè)DA=a,BD=b,求證：＞4ab.

2

【答案】（1）完全平方公式，平方差公式，數(shù)形結(jié)合的思想；（2）3AD

2

的表達式能和一元二次方程的求根公式相聯(lián)系；（3）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)大正方形面積=各個部分面積之和，即可得到完全平方公式和平方差公式,

進而即可得到答案；

(2)根據(jù)勾股定理以及一元二次方程的求根公式，即可得到答案；

(3)連接AC,CB,易證△ACDSACBD,CD2=ADBD,結(jié)合。C=g(a+b)CO'CD,

即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)如圖1中,圖甲大正方形的面積=(。+力2=6+2"+火

圖乙中大正方形的面積=/—(a—by+Z?2+2b(a—b),即:

a2-b2=(Q-b)(a-b+2b)=(Q+b)(a-b).

它們都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

故答案是：完全平方公式，平方差公式，數(shù)形結(jié)合的思想；

(2):在RSABC中，BC=|,AC=W，

??AB=

ci《4b之+Q2—a

--AD

解/+依=匕2,由求根公式可得x=一“士+4匕

答：AD的表達式能和一元二次方程的求根公式相聯(lián)系；

(3)由已知，可得0C=JAB=萬①+6),連接AC,CB.

；AB為直徑，

ZACB=90°,

，ZACD+ZDCB=90°,

'：CD±AB,

：.ZCAD+ZACD=90°,ZCDA=Z.CDB,

NDCB=NCAD,

：.AACDs^CBD,

CD2=ADBD,即CZ)=?K,

在Rt/\COD中，CO2=OD2+CD2,

CO2>CD2,即CO2CD,

呼H

【點睛】本題主要考查乘法公式與幾何圖形的面積，勾股定理，一元二次方程的求根公式,

圓周角定理的推論以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理，勾股

定理以及圓周角定理的推論，是解題的關(guān)鍵.

4.【探索發(fā)現(xiàn)】

如圖①，是一張直角三角形紙片，？890?,小明想從中剪出一個以—3為內(nèi)角且面積最大

的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當沿著中位線DE、/方剪下時，所得的矩形的面積最大，隨

后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為

如圖②，在AABC中，BC=a,邊上的高=矩形尸的頂點？、N分別在邊

AB,AC上，頂點2、M在邊BC上，則矩形PQVW面積的最大值為.（用含

的代數(shù)式表示）

【靈活應(yīng)用】

如圖③，有一塊“缺角矩形"ABCDE,AB=32,3c=40,AE=20,8=16,小明從中剪

出了一個面積最大的矩形（/3為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積.

【實際應(yīng)用】

如圖④，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABC。，經(jīng)測量AB=60c〃z,BC=105cm,CD=74cm,

4

且tanB=§,tanC=2,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大

的矩形尸QMN,求該矩形的面積.

【答案】【探索發(fā)現(xiàn)】：；【拓展應(yīng)用】半；【靈活應(yīng)用】720；【實際應(yīng)用】2205cm2.

24

S矩形產(chǎn)磯用_EF■ED

【分析】（1）【探索發(fā)現(xiàn)】：由中位線知EF=[BC、ED=[AB、由S4“一1”一可

22AABC—AD?nC

2

得結(jié)論；

(2)【拓展應(yīng)用】：設(shè)PN=b,證明AAPNs^ABC,表示PQ的長，根據(jù)矩形的面積公式得：

S=b?PQ=M，嘰-且+bh,根據(jù)二次函數(shù)求最值即可；

aa

(3)【靈活應(yīng)用】:添加如圖1輔助線，取BF中點LFG的中點K,由矩形性質(zhì)知AE=EH=20、

CD=DH=16,分另lj證△AEF咨/kHED、△CDGgZ^HDE得AF=DH=16、CG=HE=20,從而

判斷出中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，利用【探索發(fā)現(xiàn)】結(jié)論解答即可；

(4)【實際應(yīng)用】：延長BA、CD交于點E,過點E作EHLBC于點H,由tanB和tanC得

BH和CH、EH的長，繼而求得BE和CE的長，可判斷中位線PQ的兩端點在線段AB、CD

上，利用【拓展應(yīng)用】結(jié)論解答可得.

【詳解】(1)【探索發(fā)現(xiàn)】:設(shè)EF=x,ED=y,

：EF、ED為八ABC中位線，

AEDAB,EF/7BC,EF=yBC,ED=；AB,

；.AB=2ED=2y,BC=2EF=2x,

又/B=90。，

四邊形FEDB是矩形，

S矩形FEDB_EF.ED_陰_J_

則一^―1一1,

JXABCAB-BC-?2X?y/

22

故答案為：g；

(2)【拓展應(yīng)用】：設(shè)PN=b,

：PN〃BC,

.'.△APN^AABC,

.AE_PN

"AD-BC'

1/BC=a,BC邊上的高AD=h,

.h-PQ_bah-bh

PQ=---------

haa

：?@/L〃/

.S=bPQ=--+bh

a

—h2ah

s的最大值為：.h4;

4x(——)

a

則矩形PQMN面積的最大值為日；

故答案為：牛；

(3)【靈活應(yīng)用】：如圖1,延長BA、DE交于點F,延長BC、ED交于點G,延長AE、

CD交于點H,取BF中點I,FG的中點K,

由題意知四邊形ABCH是矩形，

VAB=32,BC=40,AE=20,CD=16,

，EH=20、DH=16,

，AE=EH、CD=DH,

在AAEF和AHED中，

ZFAE=ZDHE

?：(AE=AH,

NAEF=NHED

.'.△AEF^AHED(ASA),

；.AF=DH=16,

同理△CDG^AHDE,

.?.CG=HE=20,

VBI=24<32,

中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，

過點K作KL±BC于點L,

由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為gxBG?3BF=3x(40+20)x|(32+16)=720,

答：該矩形的面積為720；

(4)【實際應(yīng)用工如圖2,延長BA、CD交于點E,過點E作EHLBC于點H,

E

圖2

VtanB=—

BH3

設(shè)EH=4x,BH=3x,

*.*tanC=2=,

CH

.,.CH=2x,

VBC=BH+CH=105=3x+2x,x=21,

???BH=63,CH=42,EH=84,

由勾股定理得：BE=ylEH2+BH2=A/632+842=105,CE=y/CH2+EH2=V842+422=42人，

VAB=60,

.'.AE=45,

ABE的中點Q在線段AB上，

VCD=70,

ACE的中點P在線段CD上，

???中位線PQ的兩端點在線段AB、CD±,

由【拓展應(yīng)用】知，矩形PQMN的最大面積為：BC-EH=%O5X84=22。5cm2,

答：該矩形的面積為2205cm2.

【點睛】此題考查四邊形的綜合問題，熟練掌握中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等

腰三角形的性質(zhì)及類比思想的運用是解題的關(guān)鍵.

5.某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形

ABCD(ABVBC)的對角線的交點O旋轉(zhuǎn)(①一②—③)，圖中的M、N分別為直角三角形的

直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點.

（1）該學(xué)習(xí)小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①中（三角板一邊與CC重合），BN、CN、CD這三條線段

之間存在一定的數(shù)量關(guān)系：CN2=BN2+CD2,請你對這名成員在圖①中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論說明理由；

⑵在圖③中（三角板一直角邊與0D重合），試探究圖③中BN、CN、CD這三條線段之間的

數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論.

（3）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明

理由.

【答案】（1）見解析；（2）BN2=NC2+CD2；（3）CM2+CN2=DM2+BN2,理由見解析.

【分析】（1）連結(jié)AN,由矩形知AO=CO,/ABN=90。，AB=CD,結(jié)合ON_LAC得NA=NC,

由NABN=90。知NA2=BN2+AB2,從而得證；

（2）連接DN,在R3CDN中，根據(jù)勾股定理可得：ND2=NC2+CD2,再根據(jù)ON垂直平

分BD,可得：BN=DN,從而可證：BN2=NC2+CD2；

（3）延長MO交AB于點E,可證：△BEO也△DMO,NE=NM,在RtABEN和RtAMCN

中，根據(jù)勾股定理和對應(yīng)邊相等，可證：CN2+CM2=DM2+BN2.

【詳解】（1）證明：連結(jié)AN,

:矩形ABCD

.?.AO=CO,ZABN=90°,AB=CD,

VON±AC,

；.NA=NC,

ZABN=90°,

；.NA2=BN2+AB2,

.\NC2=BN2+CD2.

:四邊形ABCD是矩形,

.\BO=DO,ZDCN=90°,

VON±BD,

???NB=ND,

?IZDCN=90°,

???ND2=NC2+CD2,

BN2=NC2+CD2.

(3)CM2+CN2=DM2+BN2

理由如下：延長MO交AB于E,

:矩形ABCD,

ABO=DO,ZABC=ZDCB=90°,AB//CD,

???NABO=NCDO,ZBEO=ZDMO,

.,.△BEO^ADMO(ASA),

.,.OE=OM,BE=DM,

VMO1EM,

ANE=NM,

VZABC=ZDCB=90°,

NE2=BE2+BN2,NM2=CN2+CM2,

???CN2+CM2=BE2+BN2,

即CN2+CM2=DM2+BN2.

【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性

質(zhì)等知識點.

6.如圖1,在RQABC中，ZACB=90°,AC=BC,點。為AB邊上一點，連接CD,ZADC

=120。,把^AOC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADC(旋轉(zhuǎn)后點C、。的對應(yīng)點分別為C、DC),

設(shè)旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為加(0°<m<360°).

(1)當加=30。時，如圖2,連接CC并延長，交A3于點E.請直接寫出NACC的度數(shù)；

(2)在(1)的條件下，請判斷△OCE的形狀，并說明理由；

(3)①小明在探究的過程中發(fā)現(xiàn)：當機=90。時，如圖3,四邊形ACBC為平行四邊形，請

證明小明的結(jié)論的正確性；

②請你再探究：在△AOC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在其他的情形，使以A、B、。、

C'四點組成的四邊形為平行四邊形？若存在，請在備用圖中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并請直接

寫出相的值；若不能，請說明理由.

【答案】(1)75°；(2)等邊三角形，理由見解析；(3)①見解析；②存在，畫圖見解析，

"2=90°或瓶=270°

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)知AC=AC',根據(jù)NC4C'=30。得/ACC=幽二75。；

2

(2)在RdABC中，ZACB=9Q°,A8=AC知NA2C=/a4C=45。，結(jié)合NACC'=75°

知NBCE=90。-ZACC=15°,繼而知/AEC=/ABC+NBCE=60。，根據(jù)N4Z)C+/CZ)E

=180°,乙位＞。=120。得/。5=60。，繼而知NCOE=NOEC=NECr)=60。，即可得證；

(3)①初=90°時，由NACB=90°,ZBAC=90°知NACB+NA4C'=180°,據(jù)此得AC'〃3c,

再由AC'=AC,AC=8C知AC'=8C,即可得四邊形ACSC'為平行四邊形；

②加=270。時，由/C'AC=90。知NC'AC=/AC8,從而得AC'=BC,結(jié)合AC'=CB證得

四邊形AC'CB為平行四邊形.

【詳解】解：(1)由旋轉(zhuǎn)知AC=AC,

,：ZCAC=30°,

(2)ADCE是等邊三角形，

理由：在RfAABC中，ZACB=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZBAC=45°,

由(1)知，/ACC'=75。,

ZBCE=90°-ZACC=15°,

ZAEC=ZABC+NBCE=60。,

ZADC+ZCDE=180°,ZADC=120°,

AZCDE=60°,

ZCDE=ZDEC=ZECD=60°,

...△OCE是等邊三角形；

(3)①當加=90。時，四邊形4cBe為平行四邊形，如圖3所示:

VZACB=90°,ZBAC=90°,

JZACB+NBAC=180°,

???AC//BC,

VAC=AC,AC=BC,

：.AC=BCf

???四邊形ACBC為平行四邊形；

②當m=270。時，四邊形AC3C為平行四邊形，如圖4所示:

圖4

當機=270。時，/C'AC=90。，

：.ZC'AC=ZACB,

：.AC=BC,

'：AC=CB,

四邊形ACCB為平行四邊形，

綜上所述，當機=90。或〃?=270。時，以A、B、C、C四點組成的四邊形為平行四邊形.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理、等腰直角三

角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討

論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

7.如圖示AB為。。的一條弦，點C為劣弧AB的中點，E為優(yōu)弧AB上一點，點F在AE

的延長線上，且BE=EF,線段CE交弦AB于點D.

①求證：CE〃:BF；

②若BD=2,且EA：EB：EC=3：1：逐，求△BCD的面積（注:根據(jù)圓的對稱性可知OCLAB）.

【答案】①證明見解析；②ABCD的面積為：2.

【分析】①連接AC,BE,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出/F=g/AEB,由

圓周角定理得出NAEC=/BEC,證出NAEC=/F,即可得出結(jié)論；

AZ)3BDBE

②證明△ADEs/XCBE,得出"=亍，證明ACBES/XCDB,得出一=—,求出CB=2

"CBCE

石，得出AD=6,AB=8,由垂徑定理得出OC_LAB,AG=BG=；AB=4,由勾股定理求出

CG7cB2-BG?=2,即可得出△BCD的面積.

【詳解】①證明：連接AC,BE,作直線OC,如圖所示：

,/BE=EF,

NF=NEBF；

ZAEB=ZEBF+ZF,

/.ZF=1-ZAEB,

：C是AB的中點，

AC=BC>

：.ZAEC=ZBEC,

ZAEB=ZAEC+ZBEC,

，/AEC=g/AEB,

；./AEC=NF,

；.CE〃BF；

②解：VZDAE=ZDCB,ZAED=ZCEB,

.".△ADE^ACBE,

.ADAEmAD3

CBCECB75

,.,ZCBD=ZCEB,ZBCD=ZECB,

/.△CBE^ACDB,

.BDBE即2=_L

"CB=CE'即CB非'

：.CB=2y[5,

AD=6,

???AB=8,

:點c為劣弧AB的中點，

.,.OCXAB,AG=BG=1AB=4,

.,.CG=7CB2-BG2=2,

.,.△BCD的面積=；BD?CG==x2x2=2.

8.如圖，已知正方形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸上,OA=AB=2,

2一

拋物線y=-§x2+bx+c經(jīng)過點A,B,交正x軸于點D,E是OC上的動點(不與C重合)

連接EB,過B點作BFLBE交y軸與F

(1)求b,c的值及D點的坐標；

(2)求點E在OC上運動時，四邊形OEBF的面積有怎樣的規(guī)律性？并證明你的結(jié)論；

(3)連接EF,BD,設(shè)OE=m,△BEF與△BED的面積之差為S,問：當m為何值時S最

小，并求出這個最小值.

4

【答案】(1)b=y,c=2；D點坐標為(3,0).(2)點E在OC上運動時，四邊形OEBF

的面積不變；(3)當m=2-a時S最小為0.

2

【詳解】試題分析：⑴把點A,B代入拋物線產(chǎn)-12+bx+c求得b、c即可，y=0,建立

方程求得點D；

(2)四邊形OEBF的面積不變，利用三角形全等證得結(jié)論即可；

(3)用m分別表示出兩個三角形的面積，求差探討得出答案即可.

c=2

2

試題解析：(1)把點A(0,2)、B(2,2)代入拋物線y=-7x2+bx+c得｛8.

3-----1-2b+c=2

3

入，4

解得b=w，c=2；

24

y=——x2+—x+2；

)33

24

令一1x2+—x+2=0

解得Xl=-1,X2=3

???D點坐標為(3,0).

(2)點E在OC上運動時，四邊形OEBF的面積不變；

?..四邊形OABC是正方形

.\AB=BC,ZBCE=ZBAE=ZABC=90°

X'/BF±BE

ZFBE=90°

；./ABF=NCBE

.,.△ABF^ABCE

.??四邊形OEBF的面積始終等于正方形OABC的面積.

(3)如圖，

-

可以看出SABEF=S梯形OCBFSAOEF-SABEC

(2+2+m)x2-Jm(2+m)-g(2-m)x2

=-ym2+m+2

SABED=^-X(3-