專題06填空題中之分類討論思想

-一【中考考向導航】

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一與等腰三角形有關的分類討論問題】.................................................1

【考向二與直角三角形有關的分類討論問題】.................................................2

【考向三與矩形有關的分類討論問題】.......................................................3

【考向四與菱形有關的分類討論問題】.......................................................4

【考向五與正方形有關的分類討論問題】.....................................................4

【考向六與圓的分類討論問題】.............................................................5

【考向七與相似有關的分類討論問題】.......................................................6

尸J

工,*【直擊中考】

【考向一與等腰三角形有關的分類討論問題】

例題：（2022?四川廣安?統考中考真題）若（0-3）2+揚=？=0,則以。、6為邊長的等腰三角形的周長為

【變式訓練】

1.（2022,遼寧朝陽,統考中考真題）等邊三角形ABC中，。是邊BC上的一點，BD=2CD,以AD為邊作等

邊三角形AOE,連接CE.若CE=2,則等邊三角形ABC的邊長為.

2.（2022?內蒙古通遼,統考中考真題）在RtABC中，NC=90。，有一個銳角為60。，AB=6,若點尸在亶

線AB上（不與點A,8重合），且NPCB=30。，則AP的長為.

3.（2022?浙江紹興?統考中考真題）如圖，在ABC中，ZABC=4O°,ZBAC=80°,以點A為圓心，AC長

為半徑作弧，交射線54于點。，連接C。，則N3CD的度數是.

4.（2022?青海西寧?統考中考真題）矩形ABC。中，AB=8,AD=7,點E在42邊上，AE=5.若點尸

是矩形ABC。邊上一點,且與點4E構成以AE為腰的等腰三角形,則等腰三角形AEP的底邊長是.

5.（2022?江西?統考中考真題）已知點A在反比例函數y==（x>0）的圖象上，點8在x軸正半軸上，若OAB

為等腰三角形，且腰長為5,則A3的長為

->

X

【考向二與直角三角形有關的分類討論問題】

例題：（2022?黑龍江哈爾濱,統考中考真題）在ABC中，AO為邊8C上的高，ZABC=30°,NC4D=20。，

則ZBAC是度.

【變式訓練】

1.（2022?遼寧撫順?統考中考真題）如圖，在Rt_ABC中，ZACB=90°,ZB=60°,BC=2,點P為斜邊A3上

的一個動點（點P不與點人B重合），過點P作尸DLACPELBC,垂足分別為點。和點E,連接

交于點。，連接AQ,當△APQ為直角三角形時，AP的長是

2.（2022?河南?統考中考真題）如圖，在R/0ABC中，0ACB=9O°,AC=2C=20,點。為AB的中點，點

P在AC上，且CP=1,將C尸繞點C在平面內旋轉，點尸的對應點為點。連接A。，DQ.當勸。。=90。

時，AQ的長為.

【考向三與矩形有關的分類討論問題】

例題：（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=0,A￡>=3,點E為邊上一點，

將△￡>€￡沿DE翻折，點C的對應點為點E過點f作DE的平行線交AD于點G,交直線于點H.若

點G是邊AD的三等分點，則FG的長是.

【變式訓練】

1.（2022?遼寧盤錦?中考真題）如圖，四邊形A2CD為矩形，A3=3,AD=4,AC,2。為矩形的對角線，E

是邊的中點，點廠是C。上一點，連接ER將SDEB沿斯折疊，當點G落在矩形對角線上時，則折痕

EF的長是.

2.（2022?黑龍江綏化?統考中考真題）在長為2,寬為無（l<x<2）的矩形紙片上，從它的一側，剪去一個

以矩形紙片寬為邊長的正方形（第一次操作）；從剩下的矩形紙片一側再剪去一個以寬為邊長的正方形（第

二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，則x的值為.

3.（2022?遼寧沈陽?統考中考真題）如圖，將矩形紙片ABC。折疊，折痕為MN,點M,N分別在邊A。，

上，點C,。的對應點分別在E,尸且點尸在矩形內部，板的延長線交BC與點G,所交邊8C于點X.EN=2,

AB=4,當點”為GN三等分點時，的長為.

4.（2022,黑龍江?統考中考真題）在矩形ABC。中，AB=9,AT>=12,點E在邊CD上，且CE=4,點P

是直線BC上的一個動點.若VAPE是直角三角形，則8尸的長為

【考向四與菱形有關的分類討論問題】

例題：（2022秋,廣東梅州?九年級校考階段練習）如圖，已知在菱形ABCD中，AB=5,AC=8,點尸是AC

上的一個動點，過點P作跖交AD于點E,交A3于點尸，將△AEF沿所折疊，使點A落在點A處，

當△4CD是直角三角形時，AP的長為.

【變式訓練】

1.（2022秋?浙江金華?九年級義烏市繡湖中學教育集團校聯考期中）已知，拋物線丁=以2+2依+6上有兩點

A（-2,4）,5（1,0）,將拋物線沿水平方向平移，平移后點A的對應點為A,點2的對應點為"，且四邊形AAB'B

剛好為菱形，那么平移后的拋物線的頂點坐標為.

2.（2022?河南信陽?校考一模）如圖，在菱形ABC。中，ZZMS=45°,AB=4,點P為線段A3上一動點,

過點P作尸交AO于點E,沿PE將/A折疊，點A的對稱點為點尸，連接所、DF、CF,當,CDF

為等腰三角形時，AP的長為.

3.（2022秋?廣東梅州?九年級校考階段練習）在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,點E,F在直線AD

上，且四邊形BCFE為菱形，若線段EF的中點為點M,則線段AM的長為—.

【考向五與正方形有關的分類討論問題】

例題：（2022秋?浙江紹興?九年級統考期中）正方形ABCD中，E,尸分別是AD,DC上的點，連結所交

DG4DF

對角線于點G,若仍恰好平分即，—則大的值為______.

GB13AE

【變式訓練】

1.（2022秋?山東日照?九年級校考期末）等腰：ABC,AB=AC=\G,BC=12,正方形PQWN的兩個頂點

在，ABC的一邊上，另兩個頂點在.ABC的另兩邊上，則正方形尸QWN的邊長為.

2.（2022秋?江西宜春?九年級校考期中）在平面直角坐標系中，正方形ABCD的AD在V軸正半軸上，邊BC

在第一象限，且A（0,3）,5（5,3）.將正方形48c力繞點A順時針旋轉。（0°<0490°）,若點5對應點&恰好

落在坐標軸上，則點C的對應點C'的坐標為.

3.（2021秋,北京東城?九年級校考期末）如圖，正方形ABCD的面積為3,點E是。C邊上一點，DE=\,

將線段AE繞點A旋轉，使點E落在直線2C上，落點記為F，則尸C的長為.

4叮---------------------1D

【考向六與圓的分類討論問題】

例題：（2022秋?江蘇宿遷?九年級統考期中）如圖，將一塊三角板放置在：。中，點A、B在圓上，NC為直

角，NABC=60。，點尸為48上一點，則/APB的度數是.

BKO\O

【變式訓練】

1.（2021秋?浙江湖州?九年級統考期末）在（。中，弦和弦AC（AB,AC都不是直徑）構成的NB4c=50，

M,N分別是A3和AC的中點，則NMON的度數為.

2.（2022秋,遼寧葫蘆島?九年級校考階段練習）已知AB,CD是。的兩條平行弦，48=24,8=1。，O

的半徑為13,則弦與8的距離為.

3.（2023秋?浙江寧波?九年級寧波市第七中學校考期末）已知c。半徑為1,42是〈。的一條弦，且=

則弦A3所對的圓周角度數是.

4.（2022秋?江蘇南京?九年級南京市科利華中學校考期中）已知點P到。上各點的最大距離為10,最小距

離為4,則。的半徑為.

【考向七與相似有關的分類討論問題】

例題：（2022秋?河南南陽?九年級統考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為8,AE=EB,MN=2小,線段MN

的兩端在CB、CD上滑動，當時，VADE與工CMV相似.

【變式訓練】

1.（2022秋?四川成都?九年級成都七中校考期中）已知點尸是直線A3上一點，且絲=好二1,若線段45

AB2

的長為2,則線段AP的長為.

2.（2022秋?遼寧沈陽?九年級統考期末）在平面直角坐標系中，已知點￡（-2,-2）,F（3,-3）,EFO與_EFO

位似，位似中心是原點，且“E戶。的面積等于,跳。面積的則點尸對應點尸的坐標為.

3

3.（2023秋?上海?九年級校考期末）在Rt^ABC中，NC=90。，AB=5,sin8=g，點。在斜邊AB上，

把一ACD沿直線CD翻折，使得點A落在同一平面內的點A處，當4D平行Rt^ABC的直角邊時，AD的長

為.

4.（2023秋?四川成都?九年級統考期末）如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=12,點E為AC中點.點

。在AC右側，DE1AC,S.ZDAE=ZBAC,射線BE交AT）于點若為等腰三角形，則線段E1廠

的長為.

專題06填空題中之分類討論思想

--【中考考向導航】

目錄

【直擊中考】...........................................................................1

【考向一與等腰三角形有關的分類討論問題】................................................1

【考向二與直角三角形有關的分類討論問題】................................................2

【考向三與矩形有關的分類討論問題】.......................................................3

【考向四與菱形有關的分類討論問題】.......................................................4

【考向五與正方形有關的分類討論問題】.....................................................4

【考向六與圓的分類討論問題】.............................................................5

【考向七與相似有關的分類討論問題】.......................................................6

*

Q算【直擊中考】

【考向一與等腰三角形有關的分類討論問題】

例題：(2022?四川廣安?統考中考真題)若(?-3)2+7^5=0,則以°、b為邊長的等腰三

角形的周長為.

【答案】11或13##13或11

【分析】根據平方的非負性，算術平方根的非負性求得。的值，進而根據等腰三角形的定

義，分類討論，根據構成三角形的條件取舍即可求解.

【詳解】解：0(a-3)2+7^5=0,

團。=3,b—5,

當a=3為腰時，周長為：2a+b=6+5=ll,

當6=5為腰時，三角形的周長為a+2b=3+10=13,

故答案為：11或13.

【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，非負數的性質，掌握以上知識是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2022?遼寧朝陽?統考中考真題)等邊三角形ABC中，。是邊8C上的一點，BD=2CD,

以為邊作等邊三角形AOE,連接CE.若CE=2,則等邊三角形ABC的邊長為.

【答案】3或嶇.

13

【分析】分兩種情況，先證明AC4E=A&W（&15）,再根據全等三角形的性質即可得出答

案.

【詳解】解：如圖，E點在AD的右邊，

A4DE與AABC都是等邊三角形，

AC=AB,AE=AD,ZDAE=ZBAC=60°,

ZDAE-ZCAD=ABAC-ZCAD,

即ZCAE=ZBAD.

在AG4E和ABAD中，

AC=AB

<ZCAE=ABAD,

AE=AD

：.ACAE=ABAD(SAS)9

CE=BD=2,

QBD=2CD,

.\CD=1,

:.BC=BD+CD=2+\=3,

二.等邊三角形ABC的邊長為3,

如圖，E點在的左邊，

/.BE=CD,ZABE=ZACD=60°,

:.ZEBD=120°,

過點￡作石尸15。交C5的延長線于點尸，則@產=60。,

:.EF=^BE=—CD,BF=-BE=^-CD,

2222

7

:.CF=BF+BD+CD=-CD,

2

在RtAEFC中，CE=2,

:.EF-+CF2=CE2=4,

，（￥的+彳處2=4，

-,CD=^^-^CD=-^^-（舍去），

1313

:.BC=巫,

13

.??等邊三角形ABC的邊長為巫,

13

故答案為：3或8叵.

13

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握等邊三角形的性質，證明

\CAE三ABAD是解題的關鍵.

2.（2022?內蒙古通遼?統考中考真題）在Rt.ABC中，NC=90。，有一個銳角為60。，AB=6,

若點尸在稟線A3上（不與點A,B重合），且NPCB=30。，則AP的長為.

【答案】士或9或3

2

【分析】分HABC=60、0ABe=30。兩種情況，利用數形結合的方法，分別求解即可.

【詳解】解：當EABC=60。時，貝靦54c=30。，

0BC=-AB=3,

2

SAC=ylAB2-BC2=3A/3，

當點P在線段4B上時，如圖,

SiZPCB=30°,

H3BPC=90°,即PCSAB,

22

當點尸在AB的延長線上時,

0ZPCB=3O°,團PBC二團PC5+團CPB,

團團C尸5=30°,

回團CP3二團尸C3,

0PB=BC=3,

^\AP=AB+PB=9；

當她3030。時，貝靦840=60。，如圖,

0AC=-AB=3,

2

0ZPCB=3O°,

^APC=60°,

mCP=60°,

的4PC二團B4C=MCP,

盟L4PC為等邊三角形，

0M=AC=3.

9

綜上所述，”的長為￡或9或3.

故答案為：￡或9或3

【點睛】本題是解直角三角形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，

等邊三角形的判定和性質等，分類求解是本題解題的關鍵.

3.（2022?浙江紹興?統考中考真題）如圖，在,ABC中，ZABC=40°,ZBAC=80°,以點A

為圓心，AC長為半徑作弧，交射線54于點。，連接CD,則/BCD的度數是.

【分析】分兩種情況畫圖，由作圖可知得AC=AD,根據等腰三角形的性質和三角形內角

和定理解答即可.

【詳解】解：如圖，點。即為所求；

在AABC中，ZABC=40°,ABAC=80°,

ZACB=180°-40°-80°=60°,

由作圖可知：AC=AD,

ZACD=ZADC=1(180°-80°)=50°,

ZBCD=ZACB-ZACD=60°-50°=10°■,

由作圖可知：AC=AD,

ZACD=ZADC,

ZACD+ZADC=ZBAC=80°,

ZADC=AO0,

ZBCD=180O-ZABC-ZADC=180°-40°-40°=100°.

綜上所述：/BCD的度數是10。或100。.

故答案為：10°或100°.

【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖，三角形內角和定理，等腰三角形的判定與性質，解題

的關鍵是掌握基本作圖方法.

4.(2022?青海西寧?統考中考真題)矩形ABC。中，AB=8,AD=7,點E在A2邊上，

AE=5.若點P是矩形ABC。邊上一點，且與點A,￡構成以AE為腰的等腰三角形，則等

腰三角形AEP的底邊長是.

【答案】5五或46

【分析】分情況討論：①當AP=AE=5,點P在邊AO上時，由勾股定理可求得底邊PE的長；

②當PE=AE=5,點P在邊上時，求出BE,由勾股定理求出尸8,再由勾股定理求出底

邊AP即可.

【詳解】解：回矩形ABCD

034=回2=90°,

分兩種情況：

當AP=AE=5,點尸在邊AD上時，如圖所示：

回團840=90°,

回產￡=A/AF+AF=752+52=5A/2;

當尸E=AE=5,點P在邊BC上時，如圖所示:

0BE=AB-A￡=8-5=3,08=90°,

回依=ylPE2-BE2=V52-32=4,

回底邊AP=y/AB2+PB2=7s2+42=4A/5；

綜上，等腰三角形AEP的底邊長是5五或4指

【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，熟練掌握矩形的性質和等腰三角形的判定，進

行分類討論是解決問題的關鍵.

12

5.（2022?江西?統考中考真題）已知點A在反比例函數y=—（無>0）的圖象上，點B在彳軸

x

正半軸上，若一為等腰三角形，且腰長為5,則AB的長為.

【答案】5或2石或加

【分析】因為等腰三角形的腰不確定，所以分三種情況分別計算即可.

【詳解】解：①當A0=A8時，AB=5；

②當時，AB=5；

③當04=02時，貝I|OB=5,B（5,0）,

12

設A（〃，—）（〃>0）,

a

團OA=5,

解得：％=3,%=4,

EIA（3,4）或（4,3）,

0AB=^/（3-5）2+42=2括或AB=｛（4一5?+3?=y/10；

綜上所述，42的長為5或20或&6.

故答案為：5或2百或加.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，考查分類討論的

思想，當時，求出點的坐標是解題的關鍵.

【考向二與直角三角形有關的分類討論問題】

例題：（2022?黑龍江哈爾濱?統考中考真題）在ABC中，AD為邊3c上的高，ZABC=30°,

Z.CAD=20°,則ZBAC是度.

【答案】40或80##80或40

【分析】根據題意，由于A5C類型不確定，需分三種情況：高在三角形內部、高在三角形

邊上和高在三角形外部討論求解.

【詳解】解：根據題意，分三種情況討論：

①高在三角形內部，如圖所示：

.,在中，AO為邊3C上的高，ZABC=30°,

ZBAD=90°-ZABC=90°-30°=60°,

ZCAD=20°,

ZBAC=ZBAD+ACAD=60°+20°=80°；

②高在三角形邊上，如圖所示：

C(D)

可知NC4D=0。,

ZCAD=20°,

故此種情況不存在，舍棄；

③高在三角形外部，如圖所示:

A

在AABD中，A￡＞為邊3c上的高，ZABC=30°,

ABAD=90°-ZABC=90°-30°=60°,

ZCAD=20°,

ABAC=/BAD-Z.CAD=60°-20°=40°；

綜上所述：N54C=80。或40。，

故答案為：40或80.

【點睛】本題考查求角度問題，在沒有圖形的情況下，必須考慮清楚各種不同的情況，根據

題意分情況討論是解決問題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2022?遼寧撫順?統考中考真題）如圖，在RtABC中，NACB=90。,=60。,8C=2,

點P為斜邊AB上的一個動點（點P不與點A.8重合），過點尸作PDLACPELBC,垂足

分別為點。和點E,連接。瓦PC交于點。，連接AQ,當△APQ為直角三角形時，”的長

是_____________

【答案】3或2百

【分析】根據題意，由△APQ為直角三角形，可進行分類討論：①當NAPQ=90。；②當

44。尸=90。兩種情況進行分析，然后進行計算，即可得到答案.

【詳解】解：根據題意，

團在RtABC中，ZACB=90°,ZB=60°,BC=2,

0ZfiAC=3Oo,

團AB=2BC=2x2=4,

@AC=Jf-22=2百，

回當△AP。為直角三角形時，可分情況進行討論

①當NAPQ=90。時，如圖：

c

貝IjAP_LCP,

^S^c=^AC.BC=^AB.CP,

02A/3X2=4CP,

回CP=J5；

在直角a4cp中，由勾股定理，則

AP=?2?2-（廚=3;

②當NAQP=90。時，如圖

SPD±AC,PE±BC,ZACB=90°,

回四邊形COPE是矩形，

SCQ=PQ,

E1A20CP,

函4cp是等腰三角形，即AP=AC=2有

綜合上述，AP的長是3或2若；

故答案為：3或26；

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，勾股定理，30度直角

三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，運用分類討論的思想進行解題.

2.（2022?河南?統考中考真題）如圖，在尺包48c中，0ACB=90°,AC=2C=2&，點。

為的中點，點P在AC上，且CP=1,將C尸繞點C在平面內旋轉，點P的對應點為點

Q,連接A。，DQ.當她。。=90。時，AQ的長為.

【答案】下或而林岳或下

【分析】連接C。，根據題意可得，當財。。=90。時，分Q點在線段CO上和。C的延長線

上，且CQ=CP=1,勾股定理求得42即可.

【詳解】如圖，連接8,

CK

;在R/0ABC中，0ACB=90°,AC=BC=2E,

:.AB=4,CDLAD,

:.CD=-AB^2,

2

根據題意可得，當&4。。=90。時，。點在上，且CQ=CP=1,

:.DQ=CD-CQ=2-l=l,

如圖，在RtZ\AOQ中，AQ=^AD2+DQ2=A/22+12=A/5,

在RtZkADQ中，AD=CD=2,QD=CD+CQ=3

AQ=y）AD2+DQ2=也+32=V13

故答案為：乖或屈.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質，確定點。的位

置是解題的關鍵.

【考向三與矩形有關的分類討論問題】

例題：（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖，四邊形為矩形，AB=啦,AD=3,苴E為

邊BC上一點，將△OCE沿DE翻折，點C的對應點為點F過點/作DE的平行線交AD于

點G,交直線3C于點"若點G是邊AT）的三等分點，則FG的長是.

【答案】且或無

33

【分析】過點E作上于點Af,根據題意可得四邊形班DG是平行四邊形，證明

HE=FE,等面積法求得ME,勾股定理求得可得族的長，進而即可求解.

【詳解】①如圖，過點E作于點V,

二四邊形HEDG是平行四邊形

:.HE=GD^-AD=1

3

折疊

NFED=NCED

ZMED=90。

即ZFEM+ZFED=90°

ZCED+ZHEM=90°

:.ZHEM=ZFEM

NEMF=ZEMH=90°,ME=ME

:「HEM空.FEM

:.HM^MF,EF=HE=1

：.EF=EC=1

四邊形ABCD是矩形

ZC=90°,DC=AB=拒

RtEDC中，DE=y/DC2+EC2=《用+12=73

GH=DE=y/3

MELHG,HG//DE

SnFF=、MExDE=S^-DCxEC

LfiLr2LfiLv.,2

DCxECV2xl_V6

:.ME=

-DE~y/3"_

RtHME中，

:.FG=HG-HF=HG-2HM=y/3--y/3=—

33

②如圖，當AG=gAO=l時,

同理可得HE=G￡?=AD—AG=3—1=2,

EC=EF=HE=2,

:.DE=,+（ej=屈，

-DCxECV2x22小

ME=------------=-=

DE瓜3

Rt中,HM=ylHE2-ME2=^2^羋=半

:.FG=HF-HG=2HM-HG=^--46=—

33

故答案為：3或如

33

【點睛】本題考查了勾股定理，折疊，矩形的性質，平行四邊形的性質與判定，掌握以上知

識，注意分類討論是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2022?遼寧盤錦?中考真題）如圖，四邊形A2CD為矩形，AB=3,AD=4,AC,為矩

形的對角線，E是4。邊的中點，點廠是8上一點，連接ER將SD所沿EP折疊，當點

G落在矩形對角線上時，則折痕EF的長是.

BC

【答案】I?或號

【分析】分兩種情況，分別畫出圖形：當G在AC上時，連接。G交E尸于證明財GA

=90。，從而E/迥AC,得E/是fflADC的中位線，可得斯=〈；當G在2。上，設BD交EF

于N,證明0ABOEBOEF,可得工=』，EF=—.

EF23

【詳解】解：當G在AC上時，連接。G交EF于如圖甲所示：

EIE是AD中點，

0AE=Z)E,

團將回￡歸尸沿石尸折疊，

WE=GE,WME=^GME=90°,

^\AE=DE=GE,

^\EAG=^\EGA,^EDG=^\EGD,

團團EAG+團EGA+團EOG+團EGO=180°,

團2團EGA+2團EGD=180°,

釀EGA+團EGQ=90°,即她GO=90°,

mAGD=^\DME9

團ERMC,

SE是中點，

團所是EIADC的中位線，

；AC,

MC=VAB2+BC2=yjAB2+AD2=732+42=5,

5

回￡尸=—；

2

當G在30上，設BD交EF于N,如圖乙所示：

團將團DEF沿￡/折疊，

麗0N/=90°,

團團DF7V=90°—^\FDN=^ADB,

甌EDF=90°=回5A。，

m\BD^DEFf

BDAB

回一=一,

EFDE

^\BD=AC=5,DE=^AD=2,

綜上所述，折痕所的長是:或］,

圖甲圖乙

【點睛】本題考查矩形中的翻折問題，涉及相似三角形的判定與性質，三角形的中位線等知

識，解題的關鍵是掌握翻折的性質.

2.(2022?黑龍江綏化?統考中考真題)在長為2,寬為x(l<x<2)的矩形紙片上，從它的

一側，剪去一個以矩形紙片寬為邊長的正方形(第一次操作)；從剩下的矩形紙片一側再剪

去一個以寬為邊長的正方形(第二次操作)；按此方式，如果第三次操作后，剩下的紙片恰

為正方形，則x的值為.

【答案】j或］

【分析】分析題意，根據x的取值范圍不同，對剩下矩形的長寬進行討論，求出滿足題意的

x值即可.

【詳解】解：第一次操作后剩下的矩形兩邊長為2-x和x,

x—(2—x)—2%—2,

又Qlv%v2,

2%—2^>0,

:.x>2-x,

則第一次操作后，剩下矩形的寬為2-x,

所以可得第二次操作后，剩下矩形一邊為2-x,

另一■邊為：x—(2—x)=2x—2,

團第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，

團第二次操作后剩下矩形的長是寬的2倍，

分以下兩種情況進行討論：

①當2-x>2x-2,即時,

第三次操作后剩下的矩形的寬為2x-2,長是2-尤，

則由題意可知：2—x=2(2x—2),

解得：x=t;

②當2-x<2x—2,即尤時，

第三次操作后剩下的矩形的寬為2-x,長是2尤-2,

由題意得：2x-2=2(2-x),

3

解得：x、，

6T.七3

=—或s者x=一.

52

注公上生6T,3

故答案為：二或萬.

【點睛】本題考查了矩形的性質，正方形的性質以及分類討論的數學思想方法，熟練掌握矩

形，正方形性質以及分類討論的方法是解題的關鍵.

3.(2022?遼寧沈陽?統考中考真題)如圖，將矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN,點M,N

分別在邊AD,5。上，點C,。的對應點分別在區尸且點尸在矩形內部，M廠的延長線交

BC與點、G,EF交邊BC于點H.EN=2,AB=4,當點”為GN三等分點時，MQ的長為

【答案】2?-4或4

【分析】由折疊得，^DMN=^GMN,EF=CD==4,CN=EN=2,0EFM=0D=9O°,證明

NHHFNF

AGHEAA歸E得==6="，再分兩種情況討論求解即可.

CJHHFGF

【詳解】解：回四邊形ABC。是矩形,

^AD//BC,CD=AB=4,回。=回090°,

團團。MN二團GNM,

由折疊得，回DMN二團GMN,EF=CD==4,CN=EN=2,0EFM=0D=9O°,

麗GMN二團GNM,團GbH二團NEH,

團GM=GN,

又回二團NHE,

0AGHE\NHE,

NHHENE

團----=----=----,

GHHFGF

國點H是GN的三等分點，則有兩種情況:

①若黑=（時，則有:HENE_1

HF~~GF~2

1A28

BEH=—EF=—,FH=—EF=—,GF=2NE=4,

3333

由勾股定理得，NH=YEH2+NF2=J*+2?=g反,

SGH=2NH=-y/13

3

0GM=GN=GH+NH=2岳,

^\MD=MF=GM-GF=2岳-4:

HENE

②若翳=2時，則有:

CJHHF~^F

BEH--EF——,FH=—EF=—,GF=：NE=1,

33332

由勾股定理得，NH=<EH2+NF2=

15

SGH=-NH=-

23

0GM=GN=GH+NH=5；

BMD=MF^GM-GF=5-1=4

綜上，MO的值為2屈-4或4.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，折疊的性質，等腰三角形的判定與性質以及相似三角

形的判定與性質等知識，進行分類討論是解答本題的關鍵.

4.（2022?黑龍江?統考中考真題）在矩形4BC。中，AB=9,AD=12,點E在邊CO上，

且CE=4,點尸是直線BC上的一個動點.若VAPE是直角三角形，則8P的長為.

3115

【答案】4或：或6

34

【分析】分三種情況討論：當她尸樂90°時，當0AE尸=90°時，當團以氏90°時，過點尸作尸死1ZM

交ZM延長線于點R即可求解.

【詳解】解：在矩形ABC。中，AB=CD=9,AD=BC=n,^BAD=^\B=^BCD=^ADC=9Q°,

如圖，當她尸氏90°時，

^PB^CPE=90°,

回團5AP+MP3=90°,

團國歷1尸二團CPE,

回回8二回C=90°,

團團A3尸團團尸CE,

ABBP9BP

0一=即

PCCE12-BP~^

解得：BP=6；

如圖，當她￡P=90。時,

回她即+回PEC=90°,

RO1D4石+團AED=90°,

^DAE^PEC,

團回。二團。二90°,

團朋。況團E”,

ADDE口門129-4

回一=一,BP—=------

CEPC4PC

解得：PC=q,

31

^BP=BC-PC=—

3

如圖，當團R1氏90。時，過點尸作尸況IDA交ZM延長線于點尸,

A

FLD

E

C

根據題意得回84尸二朋3P=M=90°,

團四邊形AB尸尸為矩形，

0PF=AB=9,AF=PB,

甌B4尸+回ZME=90°,團B4尸+她尸尸=90°,

^\DAE=BAPFf

團團廠二團。=90°,

的4尸殂回胡。，

AFPF口門AF9

0--=--，BP---=—,

DEAD9-412

解得：A尸=?,即PB==；

44

3115

綜上所述，8尸的長為蘭或芳或6.

34

3115

故答案為：;或§或6

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，熟練掌握相似三角形的判

定和性質，矩形的性質，并利用分類討論思想解答是解題的關鍵.

【考向四與菱形有關的分類討論問題】

例題：（2022秋?廣東梅州?九年級校考階段練習）如圖，已知在菱形ABCD中，=5,AC=8,

點尸是AC上的一個動點，過點尸作EF1AC交AD于點E,交于點尸，將△AEF沿所

折疊，使點A落在點A處，當△ACD是直角三角形時，AP的長為.

【答案】2或《7

O

【分析】分兩種情形①當A與。重合時，CDA是直角三角形，此時

AP=^OA=^AC=2.②當ADLCD時，一CDA是直角三角形，此時

CDOC

cosZDCA'=--=--,列出方程即可解決問題.

LACD

【詳解】解：如圖，連接交AC于。.

回四邊形ABCD是菱形，

SACJ.BD,

SEFJ.AC,^AEF是由△AEF翻折得到,

SPA^PA,

①當A與。重合時，_CZM'是直角三角形,

此時AP=」OA=LAC=2.

24

②當時，一CDA是直角三角形，

止匕時cosNOC4'=WCD=^OC,

CACD

11?57

^AP=-AA,=-（S--）=~,

2248

7

綜上所述，滿足條件的AP的長為2或卷.

O

【點睛】本題考查翻折變換、菱形的性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會用分類

討論的思想思考問題，是由中考填空題中的壓軸題.

【變式訓練】

1.（2022秋?浙江金華?九年級義烏市繡湖中學教育集團校聯考期中）已知，拋物線

>=/+2公+》上有兩點4（-2,4）,以1,0）,將拋物線沿水平方向平移，平移后點A的對應

點為A,點8的對應點為？，且四邊形A47rB剛好為菱形，那么平移后的拋物線的頂點坐

標為.

【答案】口，口或，6,m

【分析】利用待定系數法求得函數的解析式得到頂點坐標，由四邊形為菱形，得出

AA'=BB'=AB=5,即可得出向右平移5各單位的得到新拋物線，進而即可求得平移后的

拋物線的頂點坐標.

4〃一4。+Z?=4

【詳解】解：根據題意得

a+2a+b=0

解得

回四邊形為菱形,

:.AA!=BB'=AB=5,

團頂點為

團當拋物線向右平移5個單位的拋物線的頂點為、，?）.

當拋物線向左平移5個單位是拋物線頂點為［-6,與］

故答案為：（4，。］或］-6,整］.

【點睛】本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐

標特征，菱形的性質，求得拋物線的解析式是解題的關鍵.

2.（2022?河南信陽?校考一模）如圖，在菱形ABGD中，ZDAB=45°,AB=4,點尸為線

段A3上一動點，過點尸作交AD于點E,沿PE將NA折疊，點A的對稱點為點

連接EF、DF、CF,當&C"為等腰三角形時，AP的長為.

D__________r

FB

【答案】0或2或0+1或20或20+2

【分析】分類討論：如圖1,當DF=CD時，如圖2，當CF=CD=4時，如圖3中,

當FD=FC時，分別求出即可.

【詳解】解：如圖1,當DF=CD時，點F與A重合或在點F'處.

當下與A重合時，尸與A也重合，此時AP=O；

圖1

在菱形ABCD中，AB=4，

:.CD^AD^4

作DV_LAB于N,

在MADN中，AD=4,ZDAN=45°,DN=AN=NF'=2血，

AP=272;

如圖2,當CF=CD=4時，點尸與8重合或在F'處，

圖2

點F與B重合，PE是AB的垂直平分線,

AP=-AB^2,

2

當歹在F處時，過C作于

則可得MF'=2立，

則AF=4豆+4，

4尸=2夜+2;

如圖3中，當FD=FC時,

AF=20+2,

AP=-AF=^2+\.

2

綜上所述：當一CDF為等腰三角形時，AP的長為。或2或&+1或2夜或

272+2.

故答案為。或2或72+1或2直或20+2.

【點睛】本題考查了菱形的性質，等腰直角三角形的性質，折疊的性質，分類討論是解題關

鍵.

3.（2022秋?廣東梅州?九年級校考階段練習）在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,點E,

F在直線AD上，且四邊形BCFE為菱形，若線段EF的中點為點M,則線段AM

的長為—.

【答案】5.5或0.5

【分析】兩種情況：①由矩形的性質得出CD=AB=4,BC=AD=5,ZADB=NCDF=90°,

由菱形的性質得出CF=Eb=8E=BC=5,由勾股定理求出DF,得出即可求出A"；

②同①得出AE=3,求出ME,即可得出AM的長.

【詳解】解：分兩種情況：

①如圖1所示：

國四邊形ABCD是矩形，

0Cr>=AB=4,3C=AD=5,ZADB=NCDF=90°,

回四邊形3CEE為菱形，

0CF=EF=BE=BC=5,

0DF=dcF-Clf='52—42=3,

BAF=AD+DF^8,

13M是E尸的中點，

0MF=-EF=2.5,

2

SAM=AF-DF=8-2.5=5.5；

②如圖2所示：同①得：AE=3,

BC

圖2

EIM是E尸的中點，

^ME=2.5,

SAM^AE-ME=0.5-,

綜上所述：線段的長為：5.5或0.5；

故答案為：5.5或0.5.

【點睛】本題考查了矩形的性質、菱形的性質、勾股定理；熟練掌握矩形和菱形的性質，并

能進行推理計算是解決問題的關鍵.

【考向五與正方形有關的分類討論問題】

例題：（2022秋,浙江紹興?九年級統考期中）正方形ABCD中，E,尸分別是A￡>,0c上的

DG4DF

點，連結EF交對角線BD于點G,若BE恰好平分NAEF，瑪=三，貝I與的值為.

【答案】1或4

【分析】延長所交8C于R,作GTJ.OE于T,不妨設Z）G=4,GB=13,DE=4x,可證

FGDFDG4

得是等腰三角形，可推出"=言==7=與，進而表示出石G,然后解△OEG,

RCJ