專題07全等三角形旋轉、一線三等角模型

方寸【中考考向導航】

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一全等三角形旋轉模型】.............................................................1

【考向二全等三角形一線三等角模型】.......................................................6

【直擊中考】

【考向一全等三角形旋轉模型】

例題：（2022?山東荷澤?荷澤一中校考模擬預測）如圖①，在AABC中，NA=90。，AB=AC,點。，E分

別在邊AB,AC上，且=則CE=BD.現將VADE繞點A順時針方向旋轉，旋轉角為

?（0°<?<180°）.如圖②，連接CE,BD.

圖③備用圖

（1汝口圖②，請直接寫出CE與3D的數量關系.

⑵將VADE旋轉至如圖③所示位置時，請判斷CE與3。的數量關系和位置關系，并加以證明.

⑶在旋轉的過程中，當△BCD的面積最大時，a=.（直接寫出答案即可）

【變式訓練】

一、選擇題

1.（2022?重慶璧山?統考一模）如圖,在正方形ABCD中,將邊繞點8逆時針旋轉至點BC,若ZCCD=90°,

CC=2,則線段2C'的長度為（）

5LL

A.2B.—C.D.

2.（2022?四川南充?模擬預測）如圖，在中，NB4c=90。，AB=AC,直角NEP廠的頂點尸是3c

的中點，將NEP尸繞頂點P旋轉，兩邊PE,Pb分別交AB,AC于點E,F.下列四個結論：①AE=CF；

②！PE尸是等腰直角三角形；③EF=AP；④S四邊形的F=gs3c.在NEPF旋轉過程中，上述四個結論

始終正確的有（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

3.（2022秋?全國?九年級專題練習）如圖，在矩形ABC。中，DE平分/ADC交BC于點E,點F是CD邊

上一點（不與點。重合）.點、P為DE上一動點、,PE<PD,將NDP尸繞點尸逆時針旋轉90。后，角的兩邊

交射線于X,G兩點，有下列結論：①DH=DE；②DP=DG；③DG+DF坨DP;④

DPDE=DHDC,其中一定正確的是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

二、填空題

4.（2022廣西賀州?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，AQAB為等腰三角形，OA=AB^5,點、B

到了軸的距離為4,若將z/MB繞點。逆時針旋轉90。，得到△OA",則點E的坐標為

5.（2022?江蘇無錫?模擬預測）笑笑將一副三角板按如圖所示的位置放置，ADOE的直角頂點。在邊BC的

中點處，其中NA=NOOE=90°,ZB=45。，"=60。，ADOE繞點。自由旋轉，且OD,OE分別交AB,AC

于點"，N,當AN=4,NC=2時，MN的長為.

6.（2022?廣東廣州?統考中考真題）如圖，在矩形ABC。中，8C=2AB,點P為邊上的一個動點，線段

BP繞點8順時針旋轉60。得到線段BP',連接尸產，CP.當點P'落在邊8C上時,HPP'C的度數為；

當線段CP的長度最小時，SPP'C的度數為

三、解答題

7.（2022?山東日照,校考二模）在AABC中，AB^AC,ZBAC=a,點尸為線段C4延長線上一動點，連接

PB,將線段尸8繞點尸逆時針旋轉，旋轉角為a,得到線段產。，連接08,DC.

⑴如圖1,當》=60。時，①求證：PA=DC；②求/DCP的度數;

（2）如圖2,當￡=120。時，請直接寫出出和。C的數量關系.

⑶當。=120。時，若A3=6,BP=y[3i,請直接寫出點。到CP的距離為

8.（2022,河北保定??？家荒＃┤鐖D1,等腰直角三角形ABC中，0A=9O°,AB=AC=\G^2an,D為AB

邊上一點，取應ACO=g點尸由C點出發，以2cm/s的速度向終點B運動，連接尸。，將尸。繞點。逆時

針旋轉90。，得到線段。。，連接P。.

⑴填空：BC=,BD=；

⑵點尸運動幾秒，。。最短；

（3）如圖2,當。點運動到直線A8下方時，連接B。，若S/。。=8,求加砸8。0；

⑷在點P運動過程中，若&8尸。=15。，請直接寫出8尸的長.

9.（2022秋?九年級單元測試）如圖，正方形和正方形CEFG（其中8。＞2?！辏?直線2G與DE交于

點H.

⑴如圖1,當點G在C。上時，請直接寫出線段5G與。E的數量關系和位置關系;

⑵將正方形CEFG繞點、C旋轉一周.

①如圖2,當點E在直線CD右側時，求證：BH-DH=yf2CH;

②當SDEC=45。時，若48=3,CE=1,請直接寫出線段。H的長.

10.(2022?全國?九年級專題練習)如圖，在AABC與中,ZACB=/EDF=90°,BC=AC,ED=FD,

點。在AB上.

⑴如圖1,若點/在AC的延長線上，連接A￡,探究線段AF、AE、AD之間的數量關系，并證明你的結

論；

(2)如圖2,若點。與點A重合，且AC=30，DE=4,將ADE尸繞點。旋轉，連接點G為跳'的中

3

點，連接CG,在旋轉的過程中，求:CG+BG的最小值；

(3)如圖3,若點。為的中點，連接即、CE交于點M,CE交AB于點、N,且8。:?！?腔=7:9:10,請

直接寫出N窩D的值.

11.（2022?內蒙古通遼?模擬預測）綜合實踐

問題情境

在圖1所示的直角三角形紙片A3C中，。是斜邊A2的中點.數學老師讓同學們將繞中點。做圖形的

旋轉實驗，探究旋轉過程中線段之間的關系.

解決問題

（1）"實踐小組"的同學們將AA5C以點。為中心按逆時針旋轉,當點A的對應點A與C重合時，8C與它

的對應邊BC'交于點O.他們發現：9C.請你幫助他們寫出證明過程.

數學思考

（2）在圖2的基礎上，"實踐小組"的同學們繼續將AABC以點。為中心進行逆時針旋轉，當的對應邊

AZ'LAB時，設A0與3C交于點歹，B'C'與AB交于點E.他們認為￡?+陽=47.他們的認識是否正

確？請說明理由.

再探發現

（3）解決完上面兩個問題后，"實踐小組”的同學們在圖3中連接OD,他們認為。尸，上與。。也具有一

定的數量關系.請你寫出這個數量關系.（不要求證明）

【考向二全等三角形一線三等角模型】

例題：（2023?全國?九年級專題練習）感知：數學課上，老師給出了一個模型：如圖1,點A在直線DE上,

且/WM=/B4C=NAEC=90。，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一

線三等角"模型.

圖1圖2圖3圖4

應用：

⑴如圖2,RtZsABC中，N/6F=90°,CB=。，直線ED經過點C,過A作AD_L￡D于點D,過2作班,即

于點E.求證：^BEC^CDA.

（2）如圖3,在“SC中，。是BC上一點，ACAD=90°,AC=AD,

/DBA=ADAB,AB=2也,求點C到AB邊的距離.

（3）如圖4,在YABCD中，E為邊8C上的一點，尸為邊上的一點.若

EF

ADEF=/B,AB=10,BE=6,求——的值.

【變式訓練】

一、選擇題

1.（2022秋?八年級課時練習）如圖，在她BC中，A3=AC=9,點￡在邊AC上，AE的中垂線交8C于點。,

若M。￡=團3,CD=3BD,則CE等于（）

9「9

A.3B.2C.D.-

42

二、解答題

2.（2022秋?廣東惠州?八年級?？计谥校┤鐖D1,ZACB=90,AC=BC,AD.LCE,BE±CE,垂足分別為

D,E.

⑵在其它條件不變的前提下，將CE所在直線變換到AABC的外部（如圖2）,請你猜想AD,DE,BE三者

之間的數量關系，并證明你的結論；

(3)如圖3,將(1)中的條件改為：在AABC中，AC=BC,D,C,E三點在同一條直線上，并且有

NBEC=ZADC=NBCA=c,其中a為任意鈍角，那么(2)中你的猜想是否還成立？若成立，請證明；若

不成立，請說明理由.

3.(2022秋?云南昭通?八年級校考期末)在AA5C中，ZACB=90。，AC=3C,直線MN經過點C,且

于。，BE1MN于■E.

MM

⑴當直線繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：

①AACD^ACEB；

②DE=AD+BE.

⑵當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE=AD—BE；

(3)當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD.BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系,

并加以證明.

4.(2022秋?全國,八年級專題練習)已知，在AABC中，AB^AC,D,A,E三點都在直線機上，且

(2)如圖②，判斷并說明線段BD,CE與DE的數量關系；

(3)如圖③，若只保持=3D=所=7。"，點A在線段DE上以2cm/s的速度由點。向點E運

動，同時，點C在線段所上以.xcm/s的速度由點E向點歹運動，它們運動的時間為Ks).是否存在x,使

得△"￡)與AE4c全等？若存在，求出相應的f的值；若不存在，請說明理由.

5.(2022秋?八年級課時練習)【問題解決】

(1)已知0ABe中，AB=AC,D,A,E三點都在直線/上，且有回8D4=0AEC=[38AC.如圖①，當回54c=90。

時，線段DE,BD,3的數量關系為：；

【類比探究】

(2)如圖②，在(1)的條件下，當0。＜配4。＜180。時，線段。E,BD,CE的數量關系是否變化，若不變，

請證明：若變化，寫出它們的關系式；

【拓展應用】

(3)如圖③，AC=BC,0ACB=9O。，點C的坐標為(-2,0),點B的坐標為(1,2),請求出點A的坐標.

專題07全等三角形旋轉、一線三等角模型

行府【中考考向導航】

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一全等三角形旋轉模型】.............................................................1

【考向二全等三角形一線三等角模型】.......................................................6

【直擊中考】

【考向一全等三角形旋轉模型】

例題：（2022?山東荷澤?荷澤一中校考模擬預測）如圖①，在AABC中，ZA=90°,AB^AC,

點。，E分別在邊A3,AC上，且=則CE=BD.現將VADE繞點A順時針方向

旋轉，旋轉角為打（0°<a<180。）.如圖②，連接CE,BD.

圖③備用圖

⑴如圖②，請直接寫出CE與3D的數量關系.

⑵將VADE旋轉至如圖③所示位置時，請判斷CE與3。的數量關系和位置關系，并加以證

明.

⑶在旋轉的過程中，當△3CD的面積最大時，a=.（直接寫出答案即可）

【答案】（l）CE=BD

（2）CE=BD,CE±BD,理由見解析

(3)135°

【分析】(1)利用SAS證明A4CE=AA8￡>,可得結論；

(2)設BD與CE相交于點0,證明AACE三AABDGSAS),即可得到CE=BD,/ABD=NACE,

進一步得到NCOB=90°,即可得到結論.

(3)在△BCD中,邊3c的長度為定值，當BC邊上的高最大時，△BCD的面積最大，則

當點。在BC的垂直平分線上時，△BCD的面積最大，進一步求解即可得到旋轉角的度數.

【詳解】(1)CE=BD,理由如下：

ZCAB=ZEAD=90°,

Z.CAB-ZBAE=AEAD-ZBAE,

即ZCAE=ZBAD,

在AACE和AABD中，

AC=AB

<NCAE=ABAD,

AE=AD

.-.AACEsAABZXSAS),

CE=BD；

(2)CE=BD^CE±BD.理由如下:

0ZZME=ZBAC=9O°,

^ADAE+/EAB=ABAC+/EAB,

即。4B=NE4C,

^\AD=AE,AB=AC,

回2△E4C,

由CE=BD,ZABD=ZACE,

設3。與CE相交于點O,

圖③

由/54C=90。可得：ZACE+ZOCB+ZCBA=90°,

SZABD+ZOCB+ZCBA^90°,

BZCOB=90°,

回CE_L&),

E1CE=3D且CE_L8￡＞；

（3）在△BCD中，邊BC的長度為定值，當3C邊上的高最大時，△3CD的面積最大,

團當點。在BC的垂直平分線上時，△BCD的面積最大，

如圖所示,

BAB^AC,ZCAB=90°,￡>G_L3C于點G,

SZGAB=45°,

回/ZMB=180°-45°=135°,

即當△BCD的面積最大時，a=135。，

故答案為：135°

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，垂直

平分線的性質等知識，證明二4c是解題的關鍵.

【變式訓練】

一、選擇題

1.（2022?重慶璧山?統考一模）如圖,在正方形ABCD中,將邊BC繞點8逆時針旋轉至點BC,

若NCCD=90。，CC'=2,則線段3C'的長度為（）

5LL

A.2B.—C.V6D.y/5

【答案】D

【分析】根據旋轉的性質，可知3c=3C.取點。為線段CC'的中點，并連接80.根

據等腰三角形三線合一的性質、正方形的性質及直角三角形的性質，可證得絲RQ

CCD,從而證得OC=CD,BO=CC'，再利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，取點。為線段cC'的中點，并連接80.

D

匚

BC

依題意得，BC=BCr,

:.BO,LCC,

:.^BOC=9Q°,

在正方形ABCD中，

BC=CD,/BCD=90。,

??.NOCB+NC'CD=9Q0,

又?：/CCD=90°,

.?./CDC+ZCCD=90°,

:.NOCB=NCDC,

在RMOBC和RSCCO中，

ZOCB=ACDC

<ZBOC=/CCD,

BC=CD

:.R^OBC短心△C'CD（AAS）,

:.BO=CC'=2,

:.OC=CD=-CC=1,

2

CC'=2OC=2x2=4,

在Rf^BOC中,

BC=^BO1+OC2=V22+l2=出■

故選：D.

【點睛】本題考查了旋轉的性質、正方形的性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質、

全等三角形的判定和性質及勾股定理的運用等知識，解題的關鍵是輔助線的添加.

2.（2022?四川南充?模擬預測）如圖，在Rt^ABC中，ABAC=90°,AB=AC,直角NEP產

的頂點尸是BC的中點，將NE尸尸繞頂點尸旋轉，兩邊PE,Pf分別交A3,AC于點E,b.下

列四個結論：①AE=CF；②！PEF是等腰直角三角形；③EF=AP；④

S四邊形在NEPb旋轉過程中，上述四個結論始終正確的有（）

A

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

【分析】根據等腰直角三角形的性質得：AP±BC,AP=^BC=PC,AP平分可

證==AP^PC,即證得VAPE與ACPF全等，根據全等三角形性

質判斷結論是否正確.

【詳解】解：回A3=ACZR4c=90。，直角NEPP的頂點P是BC的中點，

^\AP±BC,AP=-BC=PC,ZBAP=ZCAP=45°=ZC

2

0ZAPF+ZFPC=90°,ZAPF+ZAPE=90°,

^\ZFPC=ZEPA,

在△?!￡尸與尸中，

'/EAP=NC

<AP=PC,

NAPE=ZFPC

0AAPE^ACPF（ASA）,

^\AE=CF,EP=PF,故①正確；

團！PEF是等腰直角三角形，故②正確；

團融。是等腰直角三角形，尸是3C的中點,

0AP=-BC,

2

團不一定是44BC的中位線，

回EF=AP不一定成立，故③錯誤；

團AAPE冬QF,

團S&AEP=S^CPF，

又回S四邊形AEPF-SjEP+，

團S四邊形他尸尸—^AAPC=^AABC，

WS四邊形A￡p/=；S%c，故④正確?

故選：D.

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，三角形的面積，掌

握等腰直角三角形的性質是解題的關鍵.

3.（2022秋?全國?九年級專題練習）如圖，在矩形ABC。中，平分/ADC交8c于點E,

點尸是邊上一點（不與點。重合）.點尸為DE上一動點，PE<PD,將/。尸尸繞點P

逆時針旋轉90。后,角的兩邊交射線DA于H,G兩點,有下列結論:①DH=DE；②DP=DG；

③DG+DFfDP;?DPDE=DHDC,其中一定正確的是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

【答案】D

【分析】根據旋轉的性質判斷得AGP"三ADPP(ASl),可判斷③正確，證"DH?ACDE

可判斷④正確，從而得出結果.

【詳解】解：根據旋轉的性質可知，NDPH=NGPF=9。。,

平分/ADC,

回N7/DP=45。，

aZDHP=ZPDH=/PDF=45°,

0PH=PD,

fflZDPH=ZGPF=90°

?NGPH=/DPF

在AGP"和ADPF中，

ZGHP=ZFDP

0PH=PD

ZGPH=NDPF

團AGP”三ADPb(ASA)

SHG=DF

ElZPDH=45°

0DH=4iDP

^DF+DG=GH+DG=DH=yf2DP

故③正確；

EZ.PDH=/PDF=45°,ZDPH=ZDCE=90°

0APDH-ACDE

DHDP

團---=---

DECD

故④正確；

根據已知條件無法證明①￡>%￡>￡,②DP=DG.

故選：D.

【點睛】本題主要考查矩形的性質、三角形的全等、三角形的相似，掌握相關知識并靈活應

用是解題的關鍵.

二、填空題

4.（2022?廣西賀州?統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，A。鉆為等腰三角形，

（M=AB=5,點2到x軸的距離為4,若將AOAB繞點。逆時針旋轉90。，得到△OAE,

則點8'的坐標為.

【分析】過8作于C,過夕作雙〃了軸于O,構建=AO3C,即可得出答

案.

【詳解】過2作于C,過"作BDLx軸于。，

團N2+N3=90°,

由旋轉可知乙BOB'=90。，OB=OR,

E]Zl+Z2=90o,

0Z1=Z3,

SOB=OB,Z1=Z3,ZB'DO^ZBCO,

S\AOB'D=^OBC,

SB'D^OC,OD=BC=4,

0AB=AO=5,

0AC=VAB2-BC2=V52-42=3，

I3OC=8,

EB'D-8,

回￡（-4,8）.

故答案為：（-4,8）.

【點睛】本題考查了旋轉的性質以及如何構造全等三角形求得線段的長度，準確構造全等三

角形求得線段長度是解題的關鍵.

5.（2022?江蘇無錫?模擬預測）笑笑將一副三角板按如圖所示的位置放置，ADOE的直角頂

點。在邊BC的中點處，其中乙4=/。?！?90。,/3=45。，ZD=60°,應見繞點。自由旋

轉，且。。，OE分別交AB,AC于點V,N,當AN=4,NC=2時，MN的長為.

【答案】2小

【分析】連接AO,證明AAOM絲ACONH&I）,得AM=NC=2,在利用勾股定理求出MN

的長即可.

【詳解】如圖，連接AO,

回由題意可知AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,。是邊8C的中點

0Z5=ZC=45°,OA=OB=OC,AOIBC,ZBAO=ZCAO=-ZBAC=45°

2

0ZAON+ZCON=90°,ZBAO=ZC=45°

ISZDOE=90°,

ZAOD+ZAON=90°,

SZAOD^ZCON,

回AAOM均CON（AS4）,

SiAM=NC=2,

團在吊△AMN中，由勾股定理得：MN2=AM2+AN2,

QMNAAM2+AN?=@+42=2后，

故答案為：2后.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質，直角三角形的性質，和勾股定理，正確作出輔助線是

解答本題的關鍵.

6.（2022?廣東廣州?統考中考真題）如圖，在矩形ABC。中，BC=2AB,點P為邊上的一

個動點，線段8尸繞點2順時針旋轉60。得到線段2P,連接PP,CP'.當點P落在邊BC

【答案】1200##120度75°##75度

【分析】由旋轉性質及旋轉角知回2尸尸,為等邊三角形，得到回尸尸3=60。；當點尸，落在邊2C

上時，0PP,C=18OO-EPP'S=12O°；將線段BA繞點B逆時針旋轉60。后點A落在點E,連接BE,

得至l]0ABPa3E2P（SAS）,再證明0ABp為等腰直角三角形，進而得到MPB=0APB=45°,

最后當于H時，CP有最小值，由此可以求出EIPPC=I3EPC-EI￡PP=9O<M5<）=75。.

【詳解】解：由線段繞點B順時針旋轉60。得到線段可知，貼PP為等邊三角形，

aapp'8=60°,

當點尸,落在邊BC上時，SPP'C=18O°-0PP,5=180°-60°=120°；

將線段8A繞點B逆時針旋轉60。，點A落在點E,連接8E,設EP交BC于G點，如下圖

所示：

APD

貝U0AB尸=0ABE-[3PBE=6O°-EIP8E,SEBP'=^PBP'-^PBE=60°-^PBE,

00ABP=0￡BPz,

MBA=BE,BP=BP',

^iABP^EBP'(SAS),

SAP=EP',曲她=90°,

由點P落在邊BC上時，回尸產'。=120。可知，EIEGC=120°,

00CGP,=0EGB=180°-l20°=60°,

EHEBG與EIPCG均為30。、60。、90。直角三角形，

設EG=x,BC=2y,

IjllJBG=2EG=2x,CG=BC-BG=2y-2x,GP'=^CG=y-x,

SEP'=EG+GP'=x+(y-x)=y=1BC,

又已知AB=IBC,

SEP1=AB,

又由MBPEBEBP'知：AP=EP',

^AB=AP,

甌ABP為等腰直角三角形，

EBEP8=0APB=45°,EIEP'P=60°-EIEP'8=60°-45°=15°,

當CPISEF于"時，C尸有最小值，

此時團PPC=I3EP'C-I3EP'P=9O°-15°=75°,

故答案為：120°,75°.

【點睛】本題考察了三角形全等的判定方法、矩形的性質、旋轉的性質及等腰三角形的性質，

屬于四邊形的綜合題，難度較大，熟練掌握各圖形的性質是解題的關鍵.

三、解答題

7.(2022?山東日照??？级?在AABC中，AB^AC,/BAC=a，點尸為線段C4延長線

上一動點，連接收，將線段PB繞點尸逆時針旋轉，旋轉角為。，得到線段PD,連接D8,

DC.

⑴如圖1,當夕=60。時，①求證：PA=DC；②求/OCP的度數；

(2汝口圖2,當&=120。時，請直接寫出上4和。C的數量關系.

⑶當＜=120。時，若AB=6,BP=后,請直接寫出點。到CP的距離為

【答案】⑴①見解析；②60。；

(2)CD=XPA；

⑶乎或平.

【分析】(1)①證明△PB/gADBC(SAS)可得結論.②利用全等三角形的性質解決問題即

可.

(2)證明ACBZ3AABP,可得色2="=若解決問題.

PAAB

(3)分兩種情形，解直角三角形求出8即可解決問題.

【詳解】(1)①證明：如圖1中，

圖1

???將線段依繞點?逆時針旋轉，旋轉角為。，得到線段尸

:?PB=PD,

?.?AB=AC,PB=PD,NBAC=NBPD=60。,

/.AABC,AP&)是等邊三角形，

:.ZABC=ZPBD=60°,

??/PBA=/DBC,

?.?BP=BD,BA=BC,

/.APBA^ADBC(SAS),

:.PA=DC.

②解：如圖1中，設8。交尸C于點0.

?3BA/^DBC,

:.NBPA=NBDC,

-,-ZBOP=ZCOD,

ZOBP=ZOCD=60°,即ZDCP=60°.

(2)解：結論：CD=6PA.

理由：如圖2中，

■.■AB=AC,PB=PD,NBAC=NBPD=120°,

BC=2AB-cos30°=y/3BA,BD=28P-cos30°=eBP,

尸①s

BABP

???ZABC=/PBD=30。,

:.ZABP=ZCBD,

：^CBD^\ABP,

???烏=空=6

PAAB

CD=6PA.

(3)過點。作。M_LPC于M,過點8作BN_LCP交CP的延長線于N.

如圖3-1中，當AP胡是鈍角三角形時，

在用AABN中，,.?”=90。，AB=6,ZBAN=60°,

AN=AB-cos60°=3,BN=AB-sin60°=36，

PN=\/PB2-BN2=V31-27=2，

:.PA=3-2=1,

由(2)可知，CD=y/3PA=s/3,

ZBPA=/BDC,

:.ZDCA=ZPBD=30°,

?.DM工PC,

:.DM=-CD=—

22

如圖3-2中，當AAB尸是銳角三角形時，同法可得PA=2+3=5,CD=5y[3,DM=-CD=^-,

22

圖3-2

綜上所述，滿足條件的DM的值為3或現.

22

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和

性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學

會用分類討論的思想思考問題注意一題多解.

8.(2022?河北保定?校考一模)如圖1,等腰直角三角形ABC中，0A=90。，AB=AC=10夜

cm,。為AB邊上一點，加堿ACO=g,點尸由C點出發，以2cMs的速度向終點2運動，

連接PD,將尸。繞點。逆時針旋轉90。，得到線段。。連接尸。.

OZZ/I

BDABE^DA

o1^

圖1

(1)填空：BC=,BD=；

⑵點尸運動幾秒，。。最短；

(3)如圖2,當Q點運動到直線A8下方時，連接8。，若以8。。=8,求切龍2。0；

⑷在點P運動過程中，若&8尸。=15。，請直接寫出8尸的長.

【答案】⑴20CTO,8枝cm

⑵4秒

(3)7

件…或8+半

【分析】(1)利用勾股定理求出BC,利用三角函數求出AD,即可得到BD；

(2)當尸。回BC時，尸。最短，即。。最短，利用面積求出產￡),即可得到運動時間；

(3)分別過點。、尸作的垂線，垂足分別為點G,H,證明aOGQ[3aPHD,推出QG=DH,

DG=PH,利用面積求出。樂。G=75,求出。G即可求出結果；

(4)過點。作功于點M,貝|河。=知3=券8。=8,分兩種情況，①當點。在BC左

側時，得回=30°,求出即可；②當點。在8C右側時，得到回BPD=60°,求出PM

即可.

(1)

解：團等腰直角三角形ABC中，0A=9O°,AB=AC=10y/2cm,

0BC=及AB=20cm,

團口施4c￡>=—,

ADAD1

回就=標=?,

解得Ar>=20c〃3

SBD=AB-AD=8y/2cm,

故答案為：20cm,8叵cm；

(2)

如圖，當PDEIBC時，PD最短,即。。最短，

回Snrn=-2B2CPD=-BDAC,

回20P￡)=8&x100，

得尸。=8,

團點尸運動8+2=4秒，

回點尸運動4秒時3。最短；

(3)

分別過點。、尸作AB的垂線，垂足分別為點G,H,則BH=PH,SiQGD=SPHD=90°,

EBQDG+SDQG=90°,SQDG+SPDH=90°,

^\DQG=BPDH,

又EPD=QD,

BSDGQSEPHD,

SQG-DH,DG=PH,

回SABD2=；8DQG=8,20=8五,

回DH=QG=母,

SDG=PH=BH=BD-DH=7直,

QGJ

團tan/BDQ=

DG-7

(4)

過點。作DMSBC于點M,則MD=MB=叵

BD=8,

2

分兩種情況,

①當點。在BC左側時，如圖(1),

由題意知回。尸0=45。,

又國BPQ=15°,

團團3尸。二30。，

團尸M二后Af￡)=8若，

^\BP=BM+PM=S+8^;

②當點。在BC右側時，如圖(2),

甌。尸￡)=45°,BPQ^15°,

SEBPD=60°,

SPM=^MD=^~,

33

^BP=BM+PM=S+^-；

3

故2尸的長度為8+8檔或8+如叵.

3

【點睛】此題考查了等腰直角三角形的性質，銳角三角函數，全等三角形的判定和性質，垂

線段最短的性質，熟練掌握等腰直角三角形的性質及掌握銳角三角函數是解題的關鍵.

9.(2022秋?九年級單元測試)如圖，正方形A8CZ)和正方形CEFG(其中3ZA2CE),直線

BG與DE交于點、H.

⑴如圖1,當點G在C。上時，請直接寫出線段8G與DE的數量關系和位置關系;

⑵將正方形CEFG繞點C旋轉一周.

①如圖2,當點￡在直線C￡)右側時，求證：BH-DH=^2CH;

②當SDEC=45。時，若AB=3,CE=1,請直接寫出線段。H的長.

【答案】⑴BG=DE,BGBDE

(2)①見解析；②后+二或后一企

22

【分析】(1)證明△BCGEIADCE可得結論；

(2)①在線段8G上截取BK=DH,連接CK.證明ABC相］△￡>CH(S4S),推出CK=CH,^BCK

=SDCH,推出AKC”是等腰直角三角形，即可解決問題；

②分兩種情形：當。，G,E三點共線時SDEC=45。，連接BD；和當。，H,E三點共線時

SDEC=45。，連接8D,分別根據正方形的性質結合勾股定理求解即可解決問題.

(1)

解：BG=DE,BG^DE,理由如下：

回四邊形ABC。和四邊形CE尸G都為正方形，

回8C=C￡),回BCG=回。CE=90°,CG=CE,

0ABCG0A￡)CE(&4S),

BBG=DE,SCBG=SCDE.

EEICDE+0r)EC=9Oo,

00HBE+0B￡//=9O°,

^\BHD=90°,即3GJ_r)E.

綜上可知BG和OE的關系為BG=且3G，DE.

故答案為：BG二DE且BGLDE；

(2)

①證明：如圖，在線段2G上截取連接CK.

回四邊形ABC。和四邊形CE/G都為正方形，

BBC=CD,EBCD=EGCE=90°,CG=CE,

aS2CG=回。CE,

B^BCGS^DCE(SAS),

S^CBK^SCDH,

^BK=DH,BC=DC,

^EBCKSEDCH(SAS),

SCK=CH,國BCK=0DCH,

^BCK+SKCD=^\DCH+^KCD,即回KC"=0BCD=9O",

03KCH是等腰直角三角形，

0HK=^CH，

^BH-DH=BH-BK=KH=42CH;

②如圖，當D,G,E三點共線時aDEC=45。，連接BD

由（1）同樣的方法可知，BH=DE,

團四邊形CEFG為正方形

SCE=CH=1,

0EH=s/2CH=V2.

0AB=3,

@BD=6AB=36，

設DH=x,貝ljBH=￡)E=x+0，

在R/fflB。，中，BH2+DH2=BD2，即(x+&)2+/=(30)2,

解得：%="且，X?=*母（舍）

故此時以=乎

如圖，當H,￡重合時,0D￡C=45°,連接

SiBG=DH,

?BH=DH-HG=x-五,

在中，BH2+DH2=BD2,即(x-應>+/=(3底了

解得：%尸6,甘一丹也(舍)

故此時DH=后+>；

2

綜上所述，滿足條件的DH的值為乒質或扃+也.

22

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直

角三角形的判定和性質，勾股定理等知識，正確尋找全等三角形解決問題，學會用分類討論

的思想思考問題是解題的關鍵.

10.(2022?全國?九年級專題練習)如圖，在AABC與ADEF中，ZACB=NEDF=90°,

3c=AC,￡D=fZ),點。在A3上.

(1汝口圖1,若點/在AC的延長線上，連接AE,探究線段反、AE、AO之間的數量關系,

并證明你的結論；

⑵如圖2,若點。與點A重合，且AC=3應，DE=4,將卯繞點。旋轉，連接3尸，

3

點G為防的中點，連接CG,在旋轉的過程中，求=CG+BG的最小值；

(3)如圖3,若點。為的中點，連接3八CE交于點M,CE交AB于點N,且

ND

BC:DE:ME=79.10,請直接寫出一的值.

【答案】（1）AE+0AO=AF，證明見解析

（2）|CG+BG的最小值是=與

⑶5近一用

【分析】（1）過/作于過E作￡015于3,結合K字型全等，等腰直角三

角形，四點共圓即可得到答案；

4

（2）第二問考察隱圓問題與阿氏圓，取A3的中點。，連接。G,在。8上取O?=g,連

接GH,構建相似，轉化線段即可得到答案；

（3）過點C作跳'平行線，點P作3C平行線交于點G；過點G作于點H,過點

K作KZ_LFG,證明△BDF'ZACDE,設BC=7t,則DE=9f,ME=\Qt,結合勾股定理、

相似三角形及解直角三角形的知識進行計算.

【詳解】（1）解：（1）線段”、AE,AD之間的數量關系：AE+y/2AD=AF證明如下：

過/作FH_LAB于"，過E作EG_LAB于G,如圖：

0FH±AB,EG±AB,NEDF=90°,

0ZFHD=ZDGE=90°,ZFDH=90°-ZEDG=ZDEG,

又回D尸=DE,

⑦AFHD^ADGE(AAS),

SFH^DG^AD+AG,

回ZACB=ZEDF=90°,BC=AC,ED=FD,

?NFAB=NFED=45。,

回點八D、A、E四點共圓，

^\ZFAE=ZFDE=90°,/EAG=NDFE=45。,

^]FH±AB,EG±AB,ABAC=45°,

回和4G為等腰直角三角形，

?AF=-jiFH，AE=y/2AG-

0AF=V2(AD+AG)=應AD+&AG=①AD+AE；

4

(2)取A3的中點。，連接。G,在。8上取=連接GH,如圖:

回G為防的中點，。為A3中點,

回0G是△ABF的中位線，

^OG=-AF=-DF=-DE=2,

222

團AC=30，

^\AB=y[2AC=6,OB=-AB=3,

2

4

2

ffijOH=3=，

~OG~1~3

OGOH

0一=

OBOG

又/HOG=/GOB,

0A//OG0°AGOB,

HGOG2

回——二

BGOB3

^\HG=-BG

3f

3CG+2BG=3CG+HG

團一CG+BG=l[|jl^^，

232

3

要使］CG+5G的最小，需。G+HG最小，

333

團當H、G、C二點共線時，^CG+BG的最小，；CG+5G的最小值是jC”，如圖:

zz乙

^\OC=-AB=3,OH=-f

SCH=y/OH2+OC2=—,

3

回。CG+BG的最小值是301=，叵=叵.

22232

(3)過點C作防平行線，點f作BC平行線交于點G；過點G作G"，BF于點H,過點

K作KZ_LPG,如圖：

a/BDC=/FDE=90°,

0ZBDC+ZCDF=ZFDE+ZCDF,即=/CDE,

又S1CD=BDDE=DF,

EIA5DF^ACDE（SAS）,

SBF=CE,ZDEC=ZDFB,

0ZDEC+Z.DPE=90°,NDPE=ZMPF,

SZDFB+ZMPF=90°,

SZFME=90°

由3C:DE:ME=7:9:10,設BC=7/,則DE=9r,ME^lOt■,

?EF=?DE=9?

^\CG//BF,FG//BC,

回四邊形BFGC為平行四邊形，

BCE=BF=CG,NECG=NFME=90°,

回AECG為等腰直角三角形，

回NCGE=45°=NGKW,

回△GKH為等腰直角三角形,

GEFGBCr-EFr-

團=Jr2,=----=<2,=<2,

CECDCDDE

GEFGEF

團——=

CECD~^E

回ACDES^GFE,

國NDCE=NFGE,

團——=sinZDCE=sinZFGE；

CN

RtZkMF石中，MF=y/EF2-ME2=762^

^FK=MK-MF=ME-MF=g—庖t,FG=BC=7t,

設NG"/=a,ZKGI=ZNCD=J3,

,GH.KIDN

團sma=,smpn=----=

FGKGCN

RtAFKI中，sina=----,

FK

BKI=FKsina=FK——,

FG

KG

?KI=FK?顯FEKG,

FG6FG

FKKG

團.AK/正FGFK10,一扃5V2-V31

sinB=----=--------=—f=——=——產----=----------

KGKG近FGy/2-lt7

/D572-731

團---=---------.

CN7

【點睛】本題考查等腰直角三角形中的旋轉變換，涉及全等三角形的判定與性質、相似三角

形的判定與性質、解直角三角形、勾股定理等知識，中間穿插了不同的模型，對模型的運用

與轉化能力要求很高，難度較大，屬于壓軸題，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形或

相似三角形.

11.（2022?內蒙古通遼?模擬預測）綜合實踐

問題情境

在圖1所示的直角三角形紙片ABC中，。是斜邊AB的中點.數學老師讓同學們將AABC繞

中點。做圖形的旋轉實驗，探究旋轉過程中線段之間的關系.

解決問題

（1）"實踐小組"的同學們將AABC以點。為中心按逆時針旋轉，當點A的對應點A與C重

合時，BC與它的對應邊B'C'交于點O.他們發現：