圓與正多邊形（21大核心考點）

考點一圓的基本概念（共4題）

1.下列說法正確的是（）

A.半圓是弧B.過圓心的線段是直徑

C.弦是直徑D.長度相等的兩條弧是等弧

【答案】A

【分析】利用圓的有關(guān)定義分別判斷即可.

【詳解】解：A、半圓是弧，正確，符合題意；

B、過圓心的弦是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；

C、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；

D、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故原命題錯誤，不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查了圓的認識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì).

2.己知，如圖4。是。。的弦，=30°,點C在弦42上，連結(jié)CO并延長交。。于點。,

/。=35。，則/氏4。的度數(shù)是

【答案】65°

【分析】本題考查圓的基本性質(zhì)，等邊對等角，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出輔助線本題屬于基礎(chǔ)題型.

連接CM,根據(jù)圓的半徑都相等即可求出答案.

【詳解】解：連接04,

ZOAB=ZOBA=30°，

???OA=OD,

ZD=ZDAO=35°,

ZBAD=35°+30?=65°,

故答案為：65°.

3.如圖，點。是同心圓的圓心，大圓半徑。4,08分別交小圓于點C,D,求證：AB//CD.

【答案】見解析

【分析】本題考查了圓的半徑相等.利用半徑相等得到則利用等腰三角形的性質(zhì)得

N0CD=N0DC,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到/OS>=g(180。-/。)，同理可得/。48=:(180。一N。),

則NOCD=NOAB,然后根據(jù)平行線的判定即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：,?,OC=OD,

NOCD=NODC,

ZOCZ)=1(180°-ZO),

???OA=OB,

NOAB=AOBA,

.?.ZO^5=1(180°-ZO),

ZOCD=ZOAB,

AB//CD.

4.設(shè)/B=2c加，作圖說明滿足下列要求的圖形：

(1)到點/和點B的距離都等于1.5c加的所有點組成的圖形.

(2)到點/的距離小于1.5c加且到點8的距離大于kw的所有點組成的圖形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關(guān)的概念(弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、

等弧等).

(1)分別以點48為圓心，1.5c加為半徑畫。/和則到點/和點8的距離都等于1.5c加的點為兩圓的

公共部分，即它們的交點；

（2）到點/的距離小于1.5c加的點在以4點為圓心，1.5c加為半徑圓內(nèi)；到點3的距離大于1c機的所有點在

以8點為圓心，1c加為半徑的圓外.

【詳解】（1）解：如圖1,

圖1

分別以點43為圓心，1.5c%為半徑畫O/和08,它們的交點為所求；

（2）解：以/點為圓心，1.5c加為半徑畫以2點為圓心，1的為半徑畫。8,

如圖2,。/和。8相交于尸和。，則在。/內(nèi)，除去。/與。5的公共部分為所求.

考點二求一點到圓上點距離的最值（共4題）

1.在同一平面內(nèi)，已知。。的半徑為4,圓心。到直線/的距離為6,P為圓上的一個動點，則點P到直線

/的距離不可能是（）

A.2B.6C.10D.14

【答案】D

【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意可知圓上的點尸到直線/的最短距離為2,最長距離為

10,據(jù)此判斷即可，掌握直線與圓的位置與圓心到直線的距離之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，

由題意得，0/=4,OB=6,

當(dāng)點P在2。的延長線與。。的交點時，點尸到直線/的距離最大，

此時，點尸到直線/的最大距離是6+4=10,

當(dāng)點P在與。。的交點時，點P到直線/的距離最小，

此時，點尸到直線/的最小距離是6-4=2,

點尸到直線/的距離2Wd41。

故點P到直線I的距離不可能是14,

故選：D.

2.如圖，乙42c=60°,點。在射線8c上，05=4,以。為圓心在3c的上方作半徑為1的半圓，點M,

N分別是射線氏4,半圓上的動點，連接MN,則的最小值為.

【答案】2V3-1/-1+2V3

【分析】本題考查垂線段最短，解直角三角形，圓的性質(zhì)，掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

過點。作。川，24于點交半圓。于點N,此時最小，解可得的長度，利用

TW=(W-ON求解即可.

【詳解】如圖，過點。作(W，84于點交半圓。于點N,

■：MN=OM-ON,ON=1,

.,.當(dāng)最小時，"N就最小,

OM±BA,

.??此時上W最小，

在RtZXOW中，02=4,/ABC=60。，

■-OM=OB-sinZABC=4xsin60°=2百，

，?的最小值為：（W-ON=2百-1.

故答案為：26-1.

3.如圖，已知等邊A48C的邊長為8,點、P是4B邊上的一個動點（與點/、B不重合）.直線I是經(jīng)

過點P的一條直線，把A42C沿直線I折疊，點B的對應(yīng)點是點方.當(dāng)PB=6時，在直線1變化過程

中，求A4C9面積的最大值.

【答案】4百+24

【分析】如圖，過點P作尸當(dāng)夕，P,H共線時，△4CB'的面積最大，求出用的長即可解決問

題.

【詳解】解：如圖，過點尸作PHL4C,

由題可得，2’在以尸為圓心，半徑長為6的圓上運動,

當(dāng)HP的延長線交圓P于點8'時面積最大，

在MA4PH中，?:AB=8,PB=6,

PA=2,

?.?△48C是等邊三角形，

ZPAH=60°,

AH=1,PH=B

:.BH=6+y/3,

SQACB'的最大值為:X8X（6+我=46+24.

【點睛】本題考查圓與三角形綜合問題，根據(jù)題意構(gòu)造出圖形是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，菱形4BCD中，乙4=60。，AB=3,05的半徑分別為2和1,P、E、F分別是邊CD、QB

和ON上的動點，求PE+P尸的最小值.

【答案】3

【分析】由題意易得N/=/C=60。，BE=\,AF=2,進而把問題轉(zhuǎn)化為求PB+尸/-3的最小值，即為求

產(chǎn)3+尸/的最小值，過點2作AP1CD,并延長，交AD的延長線于點8',進而問題可求解.

【詳解】解：由題意得5E=1,AF=2,

?.,四邊形48c是菱形，AB=3,

ZA=ZC=60°,AB=AD=CD=BC=3,

欲求PE+尸尸的最小值，需先求產(chǎn)3+尸/-3的最小值，即求產(chǎn)8+尸工的最小值（如圖5-2）,

過點8作5Ple￡）,并延長，交的延長線于點如圖5-3,

；./CPB=90°,

???ZA=ZC=60°,AB=AD=CD=BC=3,BC\\AD,

■.ZCBP=30°,

113

.-.PC=-BC=-CD=-,ACBP=AB'=30°,

222

PC=DP,

■■■2cPB=ZDPB'=90°,

ACPBWDPB',

BP=B'P,即點2與？關(guān)于DC對稱，

.■.PB+PA的最小值為AB',AB'=1AB=6,

■.PE+PF的最小值等于3.

【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點三圓的周長和面積問題（共4題）

1.如圖，一塊四邊形綠化園地，四角都做有半徑為R的圓形噴水池，則這四個噴水池占去的綠化園地的面

積為（）

2

A.2兀RB.4萬Ji。C.TIR2D.不能確定

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形的特征，四邊形內(nèi)角和為360。，可得四個噴水池的面積之和正好等于一個半徑為R的圓

的面積.

【詳解】解：因為四邊形內(nèi)角和為360。，

所以四個噴水池的面積之和正好等于一個半徑為R的圓的面積，

即這四個噴水池占去的綠化園地的面積為兀友.

故選：C

【點睛】本題主要考查了四邊形的內(nèi)角和以及圓面積公式，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360。。

得到四個噴水池的面積之和正好等于一個半徑為7?的圓的面積.

2.某校社團實踐活動中，有若干個同學(xué)參加.先到的〃個同學(xué)均勻圍成一個以。點為圓心，1m為半徑的圓

圈，如圖所示（每個同學(xué)對應(yīng)圓周上一個點）.

⑴若〃=6,則相鄰兩人間的圓弧長是m.(結(jié)果保留兀)

(2)又來了兩個同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移。米，再左右調(diào)整位置，使這("+2)個同學(xué)之

間的圓弧長與原來〃個同學(xué)之間的圓弧長相等.這(“+2)個同學(xué)排成圓圈后，又有一個同學(xué)要加入隊伍，重

復(fù)前面的操作，則每人須再往后移方米，才能使得這("+3)個同學(xué)之間的圓弧長與原來〃個同學(xué)之間的圓弧

長相同，則2=.

a

【答案】y兀|1

【分析】本題考查圓的周長和弧長，

(1)先計算出圓的周長，再計算出圓的弧長即可；

(2)先計算出半徑往后移。米的圓的周長，求出弧長，根據(jù)弧長相等建立等式即可求出“，再計算出6,即

可得到答案.

【詳解】解：(1)當(dāng)〃=6時，圓的周長為：2%，

???相鄰兩人間的圓弧長是?=￡，

63

故答案為：—;

(2)又來了兩個同學(xué)后圓的周長為：2%(l+a),

71

--------=—,

6+23

1

：.a=—,

3

當(dāng)又有一個同學(xué)要加入隊伍后，圓的周長為：2萬(1+〃+9，

2萬(1+4+6)71

-----------=—,

6+2+13

：.b=—,

6

b1

故答案為：—

3.如圖，一個運動場是由兩個半圓形和一個長為100米，寬為60米的長方形構(gòu)成（IT取3）.

（1）求這個運動場的周長是多少米？

⑵已知整個運動場由草坪和塑膠跑道組成埋膠跑道和草坪的面積比為2:3，每平方米塑膠的價格為120元比

每平方米草坪的價格高g,則購買鋪滿該運動場所需要的塑膠和草坪的總費用是多少元？

【答案】（1）380

（2）918720

【分析】（1）根據(jù)題意利用圓周長公式及矩形周長公式解答即可；

（2）根據(jù)題意利用圓面積公式及矩形面積公式解答即可.

【詳解】（1）解:???一個運動場是由兩個半圓形和一個長為100米，寬為60米的長方形構(gòu)成，

???運動場的周長為:兀x60+2x100a380（米），

故答案為:380.

（2）解:根據(jù)題意，運動場是由兩個半圓形和一個長為100米，寬為60米的長方形構(gòu)成，

???運動場的面積為+100x60=3x900+6000=8700（平方米）,

???塑膠跑道和草坪的面積比為2:3,

2

二塑膠跑道面積為：8700x-=3480（平方米），

3

草坪面積為：8700x-=5220（平方米），

???每平方米塑膠的價格為120元，比每平方米草坪的價格高（，

.?.每平方米草坪的價格為：120x（l）=96（元）,

工總費用為：3480X120+5220X96=417600+501120=918720（元），

故答案為:918720.

【點睛】本題考查圓周長計算，矩形周長計算，圓面積計算，矩形面積計算.

4.某同學(xué)用所學(xué)過的圓與扇形的知識設(shè)計了一個問號，如圖中陰影部分所示，已知圖中的大圓半徑為4,

兩個小圓的半徑均為2,請計算圖中陰影部分的周長和面積.

【答案】陰影部分的周長為44.82,陰影部分的面積為40.82

【分析】根據(jù)圓的周長和面積公式分別求出陰影的周長和面積，再進行運算即可.

3

【詳解】解：。陰影=2（&大圓一R小圓）+大圓+。小圓）+。小圓

3

=2x（4-2）+—x（2^x4+2^x2）+2^x2

=4+13?

p44.82；

3

s陰影=彳（s大圓+s小圓）+S小圓

3

=W（"x42+乃x2?）+"x2?

=13%

?40.82.

答：陰影部分的周長為44.82,陰影部分的面積為40.82.

【點睛】本題考查了圓的面積、周長公式的運用；能夠熟練運用公式，并正確化簡計算是解題的關(guān)鍵.

考點四利用垂徑定理求值（共4題）

1.如圖，已知的半徑為5,弦4B的長為8,半徑。。過的中點C,則OC的長為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理.熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

如圖，連接。4,則。4=5,由垂徑定理得，AC=^AB=4,OD±AB,由勾股定理得,

OC=^OA2-AC2＞計算求解即可.

【詳解】解：如圖，連接04,則。/=5,

???弦AB的長為8,半徑OD過的中點C,

.-.AC=—AB=4,OD±AB,

2

由勾股定理得，0C=d0A2-4C。=3,

故選：B.

2.如圖，4B是。。的弦，OC1AB,垂足為C,將劣弧標沿弦4B折疊交0C于點D,OD=^OC,若

【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質(zhì)等知識點，如圖，延長OC交。。于￡,連接

0A,設(shè)0D=x,則CD=2x,CO=3x,利用折疊的性質(zhì)得CE=CD=2x,則OE=5x=Q4,再根據(jù)垂徑定

理得到AC=BC=^AB=4,在RSCMC中利用勾股定理得(5x『=(3x『+4',然后求出x即可得到OO的半

徑，熟練掌握其性質(zhì)，合理添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，延長。。交。。于E,連接CM,設(shè)OD=x,則CD=2x,CO=3x,

???劣弧荔沿弦折疊交0C于。，

/.CE=CD=2x,

???OE-CD+CE+OD=2%+2x+x=5x=OA,

???OCLAB,

.-.AC=BC=-AB=4,

2

在RM。4c中，（5x）2=（3x）2+42,

解得x=l（負值舍去），

：.OE=5,

???o。的半徑為5,

故答案為5.

3.如圖，OA=OB,48交。。于點C,D,OE是半徑，且0E_L48于點E

E

⑴求證：AC=BD；

(2)若C￡>=6,EF=\,求OO的半徑.

【答案】(1)證明見解析

(2)0。的半徑是5.

【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識；

(1)由垂徑定理得C尸尸，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得“尸=8尸，再根據(jù)線段的和差關(guān)系可得結(jié)論;

(2)連接。C,結(jié)合垂徑定理和勾股定理列方程求解即可.

【詳解】(1)證明：?.?OE_L48,CO為OO的弦，

CF=DF,

???OA=OB,0E1AB,

:.AF=BF,

AF-CF=BF-DF,

：.AC=BD；

(2)解：如圖，連接。C,

OELAB,CD為O。的弦,

E

CF=-CD=3,NOFC=90°,

2

■-CO2=CF2+OF2

設(shè)。。的半徑是「，

.-.r2=32+(r-l)2,

解得r=5,

。。的半徑是5.

4.如圖所示，4B是。。的一條弦，ODYAB,垂足為C,交O。于點。，點E在。。上.

D

⑴若44。。=64。，求ZDE2的度數(shù)；

(2)若0c=6,OA=10,求48的長.

【答案】(1)32。

⑵16

【分析】本題考查圓周角定理的推論，垂徑定理和勾股定理，關(guān)鍵是掌握并熟練應(yīng)用以上知識點.

(1)由垂徑定理得益=而，由圓周角定理推論可求ZDE8;

（2）由垂徑定理得NC=5C,應(yīng)用勾股定理即可計算.

【詳解】（1）解：（1）ODVAB,

AD=BD，

ZDEB=-ZAOD=-x64°=32°.

22

(2)(2)-.-OD1AB,

AC=BC,

在RtACMC中，由勾股定理可得

="_0c2,

■■■AC2=102-62,

/C=8,

：.AB=2AC=16.

考點五垂徑定理的推論（共4題）

1.如圖，的直徑42經(jīng)過弦CD的中點￡,連接/C,BD,若44=32。,則/B的度數(shù)為（）

A.56°B.58°C.60°D.62'

【答案】B

【分析】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用,先根據(jù)垂徑定理得出AB1.CD,

再根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得出/。=44=32。，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：的直徑48經(jīng)過弦。的中點E,

ABLCD,

ZDEB=90°,

BC=BC，

ZD=ZA=32°,

.?.Z5=90°-ZD=58°,

故選：B.

2.如圖，/C是。。的弦，半徑03經(jīng)過NC的中點。.若//CO=43。，則的大小為

【答案】47。/47度

【分析】本題考查了垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形的性質(zhì)以及直

角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.根據(jù)垂徑定理的推理得08,NC,再利用三線合一及直角三角形的性質(zhì)

解答即可.

【詳解】解：???半徑08經(jīng)過ZC的中點O.

-.031AC,

：0C^0A,

；./A0B=/B0C,

???//CO=43°,OB±AC,

ZAOB=ZBOC=90°-43°=47°,

故答案為：47。.

3.如圖，以為直徑的。。經(jīng)過△ABC的頂點C,。是的中點，連接AD、。。分別交NC于點E、

F.

Q）若DE=2,BE=6,求。。的面積.

【答案】（1）見詳解

（2）20萬

【分析】（1）由圓周角定理和垂徑定理可得//65=90。=/0巫，可得結(jié)論；

（2）由相似三角形的性質(zhì)可得要=2=等="設(shè)。尸=2x,則3C=6x,分別求出CE=3x,EF=x,

DLL￡>CC/SJ

由勾股定理可求X的值，即可求解.

【詳解】⑴證明：?.?點。是北的中點，0D過圓心，

j.ODVAC,AF=CF,

vAB是直徑，

ZACB=90°=ZDFE,

又/DEF=NCEB,

:ADEFSABEC；

（2）解：ADEFsABEC,

.DE_DF_EF_2

-5E__CF-6-3?

設(shè)DF=2x,則BC=6x,

AO=BO,AF=CF,

:.OF=-BC=3x,

2

OD-5x=OA,

AF=yjAO2-OF2=V25X2-9X2=4x=C尸，

CE=3x,EF-x,

\'DE2=EF2+DF2,

4=5/,

:.x=還（負值舍去），

5

DO=245,

G）O的面積=OD?=207.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理的推論及圓周角定理，三角形中位線

定理等知識，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在平面直角坐標系中，/（0,4）,5（4,4）,C（6,2）.

(1)在圖中畫出經(jīng)過A,B,C三點的圓弧所在圓的圓心M；

⑵點M的坐標為

【答案】(1)見解析

⑵(2,0)

【分析】本題考查了確定圓的條件和坐標與圖形性質(zhì)的知識點，解決本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)垂徑定理的推

論得到圓心的位置.

(1)作弦和3c的垂直平分線，交點即為圓心；

(2)根據(jù)點河的位置寫出坐標即可.

【詳解】(1)如圖，點M即為所求，

(2)如圖所示，則圓心為(2,0),

故答案為：(2,0).

考點六垂徑定理的實際應(yīng)用(共4題)

1.如圖是一根裝有水的圓柱形排水管道截面圖，已知水面的寬為0.8米，水面與管道上端的最大距

離為0.2米，則水面距管道底部的最大深度為（）

C.0.2米D.0.8米

【答案】D

【分析】本題考查了圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識點.根據(jù)垂徑定理、勾股定理求出圓的半徑,

進一步計算即可得.

【詳解】解：如圖，設(shè)圓心為點。，過點。作OCL4B于點C,延長C。交圓。于點。和E,連接。工,

由圓的性質(zhì)可知，42=0.8米，CE=0.2米，水面N8距管道底部的最大深度為。的長，

設(shè)圓的半徑為CU=00=x,

由垂徑定理得：AC=^AB=GA,OC=(x-0.2),

222

在Rt^/OC中，0。2=0/2一/。2,gp(x-o,2)=X-0.4,

解得x=0.5,

即水面AB距管道底部的最大深度為0.5x2-0.2=0.8米，

故選：D.

2.趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度

約為37m,拱高約為7m,則趙州橋主橋拱半徑約為m（結(jié)果保留整數(shù)）

*

o

【答案】28

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，由題意可知，NB=37m,CZ)=7m,主橋拱半徑凡根據(jù)垂徑定

理，得到ZQ=當(dāng)m,再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，由題意可知，4B=37m,CD=7m,主橋拱半徑七

:。。是半徑，且

137

AD=BD=—AB=——m,

22

在RtAADO中，AD2+OD2=OA2,

解得：R=~~28m,

56

故答案為：28.

3.根據(jù)素材解決問題:

設(shè)計貨船通過拱橋的方案

素左圖中有一座圓拱石橋，右圖是其圓形

材橋拱的示意圖，測得水面寬4B=16m,

1拱頂離水面的距離CD=4m.

素如圖，一艘貨船露出水面部分的橫截面EH

材為矩形EFGH,測得=12m,

2EF=2.1m.因水深足夠，貨船可以根FG

據(jù)需要運載貨物.據(jù)調(diào)查，貨船的載重

量每增加1噸，則船身下降0.01m.

問題解決

任

務(wù)確定橋拱半徑(1)求圓形橋拱的半徑；

1

任(2)根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船能否通過圓形拱橋？若能，最多

務(wù)擬定設(shè)計方案還能卸載多少噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才

2能通過？

【答案】(1)10m(2)10噸

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，任務(wù)1,設(shè)圓心為點O,則點。在CD延長線上，延長。，則CD

經(jīng)過點O,連結(jié)ZO,設(shè)橋拱的半徑為，加，則0O=(r-4)m,由勾股定理，垂徑定理，列出關(guān)于半徑的方

程，即可解決問題;

任務(wù)2,由勾股定理得到貨船不能通過圓形橋拱，通過計算，即可得到需要增加的貨物的噸數(shù).

【詳解】解：任務(wù)1,設(shè)圓心為點。，則點。在8延長線上，延長CD,則CD經(jīng)過點O,連結(jié)/。，如圖,

設(shè)橋拱的半徑為，如，則卜-4)m,

OCVAB,

AD=BD=—AB=8m,

2

-：OD2+AD2=OA\

(r-4)2+82=r2,

r=10,

???圓形拱橋的半徑為10m.

任務(wù)2,根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船不能通過圓形橋拱，至少要增加10噸的貨物才能通過.理由:

當(dāng)瓦/是OO的弦時，￡8與。。的交點為連接OE,OH,如圖，

???四邊形環(huán)GH為矩形，

:.EH//FGf

OCLAB,

EH=12m,AB=16m,

OMLEH.

EM=-EH=6,

2

OM=yJOE2-EM2=8,

?：OD=OC-CD=6,

DM=8—6=2,

???根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船不能通過圓形橋拱，

二船在水面部分可以下降的高度為2.1-2=0.1.

,??貨船的載重量每增加1噸，則船身下降0.01m,

100x0.1=10噸，

二至少要增加10噸的貨物才能通過.

4.如圖所示的是一個半圓形拱橋的截面示意圖，圓心為。，直徑是河底線，弦CO是水位線，已知拱橋

的跨度=13m,若測得某時水面寬度CO=12m,求水深OE.

【答案】2.5m

【分析】本題主要考查了垂徑定理的實際應(yīng)用，勾股定理的實際應(yīng)用，如圖所示，連接OC,利用垂徑定理

得到CE=6m,再利用勾股定理可得OE=yjoC1-CE1=2.5m.

【詳解】解：如圖所示，連接。C,

由題意得，OC=-gN2=6.5m,OELCD,

.-.CE=-CD=6m,

2

在Rt^COE中，由勾股定理得。石=Joe?-。爐=2.5m,

考點七圓心角的概念（共4題）

1.如圖，為。。的直徑，點C,。在。。上.若/8CD=100。，則4。。的度數(shù)是（）

【答案】B

【分析】連接NC,由是圓的直徑可得"C3=90。，由以CD=100。可得乙4CD=10。，再由圓周角定理可得

結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接/C,

??.zJCS=90°,

???z5CZ)=100o,

.?.乙4c￡)=10°,

■：^AOD與乙4CD都對著萬），

???/.AOD=2^ACD=2x10°=20°.

故選:B.

【點睛】此題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟記圓周角定理.

2.如圖，是。。的直徑，BC^CD=DE，NCOO=48。，則/80E的度數(shù)為.

【分析】根據(jù)同弧所對的圓心角相等求出/DOE=/DOC=/80C=48。，進而求解即可.

【詳解】■BC^CD=DE<ZCOD=4S°,

ZDOE=ZDOC=ZBOC=48°

NBOE=NDOE+/DOC+ZSOC=48°x3=144°.

故答案為：144°.

【點睛】此題考查了同弧所對的圓心角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

3.如圖，在5x5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A,B,C三點，那么G所對的圓心角的大小是多少？

【答案】90°

【分析】連接/ABC,分別作43,3c的垂直平分線，即可得到圓心Q.分別求出CQ2,/Q2,/C2,根據(jù)

勾股定理的逆定理即可求解.

【詳解】解：連接四，BC,分別作/ABC的垂直平分線，即可得到圓心

由圖可得：CQ2=AQ2=l2+22=5,AC2=12+32=1O,

：.CQ2+AQ2=AC2,

故N/0C=9O。，

即不?所對的圓心角為90。.

【點睛】本題考查了圓心角的求解、勾股定理及其逆定理.找到圓心是解題關(guān)鍵.

4.如圖，圓心角

(1)判斷—OC和NBOD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)若/COD=30。，求的度數(shù).

【答案】Q)/AOC=/BOD,見解析

⑵乙108=150°

【分析】(1)根據(jù)條件和//OD=//OC+/C。。，Z80C=Z80O+/C。。即可求解;

(2)根據(jù)第(1)問的結(jié)論和/COD=30。即可求解.

【詳解】(1)解：ZAOC=ZBOD；

vAAOD^ZAOC+ZCOD,ZBOC=ZBOD+ZCOD,ZAOD=ZBOC=90°,

：.ZAOC=ZBOD

(2)解：ZAOD=ZAOC+ZCOD,NBOC=NBOD+NCOD,ZAOD=ZBOC=90°,/COD=30°,

ZAOC=ZBOD=60°,

ZAOB=+/COD+ZBOD=60°+30°+60°=l50°；

【點睛】本題考查了簡單幾何問題，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵.

考點八利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解(共4題)

1.如圖，在OO中，A是前的中點，點。在上.若=則乙()

A.aB.2aC.-aD.90°-a

2

【答案】C

【分析】本題考查圓周角定理及其推論、弧與圓心角關(guān)系等知識，連接。C,如圖所示，由等弧所對的圓心

角相等、同弧所對的圓周角是圓心角的一半即可得到答案，熟記圓周角定理及其推論是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接OC,如圖所示:

A是前的中點,

：.BA^AC，貝l]N4OC=N/O8=a，

■：AC^AC>

:.ZADC=-ZAOC=-a,

22

故選：C.

2.如圖，G)O的直徑48=4,半徑OC_L/B,點。在弧3c上，DELOC,DFVAB,垂足分別為E、F,

若點E為OC的中點，弧C。的度數(shù)為.

【答案】60。/60度

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，弧與圓心角的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定；連接。G,交E尸于點

G,進而得出四邊形OEZR是矩形，結(jié)合已知條件證明△DEG是等邊三角形，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接。G,交E尸于點G,

：.OG=GD=GF

???點E為。C的中點，

DF=OE=-OC=-OD=GO

22

OE=OG=EG

.,.△DEG是等邊三角形，

.?./COD=60。，即弧CO的度數(shù)為60。

故答案為：60°.

3.如圖，在OO中，D、￡分別為半徑。4、08上的點，AD=BE,C為弧48的中點，連接CD、CE、

【答案】見解析

【分析】本題考查弧與圓心角的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等弧所對的圓心角相等得到

ZAOC=ZBOC,進而證明經(jīng)ACOE,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等可證得結(jié)論.

【詳解】證明：;。、E分別為半徑04、上的點，AD=BE,

OA-AD=OA-BE,貝ljOD=OE,

???C為弧AB的中點，

AC=BC，

ZAOC=ZBOC,

在△CO。和△COE中,

OD=OE

</DOC=ZEOC

oc=oc

.-.△COZ）^ACO￡（SAS）,

：.CD=CE.

4.已知/。是。。的弦，點B在。。上，連接04OGOB,/BOC=400.

(1)如圖①，當(dāng)前時，ZOAC=。；

(2)如圖②，當(dāng)時，ZAOC=<

(3)如圖③，當(dāng)時，/AOB=°

【答案】(1)70

(2)100

(3)100

【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理.

(1)根據(jù)等弧所對圓心角相等，求得/4。。=/8。。=40。，再利用等邊對等角即可求解;

(2)利用平行線的性質(zhì)求得乙4CO=400=40。，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)先證明△ZOC是等邊三角形，求得乙400=60。，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解：??,ZBOC=40。，AC=BC^

.-.ZAOC=ZBOC=40°,

-OA=OC,

1800-40°

AOAC=ZOCA=-------------=70°,

2

故答案為：70；

(2)解：?.?Z8OC=40。，AC//OB,

??.NACO=ABOC=40°,

-OA=OC,

NZOC=180。—2義40。=100。，

故答案為：100；

(3)W：-OA=OC=OBf又AC=OB,

/.OA=OC=AC,

???△4OC是等邊三角形，

ZAOC=60°,

???ZBOC=40°f

.-.2^05=60°+40°=100°,

故答案為：100.

考點九圓周角定理（共4題）

1.如圖，4。為。。的直徑，點5,。在。。上，ZABD=60°,CD=2,則力。的長為（）

A.2B.2V2C.2百D.4

【答案】C

【分析】本題考查圓周角定理及勾股定理，根據(jù)同弧所對圓周角相等及直徑所對圓周角是直角得到

/ACD=/ABD=60。,ZADC=90°f根據(jù)。。=2得到ZC=2CZ>=4,最后根據(jù)勾股定理求解即可得到答案

【詳解】解：???4。為。。的直徑，

??.ZADC=90°,

'-AD=AD^AABD=60°,

.?.ZACD=/ABD=60°,

.?.N"C=90。-60。=30。，

???CD=2,

AC=2CD=4,

AD=A/42-22=273>

故選：C.

2.如圖，4B是OO的直徑，8是弦，ND4B=46。,則44CD=

【分析】本題考查圓周角定理.連接3D,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角知N4D8=90。，由直角三角形兩

銳角互余得的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可得解.

【詳解】解：連接8。，

AADB=90°,

：.NDBA=90°-NDAB=90°-46°=44°,

?.?圓周角4cD、NDB4所對的弧是石,

ZACD=ZDBA=44°.

故答案為：44.

3.如圖，△4BC內(nèi)接于。。，C為初的中點，D在前上,連接AD.若4D,BC,垂足為E,直線。C

分別交/D,于點尸，G

c

(1)求證：CGIAB；

(2)求證：EF=DE.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余，垂直平分線的判定以及圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)

與判定，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)連接04、OB,先得就=前，則/C=8C,因為半徑相等，得出。、C都在4B的垂直平分線上,

即可作答.

(2)先由直角三角形的兩個銳角互余，得NB=NCFE,運用圓周角定理得48=/。，然后結(jié)合等角對等

邊，則CF=CD.故△以明是等腰三角形，再結(jié)合三線合一，即可作答.

【詳解】(1)證明：連接CM、OB,如圖,

為優(yōu)弧AB的中點,

AC=BC，

AC=BC,

又OA=OB,

：.o.C都在42的垂直平分線上,

即CG是垂直平分線，

CG1AB-,

(2)證明：連接CD,如圖,

c

ADVBC,CG-LAB,

ZCFE+ZBCG=90°,ZB+ZBCG=90°,

：.ZB=ZCFE,

vAC=ACf

:.ZB=ZD,

ZCFE=ZD,

/.CF=CD.

???△c產(chǎn)。是等腰三角形，

又AD_LBC,

EF=DE；

4.如圖，為。。的直徑，D,E是。。上的兩點，且在直徑45的兩側(cè)，過點。作。。的切線交Z5的延

長線于點G連接BE、DE,BD.

⑴求證：ZBDC=ZE.

2

(2)若tanE=§,AC=6,求。。的半徑.

【答案】(1)詳見解析

(2)0。的半徑為g

【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)及判定，圓周角定理，解直角三角形.

(1)根據(jù)題意連接。。，利用圓周角定理得ZB"=90。，繼而得NADC=NOD”,又因為0/=。。，所以

NBDC=ZE；

(2)根據(jù)題意證明ABCDSAD。，繼而得g=竺，tanE=tan/=：,所以竺=：,所以的

DCCADA3DA3

半徑為g

【詳解】（1）解：證明：連接。。，如圖所示,

則CD_LO。，NCDO=90。.

AB為直徑，

ABDA=90°.

ZCDO-ZBDO=ABDA-ZBDO,BPZBDC=ZODA.

OA=OD,

：.ZODA=ZA.

ZBDC=ZA.

??.NA=NE.

；.NBDC=NE.

(2)解：由(1),得/BDC=NA.

又?：/BCD=/DCA,

MBCDSADCA.

BCCDBD

'^C~~CA~^A'

尸，2

,rtanE=tanA=—,

3

BD_2

???

DA3

設(shè)oo的半徑為r,貝U噌1=竽=：.

DCo3

C￡?=4,r=~.

3

???O。的半徑為g.

考點十90度的圓周角所對的弦是直徑（共4題）

1.如圖，Rt/CB的斜邊與半圓的直徑48重合放置，NNCB=90。，點M為4B上任意一點，連接O0交

半圓于N點，連接8N,若48c=35。，則/3NC的度數(shù)為（）

A.60°B.55°C.50°D.30°

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角的定理，掌握圓周角定理是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)N/C5=90。，以點。為圓心的半圓。的直徑和力8重合，可知點C在以點。為圓上，由43C=35。，得

ZCAB=55°,根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可求解.

【詳解】解：???N/C8=90。，以點。為圓心的半圓。的直徑和48重合，

.??點C在以點。為圓心的圓上，

■.■ZABC=35°,

ZCAB=180°-35°-90°=55°,

--CB=CB'

NBNC=ABAC=55°,

故選：B.

2.如圖，圓內(nèi)四邊形48c滿足：AD1DC,ZADB=60°,ZACD=45°,CD=60,則48=.

【答案】3076

【分析】本題主要考查了圓周角定理，解直角三角形.根據(jù)圓周角定理可得NC為直徑，可求出

AC=6Q也，在中，解直角三角形，即可求解.

【詳解】解：???AD^DC,即NNOC=90。，

.XC為直徑，

???AACD=45°,CD=60,

：,ZACD=ZCAD=45°,

.?.AD=CD=60,

???AC=60V2，

?.?/ACB=ZADB=6U。,

AB=ACxsinNACB=6072x—=3076.

2

故答案為：30A/6.

3.如圖所示，四邊形內(nèi)接于。O,NB=50o,/ACD=25°,NBAD=65。.

(1)AD=CD；

(2)/5是。。的直徑.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】⑴連接加，根據(jù)圓周角定理得Z1=/4CQ=25。，再由//8。=50。可計算出/2=25。，則痛=而，

然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得到

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出ZADB=180°-Zl-/BAD=90。,則根據(jù)圓周角的推理即可得到AB為

的直徑.

【詳解】(1)證明：連接5。，如圖，

???Zl=AACD=25°,

而445。=50。，

Z2=/ABC-Zl=50°-25°=25°,

Zl=Z2,

-AD=CD

AD=CD-

A

AD

(2);/BAD=65°,Zl=25°,

ZADB=18O°-Z1-ABAD=180°-65°-25°=90°,

48為。。的直徑.

【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

4.如圖，在三角形中，ZCAB=90°.

（1）作OO,使它過點/、B、C（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）

⑵在（1）所作的O。中，若乙4。2=60。，48=3,求/C的長.

【答案】（1）見解析

（2）/C=3G

【分析】（1）作2c的垂直平分線得到5c的中點。，然后以。點為圓心，為半徑作圓即可;

（2）先判斷ACMB為等邊三角形，得出3c=6,然后根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，

（2）解：如圖，連接49,

vZC45=90°

AO=BO,又N4O5=60。，AB=3

???△4Q8是等邊三角形，

.??/5=60。，

.-.ZC=30°

.1.BO=AB=3

BC=6,

AC=JBC-AC。=V62-32=373

【點睛】本題考查了作三角形的外接圓，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

考點十一圓內(nèi)接四邊形定理（共4題）

1.如圖，48是半圓O的直徑，點C,。在半圓。上.若/48C=50。，則/即。的度數(shù)為（）

130°C.140°D.150°

【答案】C

【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直徑所對的圓周角是直角，先根據(jù)直

徑所對的圓周角是直角得到NNCB=90。，再由三角形內(nèi)角和定理求出NN=40。，據(jù)此根據(jù)圓內(nèi)角四邊形對

角互補進行求解即可.

【詳解】解：r/B是半圓。的直徑,

ZACB=90°,

■■ZABC=50°,

.?.NN=90°-50°=40°,

ABDC=18O°-Zy4=140°,

故選：C.

2.如圖，四邊形48co內(nèi)接于。O,過點B作BE〃4D,交CO于點E.若NBEC=50°,則/4BC等于

度.

【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，先由兩直線平行，同位角相等得到

ND=NBEC=50°,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補進行求解即可.

【詳解】解：「BE〃AD,

ZD=NBEC=50°,

???四邊形ABCD內(nèi)接于。。，

ZABC+ZD=1？,0°,

3c=130°,

故答案為：130.

3.如圖，在中，AB=AC,以4B為直徑作OO,分別交8C、NC于點。、E,連結(jié)血、ED.

⑴求證：點。是8c的中點；

⑵若ZEDC=50°，則ZBAD=

【答案】(1)見解析

(2)25°

【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例性質(zhì)，也考查了等腰三角形

的性質(zhì).

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得到=/B=/C,再判斷QD〃/C,然后利用平行線分線段成比

例得到5。=。。；

（2）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到/8/。=180。-/8。￡=50。，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出NA4Q的度

數(shù).

【詳解】（1）證明：如圖，連接。。，

/B=/ODB,

???AB=ACf

/B=/C,

ZODB=ZC,

/.OD//AC,

BOBD,

/.——二——二1,

OADC

BD=DC,

「?點。是3c的中點；

(2)vZEDC=50°,

ZBDE=180。-/EDC=130。，

.??四邊形48。石為。O的內(nèi)接四邊