圓與正多邊形【單元卷考點卷】(21大核心考點)解析版-2024-2025學(xué)年滬教版九年級數(shù)學(xué)下冊_第1頁
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文檔簡介

圓與正多邊形(21大核心考點)

考點一圓的基本概念(共4題)

1.下列說法正確的是()

A.半圓是弧B.過圓心的線段是直徑

C.弦是直徑D.長度相等的兩條弧是等弧

【答案】A

【分析】利用圓的有關(guān)定義分別判斷即可.

【詳解】解:A、半圓是弧,正確,符合題意;

B、過圓心的弦是直徑,故原命題錯誤,不符合題意;

C、直徑是弦,但弦不一定是直徑,故原命題錯誤,不符合題意;

D、在同圓或等圓中,長度相等的兩條弧是等弧,故原命題錯誤,不符合題意.

故選:A.

【點睛】本題考查了圓的認識,解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì).

2.己知,如圖4。是。。的弦,=30°,點C在弦42上,連結(jié)CO并延長交。。于點。,

/。=35。,則/氏4。的度數(shù)是

【答案】65°

【分析】本題考查圓的基本性質(zhì),等邊對等角,解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出輔助線本題屬于基礎(chǔ)題型.

連接CM,根據(jù)圓的半徑都相等即可求出答案.

【詳解】解:連接04,

ZOAB=ZOBA=30°,

???OA=OD,

ZD=ZDAO=35°,

ZBAD=35°+30?=65°,

故答案為:65°.

3.如圖,點。是同心圓的圓心,大圓半徑。4,08分別交小圓于點C,D,求證:AB//CD.

【答案】見解析

【分析】本題考查了圓的半徑相等.利用半徑相等得到則利用等腰三角形的性質(zhì)得

N0CD=N0DC,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到/OS>=g(180。-/。),同理可得/。48=:(180。一N。),

則NOCD=NOAB,然后根據(jù)平行線的判定即可得到結(jié)論.

【詳解】證明:,?,OC=OD,

NOCD=NODC,

ZOCZ)=1(180°-ZO),

???OA=OB,

NOAB=AOBA,

.?.ZO^5=1(180°-ZO),

ZOCD=ZOAB,

AB//CD.

4.設(shè)/B=2c加,作圖說明滿足下列要求的圖形:

(1)到點/和點B的距離都等于1.5c加的所有點組成的圖形.

(2)到點/的距離小于1.5c加且到點8的距離大于kw的所有點組成的圖形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了圓的認識:掌握與圓有關(guān)的概念(弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、

等弧等).

(1)分別以點48為圓心,1.5c加為半徑畫。/和則到點/和點8的距離都等于1.5c加的點為兩圓的

公共部分,即它們的交點;

(2)到點/的距離小于1.5c加的點在以4點為圓心,1.5c加為半徑圓內(nèi);到點3的距離大于1c機的所有點在

以8點為圓心,1c加為半徑的圓外.

【詳解】(1)解:如圖1,

圖1

分別以點43為圓心,1.5c%為半徑畫O/和08,它們的交點為所求;

(2)解:以/點為圓心,1.5c加為半徑畫以2點為圓心,1的為半徑畫。8,

如圖2,。/和。8相交于尸和。,則在。/內(nèi),除去。/與。5的公共部分為所求.

考點二求一點到圓上點距離的最值(共4題)

1.在同一平面內(nèi),已知。。的半徑為4,圓心。到直線/的距離為6,P為圓上的一個動點,則點P到直線

/的距離不可能是()

A.2B.6C.10D.14

【答案】D

【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,根據(jù)題意可知圓上的點尸到直線/的最短距離為2,最長距離為

10,據(jù)此判斷即可,掌握直線與圓的位置與圓心到直線的距離之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:如圖,

由題意得,0/=4,OB=6,

當(dāng)點P在2。的延長線與。。的交點時,點尸到直線/的距離最大,

此時,點尸到直線/的最大距離是6+4=10,

當(dāng)點P在與。。的交點時,點P到直線/的距離最小,

此時,點尸到直線/的最小距離是6-4=2,

點尸到直線/的距離2Wd41。

故點P到直線I的距離不可能是14,

故選:D.

2.如圖,乙42c=60°,點。在射線8c上,05=4,以。為圓心在3c的上方作半徑為1的半圓,點M,

N分別是射線氏4,半圓上的動點,連接MN,則的最小值為.

【答案】2V3-1/-1+2V3

【分析】本題考查垂線段最短,解直角三角形,圓的性質(zhì),掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

過點。作。川,24于點交半圓。于點N,此時最小,解可得的長度,利用

TW=(W-ON求解即可.

【詳解】如圖,過點。作(W,84于點交半圓。于點N,

■:MN=OM-ON,ON=1,

.,.當(dāng)最小時,"N就最小,

OM±BA,

.??此時上W最小,

在RtZXOW中,02=4,/ABC=60。,

■-OM=OB-sinZABC=4xsin60°=2百,

,?的最小值為:(W-ON=2百-1.

故答案為:26-1.

3.如圖,已知等邊A48C的邊長為8,點、P是4B邊上的一個動點(與點/、B不重合).直線I是經(jīng)

過點P的一條直線,把A42C沿直線I折疊,點B的對應(yīng)點是點方.當(dāng)PB=6時,在直線1變化過程

中,求A4C9面積的最大值.

【答案】4百+24

【分析】如圖,過點P作尸當(dāng)夕,P,H共線時,△4CB'的面積最大,求出用的長即可解決問

題.

【詳解】解:如圖,過點尸作PHL4C,

由題可得,2’在以尸為圓心,半徑長為6的圓上運動,

當(dāng)HP的延長線交圓P于點8'時面積最大,

在MA4PH中,?:AB=8,PB=6,

PA=2,

?.?△48C是等邊三角形,

ZPAH=60°,

AH=1,PH=B

:.BH=6+y/3,

SQACB'的最大值為:X8X(6+我=46+24.

【點睛】本題考查圓與三角形綜合問題,根據(jù)題意構(gòu)造出圖形是解題的關(guān)鍵.

4.如圖,菱形4BCD中,乙4=60。,AB=3,05的半徑分別為2和1,P、E、F分別是邊CD、QB

和ON上的動點,求PE+P尸的最小值.

【答案】3

【分析】由題意易得N/=/C=60。,BE=\,AF=2,進而把問題轉(zhuǎn)化為求PB+尸/-3的最小值,即為求

產(chǎn)3+尸/的最小值,過點2作AP1CD,并延長,交AD的延長線于點8',進而問題可求解.

【詳解】解:由題意得5E=1,AF=2,

?.,四邊形48c是菱形,AB=3,

ZA=ZC=60°,AB=AD=CD=BC=3,

欲求PE+尸尸的最小值,需先求產(chǎn)3+尸/-3的最小值,即求產(chǎn)8+尸工的最小值(如圖5-2),

過點8作5Ple£),并延長,交的延長線于點如圖5-3,

;./CPB=90°,

???ZA=ZC=60°,AB=AD=CD=BC=3,BC\\AD,

■.ZCBP=30°,

113

.-.PC=-BC=-CD=-,ACBP=AB'=30°,

222

PC=DP,

■■■2cPB=ZDPB'=90°,

ACPBWDPB',

BP=B'P,即點2與?關(guān)于DC對稱,

.■.PB+PA的最小值為AB',AB'=1AB=6,

■.PE+PF的最小值等于3.

【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì),熟練掌握菱形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點三圓的周長和面積問題(共4題)

1.如圖,一塊四邊形綠化園地,四角都做有半徑為R的圓形噴水池,則這四個噴水池占去的綠化園地的面

積為()

2

A.2兀RB.4萬Ji。C.TIR2D.不能確定

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形的特征,四邊形內(nèi)角和為360。,可得四個噴水池的面積之和正好等于一個半徑為R的圓

的面積.

【詳解】解:因為四邊形內(nèi)角和為360。,

所以四個噴水池的面積之和正好等于一個半徑為R的圓的面積,

即這四個噴水池占去的綠化園地的面積為兀友.

故選:C

【點睛】本題主要考查了四邊形的內(nèi)角和以及圓面積公式,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360。。

得到四個噴水池的面積之和正好等于一個半徑為7?的圓的面積.

2.某校社團實踐活動中,有若干個同學(xué)參加.先到的〃個同學(xué)均勻圍成一個以。點為圓心,1m為半徑的圓

圈,如圖所示(每個同學(xué)對應(yīng)圓周上一個點).

⑴若〃=6,則相鄰兩人間的圓弧長是m.(結(jié)果保留兀)

(2)又來了兩個同學(xué),先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移。米,再左右調(diào)整位置,使這("+2)個同學(xué)之

間的圓弧長與原來〃個同學(xué)之間的圓弧長相等.這(“+2)個同學(xué)排成圓圈后,又有一個同學(xué)要加入隊伍,重

復(fù)前面的操作,則每人須再往后移方米,才能使得這("+3)個同學(xué)之間的圓弧長與原來〃個同學(xué)之間的圓弧

長相同,則2=.

a

【答案】y兀|1

【分析】本題考查圓的周長和弧長,

(1)先計算出圓的周長,再計算出圓的弧長即可;

(2)先計算出半徑往后移。米的圓的周長,求出弧長,根據(jù)弧長相等建立等式即可求出“,再計算出6,即

可得到答案.

【詳解】解:(1)當(dāng)〃=6時,圓的周長為:2%,

???相鄰兩人間的圓弧長是?=£,

63

故答案為:—;

(2)又來了兩個同學(xué)后圓的周長為:2%(l+a),

71

--------=—,

6+23

1

:.a=—,

3

當(dāng)又有一個同學(xué)要加入隊伍后,圓的周長為:2萬(1+〃+9,

2萬(1+4+6)71

-----------=—,

6+2+13

:.b=—,

6

b1

故答案為:—

3.如圖,一個運動場是由兩個半圓形和一個長為100米,寬為60米的長方形構(gòu)成(IT取3).

(1)求這個運動場的周長是多少米?

⑵已知整個運動場由草坪和塑膠跑道組成埋膠跑道和草坪的面積比為2:3,每平方米塑膠的價格為120元比

每平方米草坪的價格高g,則購買鋪滿該運動場所需要的塑膠和草坪的總費用是多少元?

【答案】(1)380

(2)918720

【分析】(1)根據(jù)題意利用圓周長公式及矩形周長公式解答即可;

(2)根據(jù)題意利用圓面積公式及矩形面積公式解答即可.

【詳解】(1)解:???一個運動場是由兩個半圓形和一個長為100米,寬為60米的長方形構(gòu)成,

???運動場的周長為:兀x60+2x100a380(米),

故答案為:380.

(2)解:根據(jù)題意,運動場是由兩個半圓形和一個長為100米,寬為60米的長方形構(gòu)成,

???運動場的面積為+100x60=3x900+6000=8700(平方米),

???塑膠跑道和草坪的面積比為2:3,

2

二塑膠跑道面積為:8700x-=3480(平方米),

3

草坪面積為:8700x-=5220(平方米),

???每平方米塑膠的價格為120元,比每平方米草坪的價格高(,

.?.每平方米草坪的價格為:120x(l)=96(元),

工總費用為:3480X120+5220X96=417600+501120=918720(元),

故答案為:918720.

【點睛】本題考查圓周長計算,矩形周長計算,圓面積計算,矩形面積計算.

4.某同學(xué)用所學(xué)過的圓與扇形的知識設(shè)計了一個問號,如圖中陰影部分所示,已知圖中的大圓半徑為4,

兩個小圓的半徑均為2,請計算圖中陰影部分的周長和面積.

【答案】陰影部分的周長為44.82,陰影部分的面積為40.82

【分析】根據(jù)圓的周長和面積公式分別求出陰影的周長和面積,再進行運算即可.

3

【詳解】解:。陰影=2(&大圓一R小圓)+大圓+。小圓)+。小圓

3

=2x(4-2)+—x(2^x4+2^x2)+2^x2

=4+13?

p44.82;

3

s陰影=彳(s大圓+s小圓)+S小圓

3

=W("x42+乃x2?)+"x2?

=13%

?40.82.

答:陰影部分的周長為44.82,陰影部分的面積為40.82.

【點睛】本題考查了圓的面積、周長公式的運用;能夠熟練運用公式,并正確化簡計算是解題的關(guān)鍵.

考點四利用垂徑定理求值(共4題)

1.如圖,已知的半徑為5,弦4B的長為8,半徑。。過的中點C,則OC的長為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理,勾股定理.熟練掌握垂徑定理,勾股定理是解題的關(guān)鍵.

如圖,連接。4,則。4=5,由垂徑定理得,AC=^AB=4,OD±AB,由勾股定理得,

OC=^OA2-AC2>計算求解即可.

【詳解】解:如圖,連接04,則。/=5,

???弦AB的長為8,半徑OD過的中點C,

.-.AC=—AB=4,OD±AB,

2

由勾股定理得,0C=d0A2-4C。=3,

故選:B.

2.如圖,4B是。。的弦,OC1AB,垂足為C,將劣弧標沿弦4B折疊交0C于點D,OD=^OC,若

【分析】本題主要考查了垂徑定理,勾股定理,折疊的性質(zhì)等知識點,如圖,延長OC交。。于£,連接

0A,設(shè)0D=x,則CD=2x,CO=3x,利用折疊的性質(zhì)得CE=CD=2x,則OE=5x=Q4,再根據(jù)垂徑定

理得到AC=BC=^AB=4,在RSCMC中利用勾股定理得(5x『=(3x『+4',然后求出x即可得到OO的半

徑,熟練掌握其性質(zhì),合理添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖,延長。。交。。于E,連接CM,設(shè)OD=x,則CD=2x,CO=3x,

???劣弧荔沿弦折疊交0C于。,

/.CE=CD=2x,

???OE-CD+CE+OD=2%+2x+x=5x=OA,

???OCLAB,

.-.AC=BC=-AB=4,

2

在RM。4c中,(5x)2=(3x)2+42,

解得x=l(負值舍去),

:.OE=5,

???o。的半徑為5,

故答案為5.

3.如圖,OA=OB,48交。。于點C,D,OE是半徑,且0E_L48于點E

E

⑴求證:AC=BD;

(2)若C£>=6,EF=\,求OO的半徑.

【答案】(1)證明見解析

(2)0。的半徑是5.

【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識;

(1)由垂徑定理得C尸尸,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得“尸=8尸,再根據(jù)線段的和差關(guān)系可得結(jié)論;

(2)連接。C,結(jié)合垂徑定理和勾股定理列方程求解即可.

【詳解】(1)證明:?.?OE_L48,CO為OO的弦,

CF=DF,

???OA=OB,0E1AB,

:.AF=BF,

AF-CF=BF-DF,

:.AC=BD;

(2)解:如圖,連接。C,

OELAB,CD為O。的弦,

E

CF=-CD=3,NOFC=90°,

2

■-CO2=CF2+OF2

設(shè)。。的半徑是「,

.-.r2=32+(r-l)2,

解得r=5,

。。的半徑是5.

4.如圖所示,4B是。。的一條弦,ODYAB,垂足為C,交O。于點。,點E在。。上.

D

⑴若44。。=64。,求ZDE2的度數(shù);

(2)若0c=6,OA=10,求48的長.

【答案】(1)32。

⑵16

【分析】本題考查圓周角定理的推論,垂徑定理和勾股定理,關(guān)鍵是掌握并熟練應(yīng)用以上知識點.

(1)由垂徑定理得益=而,由圓周角定理推論可求ZDE8;

(2)由垂徑定理得NC=5C,應(yīng)用勾股定理即可計算.

【詳解】(1)解:(1)ODVAB,

AD=BD,

ZDEB=-ZAOD=-x64°=32°.

22

(2)(2)-.-OD1AB,

AC=BC,

在RtACMC中,由勾股定理可得

="_0c2,

■■■AC2=102-62,

/C=8,

:.AB=2AC=16.

考點五垂徑定理的推論(共4題)

1.如圖,的直徑42經(jīng)過弦CD的中點£,連接/C,BD,若44=32。,則/B的度數(shù)為()

A.56°B.58°C.60°D.62'

【答案】B

【分析】本題主要考查了圓周角定理,垂徑定理,三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用,先根據(jù)垂徑定理得出AB1.CD,

再根據(jù)同弧所對的圓周角相等,得出/。=44=32。,即可求出結(jié)果.

【詳解】解:的直徑48經(jīng)過弦。的中點E,

ABLCD,

ZDEB=90°,

BC=BC,

ZD=ZA=32°,

.?.Z5=90°-ZD=58°,

故選:B.

2.如圖,/C是。。的弦,半徑03經(jīng)過NC的中點。.若//CO=43。,則的大小為

【答案】47。/47度

【分析】本題考查了垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì),熟知等腰三角形的性質(zhì)以及直

角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.根據(jù)垂徑定理的推理得08,NC,再利用三線合一及直角三角形的性質(zhì)

解答即可.

【詳解】解:???半徑08經(jīng)過ZC的中點O.

-.031AC,

:0C^0A,

;./A0B=/B0C,

???//CO=43°,OB±AC,

ZAOB=ZBOC=90°-43°=47°,

故答案為:47。.

3.如圖,以為直徑的。。經(jīng)過△ABC的頂點C,。是的中點,連接AD、。。分別交NC于點E、

F.

Q)若DE=2,BE=6,求。。的面積.

【答案】(1)見詳解

(2)20萬

【分析】(1)由圓周角定理和垂徑定理可得//65=90。=/0巫,可得結(jié)論;

(2)由相似三角形的性質(zhì)可得要=2=等="設(shè)。尸=2x,則3C=6x,分別求出CE=3x,EF=x,

DLL£>CC/SJ

由勾股定理可求X的值,即可求解.

【詳解】⑴證明:?.?點。是北的中點,0D過圓心,

j.ODVAC,AF=CF,

vAB是直徑,

ZACB=90°=ZDFE,

又/DEF=NCEB,

:ADEFSABEC;

(2)解:ADEFsABEC,

.DE_DF_EF_2

-5E__CF-6-3?

設(shè)DF=2x,則BC=6x,

AO=BO,AF=CF,

:.OF=-BC=3x,

2

OD-5x=OA,

AF=yjAO2-OF2=V25X2-9X2=4x=C尸,

CE=3x,EF-x,

\'DE2=EF2+DF2,

4=5/,

:.x=還(負值舍去),

5

DO=245,

G)O的面積=OD?=207.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,垂徑定理的推論及圓周角定理,三角形中位線

定理等知識,證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

4.如圖,在平面直角坐標系中,/(0,4),5(4,4),C(6,2).

(1)在圖中畫出經(jīng)過A,B,C三點的圓弧所在圓的圓心M;

⑵點M的坐標為

【答案】(1)見解析

⑵(2,0)

【分析】本題考查了確定圓的條件和坐標與圖形性質(zhì)的知識點,解決本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)垂徑定理的推

論得到圓心的位置.

(1)作弦和3c的垂直平分線,交點即為圓心;

(2)根據(jù)點河的位置寫出坐標即可.

【詳解】(1)如圖,點M即為所求,

(2)如圖所示,則圓心為(2,0),

故答案為:(2,0).

考點六垂徑定理的實際應(yīng)用(共4題)

1.如圖是一根裝有水的圓柱形排水管道截面圖,已知水面的寬為0.8米,水面與管道上端的最大距

離為0.2米,則水面距管道底部的最大深度為()

C.0.2米D.0.8米

【答案】D

【分析】本題考查了圓的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識點.根據(jù)垂徑定理、勾股定理求出圓的半徑,

進一步計算即可得.

【詳解】解:如圖,設(shè)圓心為點。,過點。作OCL4B于點C,延長C。交圓。于點。和E,連接。工,

由圓的性質(zhì)可知,42=0.8米,CE=0.2米,水面N8距管道底部的最大深度為。的長,

設(shè)圓的半徑為CU=00=x,

由垂徑定理得:AC=^AB=GA,OC=(x-0.2),

222

在Rt^/OC中,0。2=0/2一/。2,gp(x-o,2)=X-0.4,

解得x=0.5,

即水面AB距管道底部的最大深度為0.5x2-0.2=0.8米,

故選:D.

2.趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早,保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖,主橋拱呈圓弧形,跨度

約為37m,拱高約為7m,則趙州橋主橋拱半徑約為m(結(jié)果保留整數(shù))

*

o

【答案】28

【分析】本題考查了垂徑定理,勾股定理,由題意可知,NB=37m,CZ)=7m,主橋拱半徑凡根據(jù)垂徑定

理,得到ZQ=當(dāng)m,再利用勾股定理列方程求解,即可得到答案.

【詳解】解:如圖,由題意可知,4B=37m,CD=7m,主橋拱半徑七

:。。是半徑,且

137

AD=BD=—AB=——m,

22

在RtAADO中,AD2+OD2=OA2,

解得:R=~~28m,

56

故答案為:28.

3.根據(jù)素材解決問題:

設(shè)計貨船通過拱橋的方案

素左圖中有一座圓拱石橋,右圖是其圓形

材橋拱的示意圖,測得水面寬4B=16m,

1拱頂離水面的距離CD=4m.

素如圖,一艘貨船露出水面部分的橫截面EH

材為矩形EFGH,測得=12m,

2EF=2.1m.因水深足夠,貨船可以根FG

據(jù)需要運載貨物.據(jù)調(diào)查,貨船的載重

量每增加1噸,則船身下降0.01m.

問題解決

務(wù)確定橋拱半徑(1)求圓形橋拱的半徑;

1

任(2)根據(jù)圖3狀態(tài),貨船能否通過圓形拱橋?若能,最多

務(wù)擬定設(shè)計方案還能卸載多少噸貨物?若不能,至少要增加多少噸貨物才

2能通過?

【答案】(1)10m(2)10噸

【分析】本題考查垂徑定理,勾股定理,任務(wù)1,設(shè)圓心為點O,則點。在CD延長線上,延長。,則CD

經(jīng)過點O,連結(jié)ZO,設(shè)橋拱的半徑為,加,則0O=(r-4)m,由勾股定理,垂徑定理,列出關(guān)于半徑的方

程,即可解決問題;

任務(wù)2,由勾股定理得到貨船不能通過圓形橋拱,通過計算,即可得到需要增加的貨物的噸數(shù).

【詳解】解:任務(wù)1,設(shè)圓心為點。,則點。在8延長線上,延長CD,則CD經(jīng)過點O,連結(jié)/。,如圖,

設(shè)橋拱的半徑為,如,則卜-4)m,

OCVAB,

AD=BD=—AB=8m,

2

-:OD2+AD2=OA\

(r-4)2+82=r2,

r=10,

???圓形拱橋的半徑為10m.

任務(wù)2,根據(jù)圖3狀態(tài),貨船不能通過圓形橋拱,至少要增加10噸的貨物才能通過.理由:

當(dāng)瓦/是OO的弦時,£8與。。的交點為連接OE,OH,如圖,

???四邊形環(huán)GH為矩形,

:.EH//FGf

OCLAB,

EH=12m,AB=16m,

OMLEH.

EM=-EH=6,

2

OM=yJOE2-EM2=8,

?:OD=OC-CD=6,

DM=8—6=2,

???根據(jù)圖3狀態(tài),貨船不能通過圓形橋拱,

二船在水面部分可以下降的高度為2.1-2=0.1.

,??貨船的載重量每增加1噸,則船身下降0.01m,

100x0.1=10噸,

二至少要增加10噸的貨物才能通過.

4.如圖所示的是一個半圓形拱橋的截面示意圖,圓心為。,直徑是河底線,弦CO是水位線,已知拱橋

的跨度=13m,若測得某時水面寬度CO=12m,求水深OE.

【答案】2.5m

【分析】本題主要考查了垂徑定理的實際應(yīng)用,勾股定理的實際應(yīng)用,如圖所示,連接OC,利用垂徑定理

得到CE=6m,再利用勾股定理可得OE=yjoC1-CE1=2.5m.

【詳解】解:如圖所示,連接。C,

由題意得,OC=-gN2=6.5m,OELCD,

.-.CE=-CD=6m,

2

在Rt^COE中,由勾股定理得。石=Joe?-。爐=2.5m,

考點七圓心角的概念(共4題)

1.如圖,為。。的直徑,點C,。在。。上.若/8CD=100。,則4。。的度數(shù)是()

【答案】B

【分析】連接NC,由是圓的直徑可得"C3=90。,由以CD=100。可得乙4CD=10。,再由圓周角定理可得

結(jié)論.

【詳解】解:如圖,連接/C,

??.zJCS=90°,

???z5CZ)=100o,

.?.乙4c£)=10°,

■:^AOD與乙4CD都對著萬),

???/.AOD=2^ACD=2x10°=20°.

故選:B.

【點睛】此題考查了圓周角定理,解題的關(guān)鍵是熟記圓周角定理.

2.如圖,是。。的直徑,BC^CD=DE,NCOO=48。,則/80E的度數(shù)為.

【分析】根據(jù)同弧所對的圓心角相等求出/DOE=/DOC=/80C=48。,進而求解即可.

【詳解】■BC^CD=DE<ZCOD=4S°,

ZDOE=ZDOC=ZBOC=48°

NBOE=NDOE+/DOC+ZSOC=48°x3=144°.

故答案為:144°.

【點睛】此題考查了同弧所對的圓心角相等,解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

3.如圖,在5x5正方形網(wǎng)格中,一條圓弧經(jīng)過A,B,C三點,那么G所對的圓心角的大小是多少?

【答案】90°

【分析】連接/ABC,分別作43,3c的垂直平分線,即可得到圓心Q.分別求出CQ2,/Q2,/C2,根據(jù)

勾股定理的逆定理即可求解.

【詳解】解:連接四,BC,分別作/ABC的垂直平分線,即可得到圓心

由圖可得:CQ2=AQ2=l2+22=5,AC2=12+32=1O,

:.CQ2+AQ2=AC2,

故N/0C=9O。,

即不?所對的圓心角為90。.

【點睛】本題考查了圓心角的求解、勾股定理及其逆定理.找到圓心是解題關(guān)鍵.

4.如圖,圓心角

(1)判斷—OC和NBOD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

(2)若/COD=30。,求的度數(shù).

【答案】Q)/AOC=/BOD,見解析

⑵乙108=150°

【分析】(1)根據(jù)條件和//OD=//OC+/C。。,Z80C=Z80O+/C。。即可求解;

(2)根據(jù)第(1)問的結(jié)論和/COD=30。即可求解.

【詳解】(1)解:ZAOC=ZBOD;

vAAOD^ZAOC+ZCOD,ZBOC=ZBOD+ZCOD,ZAOD=ZBOC=90°,

:.ZAOC=ZBOD

(2)解:ZAOD=ZAOC+ZCOD,NBOC=NBOD+NCOD,ZAOD=ZBOC=90°,/COD=30°,

ZAOC=ZBOD=60°,

ZAOB=+/COD+ZBOD=60°+30°+60°=l50°;

【點睛】本題考查了簡單幾何問題,靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵.

考點八利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解(共4題)

1.如圖,在OO中,A是前的中點,點。在上.若=則乙()

A.aB.2aC.-aD.90°-a

2

【答案】C

【分析】本題考查圓周角定理及其推論、弧與圓心角關(guān)系等知識,連接。C,如圖所示,由等弧所對的圓心

角相等、同弧所對的圓周角是圓心角的一半即可得到答案,熟記圓周角定理及其推論是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解:連接OC,如圖所示:

A是前的中點,

:.BA^AC,貝l]N4OC=N/O8=a,

■:AC^AC>

:.ZADC=-ZAOC=-a,

22

故選:C.

2.如圖,G)O的直徑48=4,半徑OC_L/B,點。在弧3c上,DELOC,DFVAB,垂足分別為E、F,

若點E為OC的中點,弧C。的度數(shù)為.

【答案】60。/60度

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì),弧與圓心角的關(guān)系,等邊三角形的性質(zhì)與判定;連接。G,交E尸于點

G,進而得出四邊形OEZR是矩形,結(jié)合已知條件證明△DEG是等邊三角形,即可求解.

【詳解】解:如圖所示,連接。G,交E尸于點G,

:.OG=GD=GF

???點E為。C的中點,

DF=OE=-OC=-OD=GO

22

OE=OG=EG

.,.△DEG是等邊三角形,

.?./COD=60。,即弧CO的度數(shù)為60。

故答案為:60°.

3.如圖,在OO中,D、£分別為半徑。4、08上的點,AD=BE,C為弧48的中點,連接CD、CE、

【答案】見解析

【分析】本題考查弧與圓心角的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)等弧所對的圓心角相等得到

ZAOC=ZBOC,進而證明經(jīng)ACOE,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等可證得結(jié)論.

【詳解】證明:;。、E分別為半徑04、上的點,AD=BE,

OA-AD=OA-BE,貝ljOD=OE,

???C為弧AB的中點,

AC=BC,

ZAOC=ZBOC,

在△CO。和△COE中,

OD=OE

</DOC=ZEOC

oc=oc

.-.△COZ)^ACO£(SAS),

:.CD=CE.

4.已知/。是。。的弦,點B在。。上,連接04OGOB,/BOC=400.

(1)如圖①,當(dāng)前時,ZOAC=。;

(2)如圖②,當(dāng)時,ZAOC=<

(3)如圖③,當(dāng)時,/AOB=°

【答案】(1)70

(2)100

(3)100

【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理.

(1)根據(jù)等弧所對圓心角相等,求得/4。。=/8。。=40。,再利用等邊對等角即可求解;

(2)利用平行線的性質(zhì)求得乙4CO=400=40。,再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解;

(3)先證明△ZOC是等邊三角形,求得乙400=60。,據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解:??,ZBOC=40。,AC=BC^

.-.ZAOC=ZBOC=40°,

-OA=OC,

1800-40°

AOAC=ZOCA=-------------=70°,

2

故答案為:70;

(2)解:?.?Z8OC=40。,AC//OB,

??.NACO=ABOC=40°,

-OA=OC,

NZOC=180。—2義40。=100。,

故答案為:100;

(3)W:-OA=OC=OBf又AC=OB,

/.OA=OC=AC,

???△4OC是等邊三角形,

ZAOC=60°,

???ZBOC=40°f

.-.2^05=60°+40°=100°,

故答案為:100.

考點九圓周角定理(共4題)

1.如圖,4。為。。的直徑,點5,。在。。上,ZABD=60°,CD=2,則力。的長為()

A.2B.2V2C.2百D.4

【答案】C

【分析】本題考查圓周角定理及勾股定理,根據(jù)同弧所對圓周角相等及直徑所對圓周角是直角得到

/ACD=/ABD=60。,ZADC=90°f根據(jù)。。=2得到ZC=2CZ>=4,最后根據(jù)勾股定理求解即可得到答案

【詳解】解:???4。為。。的直徑,

??.ZADC=90°,

'-AD=AD^AABD=60°,

.?.ZACD=/ABD=60°,

.?.N"C=90。-60。=30。,

???CD=2,

AC=2CD=4,

AD=A/42-22=273>

故選:C.

2.如圖,4B是OO的直徑,8是弦,ND4B=46。,則44CD=

【分析】本題考查圓周角定理.連接3D,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角知N4D8=90。,由直角三角形兩

銳角互余得的度數(shù),再根據(jù)圓周角定理即可得解.

【詳解】解:連接8。,

AADB=90°,

:.NDBA=90°-NDAB=90°-46°=44°,

?.?圓周角4cD、NDB4所對的弧是石,

ZACD=ZDBA=44°.

故答案為:44.

3.如圖,△4BC內(nèi)接于。。,C為初的中點,D在前上,連接AD.若4D,BC,垂足為E,直線。C

分別交/D,于點尸,G

c

(1)求證:CGIAB;

(2)求證:EF=DE.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余,垂直平分線的判定以及圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì)

與判定,正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)連接04、OB,先得就=前,則/C=8C,因為半徑相等,得出。、C都在4B的垂直平分線上,

即可作答.

(2)先由直角三角形的兩個銳角互余,得NB=NCFE,運用圓周角定理得48=/。,然后結(jié)合等角對等

邊,則CF=CD.故△以明是等腰三角形,再結(jié)合三線合一,即可作答.

【詳解】(1)證明:連接CM、OB,如圖,

為優(yōu)弧AB的中點,

AC=BC,

AC=BC,

又OA=OB,

:.o.C都在42的垂直平分線上,

即CG是垂直平分線,

CG1AB-,

(2)證明:連接CD,如圖,

c

ADVBC,CG-LAB,

ZCFE+ZBCG=90°,ZB+ZBCG=90°,

:.ZB=ZCFE,

vAC=ACf

:.ZB=ZD,

ZCFE=ZD,

/.CF=CD.

???△c產(chǎn)。是等腰三角形,

又AD_LBC,

EF=DE;

4.如圖,為。。的直徑,D,E是。。上的兩點,且在直徑45的兩側(cè),過點。作。。的切線交Z5的延

長線于點G連接BE、DE,BD.

⑴求證:ZBDC=ZE.

2

(2)若tanE=§,AC=6,求。。的半徑.

【答案】(1)詳見解析

(2)0。的半徑為g

【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)及判定,圓周角定理,解直角三角形.

(1)根據(jù)題意連接。。,利用圓周角定理得ZB"=90。,繼而得NADC=NOD”,又因為0/=。。,所以

NBDC=ZE;

(2)根據(jù)題意證明ABCDSAD。,繼而得g=竺,tanE=tan/=:,所以竺=:,所以的

DCCADA3DA3

半徑為g

【詳解】(1)解:證明:連接。。,如圖所示,

則CD_LO。,NCDO=90。.

AB為直徑,

ABDA=90°.

ZCDO-ZBDO=ABDA-ZBDO,BPZBDC=ZODA.

OA=OD,

:.ZODA=ZA.

ZBDC=ZA.

??.NA=NE.

;.NBDC=NE.

(2)解:由(1),得/BDC=NA.

又?:/BCD=/DCA,

MBCDSADCA.

BCCDBD

'^C~~CA~^A'

尸,2

,rtanE=tanA=—,

3

BD_2

???

DA3

設(shè)oo的半徑為r,貝U噌1=竽=:.

DCo3

C£?=4,r=~.

3

???O。的半徑為g.

考點十90度的圓周角所對的弦是直徑(共4題)

1.如圖,Rt/CB的斜邊與半圓的直徑48重合放置,NNCB=90。,點M為4B上任意一點,連接O0交

半圓于N點,連接8N,若48c=35。,則/3NC的度數(shù)為()

A.60°B.55°C.50°D.30°

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角的定理,掌握圓周角定理是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)N/C5=90。,以點。為圓心的半圓。的直徑和力8重合,可知點C在以點。為圓上,由43C=35。,得

ZCAB=55°,根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可求解.

【詳解】解:???N/C8=90。,以點。為圓心的半圓。的直徑和48重合,

.??點C在以點。為圓心的圓上,

■.■ZABC=35°,

ZCAB=180°-35°-90°=55°,

--CB=CB'

NBNC=ABAC=55°,

故選:B.

2.如圖,圓內(nèi)四邊形48c滿足:AD1DC,ZADB=60°,ZACD=45°,CD=60,則48=.

【答案】3076

【分析】本題主要考查了圓周角定理,解直角三角形.根據(jù)圓周角定理可得NC為直徑,可求出

AC=6Q也,在中,解直角三角形,即可求解.

【詳解】解:???AD^DC,即NNOC=90。,

.XC為直徑,

???AACD=45°,CD=60,

:,ZACD=ZCAD=45°,

.?.AD=CD=60,

???AC=60V2,

?.?/ACB=ZADB=6U。,

AB=ACxsinNACB=6072x—=3076.

2

故答案為:30A/6.

3.如圖所示,四邊形內(nèi)接于。O,NB=50o,/ACD=25°,NBAD=65。.

(1)AD=CD;

(2)/5是。。的直徑.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】⑴連接加,根據(jù)圓周角定理得Z1=/4CQ=25。,再由//8。=50。可計算出/2=25。,則痛=而,

然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得到

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計算出ZADB=180°-Zl-/BAD=90。,則根據(jù)圓周角的推理即可得到AB為

的直徑.

【詳解】(1)證明:連接5。,如圖,

???Zl=AACD=25°,

而445。=50。,

Z2=/ABC-Zl=50°-25°=25°,

Zl=Z2,

-AD=CD

AD=CD-

A

AD

(2);/BAD=65°,Zl=25°,

ZADB=18O°-Z1-ABAD=180°-65°-25°=90°,

48為。。的直徑.

【點睛】本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的

圓心角的一半.推論:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90。的圓周角所對的弦是直徑.

4.如圖,在三角形中,ZCAB=90°.

(1)作OO,使它過點/、B、C(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫做法)

⑵在(1)所作的O。中,若乙4。2=60。,48=3,求/C的長.

【答案】(1)見解析

(2)/C=3G

【分析】(1)作2c的垂直平分線得到5c的中點。,然后以。點為圓心,為半徑作圓即可;

(2)先判斷ACMB為等邊三角形,得出3c=6,然后根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解:如圖所示,

(2)解:如圖,連接49,

vZC45=90°

AO=BO,又N4O5=60。,AB=3

???△4Q8是等邊三角形,

.??/5=60。,

.-.ZC=30°

.1.BO=AB=3

BC=6,

AC=JBC-AC。=V62-32=373

【點睛】本題考查了作三角形的外接圓,勾股定理,等邊三角形的性質(zhì)與判定,含30度角的直角三角形的

性質(zhì),掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

考點十一圓內(nèi)接四邊形定理(共4題)

1.如圖,48是半圓O的直徑,點C,。在半圓。上.若/48C=50。,則/即。的度數(shù)為()

130°C.140°D.150°

【答案】C

【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,直徑所對的圓周角是直角,先根據(jù)直

徑所對的圓周角是直角得到NNCB=90。,再由三角形內(nèi)角和定理求出NN=40。,據(jù)此根據(jù)圓內(nèi)角四邊形對

角互補進行求解即可.

【詳解】解:r/B是半圓。的直徑,

ZACB=90°,

■■ZABC=50°,

.?.NN=90°-50°=40°,

ABDC=18O°-Zy4=140°,

故選:C.

2.如圖,四邊形48co內(nèi)接于。O,過點B作BE〃4D,交CO于點E.若NBEC=50°,則/4BC等于

度.

【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),平行線的性質(zhì),先由兩直線平行,同位角相等得到

ND=NBEC=50°,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補進行求解即可.

【詳解】解:「BE〃AD,

ZD=NBEC=50°,

???四邊形ABCD內(nèi)接于。。,

ZABC+ZD=1?,0°,

3c=130°,

故答案為:130.

3.如圖,在中,AB=AC,以4B為直徑作OO,分別交8C、NC于點。、E,連結(jié)血、ED.

⑴求證:點。是8c的中點;

⑵若ZEDC=50°,則ZBAD=

【答案】(1)見解析

(2)25°

【分析】本題考查了圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),平行線分線段成比例性質(zhì),也考查了等腰三角形

的性質(zhì).

(1)利用等腰三角形的性質(zhì)得到=/B=/C,再判斷QD〃/C,然后利用平行線分線段成比

例得到5。=。。;

(2)利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到/8/。=180。-/8。£=50。,再利用等腰三角形的性質(zhì)求出NA4Q的度

數(shù).

【詳解】(1)證明:如圖,連接。。,

/B=/ODB,

???AB=ACf

/B=/C,

ZODB=ZC,

/.OD//AC,

BOBD,

/.——二——二1,

OADC

BD=DC,

「?點。是3c的中點;

(2)vZEDC=50°,

ZBDE=180。-/EDC=130。,

.??四邊形48。石為。O的內(nèi)接四邊

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