熱點題型?計算題攻略

專題14振動與波、光學計算題

目錄

01.題型綜述..........................................................................

02.解題攻略..........................................................................

題組01機械振動的方程、對稱性及能量......................................................1

題組02機械波的形成、多解以及疊加..........................................................6

題組03光的折射與全反射....................................................................13

03.高考練場..........................................................................................25

01題型綜述

高考對于本部分內容要求考生熟練掌握簡諧運動各物理量的特點和規律、機械波的傳播規律和特點。能

根據振動和波動圖像分析質點的振動和波動特點。考察方式多以波的多解以及干涉為載體。光作為一種特

殊的波在高考中每年都會涉及，要去考生能利用光的折射和全反射規律解決光的傳播問題。會分析幾何光

學與物理光學的綜合問題。

02解題攻略

題組01機械振動的方程、對稱性及能量

【提分秘籍】

1.簡諧運動的規律

規律x=4sin（①/+夕）

反映同一無發點在各個時刻的位移

X

圖像A一一八T

0

-A

受力特征回復力尸=—而，F（或。）的大小與x的大小成正比，方向相反

運動特征靠近平衡位置時，a、F、x都減小，v增大；遠離平衡位置時，a、F、

X都增大，V減小

振幅越大，能量越大。在運動過程中，動能和勢能相互轉化，系統的

能量特征

機械能守恒

質點的位移、回復力、加速度和速度均隨時間做周期性變化，變化周

期就是簡諧運動的周期7；動能和勢能也隨時間做周期性變化，其變

周期性特征

化周期為1

2

關于平衡位置。對稱的兩點，加速度的大小、速度的大小、相對平衡

對稱性特征

位置的位移大小相等；動能、勢能相等

2.單擺

(1)單擺周期公式7=2^^

①g為當地重力加速度，在地球上不同位置g的取值不同，不同星球表面g值也不相同。

②單擺處于超重或失重狀態時等效重力加速度go=g±a。在近地軌道上運動的衛星加速度a=g,為完全失重,

等效重力加速度go=O。

(2)回復力：擺球重力沿與擺線垂直方向的分力，F=mgsin8=_：x=_kx,負號表示回復力廠與位移x的

方向相反。(如圖所示)

2

①當擺球在最高點時，方向=掌=0,FT=wgcos0O

22

②當擺球在最低點時，/向=出廣，尸向最大，尸r=mg+m比廣。

【典例剖析】

【例1-1](2025高三上?河南?期中)如圖所示，一列簡諧橫波沿x軸傳播，實線為:0時刻的波形圖，虛線

為l=0.7s時刻的波形圖。f=0.7s時刻，質點尸正沿V軸負方向運動，從:0時刻開始到"0.7s時刻這段時

間內，質點P共兩次經過平衡位置，且t=0時刻和，=0.7s時刻質點尸在同一位置，求：

(1)試確定質點P的平衡位置坐標及該列波的傳播速度;

⑵寫出質點尸的振動方程。

53

【答案】(1)(16.5m,0),v=30m/s(2)歹=10sin—Tit——兀cm

28

【詳解】(1)根據對稱性可知，質點尸的平衡位置為

xp=112+?1)m=16.5m

由于"0.7s時刻，質點。正沿丁軸負方向運動，說明波沿％軸正方向傳播，從，=0時刻開始到"0.7s時刻

這段時間內，質點。共兩次經過平衡位置，由圖像可知0?0.7s時間內波傳播的距離

x=21m

波傳播的速度

x21.__.

v=—=——m/s=30m/s

t0.7

(2)由于波沿％軸正方向傳播，因止匕￡=0時刻，質點尸正沿歹軸正向運動，從/=0時刻，質點尸第一次到

達平衡位置需要的時間

t=—=s=0.15s

0Qv30

質點振動的周期

T=-=—s=0.8s

v30

?=—=2.57trad/s

T

因此質點尸的振動方程

y=Zsin("一^0)

解得

53

y=10sin|二兀，一二兀|cm

28

【例1-2].(2025高三上?安徽馬鞍山?期中)如圖所示，兩個完全相同的輕彈簧豎直固定在水平地面上，兩

彈簧均處于原長狀態，彈簧的勁度系數后=150N/m。質量為〃片2kg的小球。從彈簧A上端開始，以某一初

速度豎直向上運動，質量為加＞=1.5加〃的小球b從彈簧B上端開始靜止下落。已知兩小球下落到最低點時兩

彈簧的壓縮量相同，兩小球均與彈簧不栓接，重力加速度g=10m/s2,不考慮空氣阻力。

球a球6

Ag|B

(1)求小球a相對于出發點上升的最大高度〃；

(2)已知小球a與彈簧接觸過程中，從最低點上升到加速度為0時所用最短時間U0.18S,求小球a運動的周

期7。

【答案】(l)0.2m(2)0.88s

【詳解】(1)小球。從彈簧A上端開始，以某一初速度豎直向上運動，小球。做豎直上拋運動，利用逆向

思維，根據速度與位移的關系有

￥=2gh

兩小球下落到最低點時兩彈簧的壓縮量相同，令該壓縮量為即兩小球在最低點時，彈簧的彈性勢能相

等，對a小球有

m12L

aSX0+~mava=%

對b小球有

mhgx0=Ep0

小球6靜止釋放后做簡諧運動，根據簡諧運動的對稱性，結合胡克定律有

mbg=k^-

解得

x0=0.4m,v0=2m/s,h=0,2m

(2)小球a做豎直上拋運動，根據速度公式有

一%=%"

解得

tQ=0.4s

小球。接觸彈簧的運動為簡諧運動的一部分，令該簡諧運動的周期為"，在加速度為0時有

mag=kx、

解得

2

x二-m

115

上述簡諧運動的振幅

,4

A=x0-x1=—m

則有

小球。與彈簧接觸過程中，從最低點上升到加速度為。時所用最短時間"0.18s,則有

4

由于加速度為0的位置，即平衡位置到剛剛脫離彈簧的間距等于振幅的一半，根據簡諧運動的函數表達式

有

位移等于振幅的一半時，可以解得經歷時間最少等于工，則小球?從加速度為0的位置到剛剛脫離彈簧的

時間

t,=—=0.06s

112

則小球。運動的周期為

T=t。+2+4）

解得

T=0.88s

【例1-3].（2025高三上?安徽?開學考試）如圖所示，半徑很大的光滑球面固定在水平桌面上，小球甲從球

面上的N點由靜止釋放，在球面上45之間來回運動，已知標遠小于球面的半徑，當甲從/點釋放時，

同時在球面上的最低點C以某一初速度豎直上拋小球乙，經過時間f小球乙恰好第一次下落至C點且與甲球

相碰，此時小球甲第5次通過C點。已知重力加速度為g,不計空氣阻力，兩小球均可視為質點。求：

⑴小球乙的初速度為;

（2）光滑球面的半徑R。（保留兀）

【答案】⑴％=：即⑵火=蹩

28171

【詳解】（1）小球乙上拋再落回。點的時間為

g

解得

1

%=28t

(2)設小球甲做簡諧運動的周期為T,則

R

T=2幾

g

又

2-T=t

4

解得

題組02機械波的形成、多解以及疊加

【提分秘籍】

形成條件(1)波源；(2)傳播介質，如空氣、水等

(1)機械波傳播的只是振動的形式和能量，質點只在各自的平衡位置附

近做簡諧運動，并不隨波遷移

傳播特點(2)介質中各質點振動周期和頻率都與波源的振動周期和頻率相同

(3)一個周期內，質點完成一?次全振動，通過的路程為44位移為零

(4)一個周期內，波向前傳播一個波長

(1)坐標軸：橫軸表示各質點的平衡位置，縱軸表示該時刻各質點的位

移

波的圖像

(2)意義：表示在波的傳播方向上，某時刻各質點離開平衡位置的位移

波長、波速和頻率(周⑴—〃⑵-：

期)的關系

(1)兩個振動情況相同的波源形成的波，在空間某點振動加強的條件為

,,,)>振動減弱的條件為盤=(〃：〃

波的疊加AX=M2(/7=O,1,2,2+1)(=0,1,2,i)

(2)振動加強點的位移隨時間而改變，振幅為兩波振幅的和AI+A2

波的多解問題由于波的周期性、波傳播方向的雙向性，波的傳播易出現多解問題

【典例剖析】

【例2-1］（2024?四川瀘州?一模）圖甲是一列簡諧橫波在"0時刻的波形圖，此時波恰好傳到x=4m處，P

是平衡位置％=3.5m的質點，0是平衡位置%=6m的質點。已知乙=6s時，。質點第一次處于波谷狀態，

2

0-■——1——■~1——1----?t/s

4812

甲乙

⑴波在介質中的傳播速度；

（2）在乙圖中畫出。質點的振動圖像（畫一個完整周期的圖像）；

⑶從"0時刻開始到0質點經歷的路程s=40cm時，求此時刻尸質點的位移大小。

【答案】（l）v=0.5m/s

⑶V2cm

【詳解】（1）4=6s時，。質點第一次處于波谷狀態，說明波向右傳播了x=3m,故

（2）波從:0時刻到傳遞到。需要

周期

由波形圖和同側法知波中每個點的起振方向一致，都沿y軸負方向，故。質點的振動圖像為

y/cm

-2[-

（3）。質點經歷的路程s=40cm所需時間為

此時波傳遞的距離為

Ax=v(Z2+Z3)=22m=5—A

故此時刻尸質點的位移為

y-sin45°=-42cm

位移大小為V2cm。

【例2-2]（2025高三上?江西?階段練習）如圖所示，一列橫波沿x軸方向傳播，實線表示某時刻的波形圖,

虛線表示加=0.2s后的波形圖，則該波在介質中傳播的速度可能是多少？

【答案】若波沿x軸正方向傳播，匕=20，+j]m/s（〃=0,l,2,3,…）；若波沿x軸負方向傳播,

v2=201+*]m/s（n=0,1,2,3,

【詳解】由圖示知，波長4=4m。若波沿x軸正方向傳播，加=0.2S內波傳播的距離至少為

Ax.=0.1m=—2

140

則沿x軸正方向傳播的距離

2(〃=0,1,2,3,…)

故波在介質中傳播的速度

m/s(〃=0,1,2,3,…)

若波沿X軸負方向傳播，At=0.2s內波傳播的距離至少為

Ax=3.9m=——2

?40

則沿X軸負方向傳播的距離

x2+=0,1,2,3,…)

故波在介質中傳播的速度

馬=$=201+北]m/s(〃=0,1,2,3,…)

【例2-3].(2025?全國?模擬預測)如圖所示，坐標軸x軸上的岳(-s,0)點和邑區0)點有兩個相同的波源，

兩波源同時向平面內產生振幅為A、頻率為了的簡諧橫波，起振方向垂直紙面向上，/8$2耳為矩形，當4B

從岳邑沿了軸向上移動時，線段NB上(包含A、B兩點)兩列波的加強點的數量隨著A、3兩點縱坐標的

變化而變化。當N=L5s時，48上恰好有5個加強點(A、B點恰好為加強點)。

如

A'------------\B

II

II

II

II

II

~&O-M_X

⑴求簡諧橫波的波速。

(2)求上只有1個加強點時了的取值范圍。

【答案】(1)曰(2)y>—s

【詳解】⑴設波長為譏波速為V,題圖中A、B中點到岳和星的距離相等，為加強點，當y=L5s時,

加強點關于V軸對稱分布，則A到兩波源的距離差為22。根據幾何關系有

J(2sy+(1.5s)2一1.5s=22

又

聯立解得

(2)根據對稱性可知，加強點關于y軸對稱分布，當只有一個加強點時，A點到兩波源的距離差將小于波

長。當恰好有三個加強點，且A到兩波源的距離差為彳時，設的縱坐標為外,根據幾何關系有

-%=X

解得

則當

時將只有一個加強點。

【變式演練】

【變式2-1］（2025?四川成都?模擬預測）一簡諧波的波源位于坐標原點，波源振動后f=0.3s時第一次形成

⑴求該波的波長和傳播速度大小

⑵在給出的坐標圖上畫出波在，=2.0s時刻的波形圖;

⑶求從/=0至，=2s,x=25m處的質點的運動路程s。

【詳解】(1)由圖可知

—2.=15m

4

所以

2=20m

波速v為

v=—=-^-m/s=50m/s

t0.3

(2)波的周期

r=-=o.4s

由于

t=2.0s=ST

經過一個周期波剛好傳到％=20m質點處，根據周期性可得，=2.0s時刻的波形圖如圖所示

（3）波傳播到x=25m處所需的時間

At=—s=0.5s

50

從/=0至，=2s時間內x=25m處質點振動的時間

3

%=2s-0.5s=1.5s=3T+—Tx=25m處質點的運動路程

4

3

s=（3+Nx4/=30cm

【變式2-21,（2025高三上?江蘇南通?期中）某波源S發出一列簡諧橫波，波源S的振動圖像如圖所示。在

波的傳播方向上有/、B兩點,它們到S的距離分別為45m和55m。4、5兩點開始振動的時間間隔為0.5s。

⑴這列波的波長4;

⑵當B點處于平衡位置時，A點離開平衡位置的位移是多少？

【答案】⑴40m（2）見解析

【詳解】（1）波在介質中的傳播速度為

v==———m/s=20m/s

AZ0.5

周期

T=2.0s

解得

A=vT=40m

（2）根據題意可得

a=；T3在平衡位置向上振動時，4點處于波峰，即離開平衡位置的位移為

x，=6cm3在平衡位置向下振動時，/點處于波谷，即離開平衡位置的位移為

xA=-6cm

即/點離開平衡位置的位移大小為6cm,方向可能為正方向，也可能為負方向。

【變式2-3].(2025高三上?江蘇?階段練習)一列簡諧橫波在介質中沿x軸傳播，。和N是介質中平衡位置

分別為x=0和x=10cm處的兩個質點，且兩質點的振動情況始終相同，已知周期為4s。

(1)求簡諧波的波長；

(2)若。和/是相鄰的兩個質點，求波速。

【答案】⑴％=Lm,(n=1.2.3...)(2)0.025m/s

10n

【詳解】(1)。和4兩質點的振動情況始終相同，則兩點間距為波長整數倍

0.1m=nA,(〃=1.2.3...)

波長

。1/、

Z=-----m,(〃=1.2.3…)

10〃

(2)。和4是相鄰的兩個質點，則波長為

%=0.1m

波速

v=—=0.025m/s

T

【變式2?41(2025高三上,廣西?階段練習)如圖所示，一列簡諧橫波沿》軸傳播，實線為:0時刻的波形

圖，虛線為/=0.7s時刻的波形圖”0.7s時亥IJ,質點P正沿y軸負方向運動，從(=0時亥！J開始至卜=0.7s時

刻這段時間內，質點P共兩次經過平衡位置，且/=0時刻和y0.7s時刻質點尸在同一位置，求：

(1)試確定該列波傳播的方向及傳播速度大小；

(2)試確定質點P的平衡位置坐標及從；0時刻質點尸第一次到達到平衡位置需要的時間。

【答案】(l)x軸正方向，30m/s(2)(16.5m,0),0.15s

【詳解】(1)根據對稱性可知，質點尸的平衡位置為

xn=9+24nl=]6.5m

2

由于f=0.7s時刻，質點尸正沿了軸負方向運動，說明波沿x軸正方向傳播，從t=0時刻開始到t=0.7s時刻

這段時間內，質點P共兩次經過平衡位置，由圖像可知0?0.7s時間內波傳播的距離

x=21m

波傳播的速度

v/=21m/s=30m/s

t0.7

(2)根據以上分析可知質點尸的平衡位置坐標為(16.5m,0),由于波沿x軸正方向傳播，因此f=0時亥!

質點P正沿了軸正向運動，從:0時刻，質點P第一次到達平衡位置需要的時間

Ax

^s=0.15s

v30

題組03光的折射與全反射

【提分秘籍】

1.常用的三個公式：曲&=",〃=￡,sinC=L

sin923n

2.折射率的理解

(1)折射率與介質和光的頻率有關，與入射角的大小無關。

(2)光密介質指折射率較大的介質，而不是指密度大的介質。

(3)同一種介質中，頻率越高的光折射率越大，傳播速度越小。

3.求解光的折射和全反射問題的思路

(1)根據題意畫出正確的光路圖，特別注意全反射的臨界光線。

(2)利用幾何關系確定光路中的邊、角關系。

(3)利用折射定律等公式求解。

(4)注意折射現象中光路的可逆性。

【典例剖析】

【例3-1](2025?云南?模擬預測)如圖甲是天然水晶制成的水晶球。如圖乙是半徑為R的水晶球的一個截面

圓，N3是截面圓的直徑，某種單色細光束從。點平行直徑射入水晶球，恰好從8點射出水晶球，已知

C8與直徑的夾角為仇光在真空中的傳播速度為c。求：

甲乙

⑴水晶球對此單色細光束的折射率;

（2）細光束在水晶球中的傳播時間。

【答案】（l）2cos。（2）竺竺凹

C

【詳解】（1）在圖乙中作出過。點的法線并根據數學知識標出角度，如圖所示

根據折射定律，水晶球對此單色細光束的折射率為

（2）細光束在水晶球中傳播的路程為

s=27?cos。

細光束在水晶球中傳播的速度為

c

v=—

n

又

s=vt

求得細光束在水晶球中的傳播時間為

4Rcos20

t=------------

c

【例3-2］（2025高三上?山東泰安?期中）如圖為某長方體透明材料截面圖，長為Z,寬為與，一束單色光

斜射到上表面A點，反射光線和折射光線恰好垂直，折射光線經長方體側面反射后射到下表面，所用時間

為干

,光在真空中的傳播速度為求:

⑴單色光在透明材料上表面的入射角e；

（2）通過計算判斷光能否從透明材料側面射出。

【答案】⑴60°⑵不能

【詳解】（1）單色光在透明材料上表面的入射角為8,反射角也為凡反射光線和折射光線恰好垂直，則折

射角為

4=90°-6

根據折射定律

sin6>sin。sin。

H=-------=-----------------=--------

sinqsin（90p-0）cos。

折射光線在介質中的速度為

c

v=—

n

折射光線經長方體側面反射后射到下表面，折射光線在介質中的路程為

L

s=------

sin。

折射光線經長方體側面反射后射到下表面，所用時間為一，即

c

s2L

v=~

解得

0—60°,n=V3

（2）臨界角

.「11V3

smC=—=—j==——

MV33

折射光線到長方體側面時入射角為。=60°

,AV3

sinU=——

2

所以

0>C

入射角大于臨界角，所以會發生全反射，光不能否從透明材料側面射出。

【例3-3］（2025高三上?江蘇鹽城?階段練習）在2024年巴黎奧運會中，中國游泳隊取得了輝煌的成績。如

4

圖所示，游泳比賽的泳池（假設足夠大）水深人2m,在泳池底部中央有一標記物已知水的折射率為〃

角度很小時。二sin。=tan。。求:

⑴右運動貝在水面上4正上方向下看，看起來/在水下多深處？

⑵運動員在水面上能看到標記物的最大面積。

【答案】(l)1.5m(2)等n?

【詳解】(1)如圖甲所示設/的視深為力'，從/上方看，光的入射角及折射角均很小，由折射定律

sinatanah4

n=--?---=—=—

sin尸tan/?h'3

解得

=1.5m

A

甲

(2)畫出臨界光路圖，如圖乙所示，當從N發出的光在N點處發生全反射時，有

.13

sin。=sinC=—=一

n4

則

R3

/R2+h2~4

解得

3m

7

則最大面積

cr>2367r2

S—7iR------m

7

【例3-4】一次“科技發明”活動中，小錄同學制作了一種簡易的測定某種液體介質折射率的儀器，如圖所示,

地面上放置一不透光的圓柱形容器，容器直徑為乙，高為〃，容器底部邊緣處有一發光裝置K,距離容器右

邊4處固定一豎直光屏，光屏上的。點與容器等高。將事先測好折射率的液體注滿容器，然后在光屏上光

斑的下邊緣刻上記號，標上該液體的折射率及對應刻度，再測某種待測液體的折射率時，直接讀數就行。

在測量某種待測液體時，光屏上的光斑下邊緣離地面高度為d.

O

d

h

?K

4

(1)求該液體的折射率";

(2)若容器中換裝折射率更大的液體，這時光屏上對應的讀數值會不會在。點的下方？請說明理由。

【答案】⑴邑,122

⑵光屏上對應的讀數值不會在。點的下方

Lx]g+(d-/z)2

【詳解】(1)作出如圖所示光路圖

sinr=1'

jg+mw

可得折射率為

sinrL2I片+——

sinzL,NE+（d—h?

（2）若換折射率更大的液體，由折射定律知，光從光密介質斜射入光疏介質時，折射光線遠離法線，若"C

（臨界角），則r=90。，所以光屏上對應的讀數值不會在。點的下方。

【例3-5】如圖甲所示，一同學在岸上不慎將手表甩落在正前方水深為2m的泳池中，手表掉落在池底/位

置，該同學趴在泳池岸邊，眼睛在邊緣O處剛好看不到手表。。點正下方池底為2位置，池岸與水面的高

度差可忽略不計。已知真空中光速為光在泳池水中的傳播速度為-C，V7=2.6°

4

0，/艮睛

0/\O

___________ZL

---------------A------------f----------埼

甲------------------乙

⑴求手表到B點的距離（結果保留一位小數）；

（2）在第（1）問基礎上，若該同學蹲在。點時沿圖乙所示光路看到手表,Off=0.8m,請估算其蹲在。點

時眼睛到泳池岸邊的高度。

【答案】⑴2.3m（2）0.6m

【詳解】（1）由光的傳播速度與介質折射率的關系得

C

n=-

V

由全反射臨界角公式可得

AB

sinC=-

nOA

解得得泳鏡到B點的距離

AB?2.3m

(2)設蹲下時眼睛到池岸的高度為九空氣中光線與豎直方向夾角為4,則有

OO'

sinO=

xyj00'2+h2

令水中光線與豎直方向夾角為。2，則有

AB-OO'3

sin%

^AB-OO')2+OB25

由折射定律有

sin4

sin%

解得蹲下時眼睛到池岸的高度

h=0.6m

【變式演練】

【變式3-1］如圖所示，一塊足夠大的平面鏡與一塊橫截面為半圓形的玻璃磚平行放置，玻璃磚圓心為。，

半徑為凡圓心。點正下方尸點可向平面鏡發出單色細光束，P點到2點的距離為R。調整光束方向，可

使得光線經平面鏡反射后進入玻璃磚，恰好從沿垂直于玻璃磚直徑48的方向射出，且射出點為0/中點

已知玻璃磚對該光的折射率為〃=百。求：

平

面

鏡

，尸

I

⑴光線進入玻璃磚時的入射角；

(2)平面鏡與玻璃磚直徑N3之間的距離。

【答案】⑴60。Q)巫R

2

【詳解】(1)光路圖如圖所示

艾N

2

7

1

平o

a

配G

鏡5

玻璃有

點射入

光從尸

，則

的中點

為/。

6。

吆=

”=里

sin<7

0。

a=3

所以

0。

6=6

,則

線過4

的延長

光跖

反射

(2)

3R

AP=

3R

0

=