整式的乘法章節復習（12個知識點+13大常考題型）

9考點導航

目錄

【考點一判斷整式乘法是否正確】...............................................................3

【考點二判斷是否可用平方差或完全平方公式運算】..............................................5

【考點三幕的混合運算及逆運算】...............................................................7

【考點四零指數暴、負整數指數募綜合計算】....................................................9

【考點五用科學計數法表示絕對值小于1的數1...........................................................................10

【考點六完全平方式中的字母參數問題】........................................................11

【考點七已知多項式乘積不含某項求字母的值】.................................................12

【考點八整式乘除混合運算】..................................................................14

【考點九整式乘法混合運算一一化簡求值】......................................................17

【考點十多項式乘法中的規律性問題】..........................................................18

【考點十一單項式乘多項式、多項式乘多項式與圖形面積】.......................................22

【考點十二乘法公式中幾何圖形的應用】........................................................26

【考點十三整式的運算中的新定義型問題】......................................................31

O知識清單

知識點01同底數幕的乘法

1.同底數幕的乘法性質：am-a"=am+n（其中機，〃都是正整數）.即同底數幕相乘，底數不變，指數相加.

要點詮釋：（1）同底數募是指底數相同的募，底數可以是任意的實數，也可以是單項式、多項式.

（2）三個或三個以上同底數幕相乘時，也具有這一性質，即=以'+"+。（m,n,夕都

是正整數）.

2.同底數塞的乘法的逆用公式：把一個幕分解成兩個或多個同底數幕的積，其中它們的底數與原來的底數

相同，它們的指數之和等于原來的幕的指數.即屋""=""?/（機，〃都是正整數）.

知識點02鬲的乘方

1.塞的乘方法則：（律）（其中機，〃都是正整數）.即幕的乘方，底數不變，指數相乘.

要點詮釋：公式的推廣：（（1）"）?=優卯（。70,%,〃，夕均為正整數）

2.塞的乘方法則逆用公式：根據題目的需要常常逆用哥的乘方運算能將某些幕變形,

從而解決問題.

知識點03積的乘方

1.積的乘方法則：（aby=a"-b"（其中〃是正整數）.即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再

把所得的累相乘.

要點詮釋：公式的推廣：伍兒）"=屋方"?。"（〃為正整數）.

2.積的乘方法則逆用公式：=（。與"逆用公式適當的變形可簡化運算過程，尤其是遇到底數互為倒數

時，

計算更簡便.如：Q]x210=^1x2^|=1.

知識點04同底數幕的除法

。枕（其中機，〃都是正整數）.即同底數累相除，底數不變，指數相減.

要點詮釋：（1）同底數基是指底數相同的累，底數可以是任意的實數，也可以是單項式、多項式.

（2）逆用公式：即。"""=罐匕優（m，〃都是正整數）.

知識點05零指數累：a0=1QW0）負指數累：ap=—（aWO,〃是正整數）

ap

知識點06科學記數法

類似地，我們可以利用10的負整數指數暴,用科學記數法表示一些絕對值較小的數，即將它們表示成"10-"

的形式，其中〃是正整數，IV同＜10.

知識點07單項式與單項式相乘

單項式乘法法則：單項式相乘，把它們的系數、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，

連同它的指數作為積的一個因式.

單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點：

①積的系數等于各因式系數積，先確定符號，再計算絕對值.這時容易出現的錯誤的是，將系數相乘與指數

相加混淆；

②相同字母相乘，運用同底數的乘法法則；

③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數作為積的一個因式；

④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；

⑤單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式.

知識點08單項式與多項式相乘

單項式乘以多項式，是通過乘法的分配律，把它轉化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是

用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即（a+6+c）加

單項式與多項式相乘時要注意以下幾點：

①單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同；

②運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；

③在混合運算時，要注意運算順序.

知識點09多項式與多項式相乘

多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.

即(a+6)(m+n)=am+an+bm+bn

多項式與多項式相乘時要注意以下幾點：

①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項數應等于原兩個多項

式項數的積；

②多項式相乘的結果應注意合并同類項；

③對含有同一個字母的一次項系數是1的兩個一次二項式相乘，其二次項系數為1,一次項系數等于兩個

因式中常數項的和，常數項是兩個因式中常數項的積.即(x+a)(x+6)=xz+(a+b)x+ab

對于一次項系數不為1的兩4■次二項式Gwx+a)和(〃x+6)相乘可以得到.

知識點10平方差公式

平方差公式:兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.即(a+Z>)(a-b)=a2-b2

公式的幾種變化：

①位置變化：Cb+a)(-b+a)=(a+Z>)(a-b)=a2-b2；

(p-6)(a-b)=Qb-a)(-b+a)=(rb+a)2-a2=Z>2-a2

②系數變化：(2a+36)(2a-3Z>)=(2a)2-(3Z>)2=4a2-9b2

③指數變化：(4+〃)(〃-〃)=(4)2_(〃)2=/一〃

④增項變化：(a-b-c)(a-6+c)=Q-6)2-<?

⑤連用公式變化：(。+6)(。-6)("+")=Q—(儲+環)=(/)2_(〃)2=/一〃

⑥公式逆運算：a2-b2=(a+b)(a-b)

知識點11完全平方公式

完全平方公式:兩數和(差)的平方,等于它們的平方和,力口(減)它們積的2倍.

即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2；完全平方差(a-b)2=a2-1ab+b2

(1)公式的特征：前平方，后平方，中間是乘積的2倍

(2)公式的變化：①《8+"=(。+6尸-22；②為+〃=(.3五+22；③(a+6)2=Q-6化+4而；④(a-b)2=(a+b)

2-4ab；⑤(a+b)2-(a-b)2-4ab?

知識點12平方差和完全平方差區別

平方差公式：(a+b)(a-b)=a1~b2

完全平方差公式：2=a2-2ab+b2

平方差公式和完全平方差公式易混淆，切記完全平方差中間有乘積的2倍

Q典例變式

【考點一判斷整式乘法是否正確】

例題：（24-25八年級上,黑龍江哈爾濱?期中）下面是某同學在一次測驗中的計算摘錄，其中正確的有（）

（1）3/?（―2/）=—（2）4。%+（―2/6）=—2Q

（3）a（-a+2b）=-a2-lab（4）（2x-3y）（4x2+6盯+9必）=8x3+21y3

1個5.2個C?3個4個

【變式訓練】

1.（24-25八年級上?山西?階段練習）小夏今天在課堂練習中做了以下5道題，其中做對的有（）

①（-=（2）aiQ4-a2=a5:③=a4b，；（4）2x2-（-3x2+1）=-6x4+1；⑤

（X+2）（X+1）=X2+3x+2.

4.0個3.1個C.2個3個

2.（23-24七年級下?全國?單元測試）下列計算錯誤的是（）

A.（x+a）（x+ft）=x2+（6Z+b）x+abB.（x+tz）（x-b）=x2+（a+b）x+ab

C.(x-a)(x+b)=x2+(b-a)x+(-ab)D.(x-a)(x-6)=f—(Q+b)x+ab

3.（23-24七年級下?全國?單元測試）下列計算正確的是（）

A.(—Q—6)(6—Q)=〃2-Z)2B.—2(3。-b)=-6。-b

C.(—a—b)2=a?—2ab+b2D.(—3Q+26)(—3Q+5b)=9〃2—10b2

【考點二判斷是否可用平方差或完全平方公式運算】

例題：（23-24八年級上?四川遂寧?期末）下列能用平方差公式進行計算的是（）

A.（2x-2）（3x+2）B.（x+y）（x-y）

C.m+77||——m—D.（-3m-w）（-3m-n）

【變式訓練】

1.（24-25八年級上?河北唐山?期中）下列多項式乘法中能用平方差公式計算的是（）

A.（加一〃）（一加+〃）B.（加+〃）（一機+〃）

C.（加一〃）（加一〃）D.（-m-?）

2.（24-25八年級上?江西南昌?期末）下列各式中，能用完全平方公式計算的是（）

A.（2〃一3b）（-2〃一3b）B.（〃+3b）（〃+3b）

C.（Q-3b）（〃+3b）D.（3a-4b）（4a+3b）

3.（24-25八年級上?云南昭通?期末）下列等式中，正確的是（）

A.（〃-26）（6+2Q）=2Q2一2/B.（2a-b^-2a-b）=4a2-b2

C.(2a+Z))(-2a-/>)=4a2-b1D.(2a-/>)(/?+2a)=4a2-b~

【考點三募的混合運算及逆運算】

例題：（24-25八年級上?吉林松原?期末）計算：（-2甫+（。4）2+（-°）5

【變式訓練】

1.（23-24七年級下?安徽亳州?期末）先化簡，再求值：*:（—g）,其中°=-i.

2.（23-24八年級上?陜西商洛?期末）（1）已知2"=a,32"=b,m,"為正整數，求232。”的值.

（2）已知x-2y+3=0,求2、4yx8的值.

3.（22-23七年級下?江蘇淮安?期末）計算

⑴已知2*=5,2y=3,求：的值.

⑵x-2y+3=0,求：2:4、8的值.

【考點四零指數累、負整數指數哥綜合計算】

例題：（24-25八年級上?云南昭通?期末）計算：2-'x24-f-1j+（1-^）°-（-1）2024.

【變式訓練】

1.（24-25八年級上?北京門頭溝?期末）計算：卜2|-（兀-3）。+&+（-1）2.

2.（23-24八年級下?吉林長春?期末）計算：（2024-兀）°+，［+（-2）.

3.（23-24六年級下?山東濟南?期末）計算：（-0.25嚴4X42°24一（3.14-萬）°-1-￡|+|-2|.

【考點五用科學計數法表示絕對值小于1的數】

例題：（24-25八年級上?山東德州?期末）桑樹花是風媒花，雄花的開花過程中，內彎的雄蕊會在25微秒內

伸直（25微秒=0.000025秒）,將花粉爆發地彈射到空氣中，這是在植物學中已知的最快的運動.數據0.000025

用科學記數法表示為.

【變式訓練】

1.（24-25八年級上?湖南長沙?期末）經測算，一粒芝麻的質量約為0.00000201kg,將1粒芝麻的質量用科

學記數法表示約為—kg.

2.（24-25八年級上?陜西渭南?期末）科學研究發現某種分子的直徑是0.000000051米，則數字0.000000051

用科學記數法表示為

3.（23-24七年級上,上海閔行?期末）疫苗接種，是防范流感的有效手段，某種疫苗粒子在電子顯微鏡下呈

現皇冠的形狀，它的大小為0.000105毫米，0.000105毫米用科學記數法記作毫米.

【考點六完全平方式中的字母參數問題】

例題：（24-25八年級上?湖南衡陽?期末）若無2+辦+121是一個完全平方式，則。為.

【變式訓練】

1.（24-25八年級上?山東東營?期末）若關于x的二次三項式4--辦+16是一個完全平方式，貝匹=.

2.（24-25八年級上?青海果洛?期末）若x?+（左+l）x+9能寫成一個多項式的平方形式，則左=.

3.（23-24八年級下?河南平頂山?期末）若/+（6-加）x+16可以用完全平方式來分解因式，則掰的值為.

【考點七已知多項式乘積不含某項求字母的值】

例題：（24-25八年級上?江西宜春?期末）已知（x+2）（2x-加）展開式中不含x的一次項，則掰的取值為.

【變式訓練】

1.（24-25八年級上?吉林松原?期末）若（x-3乂2/+%x-5）的計算結果中x的二次項的系數為一3,則

m=.

2.（23-24七年級下?山東東營?期末）若關于x的多項式的乘積卜2+"+2）（x-2）化簡后不含/項，貝|

a=.

3.（23-24八年級上?山東濟寧?期末）已知關于x的代數式卜+2機）卜-x+g”的中不含x項與f項.

⑴求掰，"的值；

⑵求代數式〃產23/24的值.

【考點八整式乘除混合運算】

例題：(24-25八年級上?海南僧州?期末)化簡:

⑴(3叫2-/.2/+4八/

⑵(x-2y)(x+y)+(x-y)2+/

【變式訓練】

1.(24-25八年級上?重慶?期末)計算:

⑴3/./+(2/丫+2/

(2)(加一2")~+4n(m-n-l)

2.(24-25八年級上?內蒙古赤峰?期末)計算:

⑴(叫3伍):(叫M

(2)(x-l)(x+3)+(x-l)2.

3.(24-25八年級上?天津和平,期末)計算：

⑴(2a+36)2-(3a+2b)(2b一3a)；

(2)(x-y)(x2+xy+y2)-2y(x2-2x2.

【考點九整式乘法混合運算一一化簡求值】

例題：（24-25八年級上?湖南衡陽?期末）先化簡，再求值：（2m+l）（2m-l）-（m-l）2+（2m）3,其中

m2+m—2=0

【變式訓練】

1.（24-25八年級上?山西臨汾,期末）先化簡，再求值：［（2x+y）（2x-y）+（x+y＞）-2（2x2-AJ）］（2x）,

其中x=-2,v=

2.（24-25八年級上?四川宜賓?期末）先化簡，再求值：（x+y）2-（x+i）（x-i）+（中2-2x12）+a，其中

y=-i

3.（24-25八年級上?四川巴中,期中冼化簡，再求值：［（2a+6）2-（2〃+6）（2”6）卜（T“，其中“=1"=-1.

【考點十多項式乘法中的規律性問題】

例題：(22-23七年級下?廣東清遠?期末)觀察下列各式：(x-l)+(x-l)=l；

(X2-l)4-(x-l)=x+l;

(x3-1)-j-(x—1)=X2+x+l;

(X4-l)4-(x-l)=x3+X2+x+l;

(%8-1)+(x-1)=x7+%6+x'+…+x+l;

⑴根據上面各式的規律填空：

①(無

②(m)=_；

⑵利用②的結論求22016+22015+…+2+1的值;

(3)若1+X+/+…+/015R,求網6的值.

【變式訓練】

1.(23-24八年級上?河北唐山?期末)你能化簡(x-l)(/+x"+…+...+X+1)嗎？遇到這樣的復雜問題時，我們

可以先從簡單的情形入手，找出規律，歸納出一些方法來解決問題.

⑴分別化簡下列各式：

(x-l)(x+l)=；

(x-l)(x2+X+1)=;

(X—1)(》3+X2+X+1)=;

(x—l)(x"+x"+...+x+l)=.

⑵請你利用上面的結論計算：299+2%+_+2+1=_.

2.(23-24七年級下?河北保定?期末)從簡單情況入手，觀察猜想，發現規律，運用規律解決問題，這是常

見的研究數學問題的思路.

問題解決：

(1)填空：

(Q—+/—1

(Q-1)(/+Q+1)—

(Q-1)(/+/+Q+1)=

猜想：

(Q-1)(Q99+Q98+Q97+…+Q2+Q+I)=

總結結論：

(2)填空：當〃為正整數時，(。-1乂優+4+/2+...+/+。+1)=.利用這個結論，請你解決

下面的問題：求223+223+22必+...+23+22+2+1的值.

3.(23-24七年級下?廣東梅州?期末)閱讀：在計算(x-1乂x"+x"T+x"-2+…+x+l)的過程中，我們可以先

從簡單的、特殊的情形入手，再到復雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結，形成解決一類問題的一

般方法，數學中把這樣的過程叫做特殊到一般.如下所示：

【觀察】?(x-l)(x+l)=x2-l；

②(x-1乂x?+x+l)=x3-1；

③+x2+x+l)=x4-l；

⑴【歸納】由此可得：(x-l)(xn+x'-'+x"-2+--+x+l)=;

⑵【應用】請運用上面的結論，解決下列問題：計算：22023+22。22+22必+...+2,+2+1；

⑶【拓展】請運用上面的方法，求32。+33+3+317+…+33+3,+3+1的值.

【考點十一單項式乘多項式、多項式乘多項式與圖形面積】

例題：（24-25八年級上?云南大理,期末）如圖，某小區有一塊長為（3。+26）米，寬為（2a-3b）米的長方形地塊,

角上有四個邊長為b米的小正方形空地，開發商計劃將陰影部分進行綠化.

⑴求該小區綠化的總面積;

⑵若。=10,b=2,綠化成本為50元/平方米，則完成綠化共需要多少錢?

【變式訓練】

1.（24-25八年級上?重慶?期中）如圖，某中學校園內有一塊長為（x+2y）米，寬為（2x+y）米的長方形地塊,

學校計劃在中間留下一個“廠型的圖形（陰影部分）修建一個文化廣場.

⑴用含x,y的式子表示型圖形的面積并化簡；

⑵若x=2,y=3,預計修建文化廣場每平方米的費用為50元，求修建文化廣場所需要的費用.

2.（23-24六年級下?山東煙臺?期末）隨著教育教學改革的深入推進，學生綜合素質培養日益受到重視.為

了提高學生實踐動手能力和綜合運用知識能力，某學校計劃把校園內一長方形場地改建成種植園.如圖陰

影部分設計為種植園，該長方形場地長為（3a+b）米，寬為（2a+b）米，中間是邊長為（a+6）米的正方形.

⑴用含的代數式表示種植園（陰影）的面積并化簡；

⑵若。=8/=10,種植管理成本為每平方米50元，則完成種植園共需多少錢.

3.（23-24六年級下?山東青島?期末）某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長40m,寬20m的矩形空地，劃分

成五塊小矩形區域.其中一塊正方形空地為育苗區，另一塊空地為活動區，其余空地為種植區，分別種植

A,B,C三種花卉.活動區一邊與育苗區等寬，另一邊長是10m.

40m

育苗

B活動區

區

20m

CA

設育苗區的邊長為xm,用含無的代數式表示下列各量：

⑴8區的長是m,寬是m；

（2）A區的種植面積是m2>C區的種植面積是

⑶若計劃N區與B區的面積和是矩形空地面積的一半，那育苗區的邊長為多少？

【考點十二乘法公式中幾何圖形的應用】

例題：（24-25八年級上?廣東廣州?期末）如圖，從邊長為a的正方形ABCD中剪去一個邊長為b的正方形CGEF.

⑴若。-6=3,a2-b2=21,求6的值；

⑵請根據圖中陰影部分面積驗證平方差公式；

⑶計算：［1+：卜［1+3＞［1+3）1+34…+

【變式訓練】

1.（24-25八年級上?貴州遵義?期末）從邊長為。的正方形中減掉一個邊長為6的正方形（如圖1）,然后將

剩余部分拼成一個長方形（如圖2）.

⑴根據圖2長方形的面積與圖1中陰影部分的面積相等可以驗證的等式是.

⑵小明根據以上操作去計算（?+1）（?2+1）時發現只需要在前面乘一個痣即可得到：

［三1］（a+l）（/+l）=Ll（/+l）==L請根據以上規律計算：（?+l）（a2+l）（?4+l

(?32+1)=

\Cl1-J［Q1jCt1

（直接寫出結果即可）.

⑶運用以上規律計算（5+1*2+1乂54+1）……（564+1）.

2.（24-25八年級上?吉林?期末）兩個邊長分別為。和6的正方形如圖所示放置（圖①），其未疊合部分（陰

影）面積為￡；若在圖①中大正方形的右下角再擺放一個邊長為6的小正方形（如圖②），兩個小正方形

疊合部分（陰影）面積為邑.

⑵若“+6=7,ab=\2,求5+￡的值；

⑶當兩個正方形按圖③所示擺放時，若d+$2=28,求出圖③中的陰影部分的面積包.

3.（24-25八年級上?陜西延安?期末）對于同一個圖形，通過不同的表示法計算圖形的面積可以得到一個數

學等式.

例如，由圖1可以得到：（a+b）2=/+2。6+62.

圖3

⑵若實數x,y,z滿足x+〉+z=15x2+y2+z2=83,利用（1）中的結論求孫+xz+yz的值.

（3）如圖3,在比中，ZBAC=90°,分別以43,NC為邊向外作正方形H，52,C,A,。三點在同一

條直線上.已知CD=14,兩個正方形的面積之和岳+邑=100,求的面積S3.

【考點十三整式的運算中的新定義型問題】

例題：（23-24七年級下?遼寧沈陽?期末）教科書第一章《整式的乘除》中，我們學習了整式的幾種乘除運算,

積累了研究運算的經驗.

abab

現定義，為二階行列式，規定它的運算法則為：，=ad-bc.

caca

34

例如：「=3x6-4x5=-2.

2024