--重難點二次函數圖象性質及其綜合應用考點一：二次函數的圖象與性質二次函數是中考三大函數中內容最多，考察難度最大的一個函數。而二次函數的圖象更是其龐大內容的核心，初中數學中需要我們詳細的掌握拋物線的畫法、特征、性質、與系數的關系、幾何變換等幾個方面的知識，進而在多變的題型中快速找到解決它們的方法。題型01二次函數圖象與性質 易錯點01：對于二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象：形狀：拋物線；對稱軸：直線；頂點坐標：；其中拋物線的頂點坐標的縱坐標與一元二次方程解法中的公式法的表達式比較相似，需要重點加以區分；易錯點02：拋物線的增減性問題，由a的正負和對稱軸同時確定，單一的直接說y隨x的增大而增大（或減小）是不對的，必須在確定a的正負后，附加一定的自變量x取值范圍；解題大招：對于上的各個點，當時，拋物線開口向上，圖象有最低點，函數有最小值，哪個點離對稱軸越近，哪個點的縱坐標越小；當時，拋物線開口向下，圖象有最高點，函數有最大值，哪個點離對稱軸越近，哪個點的縱坐標越大；【中考真題練】1．（2023?臺州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經過（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限2．（2023?邵陽）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數，a≠0）上的點，現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2；②點（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023?揚州）已知二次函數y＝ax2﹣2x+（a為常數，且a＞0），下列結論：①函數圖象一定經過第一、二、四象限；②函數圖象一定不經過第三象限；③當x＜0時，y隨x的增大而減小；④當x＞0時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結論的序號是（）A．①② B．②③ C．② D．③④4．（2023?安徽）下列函數中，y的值隨x值的增大而減小的是（）A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+15．（2023?棗莊）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1，下列結論：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是拋物線上的兩點，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤對于任意實數m，都有m（am+b）≥a+b，其中正確結論的個數是（）A．5 B．4 C．3 D．26．（2023?呼和浩特）關于x的二次函數y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的結論：①對于任意實數a，都有x1＝3+a對應的函數值與x2＝3﹣a對應的函數值相等．②若圖象過點A（x1，y1），點B（x2，y2），點C（2，﹣13），則當x1＞x2＞時，＜0．③若3≤x≤6，對應的y的整數值有4個，則﹣＜m≤﹣或≤m＜．④當m＞0且n≤x≤3時，﹣14≤y≤n2+1，則n＝1．其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2023?福建）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）經過A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）兩點，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側，且y1＜y2，則n的取值范圍是．8．（2023?北京）在平面直角坐標系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設拋物線的對稱軸為x＝t．（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．【中考模擬練】1．（2024?虹口區二模）已知二次函數y＝﹣（x﹣4）2，如果函數值y隨自變量x的增大而減小，那么x的取值范圍是（）A．x≥4 B．x≤4 C．x≥﹣4 D．x≤﹣42．（2024?鄭州模擬）已知二次函數y＝ax2+bx（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數y＝ax+b（a≠0）的圖象大致為（）A． B． C． D．3．（2024?霍邱縣模擬）函數y＝kx2﹣4x+3和y＝kx﹣k（k是常數，且k≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．4．（2024?余姚市一模）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在二次函數y＝﹣x2+c（c＞0）的圖象上，點A，C是該函數圖象與正比例函數y＝kx（k為常數且k＞0）的圖象的交點．若x1＜0＜x2＜x3，則y1，y2，y3的大小關系為（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y25．（2024?武威二模）已知二次函數y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數，1＜m＜2），當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，則下列結論正確的是（）①若x＞2時，則y隨x的增大而減小；②若圖象經過點（0，1），則﹣1＜a＜0；③若（﹣2023，y1），（2023，y2）是函數圖象上的兩點，則y1＜y2；④若圖象上兩點，對一切正數n．總有y1＞y2，則．A．①② B．①③ C．①④ D．③④6．（2024?福田區模擬）已知函數y＝|x2﹣4|的大致圖象如圖所示，對于方程|x2﹣4|＝m（m為實數），若該方程恰有3個不相等的實數根，則m的值是．7．（2024?合肥模擬）在平面直角坐標系中，G（x1，y1）為拋物線y＝x2+4x+2上一點，H（﹣3x1+1，y1）為平面上一點，且位于點G右側．（1）此拋物線的對稱軸為直線；（2）若線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有兩個交點，則的x1取值范圍是．8．（2024?碑林區校級一模）如圖，拋物線的對稱軸l與x軸交于點A，與y軸交于點B．（1）求點A、B的坐標；（2）C為該拋物線上的一個動點，點D為點C關于直線l的對稱點（點D在點C的左側），點M在坐標平面內，請問是否存在這樣的點C，使得四邊形ACMD是正方形？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．題型02二次函數與幾何變換 易錯點：拋物線平移步驟：①將一般式轉化為頂點式，②根據“左加右減（x），上加下減（整體）”來轉化平移所得函數解析式；解題大招：的軸對稱變換規律【中考真題練】1．（2023?無錫）將二次函數y＝2（x﹣1）2+2的圖象向右平移2個單位長度，所得函數圖象的頂點坐標為（）A．（﹣1，2） B．（3，2） C．（1，3） D．（1，﹣1）2．（2023?徐州）在平面直角坐標系中，將二次函數y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+43．（2023?西藏）將拋物線y＝（x﹣1）2+5平移后，得到拋物線的解析式為y＝x2+2x+3，則平移的方向和距離是（）A．向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度 B．向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度 C．向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度 D．向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度4．（2023?牡丹江）將拋物線y＝（x+3）2向下平移1個單位長度，再向右平移2或4個單位長度后，得到的新拋物線經過原點．5．（2023?上海）在平面直角坐標系xOy中，已知直線y＝x+6與x軸交于點A，y軸交于點B，點C在線段AB上，以點C為頂點的拋物線M：y＝ax2+bx+c經過點B，點C不與點B重合．（1）求點A，B的坐標；（2）求b，c的值；（3）平移拋物線M至N，點C，B分別平移至點P，D，聯結CD，且CD∥x軸，如果點P在x軸上，且新拋物線過點B，求拋物線N的函數解析式．【中考模擬練】1．（2024?津市市一模）將二次函數y＝x2﹣6的圖象向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得圖象的解析式為（）A．y＝x2﹣2x﹣5 B．y＝x2+2x﹣9 C．y＝x2﹣2x﹣8 D．y＝x2+2x﹣52．（2024?秦都區一模）已知拋物線，拋物線C2與C1關于直線y＝l軸對稱，兩拋物線的頂點相距5，則m的值為（）A． B． C．或 D．或3．（2024?濟南模擬）將拋物線y＝（x+1）2的圖象位于直線y＝9以上的部分向下翻折，得到如圖圖象，若直線y＝x+m與此圖象有四個交點，則m的取值范圍是（）A．＜m＜7 B．＜m＜5 C．＜m＜9 D．＜m＜74．（2024?松江區二模）平移拋物線y＝x2+2x+1，使得平移后的拋物線經過原點，且頂點在第四象限，那么平移后的拋物線的表達式可以是.（只需寫出一個符合條件的表達式）5．（2024?新北區校級模擬）如圖，將拋物線y＝2（x+1）2+1繞原點O順時針旋轉45°得到新曲線，新曲線與直線y＝x交于點M，則點M的坐標為．6．（2024?廉江市一模）已知拋物線．（1）寫出拋物線C1的對稱軸：．（2）將拋物線C1平移，使其頂點是坐標原點O，得到拋物線C2，且拋物線C2經過點A（﹣2，﹣2）和點B（點B在點A的左側），若△ABO的面積為4，求點B的坐標．（3）在（2）的條件下，直線l1：y＝kx﹣2與拋物線C2交于點M，N，分別過點M，N的兩條直線l2，l3交于點P，且l2，l3與y軸不平行，當直線l2，l3與拋物線C2均只有一個公共點時，請說明點P在一條定直線上．題型03二次函數圖象與系數的關系解題大招01：二次函數圖象與系數a、b、c的關系a的特征與作用b的特征與作用(a與b“左同右異”）c的特征與作用解題大招02：二次函數圖象題符號判斷類問題大致分為以下幾種基本情形∶①a、b、c單個字母的判斷，a由開口判斷，b由對稱軸判斷（左同右異），c由圖象與y軸交點判斷;②含有a、b兩個字母時，考慮對稱軸;③含有a、b、c三個字母，且a和b系數是平方關系，給x取值，結合圖像判斷，例如∶二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當x=1時，y=a+b+c，當x=-1時，y=a-b+c，當x=2時，y=4a+2b+c當x=-2時，y=4a-2b+c;另：含有a、b、c三個字母，a和b系數不是平方關系，想辦法消掉一到兩個字母再判斷∶④含有b2和4ac，考慮頂點坐標，或考慮△.⑤其他類型，可考慮給x取特殊值，聯立方程進行判斷;也可結合函數最值，圖像增減性進行判斷。【中考真題練】1．（2023?營口）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（1，0），與y軸交于點C．下列說法：①abc＜0；②拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1；③當﹣3＜x＜0時，ax2+bx+c＞0；④當x＞1時，y隨x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m為任意實數），其中正確的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023?河北）已知二次函數y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常數）的圖象與x軸都有兩個交點，且這四個交點中每相鄰兩點間的距離都相等，則這兩個函數圖象對稱軸之間的距離為（）A．2 B．m2 C．4 D．2m23．（2023?阜新）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為（3，0），對稱軸是直線x＝1，下列結論正確的是（）A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4ac＞b2 D．點（﹣2，0）在函數圖象上4．（2023?東營）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x＝﹣1．若點A的坐標為（﹣4，0），則下列結論正確的是（）A．2a+b＝0 B．4a﹣2b+c＞0 C．x＝2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個根 D．點（x1，y1），（x2，y2）在拋物線上，當x1＞x2＞﹣1時，y1＜y2＜05．（2023?恩施州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x＝1，與x軸的一個交點位于（2，0），（3，0）兩點之間．下列結論：①2a+b＞0；②bc＜0；③a＜﹣c；④若x1，x2為方程ax2+bx+c＝0的兩個根，則﹣3＜x1?x2＜0；其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．46．（2023?菏澤）若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍點”．在﹣3＜x＜1的范圍內，若二次函數y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，則c的取值范圍是（）A．﹣≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣≤c＜6 D．﹣4≤c＜57．（2023?廣安）如圖所示，二次函數y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），B（1，0）．有下列結論：①abc＞0；②若點（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在拋物線上，則y1＜y2；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2023?南充）拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸的一個交點為A（m，0），若﹣2≤m≤1，則實數k的取值范圍是（）A．≤k≤1 B．k≤﹣或k≥1 C．﹣5≤k≤ D．k≤﹣5或k≥9．（2023?聊城）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象經過點（0，2），其對稱軸為直線x＝﹣1．下列結論：①3a+c＞0；②若點（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函數圖象上，則y1＞y2；③關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個相等的實數根；④滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0．其中正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（2023?日照）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx（a≠0），滿足，已知點（﹣3，m），（2，n），（4，t）在該拋物線上，則m，n，t的大小關系為（）A．t＜n＜m B．m＜t＜n C．n＜t＜m D．n＜m＜t11．（2023?遂寧）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣2．下列說法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t為全體實數）；④若圖象上存在點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當m＜x1＜x2＜m+3時，滿足y1＝y2，則m的取值范圍為﹣5＜m＜﹣2，其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．（2023?青島）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數y＝kx的圖象相交于A，B兩點，已知點A的橫坐標為﹣3，點B的橫坐標為2，二次函數圖象的對稱軸是直線x＝﹣1．下列結論：①abc＜0；②3b+2c＞0；③關于x的方程ax2+bx+c＝kx的兩根為x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正確的是.（只填寫序號）13．（2023?南京）已知二次函數y＝ax2﹣2ax+3（a為常數，a≠0）．（1）若a＜0，求證：該函數的圖象與x軸有兩個公共點．（2）若a＝﹣1，求證：當﹣1＜x＜0時，y＞0．（3）若該函數的圖象與x軸有兩個公共點（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，則a的取值范圍是．14．（2023?杭州）設二次函數y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實數）．已知函數值y和自變量x的部分對應取值如下表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝4，①求二次函數的表達式；②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減小．（2）若在m，n，p這三個實數中，只有一個是正數，求a的取值范圍．【中考模擬練】1．（2024?杭州一模）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為A（2，m），且經過點B（5，0），其部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A．若拋物線經過點（t，n），則必過點（t+4，n） B．若點和（4，y2）都在拋物線上，則y1＞y2 C．a﹣b+c＞0 D．b+c＝m2．（2024?雁塔區校級模擬）若拋物線y＝x2﹣2x+m﹣1（m是常數）的圖象只經過第一、二、四象限，則m的取值范圍是（）A．m＞1 B．m≥1 C．1≤m＜2 D．m≤23．（2024?嶗山區一模）已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（﹣2，0），對稱軸為直線x＝1，下列結論中：①a﹣b+c＞0；②若點（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在該二次函數圖象上，則y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的兩個實數根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＜﹣2，x2＞4；④若m為任意實數，則am2+bm+c≤﹣9a．正確結論的序號為（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③4．（2024?霍邱縣一模）已知拋物線y＝mx2+nx﹣m，其中m為實數．（1）若拋物線經過點（1，5），則n＝；（2）該拋物線經過點A（2，﹣m），已知點B（1，﹣m），C（2，2），若拋物線與線段BC有交點，則m的取值范圍為．5．（2024?青島一模）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點（3，0），對稱軸為直線x＝1，下列結論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③3a+c＝0；④拋物線上有兩點M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2．其中正確的是.（只填寫序號）6．（2024?余姚市一模）在平面直角坐標系中，設二次函數y＝ax2+bx﹣4a（a，b是常數，a≠0）．（1）判斷該函數圖象與x軸的交點個數，并說明理由；（2）若該函數圖象的對稱軸為直線x＝2，A（x1，m），B（x2，m）為該函數圖象上的任意兩點，其中x1＜x2，求當x1，x2為何值時，m＝8a；（3）若該函數圖象的頂點在第二象限，且過點（1，2），當a＜b時求3a+b的取值范圍．題型04二次函數解析式的求法【中考真題練】1．（2023?上海）一個二次函數y＝ax2+bx+c的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側的部分是上升的，那么這個二次函數的解析式可以是．2．（2023?寧波）如圖，已知二次函數y＝x2+bx+c圖象經過點A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數的表達式及圖象的頂點坐標．（2）當y≤﹣2時，請根據圖象直接寫出x的取值范圍．3．（2023?紹興）已知二次函數y＝﹣x2+bx+c．（1）當b＝4，c＝3時，①求該函數圖象的頂點坐標；②當﹣1≤x≤3時，求y的取值范圍；（2）當x≤0時，y的最大值為2；當x＞0時，y的最大值為3，求二次函數的表達式．【中考模擬練】1．（2023?思明區模擬）在平面直角坐標系xOy中，拋物線的頂點是（1，3），當x＞1時，y隨x的增大而增大，則拋物線解析式可以是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2+3 C．y＝﹣2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣1）2+32．（2023?海淀區校級一模）將二次函數y＝x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，結果為．3．（2024?梅縣區一模）已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線y＝﹣2x2+9x相同，且它的頂點坐標為（﹣1，6），則這條拋物線的解析式為．4．（2024?霍邱縣模擬）已知拋物線y＝x2+bx+c（b，c為常數）．（1）若拋物線經過點（0，3），（4，3），則拋物線的表達式為；（2）在（1）的條件下，拋物線經過點（m，k），（n，k），當1≤n﹣m＜8時，k的取值范圍為．考點二：二次函數的圖象性質應用二次函數圖象性質的應用主要體現在利用二次函數的頂點式求最值、利用點與二次函數圖象的關系解決與其他幾何圖形的結合問題、以及二次函數與一元二次方程和不等式的關系等。題型01二次函數的最值解題大招：當a＞0，拋物線開口向上，函數有最小值；當a＜0，拋物線開口向下，函數有最大值；而函數的最值都是定點坐標的縱坐標。【中考真題練】1．（2023?杭州）設二次函數y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是實數），則（）A．當k＝2時，函數y的最小值為﹣a B．當k＝2時，函數y的最小值為﹣2a C．當k＝4時，函數y的最小值為﹣a D．當k＝4時，函數y的最小值為﹣2a2．（2023?蘭州）已知二次函數y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列說法正確的是（）A．對稱軸為直線x＝﹣2 B．頂點坐標為（2，3） C．函數的最大值是﹣3 D．函數的最小值是﹣33．（2023?陜西）在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2+mx+m2﹣m（m為常數）的圖象經過點（0，6），其對稱軸在y軸左側，則該二次函數有（）A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值4．（2023?泰安）二次函數y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是．5．（2023?紹興）在平面直角坐標系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯矩形．例如：如圖，函數y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關聯矩形為矩形OABC．若二次函數圖象的關聯矩形恰好也是矩形OABC，則b＝．【中考模擬練】1．（2024?浙江模擬）已知：，，m+n＝2，則下列說法中正確的是（）A．n有最大值4，最小值1 B．n有最大值3，最小值 C．n有最大值3，最小值1 D．n有最大值3，最小值2．（2024?全椒縣一模）若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值為m，最大值為n，則m+n＝（）A．﹣14 B．﹣6 C．﹣8 D．23．（2023?衢江區三模）在平面直角坐標系中，過點P（0，p）的直線AB交拋物線y＝x2于A，B兩點，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，則下列說法正確的是（）A．當ac＞0且a+c＝1時，p有最小值 B．當ac＞0且a+c＝1時，p有最大值 C．當ac＜0且c﹣a＝1時，p有最小值 D．當ac＜0且c﹣a＝1時，p有最大值4．（2024?雁塔區校級模擬）如圖，在四邊形ABCD中，，∠B＝60°，∠D＝120°，當四邊形ABCD面積最大時，作AE平分該四邊形ABCD面積交BC于點E，則此時線段BE的長為．5．（2024?陽新縣一模）已知二次函數y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，當﹣≤x≤，y有最大值為﹣3，則a的值為．6．（2024?渠縣校級一模）如圖，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，點P在邊AC上，從點A向點C移動，點Q在邊CB上，從點C向點B移動．若點P，Q均以1cm/s的速度同時出發，且當一點移動到終點時，另一點也隨之停止，連接PQ，則線段PQ的最小值是．7．（2024?浙江模擬）已知二次函數y＝x2﹣2kx+k﹣2的圖象過點（5，5）．（1）求二次函數的表達式．（2）若A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函數圖象上的點，且x1+2x2＝2，求y1+y2的最小值．（3）若點P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函數的圖象上，且a＜b．對于某一個實數n，若b﹣a的最小值為1，則b﹣a的最大值為多少？題型02二次函數圖象上點的坐標特征解題大招：牢記一句話，“點在圖象上，點的坐標符合其對應解析式”，然后，和哪個幾何圖形結合，多想與之結合的幾何圖形的性質；【中考真題練】1．（2023?衢州）已知二次函數y＝ax2﹣4ax（a是常數，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點．若點A，B都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．m＞22．（2023?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣43．（2023?南充）若點P（m，n）在拋物線y＝ax2（a≠0）上，則下列各點在拋物線y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）4．（2023?十堰）已知點A（x1，y1）在直線y＝3x+19上，點B（x2，y2），C（x3，y3）在拋物線y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，則x1+x2+x3的取值范圍是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜15．（2023?濟南）定義：在平面直角坐標系中，對于點P（x1，y1），當點Q（x2，y2）滿足2（x1+x2）＝y1+y2時，稱點Q（x2，y2）是點P（x1，y1）的“倍增點”．已知點P1（1，0），有下列結論：①點Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是點P1的“倍增點”；②若直線y＝x+2上的點A是點P1的“倍增點”，則點A的坐標為（2，4）；③拋物線y＝x2﹣2x﹣3上存在兩個點是點P1的“倍增點”；④若點B是點P1的“倍增點”，則P1B的最小值是；其中，正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023?岳陽）若一個點的坐標滿足（k，2k），我們將這樣的點定義為“倍值點”．若關于x的二次函數y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t為常數，t≠﹣1）總有兩個不同的倍值點，則s的取值范圍是（）A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜07．（2023?麗水）已知點（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數y＝ax2+bx+3（a，b是常數，a≠0）的圖象上．（1）當m＝﹣1時，求a和b的值；（2）若二次函數的圖象經過點A（n，3）且點A不在坐標軸上，當﹣2＜m＜﹣1時，求n的取值范圍；（3）求證：b2+4a＝0．【中考模擬練】1．（2024?韓城市一模）已知二次函數y＝ax2+4ax+c（a＞0）圖象上的兩點（﹣5，y1）和（x2，y2），若y1＞y2，則x2的取值范圍是（）A．x2＞﹣5 B．x2＜﹣2 C．﹣5＜x2＜1 D．﹣5＜x2＜﹣22．（2024?秀峰區校級模擬）二次函數（m為常數）的圖象經過點，，C（0，y3），則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y13．（2024?龍湖區一模）如圖，在正方形ABCD中，點B、D的坐標分別是（﹣1，﹣2）、（1，2），點C在拋物線y＝﹣x2+bx的圖象上，則b的值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．4．在平面直角坐標系中，對點M（a，b）和點M′（a，b′）給出如下定義：若b′＝，則稱點M′（a，b′）是點M（a，b）的伴隨點．如：點A（1，﹣2）的伴隨點是A′（1，﹣6），B（﹣1，﹣2）的伴隨點是B′（﹣1，2）．若點Q（m，n）在二次函數y＝x2﹣4x﹣2的圖象上，則當﹣2≤m＜5時，其伴隨點Q′（m，n′）的縱坐標n′的值不可能是（）A．﹣10 B．﹣1 C．1 D．105．（2024?浙江一模）對于給定的兩個函數，任取自變量x的一個值，當x＜0時，它們對應的函數值互為相反數；當x≥0時，它們對應的函數值相等，我們稱這樣的兩個函數互為“陰陽函數”．例如：一次函數y＝x+2，它的“陰陽函數”為y＝，若點P（m，2）在二次函數y＝x2+2x﹣3的“陰陽函數”的圖象上時，則m的值為（）A．﹣1+或﹣1﹣ B． C．或 D．6．（2024?綠園區一模）如圖，平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（﹣1，0）和B（0，3），點P是拋物線上第一象限內一動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，則OQ+PQ的最大值為．7．（2024?東營區校級一模）拋物線的圖象如圖所示，點A1，A2，A3，A4，…，A2024在拋物線第一象限的圖象上．點B1，B2，B3，B4，…，B2024在y軸的正半軸上，△OA1B1，△B1A2B2，…，△B2023A2024B2024都是等腰直角三角形，則B2023A2024＝．題型03拋物線與x軸的交點 易錯點01：求拋物線與x軸的交點，就是讓拋物線解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判別式、③根與系數的關系等性質也就分別對應①拋物線與x軸交點橫坐標、②交點個數、③交點橫坐標與其對稱軸的關系的考點；易錯點02：求拋物線與直線的交點時，聯立拋物線與直線的解析式，得新的一元二次方程時，上述結論與用法大多依然適用，使用時注意聯想和甄別。【中考真題練】1．（2023?甘孜州）下列關于二次函數y＝（x﹣2）2﹣3的說法正確的是（）A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與x軸沒有交點 C．當x＜2時，y隨x增大而增大 D．圖象的頂點坐標是（2，﹣3）2．（2023?衡陽）已知m＞n＞0，若關于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x23．（2023?寧波）已知二次函數y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列說法正確的是（）A．點（1，2）在該函數的圖象上 B．當a＝1且﹣1≤x≤3時，0≤y≤8 C．該函數的圖象與x軸一定有交點 D．當a＞0時，該函數圖象的對稱軸一定在直線x＝的左側4．（2023?自貢）經過A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，則線段AB的長為（）A．10 B．12 C．13 D．155．（2023?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過點（﹣2，0），（3，0）．下列結論：①＞0；②c＝2b；③若拋物線上有點（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），則y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解為x1＝，x2＝﹣．其中正確的個數是（）A．4 B．3 C．2 D．16．（2023?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當CD∥x軸時，CD＝．7．（2023?巴中）規定：如果兩個函數的圖象關于y軸對稱，那么稱這兩個函數互為“Y函數”．例如：函數y＝x+3與y＝﹣x+3互為“Y函數”．若函數y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數”圖象與x軸的交點坐標為．8．（2023?郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，則m＝．9．（2023?赤峰）如圖，拋物線y＝x2﹣6x+5與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，點D（2，m）在拋物線上，點E在直線BC上，若∠DEB＝2∠DCB，則點E的坐標是．10．（2023?宜賓）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），頂點為M（﹣1，m），且拋物線與y軸的交點B在（0，﹣2）與（0，﹣3）之間（不含端點），則下列結論：①當﹣3≤x≤1時，y≤0；②當△ABM的面積為時，a＝；③當△ABM為直角三角形時，在△AOB內存在唯一一點P，使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方為18+9．其中正確的結論是．（填寫所有正確結論的序號）【中考模擬練】1．（2024?太原模擬）關于二次函數y＝x2﹣2x﹣3的圖象，下列說法正確的是（）A．開口向下 B．對稱軸為直線x＝﹣1 C．與y軸交于點（0，3） D．與x軸有兩個交點2．（2024?西安校級模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+3（a＜0）與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C．若點P在拋物線的對稱軸上，線段PA繞點P逆時針旋轉90°后，點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上，則點P的坐標為（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1）或（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）3．（2024?郾城區一模）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝x2+2x﹣3與y軸交于點A，與x軸負半軸交于點B，連接AB．將Rt△OAB向左上方平移，得到RtΔO′A′且點O′A′落在拋物線的對稱軸上，點B′落在拋物線上，則直線A′B′的表達式為（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x+34．（2024?寧波模擬）已知ac≠0，若二次函數y1＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0），二次函數y2＝cx2+bx+a的圖象與x軸交于兩個不同的點C（x3，0），D（x4，0），則（）A．x1+x2+x3+x4＝1 B．x1x2x3x4＝1 C． D．5．（2024?莘縣一模）如圖，一段拋物線y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），記為拋物線C1，它與x軸交于點O、A1；將拋物線C1繞點A1旋轉180°得拋物線C2，交x軸于點A2；將拋物線C2繞點A2旋轉180°得拋物線C3，交x軸于點A3；…如此進行下去，得到一條“波浪線”，若點M（2020，m）在此“波浪線”上，則m的值為（）A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．86．（2024?遼寧模擬）如圖，拋物線y＝﹣x+3與x軸相交于A，B兩點．點C的坐標為（，0），點P在拋物線上，將線段PC繞點P順時針旋轉90°得到線段PD，當點D落在y軸正半軸上時，點D的坐標為．7．（2024?徐州模擬）如圖，拋物線y＝x2﹣2x+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．若拋物線y＝x2﹣2x+k上有點Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，則點Q的坐標為．題型04二次函數與不等式（組）解題大招01：當拋物線與x軸相交、與直線相交時，只要有交點，就可以接著考察兩圖象的上下關系，進而得不等式，根據圖象直接寫出不等式的解集。解題大招02：由函數圖象直接寫出不等式解集的方法歸納：①根據圖象找出交點橫坐標，②不等式中不等號開口朝向的一方，圖象在上方，對應交點的左邊或右邊符合，則x取對應一邊的范圍。【中考真題練】1．（2023?新疆）如圖，在平面直角坐標系中，直線y1＝mx+n與拋物線y2＝ax2+bx﹣3相交于點A，B．結合圖象，判斷下列結論：①當﹣2＜x＜3時，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一個解；③若（﹣1，t1），（4，t2）是拋物線上的兩點，則t1＜t2；④對于拋物線y2＝ax2+bx﹣3，當﹣2＜x＜3時，y2的取值范圍是0＜y2＜5．其中正確結論的個數是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（2023?通遼）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1下列四個結論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集為0＜x＜2．其中正確結論的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024?永城市校級一模）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與y軸交于點A（0，2），其對稱軸是直線x＝，則不等式ax2+bx+c≤2的解集是（）A．x≤0 B．x≤﹣1或x≥2 C．0≤x≤1 D．x≤0或x≥13．（2024?殷都區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，直線y1＝mx+n與拋物線相交于點A，B．結合圖象，判斷下列結論：①當﹣3＜x＜2時，y1＞y2；②x＝﹣3是方程ax2+bx﹣3＝0的一個解；③若（﹣4，t1），（1，t2）是拋物線上的兩點，則t1＞t2；④對于拋物線，當﹣3＜x＜2時，y2的取值范圍是0＜y2＜5．其中正確結論的個數是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個4．（2024?沭陽縣一模）如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）兩點，則不等式ax2+c＜mx+n的解集是．5．（2024?玄武區校級模擬）二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示．下列結論：①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③方程ax2+bx+c＝a有兩個不相等的實數根；④不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2．其中所有正確結論的序號是．重難點二次函數圖象性質及其綜合應用解析考點一：二次函數的圖象與性質二次函數是中考三大函數中內容最多，考察難度最大的一個函數。而二次函數的圖象更是其龐大內容的核心，初中數學中需要我們詳細的掌握拋物線的畫法、特征、性質、與系數的關系、幾何變換等幾個方面的知識，進而在多變的題型中快速找到解決它們的方法。題型01二次函數圖象與性質易錯點01：對于二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象：形狀：拋物線；對稱軸：直線；頂點坐標：；其中拋物線的頂點坐標的縱坐標與一元二次方程解法中的公式法的表達式比較相似，需要重點加以區分；易錯點02：拋物線的增減性問題，由a的正負和對稱軸同時確定，單一的直接說y隨x的增大而增大（或減小）是不對的，必須在確定a的正負后，附加一定的自變量x取值范圍；解題大招：對于上的各個點，當時，拋物線開口向上，圖象有最低點，函數有最小值，哪個點離對稱軸越近，哪個點的縱坐標越小；當時，拋物線開口向下，圖象有最高點，函數有最大值，哪個點離對稱軸越近，哪個點的縱坐標越大；【中考真題練】1．（2023?臺州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經過（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【分析】根據已知條件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根與系數的關系，分情況討論即可．【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，∴kx＝ax2﹣a，∴ax2﹣kx﹣a＝0，∴，∴，當a＞0，k＜0時，直線y＝ax+k經過第一、三、四象限，當a＜0，k＞0時，直線y＝ax+k經過第一、二、四象限，綜上，直線y＝ax+k一定經過一、四象限．故選：D．2．（2023?邵陽）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數，a≠0）上的點，現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2；②點（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結論的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據題目中的二次函數的性質，可以判斷各個小題中的結論是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+4ax+3的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，∴①正確；當x＝0時，y＝3，則點（0，3）在拋物線上，∴②正確；當a＞0時，x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；當a＜0時，x1＞x2＞﹣2，則y1＜y2；∴③錯誤；當y1＝y2，則x1+x2＝﹣4，∴④錯誤；故正確的有2個，故選：B．3．（2023?揚州）已知二次函數y＝ax2﹣2x+（a為常數，且a＞0），下列結論：①函數圖象一定經過第一、二、四象限；②函數圖象一定不經過第三象限；③當x＜0時，y隨x的增大而減小；④當x＞0時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結論的序號是（）A．①② B．②③ C．② D．③④【分析】由a的正負可確定出拋物線的開口方向，結合函數的性質逐項判斷即可．【解答】解：∵a＞0時，拋物線開口向上，∴對稱軸為直線x＝＝＞0，當x＜0時，y隨x的增大而減小，當x＞時，y隨x的增大而增大，∴函數圖象一定不經過第三象限，函數圖象可能經過第一、二、四象限．故選：B．4．（2023?安徽）下列函數中，y的值隨x值的增大而減小的是（）A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1【分析】根據各函數解析式可得y隨x的增大而減小時x的取值范圍．【解答】解：選項A中，函數y＝x2+1，x＜0時，y隨x的增大而減小；故A不符合題意；選項B中，函數y＝﹣x2+1，x＞0時，y隨x的增大而減小；故B不符合題意；選項C中，函數y＝2x+1，y隨x的增大而增大；故C不符合題意；選項D中，函數y＝﹣2x+1，y隨x的增大而減小．故D符合題意；故選：D．5．（2023?棗莊）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝1，下列結論：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是拋物線上的兩點，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤對于任意實數m，都有m（am+b）≥a+b，其中正確結論的個數是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①根據函數圖象分別判斷a、b、c的正負，求出abc的正負；②將方程轉化為函數與x軸的交點，利用已知交點和對稱軸找出另一交點的范圍；③根據二次函數圖象的性質：當圖象開口向上，離對稱軸越近的點y值越小；④用a來表示改變函數解析式，根據圖象，令x＝﹣1，得到3a+c＞0，即6a+2c＞，因為a＞0，所以得出11a+2c＞0；⑤化簡不等式，用a表示b，根據a＞0及不等式的性質得到只含有m的不等式，解不等式即可．【解答】解：①根據圖象可知：a＞0，c＜0，∵對稱軸是直線x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a．∴b＜0，∴abc＞0．故①錯誤．②方程ax2+bx+c＝0，即為二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點，根據圖象已知一個交點﹣1＜x1＜0，關于x＝1對稱，∴另一個交點2＜x2＜3．故②正確．③∵對稱軸是直線x＝1，∴點（，y2）離對稱軸更近，∴y1＞y2，故③錯誤．④∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，根據圖象，令x＝﹣1，y＝a+2a+c＝3a+c＞0，∴6a+2c＞0，∵a＞0，∴11a+2c＞0，故④正確．⑤m（am+b）＝am2+bm＝am2﹣2am≥a﹣2a，am2﹣2am≥﹣a，即證：m2﹣2m+1≥0，m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，∴m為任意實數，m2﹣2m+1≥0恒成立．故⑤正確．綜上②④⑤正確，故選：C．6．（2023?呼和浩特）關于x的二次函數y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的結論：①對于任意實數a，都有x1＝3+a對應的函數值與x2＝3﹣a對應的函數值相等．②若圖象過點A（x1，y1），點B（x2，y2），點C（2，﹣13），則當x1＞x2＞時，＜0．③若3≤x≤6，對應的y的整數值有4個，則﹣＜m≤﹣或≤m＜．④當m＞0且n≤x≤3時，﹣14≤y≤n2+1，則n＝1．其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①根據二次函數的對稱軸為x＝﹣，可得x＝3，再由＝3即可判斷結論①；②將點C（2，﹣13）代入拋物線解析式可求得m＝1，即y＝x2﹣6x﹣5，當x＞3時，y隨x的增大而增大．即可判斷結論②；③當x＝3時，y＝﹣5﹣9m，當x＝6時，y＝﹣5，根據若3≤x≤6，對應的y的整數值有4個，分兩種情況：若m＞0，則﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8，若m＜0，則﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1，解不等式即可判斷結論③；④當m＞0且n≤x≤3時，y隨著x的增大而減小，由﹣14≤y≤n2+1，可得﹣5﹣9m＝﹣14或n2﹣6n﹣5＝n2+1，解方程即可判斷結論④．【解答】解：①二次函數y＝mx2﹣6mx﹣5的對稱軸為x＝﹣＝3，∵x1＝3+a和x2＝3﹣a關于直線x＝3對稱，∴對于任意實數a，都有x1＝3+a對應的函數值與x2＝3﹣a對應的函數值相等，∴①符合題意；②將點C（2，﹣13）代入y＝mx2﹣6mx﹣5，得﹣13＝4m﹣12m﹣5，解得m＝1．∴函數的解析式為y＝x2﹣6x﹣5，當x＞3時，y隨x的增大而增大．∴當x1＞x2＞時，y1＞y2，∴＞0．∴②不符合題意；③∵y＝mx2﹣6mx﹣5＝m（x﹣3）2﹣5﹣9m，∴拋物線的對稱軸為直線x＝3，當x＝3時，y＝﹣5﹣9m，當x＝6時，y＝﹣5，∵若3≤x≤6，對應的y的整數值有4個，∴若m＞0，當3≤x≤6時，y隨著x的增大而增大，則﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8，∴≤m＜；若m＜0，當3≤x≤6時，y隨著x的增大而減小，則﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1，∴﹣＜m≤﹣；∴﹣＜m≤﹣或≤m＜．∴③符合題意；④當m＞0且n≤x≤3時，y隨著x的增大而減小，∵﹣14≤y≤n2+1，∴﹣5﹣9m＝﹣14，解得：m＝1，∴n2﹣6n﹣5＝n2+1，解得：n＝﹣1，∴④不符合題意；綜上所述，正確結論有①③，共2個．故選：B．7．（2023?福建）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）經過A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）兩點，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側，且y1＜y2，則n的取值范圍是﹣1＜n＜0．【分析】由題意可知：拋物線的對稱軸為x＝1，開口向上，再分點A在對稱軸x＝1的左側，點B在對稱軸x＝1的右側和點B在對稱軸x＝1的左側，點A在對稱軸x＝1的右側兩種情況求解即可．【解答】解：拋物線的對稱軸為：x＝﹣＝1，∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵y1＜y2，∴若點A在對稱軸x＝1的左側，點B在對稱軸x＝1的右側，由題意可得：，不等式組無解；若點B在對稱軸x＝1的左側，點A在對稱軸x＝1的右側，由題意可得：，解得：﹣1＜n＜0，∴n的取值范圍為：﹣1＜n＜0．故答案為：﹣1＜n＜0．8．（2023?北京）在平面直角坐標系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設拋物線的對稱軸為x＝t．（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．【分析】（1）根據二次函數的性質求得對稱軸即可，（2）根據題意判斷出離對稱軸更近的點，從而得出（x1，y1）與（x2，y2）的中點在對稱軸的右側，再根據對稱性即可解答．【解答】解：（1）∵對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴＝﹣3．∵對稱軸為x＝﹣＝，∴t＝．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，∵y1＜y2，如果a＞0，則（x1，y1）離對稱軸更近，x1＜x2，則（x1，y1）與（x2，y2）的中點在對稱軸的右側，∴＞t，即t≤．【中考模擬練】1．（2024?虹口區二模）已知二次函數y＝﹣（x﹣4）2，如果函數值y隨自變量x的增大而減小，那么x的取值范圍是（）A．x≥4 B．x≤4 C．x≥﹣4 D．x≤﹣4【分析】依據題意，由二次函數y＝﹣（x﹣4）2，再結合a＝﹣1＜0，從而當x≤4時，y隨x的增大而增大，當x≥4時，y隨x的增大而減小，再由函數值y隨自變量x的增大而減小，進而可以判斷得解．【解答】解：由題意，∵二次函數y＝﹣（x﹣4）2，又a＝﹣1＜0，∴當x≤4時，y隨x的增大而增大，當x≥4時，y隨x的增大而減小．由函數值y隨自變量x的增大而減小，∴x≥4．故選：A．2．（2024?鄭州模擬）已知二次函數y＝ax2+bx（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數y＝ax+b（a≠0）的圖象大致為（）A． B． C． D．【分析】根據二次函數的圖象可以得到a＜0，b＞0，然后即可得到一次函數y＝ax+b（a≠0）的圖象經過哪幾個象限．【解答】解：由二次函數y＝ax2+bx（a≠0）的圖象，可知：a＜0，b＞0，則一次函數y＝ax+b（a≠0）的圖象經過第一、二、四象限，故選：C．3．（2024?霍邱縣模擬）函數y＝kx2﹣4x+3和y＝kx﹣k（k是常數，且k≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】由k＞0和k＜0時兩種情況下兩個函數在同一平面坐標系中的圖象，進行綜合判斷即可．【解答】解：當k＞0時，一次函數y＝kx﹣k的圖象經過第一、三、四象限，故選項A不符合；當k＜0時，一次函數y＝kx﹣k的圖象經過第一、二、四象限，故選項B，D不符合，選項C中，由一次函數y＝kx﹣k的圖象，得k＜0，此時二次函數y＝kx2﹣4x+3的圖象應開口向下，對稱軸為直線x＝﹣＜0，所以應該位于y軸左側．故選：C．4．（2024?余姚市一模）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在二次函數y＝﹣x2+c（c＞0）的圖象上，點A，C是該函數圖象與正比例函數y＝kx（k為常數且k＞0）的圖象的交點．若x1＜0＜x2＜x3，則y1，y2，y3的大小關系為（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2【分析】首先確定A在第三象限，B、C在第一象限，利用正比例函數的性質以及二次函數的性質判斷即可．【解答】解：∵k＞0，∴正比例函數y＝kx的圖象經過一、三象限，∵點A，C是該函數圖象與正比例函數y＝kx（k為常數且k＞0）的圖象的交點，且x1＜0＜x2＜x3，∴A在第三象限，C在第一象限，由二次函數y＝﹣x2+c（c＞0）可知拋物線開口向下，對稱軸為y軸，∴當x＞0時，y隨x的增大而減小，∴B在第一象限，∴y1＜0，0＜y3＜y2，∴y1＜y3＜y2．故選：D．5．（2024?武威二模）已知二次函數y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數，1＜m＜2），當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，則下列結論正確的是（）①若x＞2時，則y隨x的增大而減小；②若圖象經過點（0，1），則﹣1＜a＜0；③若（﹣2023，y1），（2023，y2）是函數圖象上的兩點，則y1＜y2；④若圖象上兩點，對一切正數n．總有y1＞y2，則．A．①② B．①③ C．①④ D．③④【分析】依據題意，由題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵二次函數y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數，1＜m＜2），∴當y＝0時，x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2．又∵當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，∴a＜0，開口向下．∴當x＞2＞x2時，y隨x的增大而減小，故①正確；又∵對稱軸為直線x＝﹣＝，1＜m＜2，∴0＜＜．若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函數圖象上的兩點，2021離對稱軸近些，又拋物線開口向下，則y1＜y2，故③正確；若圖象上兩點（，y1），（+n，y2）對一切正數n，總有y1＞y2，1＜m＜2，又該函數與x軸的兩個交點為（﹣1，0），（m，0），∴0＜≤．解得1＜m≤，故④錯誤；∵二次函數y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數，1＜m＜2），當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，∴a＜0．若圖象經過點（0，1），則1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am．∵a＜0，1＜m＜2，∴﹣1＜a＜﹣，故②錯誤；∴①③正確；②④錯誤，故選：B．6．（2024?福田區模擬）已知函數y＝|x2﹣4|的大致圖象如圖所示，對于方程|x2﹣4|＝m（m為實數），若該方程恰有3個不相等的實數根，則m的值是4．【分析】利用數形結合的數學思想，將方程的實數根轉化為兩個圖象的交點問題即可解決問題．【解答】解：令x＝0得，y＝4，所以函數y＝|x2﹣4|的圖象與y軸的交點坐標為（0，4）．方程|x2﹣4|＝m的實數根可以看成函數y＝|x2﹣4|的圖象與直線y＝m交點的橫坐標．因為該方程恰有3個不相等的實數根，所以函數y＝|x2﹣4|的圖象與直線y＝m有3個不同的交點．如圖所示，當m＝4時，兩個圖象有3個不同的交點，所以m的值為4．故答案為：4．7．（2024?合肥模擬）在平面直角坐標系中，G（x1，y1）為拋物線y＝x2+4x+2上一點，H（﹣3x1+1，y1）為平面上一點，且位于點G右側．（1）此拋物線的對稱軸為直線x＝﹣2；（2）若線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有兩個交點，則的x1取值范圍是﹣5≤x1＜﹣2．【分析】（1）利用對稱軸公式即可求解；（2）畫出函數y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）的圖象，由圖象知當﹣2≤x1＜1或﹣6≤x1＜﹣5時，線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）只有1個交點；當﹣5≤x1＜﹣2時，求得9＜GH≤21，則GH＞MN，此時線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有2個交點．【解答】解：（1）∵y＝x2+4x+2，∴此拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，故答案為：x＝﹣2．（2）如圖，當x＝1時，y＝x2+4x+2＝7，即M（1，7），∵對稱軸為直線x＝﹣2，∴M（1，7）關于直線x＝﹣2的對稱點為N（﹣5，7），∴MN＝1﹣（﹣5）＝6，由圖象知當﹣2≤x1＜1或﹣6≤x1＜﹣5時，線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）只有1個交點；當﹣5≤x1＜﹣2時，GH＝﹣3x1+1﹣x1＝﹣4x1+1，∴9＜GH≤21，∴GH＞MN，此時線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有2個交點．綜上所述，x1的取值范圍是﹣5≤x1＜﹣2，故答案為：﹣5≤x1＜﹣2．8．（2024?碑林區校級一模）如圖，拋物線的對稱軸l與x軸交于點A，與y軸交于點B．（1）求點A、B的坐標；（2）C為該拋物線上的一個動點，點D為點C關于直線l的對稱點（點D在點C的左側），點M在坐標平面內，請問是否存在這樣的點C，使得四邊形ACMD是正方形？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將二次函數化為頂點式，然后求出點A的坐標；把x＝0代入拋物線的解析式，求出y＝3，得出點B的坐標即可；（2）分兩種情況進行討論，當M在x軸下方時，當M在x軸上方時，分別畫出圖形，求出結果即可．【解答】解：（1）∵，∴A（1，0），當x＝0時，y＝﹣3，∴B（0，﹣3）．（2）存在，理由如下：由題意四邊形ACMD是正方形，則△ACD是以點A為直角頂點的等婹直角三角形．設，①當M在x軸下方時，如圖1，過點C作CE⊥x軸于E，此時△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝CE，∴，∴（舍去），，此時．②當M在x軸上方時，如圖2，過點C作CF⊥x軸于F，同理可得：CF＝AF，∴，∴，（舍去），∴此時．綜上所述，存在這樣的點C，使得四邊形ACMD是正方形，此時點C的坐標為或．題型02二次函數與幾何變換 易錯點：拋物線平移步驟：①將一般式轉化為頂點式，②根據“左加右減（x），上加下減（整體）”來轉化平移所得函數解析式；解題大招：的軸對稱變換規律【中考真題練】1．（2023?無錫）將二次函數y＝2（x﹣1）2+2的圖象向右平移2個單位長度，所得函數圖象的頂點坐標為（）A．（﹣1，2） B．（3，2） C．（1，3） D．（1，﹣1）【分析】由y＝2（x﹣1）2+2的頂點是（1，2），即可得y＝2（x﹣1）2+2的圖象向右平移2個單位長度，所得函數圖象的頂點坐標為（1+2，2）即（3，2）．【解答】解：由y＝2（x﹣1）2+2的頂點是（1，2），得y＝2（x﹣1）2+2的圖象向右平移2個單位長度，所得函數圖象的頂點坐標為（1+2，2）即（3，2），故選：B．2．（2023?徐州）在平面直角坐標系中，將二次函數y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4【分析】直接利用二次函數的平移規律，左加右減，上加下減，進而得出答案．【解答】解：將二次函數y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．故選：B．3．（2023?西藏）將拋物線y＝（x﹣1）2+5平移后，得到拋物線的解析式為y＝x2+2x+3，則平移的方向和距離是（）A．向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度 B．向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度 C．向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度 D．向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度【分析】先確定兩個拋物線的頂點坐標，再利用點平移的規律確定拋物線平移的情況．【解答】解：拋物線y＝（x﹣1）2+5的頂點坐標為（1，5），拋物線y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的頂點坐標為（﹣1，2），而點（1，5）向左平移2個，再向下平移3個單位可得到（﹣1，2），所以拋物線y＝（x﹣1）2+5向左平移2個，再向下平移3個單位得到拋物線y＝x2+2x+3．故選：D．4．（2023?牡丹江）將拋物線y＝（x+3）2向下平移1個單位長度，再向右平移2或4個單位長度后，得到的新拋物線經過原點．【分析】先求出拋物線y＝（x+3）2向下平移1個單位長度的解析式為y＝（x+3）2﹣1，設拋物線向右平移h個單位長度后，得到的新拋物線經過原點，則新拋物線的解析式為y＝（x+3﹣h）2﹣1，由拋物線經過原點可知，當x＝0時，y＝0，代入拋物線的解析式求出h的值即可．【解答】解：拋物線y＝（x+3）2向下平移1個單位長度的解析式為y＝（x+3）2﹣1，設拋物線向右平移h個單位長度后，得到的新拋物線經過原點，則新拋物線的解析式為y＝（x+3﹣h）2﹣1，∵拋物線經過原點，∴當x＝0時，y＝0，∴（3﹣h）2﹣1＝0，解得h＝2或4．故答案為：2或4．5．（2023?上海）在平面直角坐標系xOy中，已知直線y＝x+6與x軸交于點A，y軸交于點B，點C在線段AB上，以點C為頂點的拋物線M：y＝ax2+bx+c經過點B，點C不與點B重合．（1）求點A，B的坐標；（2）求b，c的值；（3）平移拋物線M至N，點C，B分別平移至點P，D，聯結CD，且CD∥x軸，如果點P在x軸上，且新拋物線過點B，求拋物線N的函數解析式．【分析】（1）根據題意，分別將x＝0，y＝0代入直線即可求得；（2）設，得到拋物線的頂點式為，將B（0，6）代入可求得，進而可得到拋物線解析式為，即可求得b，c；（3）根據題意，設P（p，0），，根據平移的性質可得點B，點C向下平移的距離相同，列式求得m＝﹣4，，然后得到拋物線N解析式為：，將B（0，6）代入可得，即可得到答案．【解答】解：（1）在中，令x＝0得：y＝6，∴B（0，6），令y＝0得：x＝﹣8，∴A（﹣8，0）；（2）設，設拋物線的解析式為：，∵拋物線M經過點B，∴將B（0，6）代入得：，∵m≠0，∴，即，將代入y＝a（x﹣m）2+3m+6，整理得：，∴，c＝6；（3）如圖：∵CD∥x軸，點P在x軸上，∴設P（p，0），，∵點C，B分別平移至點P，D，∴點B，點C向下平移的距離相同，∴，解得：m＝﹣4，由（2）知，∴，∴拋物線N的函數解析式為：，將B（0，6）代入可得：，∴拋物線N的函數解析式為：或．【中考模擬練】1．（2024?津市市一模）將二次函數y＝x2﹣6的圖象向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得圖象的解析式為（）A．y＝x2﹣2x﹣5 B．y＝x2+2x﹣9 C．y＝x2﹣2x﹣8 D．y＝x2+2x﹣5【分析】根據平移原則：上→加，下→減，左→加，右→減寫出解析式．【解答】解：根據題意可得解析式為：y＝（x﹣1）2﹣3﹣6＝x2﹣2x﹣8．故選：C．2．（2024?秦都區一模）已知拋物線，拋物線C2與C1關于直線y＝l軸對稱，兩拋物線的頂點相距5，則m的值為（）A． B． C．或 D．或【分析】根據拋物線可以求得拋物線C1的頂點（，﹣+m），根據軸對稱的性質得到拋物線C2的頂點為（，﹣m+2）．由題意知|﹣m+2+﹣m|＝5，解方程即可求得．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣3x+m＝（x﹣）2﹣+m，∴拋物線C1的頂點（，﹣+m），∵拋物線C2與C1關于直線y＝1軸對稱，∴拋物線C2的頂點為（，﹣m+2）．∵兩拋物線的頂點相距5，∴|﹣m+2+﹣m|＝5，解得m＝或，故選：D．3．（2024?濟南模擬）將拋物線y＝（x+1）2的圖象位于直線y＝9以上的部分向下翻折，得到如圖圖象，若直線y＝x+m與此圖象有四個交點，則m的取值范圍是（）A．＜m＜7 B．＜m＜5 C．＜m＜9 D．＜m＜7【分析】根據函數圖象，可發現，若直線與新函數有3個交點，可以有兩種情況：①直線經過對折點A（即右邊的對折點），可將A點坐標代入直線的解析式中，即可求出m的值；②若直線與新函數圖象有三個交點，那么當直線與該二次函數只有一個交點時，恰好滿足這一條件，那么聯立直線與該二次函數的解析式，可化為一個關于x的一元二次方程，那么該方程的判別式Δ＝0，根據這一條件可確定m的取值．【解答】解：令y＝9，則9＝（x+1）2，解得x＝﹣4或2，∴A（2，9），平移直線y＝x+m知：直線位于l1和l2時，它與新圖象有三個不同的公共點．①當直線位于l1時，此時l1過點A（2，9），如圖，∴9＝2+m，即m＝7．②當直線位于l2時，如圖，此時l2與函數y＝（x+1）2的圖象有一個公共點，∴方程x+m＝x2+2x+1，即x2+x+1﹣m＝0有兩個相等實根，∴Δ＝1﹣4（1﹣m）＝0，即．由①②知若直線y＝x+m與新圖象只有四個交點，m的取值范圍為；故選：D．4．（2024?松江區二模）平移拋物線y＝x2+2x+1，使得平移后的拋物線經過原點，且頂點在第四象限，那么平移后的拋物線的表達式可以是y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）.（只需寫出一個符合條件的表達式）【分析】由平移拋物線y＝x2+2x+1，使得平移后的拋物線經過原點，且頂點在第四象限，設平移后拋物線為y＝（x﹣1）2+k，由平移后的拋物線經過原點，得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，符合頂點在第四象限，故所求為y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【解答】解：由平移拋物線y＝x2+2x+1，使得平移后的拋物線經過原點，且頂點在第四象限，設平移后拋物線為y＝（x﹣1）2+k，由平移后的拋物線經過原點，得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，符合頂點在第四象限，故所求為y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．故答案為：y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．5．（2024?新北區校級模擬）如圖，將拋物線y＝2（x+1）2+1繞原點O順時針旋轉45°得到新曲線，新曲線與直線y＝x交于點M，則點M的坐標為（，）．【分析】直線y＝x繞原點O逆時針旋轉45°得到x＝0，求得拋物線與y軸的交點M′，M′繞原點O順時針旋轉45°得到M，由OM＝OM′，即可求解．【解答】解：直線y＝x繞原點O逆時針旋轉45°得到x＝0，設拋物線y＝2（x+1）2+1與y軸的交點為M′，∵拋物線y＝2（x+1）2+1，∴x＝0時，y＝3，∴M′（0，3），設點M（m，m），由題意得：OM＝OM′＝3，∴m2+m2＝32，∴m＝，∴點M的坐標為（，）．故答案為：（，）．6．（2024?廉江市一模）已知拋物線．（1）寫出拋物線C1的對稱軸：x＝﹣1．（2）將拋物線C1平移，使其頂點是坐標原點O，得到拋物線C2，且拋物線C2經過點A（﹣2，﹣2）和點B（點B在點A的左側），若△ABO的面積為4，求點B的坐標．（3）在（2）的條件下，直線l1：y＝kx﹣2與拋物線C2交于點M，N，分別過點M，N的兩條直線l2，l3交于點P，且l2，l3與y軸不平行，當直線l2，l3與拋物線C2均只有一個公共點時，請說明點P在一條定直線上．【分析】（1）根據拋物線的對稱軸公式直接可得出答案．（2）根據拋物線C2的頂點坐標在原點上可設其解析式為y＝ax2，然后將點A的坐標代入求得C2的解析式，于是可設B的坐標為且（t＜﹣2），過點A、B分別作x軸的垂線，利用S△ABO＝S△OBN﹣S△OAM﹣S梯形ABNM＝4可求得t的值，于是可求得點B的坐標．（3）設M（x1，y1），N（x2，y2），聯立拋物線