附錄1：拉普拉斯（LapLace）變換機電控制工程所涉及的數學問題較多，經常要解算一些線性微分方程。按照一般方法解算比較麻煩，如果用拉普拉斯變換求解線性微分方程，可將經典數學中的微積分運算轉化為代數運算，又能夠單獨地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡便的工程數學方法。一、拉普拉斯變換的定義如果有一個以時間t為自變量的實變函數，它的定義域是，那么的拉普拉斯變換定義為（1-1）式中，s是復變數，（σ、ω均為實數），稱為拉普拉斯積分；是函數的拉普拉斯變換，它是一個復變函數，通常也稱為的象函數，而稱為的原函數；L是表示進行拉普拉斯變換的符號。

式（1-1）表明：拉氏變換是這樣一種變換，即在一定條件下，它能把一實數域中的實變函數變換為一個在復數域內與之等價的復變函數。二、幾種典型函數的拉氏變換1.單位階躍函數的拉氏變換單位階躍函數是機電控制中最常用的典型輸入信號之一，常以它作為評價系統性能的標準輸入，這一函數定義為0t

圖1-1單位階躍函數

單位階躍函數的拉氏變換式為

當，則

所以（1-2）2.指數函數的拉氏變換指數函數也是控制理論中經常用到的函數，其中是常數。令則與求單位階躍函數同理，就可求得（1-3）3．正弦函數與余弦函數的拉氏變換設，，則由歐拉公式，有所以（1-4）同理（1-5）4.單位脈沖函數δ(t)的拉氏變換單位脈沖函數是在持續時間期間幅值為的矩形波。其幅值和作用時間的乘積等于1，即。如圖1-2所示。圖1-2單位脈沖函數單位脈沖函數的數學表達式為其拉氏變換式為

此處因為時，，故積分限變為。(1-6)5.單位速度函數的拉氏變換單位速度函數，又稱單位斜坡函數，其數學表達式為見圖1-3所示。圖1-3單位速度函數單位速度函數的拉氏變換式為利用分部積分法令t=u則,所以當Re(s)>0時，,則(1-7)6.單位加速度函數的拉氏變換單位加速度函數的數學表達式為如圖1-4所示。0t圖1-4單位加速度函數其拉氏變換式為

(Re[s]>0)

（1-8）三、拉氏變換的主要定理

根據拉氏變換定義或查表能對一些標準的函數進行拉氏變換和反變換，但利用以下的定理，則對一般的函數可以使運算簡化。1.疊加定理拉氏變換也服從線性函數的齊次性和疊加性。（1）齊次性設，則（1-9）式中是常數。（2）疊加性設,，則（1-10）兩者結合起來，就有這說明拉氏變換是線性變換。2.微分定理設則式中——函數在時刻的值，即初始值。同樣，可得的各階導數的拉氏變換是

（1-11）

（1-11）式中,，…——原函數各階導數在時刻的值。如果函數及其各階導數的初始值均為零（稱為零初始條件），則各階導數的拉氏變換為

（1-12）3.復微分定理若f(t)可以進行拉氏變換，則除了在F(s)的極點以外，（1-13）式中，F(s)=L[f(t)]。同樣有一般地，有（1-14）4.積分定理設

L[f(t)]=F(s)，則（2.24）式中——積分在t=0時刻的值。當初始條件為零時，（1-15）對多重積分是（1-16）當初始條件為零時，則（1-17）5.延遲定理設

L[f(t)]=F(s)且時，f(t)=0，則（1-18）函數為原函數f(t)沿時間軸延遲了，如圖1-5所示。0t圖1-5函數6.位移定理在控制理論中，經常遇到一類的函數，它的象函數只需把s用(s+a)代替即可，這相當于在復數坐標中，有一位移。設L[f(t)]=F(s)，則L[]=F(s+a)

（1-19）例如的象函數，則的象函數為7.初值定理它表明原函數在時的數值。

（1-20）即原函數的初值等于乘以象函數的終值。8.終值定理

設L[f(t)]=F(s)，并且存在，則

（1-21）即原函數的終值等于乘以象函數的初值。這一定理對于求瞬態響應的穩態值是很有用的。9.卷積定理

設L[f(t)]=F(s),L[g(t)]=G(s)，則有L[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)

（1-22）即兩個原函數的卷積分的拉氏變換等于它們象函數的乘積。

式（2.32）中，為卷積分的數學表示，定義為10.時間比例尺的改變

（1-23）式中

c——比例系數例如,的象函數,則的象函數為11.拉氏變換的積分下限在某些情況下,在處有一個脈沖函數。這時必須明確拉普拉斯積分的下限是還是，因為對于這兩種下限，的拉氏變換是不同的。為此，可采用如下符號予以區分：（1-24）（1-25）若在處包含一個脈沖函數，則因為在這種情況下顯然，如果在處沒有脈沖函數，則有四、拉普拉斯反變換

拉普拉斯反變換的公式為

（1-26）式中

——表示拉普拉斯反變換的符號

通常用部分分式展開法將復雜函數展開成有理分式函數之和，然后由拉氏變換表一一查出對應的反變換函數，即得所求的原函數。1.部分分式展開法

在控制理論中，常遇到的象函數是s的有理分式

為了將寫成部分分式，首先將的分母因式分解，則有

式中，是的根的負值，稱為的極點，按照這些根的性質，可分為以下幾種情況來研究。2.的極點為各不相同的實數時的拉氏反變換（1-27）式中，是待定系數，它是處的留數，其求法如下（1-28）再根據拉氏變換的迭加定理，求原函數[例1.1]

求的原函數。解:

首先將的分母因式分解，則有即得

3.含有共軛復數極點時的拉氏反變換

如果有一對共軛復數極點,，其余極點均為各不相同的實數極點。將展成式中,和可按下式求解即（1-29）

因為(或）是復數，故式（1-29）兩邊都應是復數，令等號兩邊的實部、虛部分別相等，得兩個方程式，聯立求解，即得兩個常數。[例1.2]

已知,試求其部分分式。解:

因為（1-30）含有一對共軛復數極點,和一個極點，故可將式（1-30）因式分解成（1-31）以下求系數、和。由式（1-30）和式（1-31）相等，有（1-32）用乘以上式兩邊，并令，得到上式可進一步寫成由上式兩邊實部和虛部分別相等，可得聯立以上兩式，可求得為了求出系數,用乘方程（1-32）兩邊，并令,將代入，得將所求得的,,值代入（1-31），并整理后得的部分分式查拉氏變換表便得。[例1.3]

已知求。解:

將的分母因式分解，得利用方程兩邊實部、虛部分別相等得解得，所以這種形式再作適當變換：查拉氏變換表得4.中含有重極點的拉氏反變換

設有r個重根，則將上式展開成部分分式（1-33）式中，，，…，的求法與單實數極點情況下相同。，，…，的求法如下：……則

(1-34）[例1.4]

設，試求的部分分式。解:

已知（1-35）含有2個重極點，可將式（1-35）的分母因式分解得（1-36）以下求系數、和。將所求得的、和值代入式（1-36），即得的部分分式查拉氏變換表可得。[例1.5]

求的拉氏反變換。解:

將展開為部分分式上式中各項系數為于是查拉氏變換表，得應當指出，對于在分母中包含有較高階次多項式的復雜函數，用人工算法進行部分分式展開則相當費時費力。這種情況下，采用MATLAB工具就方便多了。五、應用拉氏變換解線性微分方程

應用拉氏變換解線性微分方程時，采用下列步驟：

(1)對線性微分方程中每一項進行拉氏變換，使微分方程變為的代數方程；

(2)解代數方程，得到有關變量的拉氏變換表達式；

(3)用拉氏反變換得到微分方程的時域解。

整個求解過程如圖1-6所示原函數（微分方程的解）原函數（微分方程的解）象函數象函數的代數方程微分方程取拉式反變換程方數