重難點(diǎn)02與不等式有關(guān)綜合解答題

明考情■知方向，

2025年考向預(yù)測(cè)：圓錐曲線與不等式綜合的解答題

重難點(diǎn)題型解讀

壁1圓錐曲線與基本不等舉合

凝瞰于隋式綜^

與不等式有關(guān)綜合題避3解三角形與不等端合

壁4函數(shù)與不符湍合

醒5三角函數(shù)與不等式綜合

題型1圓錐曲線與基本不等式綜合

1.（2023?上海普陀?一模）設(shè)雙曲線「^-y2=lCt>0）,點(diǎn)耳是F的左焦點(diǎn)，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn).

t

（1）若r的離心率為反,求雙曲線「的焦距；

3

（2）過(guò)點(diǎn)片且一個(gè)法向量為的直線與「的一條漸近線相交于點(diǎn)若S溫。耳=；,求雙曲線r的方

程；

（3）若/=直線/：kx-y+m=0（后>0,）與：T交于p,。兩點(diǎn)，|赤+詼|=4,求直線/的斜率左

的取值范圍.

2.(2023?上海黃浦?一模)已知橢圓c：，+/=l(a>6>0)的離心率為告，以其四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形

的面積等于80.動(dòng)直線4、4都過(guò)點(diǎn)M(0,㈤(。<加<1),斜率分別為公-334與橢圓C交于點(diǎn)A、P,12

與橢圓C交于點(diǎn)2、Q,點(diǎn)P、。分別在第一、四象限且尸軸.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線4與x軸交于點(diǎn)M求證：|NP|=2|MN|；

(3)求直線AB的斜率的最小值，并求直線的斜率取最小值時(shí)的直線4的方程.

3.(2024.上海.三模)將離心率相等的所有橢圓稱為“一簇橢圓系”.已知橢圓￡:上+y2=i的左、右頂點(diǎn)分

2

別為上頂點(diǎn)為￡>.

22

(1)若橢圓下:工+&=1與橢圓E在“一簇橢圓系”中，求常數(shù)s的值；

s2

丫2

⑵設(shè)橢圓G：y+y2=2(0<2<l),過(guò)A作斜率為尢的直線k與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)D作斜率為

心的直線4與橢圓G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求當(dāng)力為何值時(shí)，|看+但|取得最小值，并求其最小值；

22

⑶若橢圓H:；+匕=1("2)與橢圓E在“一簇橢圓系”中，橢圓〃上的任意一點(diǎn)記為C(x0,%),試判斷

VABC的垂心M是否都在橢圓E上，并說(shuō)明理由.

題型2導(dǎo)數(shù)與不等式綜合

4

4.（2024.上海靜安?一模）設(shè)函數(shù)=x+?無(wú)?-8,0）。（0,+8）.

⑴求函數(shù)y=〃x）的單調(diào)區(qū)間；

⑵求不等式/（x）＜2x的解集.

5.（2023?上海寶山?二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體.如：方程y=Ax+l中，當(dāng)左取給定

的實(shí)數(shù)時(shí)，表示一條直線；當(dāng)左在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，表示過(guò)點(diǎn)（o,i）的直線族（不含y軸）.記直線族

2（a—2）x+4y-4。+儲(chǔ)=0（其中aeR）為中，直線族y=3/x—（其中t＞0）為Q.

⑴分別判斷點(diǎn)4（0,1）,川1,2）是否在乎的某條直線上，并說(shuō)明理由；

⑵對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)%,點(diǎn)尸（%,%）不在。的任意一條直線上，求%的取值范圍（用/表示）；

（3）直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上

每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.求O的包絡(luò)和中的包絡(luò).

6.（2024.上海.模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)6）,令s（x）=（x-4+（〃力-力?,若

P（XoJ（x。））是S（x）取到最小值的點(diǎn)，則稱尸是M在〃X）的“最近點(diǎn)”.

⑴對(duì)于/（尤）=口無(wú)＞0），求證：對(duì)于點(diǎn)M（0,。），存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸是M在/'（X）的"最近點(diǎn)”；

⑵對(duì)于〃司=巴"（1,0）,請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)P,它是M在〃x）的“最近點(diǎn)”，且直線MP與＞=/（尤）在

點(diǎn)尸處的切線垂直；

⑶己知y=/（x）在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)「（X）,且函數(shù)g（無(wú)）在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)

必?-1J⑴-g⑺），陷?+1,f⑺+g（/））.若對(duì)任意的feR,存在點(diǎn)尸同時(shí)是弧，也在的“最近點(diǎn)”,

試判斷的單調(diào)性.

題型3解三角形與不等式綜合

7.（2021.上海金山?二模）隨著生活水平的不斷提高，人們更加關(guān)注健康，重視鍛煉.通過(guò)“小步道”，走出“大

健康”，健康步道成為引領(lǐng)健康生活的一道亮麗風(fēng)景線.如圖，A-3-C-A為某區(qū)的一條健康步道，AB,AC

_TT

為線段，8c是以3C為直徑的半圓，A8=2/km,AC-4km.ABAC=—

⑴求BC的長(zhǎng)度；

（2）為滿足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居環(huán)境，現(xiàn)計(jì)劃新建健康步道A-O-C在AC兩

7T

側(cè)），其中為線段.若ZADC=q,求新建的健康步道A-O-C的路程最多可比原有健康步道

C的路程增加多少長(zhǎng)度？

8.（2022?上海長(zhǎng)寧?二模）在VA3C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.

⑴若sin?A=sin?8+sin?C+sinBsinC,求A

（2）若C=60。，VABC的面積S=Q,求VABC外接圓半徑R的最小值.

9.（2022?上海松江?一模）在VABC中，內(nèi)角A&C所對(duì)邊分別為,已知csinC-6sinB=a（sinA-sinB）.

⑴求角C的值；

⑵若c=3,求VABC周長(zhǎng)的最大值.

10.（2024.上海寶山?二模）在AABC中，角A、8、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知

sin。A+sin2c=sin2B+sinAsinC.

（1）求角B的大小；

（2）若AABC的面積為出，求a+c的最小值，并判斷此時(shí)44BC的形狀.

題型4函數(shù)與不等式綜合

11.（2022?上海青浦?一模）考慮到高速公路行車安全需要，一般要求高速公路的車速v（公里/小時(shí)）控制

在［60,120］范圍內(nèi).已知汽車以v公里/小時(shí)的速度在高速公路上勻速行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗（所需要的汽油

量）為［-%+號(hào)）升，其中左為常數(shù)，不同型號(hào)汽車左值不同，且滿足60V"120.

⑴若某型號(hào)汽車以120公里/小時(shí)的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為11.5升，欲使這種型號(hào)的汽車每小時(shí)的油

耗不超過(guò)9升，求車速v的取值范圍；

（2）求不同型號(hào)汽車行駛100千米的油耗的最小值.

12.（2022?上海虹口?一模）某地政府決定向當(dāng)?shù)丶{稅額在4萬(wàn)元至8萬(wàn)元（包括4萬(wàn)元和8萬(wàn)元）的小微

企業(yè)發(fā)放補(bǔ)助款，發(fā)放方案規(guī)定：補(bǔ)助款隨企業(yè)納稅額的增加而增加，且補(bǔ)助款不低于納稅額的50%.設(shè)企

業(yè)納稅額為x（單位：萬(wàn)元），補(bǔ)助款為=一陵+6+g（單位：萬(wàn)元），其中匕為常數(shù).

⑴分別判斷6=0,人=1時(shí)，是否符合發(fā)放方案規(guī)定，并說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)/（X）符合發(fā)放方案規(guī)定，求6的取值范圍.

13.(2021?上海?一模)已知函數(shù)〃x)=x+—(mGR).

x-1

(1)當(dāng)〃7=1時(shí)，解不等式/(無(wú))+1>不無(wú)+1)；

(2)設(shè)xe[3,4],且函數(shù)y=f(x)+3存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

14.(2022?上海閔行?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椤＃涤驗(yàn)锳.若DuA,則稱/(x)為型

函數(shù)”；若Au。，則稱/(x)為“N型函數(shù)”.

⑴設(shè)/(X)J5X+8,d=[1)4],試判斷/(x)是型函數(shù)”還是“N型函數(shù)”；

X

⑵設(shè)/(x)=f,g{x)=af(2+x)+bf(2-x),若g(x)既是型函數(shù)”又是“N型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值；

Mf(x)=x2-2ax+b,￡>=[1,3],若/(x)為“N型函數(shù)”，求/⑵的取值范圍.

15.(2022?上海?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x),甲變化：/(x)-/(x-z)；乙變化："(x+r)-/(x)|,t>0.

(1)若f=l,〃x)=21/(x)經(jīng)甲變化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

⑵若/(x)=x2,/(尤)經(jīng)乙變化得到Kx),求不等式〃(x)<f(x)的解集；

⑶若/(尤)在(-8,0)上單調(diào)遞增，將先進(jìn)行甲變化得到〃(無(wú))，再將“(X)進(jìn)行乙變化得到九(x);將f(x)

先進(jìn)行乙變化得到v(x),再將v(x)進(jìn)行甲變化得到為(x),若對(duì)任意/>0,總存在％。)=飽(x)成立，求證:

fM在R上單調(diào)遞增.

16.(2022?上海奉賢?一模)圖1是某會(huì)展中心航拍平面圖，由展覽場(chǎng)館、通道等組成，可以假設(shè)抽象成圖2,

圖2中的大正方形是由四個(gè)相等的小正方形（如A38）和寬度相等的矩形通道組成.展覽館可以根

據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行重新布局成展覽區(qū)域和休閑區(qū)域，展覽區(qū)域由四部分組成，每部分是八邊形，且它們互相

全等.圖2中的八邊形所TS8QWG是小正方形ABC。中的展覽區(qū)域，小正方形ABC。中的四個(gè)全等的直角

三角形是休閑區(qū)域，四個(gè)八邊形是整個(gè)的展覽區(qū)域，16個(gè)全等的直角三角形是整個(gè)的休閑區(qū)域.設(shè)ABCD的

邊長(zhǎng)為300米，AAEF的周長(zhǎng)為180米.

（1）設(shè)AE=x,求△AEF的面積,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問(wèn)AE取多少時(shí)，使得整個(gè)的休閑區(qū)域面積最大.（0。1.414,長(zhǎng)度精確到1米，利用精確后的長(zhǎng)度計(jì)算

面積，面積精確到1平方米）

17.（2021?上海嘉定?一模）提高隧道的車輛通行能力可改善附近路段高峰期間的交通狀況.一般情況下，

隧道內(nèi)的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）和車流密度無(wú)（單位：輛/千米）滿足關(guān)系式：

50,0<x<20,

V=“k”，”研究表明，當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到120輛/千米時(shí)會(huì)造成堵塞，此時(shí)車流速

60-----------,20<x<120.

I140-x

度為0千米/小時(shí).

（1）若車流速度v不小于40千米/小時(shí)，求車流密度x的取值范圍；

（2）隧道內(nèi)的車流量y（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）滿足y=x-v.求隧道內(nèi)車流量的最

大值（精確到1輛/小時(shí)）及隧道內(nèi)車流量達(dá)到最大時(shí)的車流密度（精確到1輛/千米）.（參考數(shù)據(jù)：77=2.646）

18.（2021?上海青浦?三模）某溫室大棚規(guī)定，一天中，從中午12點(diǎn)到第二天上午8點(diǎn)為保溫時(shí)段，其余4

小時(shí)為工作作業(yè)時(shí)段，從中午12點(diǎn)連續(xù)測(cè)量20小時(shí)，得出此溫室大棚的溫度y(單位：攝氏度)與時(shí)間t(單

位：小時(shí)“€［0,20］近似地滿足函數(shù)關(guān)系y=,-13|+右，其中6為大棚內(nèi)一天中保溫時(shí)段的通風(fēng)量.

(1)當(dāng)fV13時(shí)，若一天中保溫時(shí)段的通風(fēng)量保持100個(gè)單位不變，求大棚一天中保溫時(shí)段的最低溫度(精

確到o.rc)；

(2)若要保持一天中保溫時(shí)段的最低溫度不小于17C,求大棚一天中保溫時(shí)段通風(fēng)量的最小值.

19.(2021?上海長(zhǎng)寧?一模)設(shè)〃了)=%3+依2-2了(％€11),其中常數(shù)aeR.

(1)判斷函數(shù)y=〃x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

31

⑵若不等式“力封在區(qū)間$1］上有解，求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(3)已知:若對(duì)函數(shù)y=/z(x)定義域內(nèi)的任意X，都有&(x)+/i(2x_x)=2〃,則函數(shù)y=/z(x)的圖象有對(duì)

稱中心(〃W).利用以上結(jié)論探究：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)函數(shù)y=f(x)是否都有對(duì)稱中心？若是，求出對(duì)稱中

心的坐標(biāo)(用。表示)；若不是，證明你的結(jié)論.

20.(2021.上海徐匯?一模)設(shè)〃(x)表示不小于x的最小整數(shù)，例如〃(0.3)=(-2.5)=-2.

(1)解方程〃(尤一1)=3；

(2)設(shè)/。)=〃(1〃(功,“eN*,試分別求出/(x)在區(qū)間(0』、(1,2］以及(2,3］上的值域;若/(x)在區(qū)

間(。,加上的值域?yàn)椋蠹现械脑氐膫€(gè)數(shù)；

(3)設(shè)實(shí)數(shù)a>0,g(x)=x+a?小2-2,/7(元)=黑上2,若對(duì)于任意不，居e(2,4］都有g(shù)(xj>〃(%),

xx-5x4-7

求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

21.(2022.上海靜安.二模)某便民超市經(jīng)銷一種小袋裝地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本為6元，預(yù)計(jì)

當(dāng)一袋桃酥的售價(jià)為x元（94尤411）時(shí)，一年的銷售量為4三8萬(wàn)袋，并且全年該桃酥食品共需支付3尤萬(wàn)元

x-5

的管理費(fèi).一年的利潤(rùn)=一年的銷售量x售價(jià)一（一年銷售桃酥的成本+一年的管理費(fèi)）.（單位：萬(wàn)元）

（1）求該超市一年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）與每袋桃酥食品的售價(jià)尤的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)每袋桃酥的售價(jià)為多少元時(shí)，該超市一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值.

22.（2022.上海寶山.模擬預(yù)測(cè)）自2017年起，上海市開(kāi)展中小河道綜合整治，全面推進(jìn)“人水相依，延續(xù)

風(fēng)貌，豐富設(shè)施，精彩活動(dòng)”的整治目標(biāo).某科學(xué)研究所針對(duì)河道整治問(wèn)題研發(fā)了一種生物復(fù)合劑.這種生

256,…”

-----------x+64,0W%<4

物復(fù)合劑入水后每1個(gè)單位的活性隨時(shí)間無(wú)（單位：小時(shí)）變化的函數(shù)為“=x+4,

。（12-尤）,44尤412

已知當(dāng)x=4時(shí)，比的值為28,且只有在活性不低于3.5時(shí)才能產(chǎn)生有效作用.

（1）試計(jì)算每1個(gè)單位生物復(fù)合劑入水后產(chǎn)生有效作用的時(shí)間；（結(jié)果精確到0.1小時(shí)）

（2）由于環(huán)境影響，每1個(gè)單位生物復(fù)合劑入水后會(huì)產(chǎn)生損耗，設(shè)損耗剩余量v關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)為

V=」7,04XV12,記人丫為每1個(gè)單位生物復(fù)合劑的實(shí)際活性，求出比?丫的最大值.（結(jié)果精確到01）

X+1

23.（2022?上海楊浦?二模）已知函數(shù)其中相￡R.

⑴若不等式〃“<5的解集是（-1,2）,求m的值；

⑵若函數(shù)y=〃x）在區(qū)間［0,3］上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求相的取值范圍.

24.（2022?上海靜安?一模）某學(xué)校對(duì)面有一塊空地要圍建成一個(gè)面積為360m°的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地

的一面利用舊墻（舊墻需要整修），其它三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出

口，如圖所示.已知舊墻的整修費(fèi)用為45元/m,新建墻的造價(jià)為180元/m,建2m寬的進(jìn)出口需2360元的

單獨(dú)費(fèi)用，設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為無(wú)（單位：m）,設(shè)修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用（含建進(jìn)出口的費(fèi)用）

為y（單位：元）.

（1）將y表示為尤的函數(shù)；

（2）試確定無(wú)，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用（含建進(jìn)出口的費(fèi)用）最少，并求出最少總費(fèi)用.

25.（2022?上海徐匯?一模）某公司經(jīng)過(guò)測(cè)算，計(jì)劃投資兩個(gè)項(xiàng)目.若投入A項(xiàng)目資金X（萬(wàn)元），則一年

fiQ-yo<x<2O

創(chuàng)造的利潤(rùn)為:（萬(wàn)元）：若投入3項(xiàng)目資金X（萬(wàn)元），則一年創(chuàng)造的利潤(rùn)為了（力=而一無(wú)一（萬(wàn)元）.

2[20,龍>20

（1）當(dāng)投入A,3兩個(gè)項(xiàng)目的資金相同且3項(xiàng)目比A項(xiàng)目創(chuàng)造的利潤(rùn)高，求投入A項(xiàng)目的資金了（萬(wàn)元）的取值范

圍；

（2）若該公司共有資金30萬(wàn)，全部用于投資A3兩個(gè)項(xiàng)目，則該公司一年分別投入AB兩個(gè)項(xiàng)目多少萬(wàn)元,

創(chuàng)造的利潤(rùn)最大.

26.（2022?上海普陀?模擬預(yù)測(cè)）第四屆“進(jìn)博會(huì)”將于2021年11月份在國(guó)家會(huì)展中心進(jìn)行.某企業(yè)計(jì)劃在

會(huì)展中心租用一個(gè)長(zhǎng)方形展區(qū)ABC。用于產(chǎn)品展示，按照產(chǎn)品的展示要求，需要將展區(qū)設(shè)計(jì)為產(chǎn)品陳列區(qū)

4耳GR（陰影部分）和觀眾人行道兩部分.已知產(chǎn)品陳列區(qū)4耳GA的面積需要4000平方米，人行道的

寬分別需要4米和10米（如圖）

10米10米

（1）設(shè)產(chǎn)品陳列區(qū)的長(zhǎng)和寬的比翼=苫（長(zhǎng)〉寬），求展區(qū)ABCD所占面積S關(guān)于X的函數(shù)S（x）的解析式；

4cl

（2）為了使參展所用費(fèi)用最小（即展區(qū)所占面積最小，不考慮其它），問(wèn)：產(chǎn)品陳列區(qū)4片GA的長(zhǎng)和寬該如

何設(shè)計(jì)？

27.（2021?上海嘉定.三模）數(shù)學(xué)建模小組檢測(cè)到相距3米的A,B兩光源的強(qiáng)度分別為a,b,異于A,2的

線段AB上任意一點(diǎn)C處的光強(qiáng)度y等于兩光源到該處的強(qiáng)度之和，設(shè)AC=x米.

（1）假設(shè)某處的光強(qiáng)度與光源的強(qiáng)度成正比，與到光源的距離的平方成反比，比例系數(shù)為常數(shù)-左＞0）,

33

測(cè)得數(shù)據(jù)：當(dāng)尤=1時(shí)，y=手左；當(dāng)x=2時(shí)，y=3k，求A,B兩處的光強(qiáng)度，并寫(xiě)出函數(shù)y=/（x）的解析

4

式；

（2）假設(shè)某處的光強(qiáng)度與光源的強(qiáng)度成正比，與到光源的距離成反比，比例系數(shù)為常數(shù)左（左＞0）,測(cè)得數(shù)

據(jù)：當(dāng)尤=1時(shí)，y=^k;當(dāng)x=2時(shí)，＞=2左，問(wèn)何處的光強(qiáng)度最弱？并求最弱處的光強(qiáng)度.

28.（2021?上海浦東新?三模）上海市某地鐵項(xiàng)目正在緊張建設(shè)中，通車后將給更多市民出行帶來(lái)便利，已

知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時(shí)間間隔f（單位：分鐘）滿足2WfW20,feN*,經(jīng)測(cè)算，在某一時(shí)段，地

鐵載客量與發(fā)車時(shí)間間隔f相關(guān)，當(dāng)10vrv20時(shí)地鐵可達(dá)到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當(dāng)2白<10時(shí),

載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)載客量為560人，記地鐵

載客量為p?）.

（1）求P⑴的解析式；

（2）若該時(shí)段這條線路每分鐘的凈收益為。=竺@二至竺-360（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該時(shí)

t

段這條線路每分鐘的凈收益最大？

29.（2021.上海楊浦?二模）已知〃力二6+六丁為實(shí)常數(shù)）

（1）當(dāng)。=1時(shí)，求不等式+的解集；

（2）若函數(shù)“X）在（0,—）中有零點(diǎn)，求。的取值范圍.

30.（2021?上海浦東新?二模）在對(duì)口扶貧工作中，生態(tài)基地種植某中藥材的年固定成本為250萬(wàn)元，每產(chǎn)

ax2+49x,xe（0,50]

出X噸需另外投入可變成本/z（x）萬(wàn)元，已知M元）=<13635C/C=八?通過(guò)市場(chǎng)分析，該中藥

5lxH-----------860,x6（50,100]

.2x+l

材可以每噸50萬(wàn)元的價(jià)格全部售完.設(shè)基地種植該中藥材年利潤(rùn)為>萬(wàn)元，當(dāng)基地產(chǎn)出該中藥材40噸時(shí)，

年利潤(rùn)為190萬(wàn)元.

（1）求。的值；

（2）求年利潤(rùn)y的最大值（精確到01萬(wàn)元），并求此時(shí)的年產(chǎn)量（精確到0」噸）.

80

100-135^^

31.（2020?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知：v=￡,xe(0,80],且吁,xe(0,40)

X

-k(x-40)+85”[40,80K左>0)

（1）若v>95,求x的取值范圍；

（2）已知尤=80時(shí)，v=50,求x為多少時(shí)，4可以取得最大值，并求出該最大值.

32.（2020?上海長(zhǎng)寧?二模）培養(yǎng)某種水生植物需要定期向培養(yǎng)植物的水中加入物質(zhì)N,已知向水中每投放1

個(gè)單位的物質(zhì)N,x（單位：天）時(shí)刻后水中含有物質(zhì)N的量增加“nol/L,y與x的函數(shù)關(guān)系可近似地表

示為關(guān)系可近似地表示為y=JX+2'.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中含有物質(zhì)N的量不低4mol/L時(shí)，物質(zhì)N

12-x,6<x<12

才能有效發(fā)揮作用.

（1）若在水中首次投放1個(gè)單位的物質(zhì)N,計(jì)算物質(zhì)N能持續(xù)有效發(fā)揮作用幾天？

（2）若在水中首次投放1個(gè)單位的物質(zhì)N,第8天再投放1個(gè)單位的物質(zhì)N,試判斷第8天至第12天，

水中所含物質(zhì)N的量是否始終不超過(guò)6mol/L,并說(shuō)明理由.

33.（2020?上海嘉定?二模）某村共有100戶農(nóng)民，且都從事蔬菜種植，平均每戶的年收入為2萬(wàn)元.為了

調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，該鎮(zhèn)政府決定動(dòng)員部分農(nóng)民從事蔬菜加工.據(jù)估計(jì)，若能動(dòng)員x（xeN*）戶農(nóng)民從事蔬菜加

工，則剩下的繼續(xù)從事蔬菜種植的農(nóng)民平均每戶的年收入比上一年提高2x%,而從事蔬菜加工的農(nóng)民平均

每戶的年收入為2、x]（。>0）萬(wàn)元.

（1）在動(dòng)員x戶農(nóng)民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的總年收入不低于動(dòng)員前100戶農(nóng)民的總

年收入，求x的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，要使這100戶農(nóng)民中從事蔬菜加工的農(nóng)民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的

農(nóng)民的總年收入，求。的最大值.

34.（2020?上海奉賢?二模）甲、乙兩地相距300千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不超過(guò)100千米/

小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v（千米/

小時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為6（。>0）,固定部分為1000元.

（1）把全程運(yùn)輸成本》（元）表示為速度v（千米/小時(shí)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

35.（2020?上海青浦?一模）某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品具有60個(gè)月的時(shí)效性，在時(shí)效期內(nèi)，企業(yè)投入50萬(wàn)元經(jīng)銷

該產(chǎn)品，為了獲得更多的利潤(rùn)，企業(yè)將每月獲得利潤(rùn)的10%再投入到次月的經(jīng)營(yíng)中，市場(chǎng)調(diào)研表明，該企

101<n10nGN

業(yè)在經(jīng)銷這個(gè)產(chǎn)品的第〃個(gè)月的利潤(rùn)是AM,-。,〃eN*（單位：萬(wàn)元）‘記第〃個(gè)月的當(dāng)月利

第〃個(gè)月的利潤(rùn)/(3)

潤(rùn)率為g（"）=例g(3)=

截止到第〃個(gè)月投入的資金總和50+("l)+A2))xl0%.

（1）求第〃個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率；

（2）求該企業(yè)在經(jīng)銷此產(chǎn)品期間，哪一個(gè)月的當(dāng)月利潤(rùn)率最大，并求出該月的當(dāng)月利潤(rùn)率.

題型5三角函數(shù)與不等式綜合

36.（2022.上海寶山.一模）吳淞口燈塔AE采用世界先進(jìn)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航遙測(cè)遙控系統(tǒng)，某校數(shù)學(xué)建模小組

測(cè)量其高度H（單位：m）,如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿的高度〃=3m,使A,B,。在同一直線上，

也在同一水平面上，仰角==（本題的距離精確至iJO.lm）

E

H

A

（1）該小組測(cè)得a、△的一組值為a=5L83。，0=4733。,請(qǐng)據(jù)此計(jì)算H的值；

（2）該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到燈塔的距離d（單位：m）,使a與夕之差較大，可

以提高測(cè)量精確度.若燈塔的實(shí)際高度為20.1m,試問(wèn)，為多少時(shí)，a-/3最大?

37.（2022?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知/'⑺=Gsinxcosx-cos?x+g.

（1）若xe,求〃尤）的取值范圍;

o3

（2）設(shè)VABC的三邊分別是。，b,c,周長(zhǎng)為2,若〃8）=-g,求VABC面積的最大值.

38.（2021.上海閔行.二模）某植物園中有一塊等腰三角形ABC的花圃，腰長(zhǎng)為20米，頂角為30。，現(xiàn)在花

圃內(nèi)修一條步行道（步行道的寬度忽略不計(jì)），將其分成面積相等的兩部分，分別種植玫瑰和百合.步行道用

曲線DE表示（D、E兩點(diǎn)分別在腰48、AC上，以下結(jié)果精確到0.01）.

（1）如果曲線DE是以A為圓心的一段圓弧（如圖1）,求AD的長(zhǎng)；

（2）如果曲線QE是直道（如圖2）,求AD+AE的最小值，并求此時(shí)直道DE的長(zhǎng)度.

39.（2021?上海松江?一模）已知函數(shù)/OOuA/^sinxcosx+cosZx+l.

（1）求/（無(wú)）的最小正周期和值域；

（2）若對(duì)任意xeR,產(chǎn)（x）"（元）-240的恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

40.（2020?上海徐匯?模擬預(yù)測(cè)）王老師在做折紙游戲，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為1的正三角形紙片ABC,將點(diǎn)A翻

折后恰好落在邊上的點(diǎn)尸處，折痕為。E,設(shè)8D=x,BF=y.

（1）求尤、y滿足的關(guān)系式;

（2）求尤的取值范圍.

41.(2023?上海金山?一模)在VABC中，設(shè)角A&C所對(duì)的邊分別為人以。，且〃cosB+伍-4c)cosA=0.

⑴求cosA；

(2)若麗=2配碼=1,求c+2/j的最大值.

42.(2022?上海浦東新?模擬預(yù)測(cè))設(shè)〃x)=sinxcos尤-cos：x+；j,xe[0,可.

⑴求的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在銳角VABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為°、b、c.若/仁)=°，。=匕求VA3C面積的最大值.

43.(2022?上海崇明?二模)已知＜(x)=0sin2x-2cos2x-l.

⑴求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵設(shè)VABC的內(nèi)角A滿足八4)=0,且端.隴=3,求8c邊長(zhǎng)的最小值.

44.（2022.上海普陀?一模）如圖所示，邊長(zhǎng)為2（百米）的正方形區(qū)域是某綠地公園的一個(gè)局部，環(huán)

線的B4是修建的健身步道（不計(jì)寬度），其中彎道段所是拋物線的一段，該拋物線的對(duì)稱軸與AD平

行，端點(diǎn)E是該拋物線的頂點(diǎn)且為的中點(diǎn)，端點(diǎn)尸在3C上，且FB長(zhǎng)為0.5（百米），建立適當(dāng)?shù)钠矫?/p>

直角坐標(biāo)系，解決下列問(wèn)題.

⑴求彎道段所所確定的函數(shù)y=/（x）的表達(dá)式；

（2）綠地管理部門(mén)欲在彎道段EF上選取一點(diǎn)P安裝監(jiān)控設(shè)備，使得點(diǎn)P處監(jiān)測(cè)8段的張角（NCPD）最大,

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

45.（2022?上海閔行?二模）某學(xué)校舉辦畢業(yè)聯(lián)歡晚會(huì)，舞臺(tái)上方設(shè)計(jì)了三處光源.如圖，VABC是邊長(zhǎng)為6

的等邊三角形，邊的中點(diǎn)河處為固定光源，E、尸分別為邊AB、AC上的移動(dòng)光源，且ME始終垂直于

MF,三處光源把舞臺(tái)照射出五彩繽紛的若干區(qū)域.

（1）當(dāng)下為邊AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段跖的長(zhǎng)度;

（2）求AEEM的面積的最小值.

限時(shí)提升練

(建議用時(shí)：60分鐘)

1.(2020?上海崇明.一模)某輛汽車以x公里/小時(shí)速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公路行車安全要

求60WXW120)時(shí),每小時(shí)的油耗(所需要的汽油量)為:、-100+手]升.

(1)欲使每小時(shí)的油耗不超過(guò)9升，求尤的取值范圍；

(2)求該汽車行駛100公里的油耗》關(guān)于汽車行駛速度x的函數(shù)，并求y