7狀態(tài)空間分析與設計引言經典控制理論中常常采用系統(tǒng)輸入和輸出之間的關系來描述一個控制系統(tǒng)。這稱之為控制系統(tǒng)的輸入－輸出描述。微分方程和傳遞函數(shù)就是屬于這種系統(tǒng)描述所采用的數(shù)學模型。

但是輸入－輸出描述有一個很大的局限性。它只能從系統(tǒng)的外部，概括輸入－輸出之間的關系，即將系統(tǒng)看作是一個“黑盒子”，而不管其內部結構如何。實際上，一個復雜系統(tǒng)可能有多個輸入和多個輸出，并且以某種方式相互關聯(lián)或耦合。為了分析這樣的系統(tǒng)，必須簡化其數(shù)學表達式，轉而借助于計算機來進行各種大量而乏味的分析與計算。從這個觀點來看，狀態(tài)空間法對于系統(tǒng)分析是最適宜的。

經典控制理論分析和設計控制系統(tǒng)所采用的方法是頻率特性法和根軌跡法。這兩種方法用來分析和設計線性、定常單變量系統(tǒng)是很有效的。但是，對于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、多變量系統(tǒng)等，經典控制理論就顯得無能為力了。同時，隨著生產過程自動化水平要求的提高，控制系統(tǒng)的任務越來越復雜，控制精度要求也越來越高，因此，建立在狀態(tài)空間分析方法基礎上的現(xiàn)代控制理論便迅速地發(fā)展起來。控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間的線性變換線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解線性定常系統(tǒng)的可控性與可觀測性分析線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和極點配置主要內容7.1.1狀態(tài)空間模型的相關概念1、狀態(tài)是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況。2、狀態(tài)變量能完全確定系統(tǒng)運動狀態(tài)的最少數(shù)目的一組變量。對于用n階微分方程描述的系統(tǒng)，應有n個狀態(tài)變量。這n個狀態(tài)變量用x1(t)，x2(t)，…，xn(t)表示。3、狀態(tài)向量由上述n個狀態(tài)變量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)所構成的列向量x(t)稱為狀態(tài)向量，記作x(t)4、狀態(tài)空間以n個狀態(tài)變量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)為基底所構成的n維向量空間叫做狀態(tài)空間。5、狀態(tài)方程狀態(tài)變量的一階導數(shù)與狀態(tài)變量、輸入量的關系稱為狀態(tài)方程。對于n階系統(tǒng)，狀態(tài)方程是由n個一階微分方程或差分方程所構成的方程組。6、輸出方程系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)變量、輸入量的關系稱為輸出方程。例：RLC電路選擇i(t)和uc(t)為狀態(tài)變量，uc(t)為系統(tǒng)輸出。原始方程為令上式化為輸出方程7、狀態(tài)空間表達式（狀態(tài)空間模型）狀態(tài)方程和輸出方程合稱狀態(tài)空間表達式。完全描述其中A、B、C和D分別是維數(shù)為n×n、n×p、q×n和q×p的矩陣；A稱為系統(tǒng)矩陣，或狀態(tài)矩陣，B稱為輸入矩陣，C稱為輸出矩陣，D稱為直接傳遞矩陣x—n×1維狀態(tài)向量；y--q×1維輸出向量；u--p×1維輸入向量對于具有q個輸出,p個輸入的n階系統(tǒng),,線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為:通常用{A、B、C、D}表示系統(tǒng)。對于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)其中u、y、d均為標量，b和c均為向量。非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為狀態(tài)空間表達式的結構示意圖選取n個狀態(tài)變量為，7.1.2

由微分方程建立狀態(tài)變量表達式（1）線性微分方程中不含有輸入函數(shù)的導數(shù)項

其中可以寫為繪制出狀態(tài)變量之間關系的結構圖例：RLC電路，uc(t)為系統(tǒng)輸出。原始方程為消去中間變量選擇結論:狀態(tài)變量不唯一；兩組狀態(tài)變量可以互相表示。式中是n個待定常數(shù)。由上式第一個方程可得輸出方程，其余可得（n-1）個狀態(tài)方程。按照下列公式選擇狀態(tài)變量（2）線性微分方程中含有輸入函數(shù)的導數(shù)項設n階單輸入單輸出系統(tǒng)由微分方程以一個三階系統(tǒng)為例設系統(tǒng)的微分方程為按照上面提到的選擇狀態(tài)變量的方法可得代入原始微分方程左邊＝令左邊＝左邊＝待定系數(shù)有所得的狀態(tài)方程為輸出方程推廣到n階系統(tǒng)有其中寫成矩陣向量的形式為注意：bn輸入項最高階導數(shù)的系數(shù);當bn

＝0時，直接傳遞矩陣為零。當bn=0時，原始微分方程變?yōu)闋顟B(tài)空間表達式形為還可以按如下規(guī)則選擇另一組狀態(tài)變量*

對*求導數(shù)*

原始微分方程這樣得到n個狀態(tài)方程輸出方程為狀態(tài)空間表達式A陣為友矩陣的轉置，c向量只有最后一列為1，其余全為零。可觀測標準型例：設系統(tǒng)微分方程為用上述兩種方法建立狀態(tài)空間表達式。解：方法一，n=3,而b3=0，b2=1，b1=1，b0=3，

a2=4，a1=2，a0=1，方法二，因為b3=0，所以可以用方法二，可直接根據微分方程的系數(shù)寫出狀態(tài)空間表達式。7.1.3

由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式1、傳遞函數(shù)為有理分式的形式采用長除法得其系數(shù)為bn只與直接傳遞矩陣d有關，而G’(s)與d無關，可以分離考慮，再疊加。可以將分解為兩部分相串聯(lián)的形式z、y1應滿足下面的微分方程

選取狀態(tài)變量為那么狀態(tài)方程為與輸出方程有關這是對應的狀態(tài)空間表達式而對應的狀態(tài)空間表達式為A陣為友矩陣，b向量最后一行為1，其他全為零。可控標準型，用{Ac，bc}表示給出一個傳遞函數(shù)，就可以對應的建立一個可控標準型按照微分方程求狀態(tài)空間表達式的方法二選擇狀態(tài)變量，所不同的是系統(tǒng)狀態(tài)變量與y1有關對系統(tǒng)G(s)而言，所不同的僅僅是輸出方程。可控標準型，記為可觀測標準型，記為稱上述兩個狀態(tài)空間表達式為對偶關系例：設傳遞函數(shù)為分別建立可控標準型和可觀測標準型。解：b’2=－15，b’1=２，b’0=１，a2=５，a1=６，a0=1，可控標準型可觀測標準型可控標準型2、傳遞函數(shù)為極點形式a、系統(tǒng)傳遞函數(shù)只有單實極點（沒有重極點）傳遞函數(shù)可以通過部分分式展開成下列形式為系統(tǒng)傳遞函數(shù)的n個實數(shù)極點。如果選擇狀態(tài)變量為

狀態(tài)空間表達式對角陣標準型如果選擇狀態(tài)變量為b、系統(tǒng)傳遞函數(shù)存在實數(shù)重極點假設極點λ1為三重極點，其它均為單實極點，即λ4、λ5、…λn,那么系統(tǒng)傳遞函數(shù)可表示為如果選擇狀態(tài)變量為重極點對應的約當塊，約當標準型由系統(tǒng)結構圖，指定狀態(tài)變量求狀態(tài)空間表達式例：已知系統(tǒng)結構圖及狀態(tài)變量定義如