PAGE1第3章系統的時間響應與快速性分析系統的數學模型建立后，便可對系統進行分析和校正。分析和校正是機械工程控制基礎課程的兩大任務。系統分析是由已知的系統模型確定系統的性能指標；校正是根據需要在系統中加入一些機構和裝置并確定相應的參數，用以改善系統性能，使其滿足所要求的性能指標。系統分析的目的在于“認識”系統，系統校正的目的在于“改造”系統。系統的分析校正方法一般有時域法、根軌跡法和頻域法，本章介紹時域法。控制系統的實際運行都是在時間域內進行的。所謂系統的時域分析，就是在時間域內，研究在各種形式的輸入信號作用下，系統輸出的時間特征。通常采用對研究系統施加一定形式的輸入信號，研究系統的輸出量隨時間的變化規律。在控制論發展早期，由于求解微分方程十分困難．使系統在時域中的分析受到很大的限制。20世紀60年代以來，計算機技術的發展，為控制工程的研究提供了強有力的工具，使以時域分析為基礎的現代控制理論得到了迅速發展。時域法是一種直接在時間域中對系統進行分析校正的方法，具有直觀，準確的優點，它可以提供系統時間響應的全部信息，但在研究系統參數改變引起系統性能指標變化的趨勢這一類問題，以及對系統進行校正設計時，時域法不是非常方便。時域法是最基本的分析方法，該方法引出的概念、方法和結論是以后學習復域法、頻域法等其他方法的基礎。本章主要內容是討論經典控制論中一般簡單控制系統的時間響應及快速性分析。由于即使是復雜的高階系統，也往往存在起主導作用的一階或二階環節，故分析簡單的低階系統具有重要意義。分析的方法是求解系統的微分方程，或將其傳遞函數轉換在時域中進行分析。3.1系統的時域性能指標如第一章所述，對控制系統的一般要求歸納為穩、準、快。工程上為了定量評價系統性能好壞，必須給出控制系統性能指標的準確定義和定量計算方法。穩定是控制系統正常運行的基本條件。系統穩定，其響應過程才能收斂，研究系統的性能（包括動態性能和穩態性能）才有意義。實際物理系統都存在慣性，輸出量的改變是與系統所儲有的能量有關的。系統所儲有的能量的改變需要有一個過程。在外作用激勵下系統從一種穩定狀態轉換到另一種穩定狀態需要一定的時間。一個穩定二階欠阻尼系統的單位階躍響應如圖3-1所示。響應過程分為動態過程（也稱為過渡過程）和穩態過程，系統的動態性能指標和穩態性能指標就是分別針對這兩個階段定義的。1動態性能系統動態性能是以系統階躍響應為基礎來衡量的。一般認為階躍輸入對系統而言是比較嚴峻的工作狀態，若系統在階躍函數作用下的動態性能滿足要求，那么系統在其他形式的輸入作用下，其動態性能也應是令人滿意的。圖3-1二階欠阻尼系統的單位階躍響應及動態性能指標二階欠阻尼系統在單位階躍信號作用下的的動態性能指標通常有如下幾項：延遲時間階躍響應第一次達到終值的50％所需的時間。上升時間階躍響應從終值的10％上升到終值的90％所需的時間；對有振蕩的系統，也可定義為從0到第一次達到終值所需的時間。峰值時間階躍響應越過終值達到第一個峰值所需的時間。調節時間階躍響應到達并保持在終值％誤差帶內所需的最短時間；有時也用終值的％誤差帶來定義調節時間。除非特別說明，本書以后所說的調節時間均以％誤差帶定義。超調量％峰值與終值的差值除以終值的百分比，即％％（3-1）在上述動態性能指標中，工程上最常用的是調節時間（描述“快”），超調量％（描述“振蕩”）以及峰值時間，它們也是本書重點討論的動態性能指標。2穩態性能穩態誤差是時間趨于無窮時系統實際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統控制精度或抗干擾能力的一種度量。穩態誤差有不同定義，通常在典型輸入下進行測定或計算。應當指出，系統性能指標的確定應根據實際情況而有所側重。例如，民航客機要求飛行平穩，不允許有超調；殲擊機則要求機動靈活，響應迅速，允許有適當的超調；對于一些啟動之后便需要長期運行的生產過程（如化工過程等）則往往更強調穩態精度。3.2時間響應和典型輸入信號3.2.1時間響應的概念控制系統在典型輸入信號的作用下，輸出量隨時間變化的函數關系稱為系統的時間響應。描述系統的微分方程的解就是該系統時間響應的數學表達式。任一系統的時間響應均由瞬態響應和穩態響應組成。系統在某一輸入信號的作用下，系統的輸出量從初始狀態到穩定狀態的響應過程稱為瞬態響應。瞬態響應直接反映了系統的動態特性。在某一輸入信號的作用后，時間趨于無窮大時系統的輸出狀態稱為穩態響應。圖3-2表示了某系統在單位階躍信號作用下的時間響應，系統的輸出量在ts時刻達到穩定狀態，在0→ts時間內的響應過程稱為瞬態響應；當t→∞時，系統的輸出xo(t)即為穩態響應。當t→∞時，xo(t)收斂于某一穩態值，則系統是穩定的；若xo(t)呈等幅振蕩或發散，則系統不穩定。瞬態響應直接反應了系統的動態特性，穩態響應偏離希望輸出值的程度可用以衡量系統的精確程度。瞬態響應指標將在本章第3節中詳細介紹。圖3-2表示系統性能指標的階躍響應曲線3.2.2典型輸入信號通過研究輸入系統信號，考察系統的過渡過程即瞬態響應來評價系統的動態性能是研究控制系統動態性能的基本方法。系統的瞬態響應主要取決于系統本身的特性以及外加輸入信號的形式。在實際系統中，輸入信號雖然是多種多樣的，但可分為確定性信號和非確定性信號。確定性信號是能用明確的數學關系式表達的信號。例如，為了研究機床的動態特性，用電磁激振器給機床輸入一個作用力F＝Asinωt，這個作用力就是一個確定性時間函數信號。非確定性信號又稱為隨機信號，是無法用明確的數學關系式表達的信號。例如，加工零件的尺寸、機械振動、環境的噪聲，這類信號需要采用數理統計理論來描述，無法準確預見某一瞬時信號的幅值。在車床上加工工件時，切削力就是非確定性信號。由于工件材料的不均勻性和刀具實際角度的變化等隨機因素的影響，所以無法用一確定的時間函數表示切削力的變化規律。由于系統的輸入具有多樣性，所以，在分析和設計系統時，需要規定一些典型輸入信號，然后比較各系統對典型輸入信號的時間響應。盡管在實際中，輸入信號很少是典型輸入信號，但由于系統對典型輸入信號的時間響應和系統對任意輸入信號的時間響應之間存在一定的關系，所以，只要知道系統對典型輸入信號的響應，再利用關系式或（*表示卷積）就能求出系統對任何輸入的響應。實際中經常使用下述兩類輸入信號，其一是系統正常工作時的輸入信號。使用這類輸入信號，既方便又不會因外加擾動而破壞系統的正常運行，然而，使用這些信號未必能夠全面了解系統的動態性能。其二是外加測試信號，經常采用的有脈沖函數、階躍函數、斜坡函數、正弦函數等，由于這些函數是簡單的時間函數，所以控制系統的數學分析和實驗工作都比較容易進行。然而在許多實際生產過程中，往往不能使用外加測試信號。因為大多數外加的測試信號對生產過程的正常運行干擾太大，即使有的生產過程能承受這樣大的干擾，試驗也往往要受嚴格的限制。實際應用時，究竟采用哪一種典型信號，取決于系統常見的工作狀態。例如，控制系統的實際輸入大部分是隨時間逐漸變化的函數，則應用斜坡函數作為典型試驗信號比較合適；如果控制系統的輸入信號大多具有突變性質時，則選用階躍函數較恰當；而當系統的輸入信號是沖擊輸入量時，則采用脈沖函數較合適；如果系統的輸入信號是隨時間變化的往復運動，則采用正弦函數較適宜。因此，究竟采用何種典型信號做為實驗信號，要視具體情況而定。但不管采用何種典型輸入信號，對于同一系統來說，由過渡過程所表征的系統特性是同一的。選取實驗信號時應當考慮下述原則：1)實驗信號應當具有典型性，能夠反映系統工作的大部分實際情況。2)實驗信號的形式應當盡可能簡單，便于分析處理。3)實驗信號能使系統在最不利的情況下工作。在時域分析中，經常采用的典型實驗信號有下面幾種，其中階躍函數信號使用最為廣泛。1.階躍信號階躍信號如圖3-3（a）所示，其函數表達式為幅值R＝l時的階躍函數稱為單位階躍函數，記作1(t)，其單位階躍函數的拉氏變換為在t=0處的階躍信號，相當于一個數值為一常值的信號，t≥0時突然加到系統上。2．斜坡信號（或速度信號）斜坡信號如圖3-3（b）所示，其函數表達式為斜坡函數的拉氏變換為當R=1時稱為單位斜坡函數。這種實驗信號相當于控制系統中加入一個按恒速變化的信號，其速度為R。圖3-3典型輸入信號3．拋物線信號（或加速度信號）拋物線信號如圖3.3c所示，其函數表達式為該函數的拉氏變換為該實驗信號相當于控制系統中加入一按恒加速度變化的信號，加速度為R。當R＝l時，稱為單位加速度函數。4.脈沖信號實用脈沖函數如圖3-3（d）所示，其函數表達式為其中，脈沖寬度為h，脈沖面積為1。若對實用脈沖的寬度取趨于零的極限，則為理想單位脈沖，稱作為單位脈沖函數，記為δ(t)，，由于幅值為無窮大，持續時間為零的脈沖純屬數學上的假設，在工程實踐中，理想的單位脈沖是很難獲得的。為了盡量接近于脈沖函數，通常以寬度h很窄、而高度為1/h的信號代替脈沖信號，一般要求h<0.1T，即寬度h與系統時間常數T相比足夠小。單位脈沖函數的拉氏變換為顯然，單位脈腫函數可以認為是單位階躍函數對時間的導數，反之，單位脈沖函數的積分就是單位階躍函數。3.3一階系統的時間響應3.3.1數學模型可用一階微分方程描述的系統稱為一階系統，一階系統的典型形式是慣性環節。其微分方程和傳遞函數的一般形式為式中，T稱為一階系統的時間常數，它表達了一階系統本身的與外界作用無關的固有特性，亦稱為一階系統的特征參數。3.3.2單位脈沖響應單位脈沖的拉氏變換為Xi(s)=1,則一階系統的單位脈沖響應的拉氏變換式為取其拉氏反變換，可得出其時間響應函數（t≥0）（3-3）上式即為一階系統的脈沖過渡函數。由式（3-3）可得表3-1表3-1不同時刻系統的脈沖響應t0T2T4T0.3680.1350.0180--0.368-0.135圖3.4一階系統單位脈沖響應圖3.4一階系統單位脈沖響應0式（3-3）表示的一階系統的單位脈沖響應如圖3-4所示。圖3-4表明，一階系統的單位脈沖響應函數是一單調下降的指數曲線。如果將上述指數曲線衰減到初值的2％之前的過程定義為過渡過程，則可算得相應的時間為4T，稱此時間4T為過渡過程時間或調整時間，記為ts。由此可見，系統的時間常數T愈小，其過渡過程的持續時間愈短。這表明系統的慣性愈小，系統對輸入信號反應的快速性能愈好。從第3.3節將可知，二階系統比一階系統容易得到較短的過渡過程時間。這表明一階系統的慣性較大，所以一階系統又稱為一階慣性系統。在一階系統的輸出中包含了反映該系統慣性的時間常數T這一重要的信息。3.3.3單位階躍響應當系統的輸入信號為單位階躍函數時，即則一階系統的單位階躍響應函數的Laplace變換式為展開成部分分式，得對上式進行拉氏反變換得系統的時間響應函數為：（t≥0）（3-1）式中－e-t/T是瞬態項，1是穩態項。由式(3-1)可得表3.1。表3.1不同時刻系統的階躍響應txo(t)00T0.6320.3682T0.8650.1354T0.982圖3-5圖3-5一階系統單位階躍響應10式(3-1)表示的一階系統的單位階躍響應如圖3-5所示。它是一條單調上升的指數曲線，穩態值為xo(∞)。由圖可知，曲線有兩個重要的特征點。一個是A點，其對應的時間t＝T時，系統的響應xo(t)達到了穩態值的63.2％；另一個是原點，其對應的時間t＝0時，系統的響應xo(t)的切線斜率(它表示系統的響應速度)等于1/T。這兩個特征點同系統的時間常數T有直接的聯系，都包含了一階系統的與固有特性相關的信息。由圖3-5可知，指數曲線的斜率，即一階系統的響應速度xou(t)是隨時間t的增大而單調減小的。當t→∞時，其響應速度為零；當t≥4T時，一階系統的響應已達到穩態值的98％以上。與單位脈沖響應的情況一樣，系統的過渡過程時間ts＝4T。可見，時間常數T確實反映了一階系統的固有特性，其值愈小，系統的慣性就愈小，系統的響應也就愈快，越容易改變系統的狀態。由以上分析可知，若要求用實驗方法求出一階系統的傳遞函數G(s)，就可以先對系統輸入一單位階躍信號，并測出它的響應曲線，當然包括其穩態值xo(∞)，然后從響應曲線上找出0.632xo(∞)(即特征點A)處所對應的時間t，這個t就是系統的時間常數T；或者找出t＝0時xo(t)(即特征點原點)的切線斜率，這個斜率的倒數也是系統的時間常數T。再參考式(3.3.1)求出ω(t)，最后由G(s)＝L[xo(t)]求得G(s)。3.3.4單位斜坡響應（速度響應）當系統的輸入信號為單位斜坡函數時，即，則一階系統的單位階躍響應函數的Laplace變換式為由拉氏反變換，可得出其時間響應函數xo(t)為（t≥0）（3-2）誤差信號e(t)為當t→∞時，e(t)→0，因而e(∞)＝T。一階系統的單位斜坡響應如圖3-6所示，輸入信號xi(t)與輸出信號xo(t)兩線在垂直方向的距離，表征二者之間的誤差e(t)。圖3-6一階系統的單位斜坡響應3.3.4應用舉例例3-1某溫度計插入溫度恒定的熱水后，其顯示溫度隨時間變化的規律為實驗測得當s時溫度計讀數達到實際水溫的95％，試確定該溫度計的傳遞函數。解依題意，將s代入到中，求得：故得由線性系統性質由傳遞函數性質例3-2原系統傳遞函數為現采用如圖3-7所示，欲將反饋系統的調節時間減小為原來的0.1倍,并且保證原放大倍數不變，試確定參數和的取值。解依題意，原系統時間常數，放大倍數，要求反饋后系統的時間常數，放大倍數。由結構圖可以得到反饋系統傳遞函數為應有聯立求解得根據以上例題可知，一階系統的動態性能指標對于分析系統的快速性非常重要。對于給定的一階系統傳遞函數時間，可以通過分析時間響應來確定調整時間，以此判斷系統的快速性是否滿意，如果不滿意，則需要對系統進行校正（見第7章）。例如上一章例2-8，如果調整時間不符合系統快速性要求，則需要減小調整時間，減小調整時間的方法是減小一階系統時間常數T，而一階系統時間常數T則是由組成該無源濾波網絡的基本元件（電阻和電容）的屬性所決定的，即T＝RC。由此可見，對快速性的調整可以轉化成對組成一階系統的基本元件的屬性進行調整。*3.3.5線性定常系統的重要特征通過上面的分析，注意到對時間變量而言，單位脈沖函數是單位階躍函數的導數，而單位脈沖響應式(3-3)是單位階躍響應式(3-1)的導數；單位階躍函數是單位斜坡函數的導數，而單位階躍響應式(3-1)是單位斜坡響應式(3-2)的導數。即有如下關系：由此可以看出；系統對輸入信號導數的響應，可以通過系統對輸入信號響應的微分來求出；反之，也可以看出：系統對原信號積分的響應，等于系統對原信號響應的積分，而不定積分常數則由零輸出初始條件確定。這是線性定常系統的一個重要特性，不僅適用于一階線性定常系統，而且適用于任何線性定常系統。需要指出的是，線性時變系統和非線性系統都不具備這種特點。3.4二階系統的時間響應一般控制系統均系高階系統，但在一定準確度條件下，可忽略某些次要因素近似地用一個二階系統來表示。因此研究二階系統有較大實際意義。例如，描述力反饋型電液伺服閥的微分方程一般為四、五階高次方程，但在實際中，電液控制系統按二階系統來分析已足夠準確了。二階系統實例很多，如前述的RCL電網絡，帶有慣性載荷的液壓助力器，質量－彈簧－阻尼機械系統等等。3.4.1數學模型二階系統的動力學方程及傳遞函數分別為（3-4）式中，ωn稱為無阻尼固有頻率；ξ稱為阻尼比。顯然ωn與ξ是二階系統的特征參數，它們表明了二階系統本身與外界無關的特性。由式(3-4)的分母可以得到二階系統的特征方程（特征方程是指使系統的傳遞函數的分母為0的等式）此方程的兩個特征根是由特征根表達式可見，隨著阻尼比取值的不同，二階系統的特征根也不同。（1）欠阻尼系統（0<ξ<1）這時兩個特征根可以寫成。這是一對共軛復根，在復平面上的位置如圖3-8（a）所示。（2）無阻尼系統（ξ=0）這時，是一對共軛虛根，如圖3-8（b）所示。（3）臨界阻尼系統（ξ=1）這時，是兩個相同的負實根，如圖3-8（c）所示。（4）過阻尼系統（ξ>1）這時，是兩個不同的負實根，如圖3-8（d）所示。根據部分分式展開法，此時可以把過阻尼系統看成是兩個一階慣性環節的串聯或者是并聯。（a）（b）（c）（d）圖3-8二階系統的特征根根據上述四種情況，下面分別研究輸入信號為單位階躍函數、斜坡函數、單位脈沖函數時，二階系統的過渡過程。3.4.2單位階躍響應若系統的輸入信號為單位階躍函數，即則二階系統的階躍響應函數的Laplace變換式為(3-5)其響應函數可討論如下。1.欠阻尼狀態（0<ξ<1）由式(3-5)，可得（t≥0）(3-6)或（t≥0）(3-7)式(3-7)中的第二項是瞬態項，是減幅正弦振蕩函數，它的振幅隨時間t的增加而減小。稱ωd為二階系統的有阻尼固有頻率。2.無阻尼狀態（ξ=0）由式(3-5)，可得（t≥0）(3-8)3.臨界阻尼狀態（ξ=1）由式(3-5)，可得（t≥0）(3-9)其響應的變化速度為由此式可知：當t=0時，;t=∞時，;t>0時，。這說明過渡過程在開始時刻和最終時刻的變化速度為零，過渡過程是單調上升的。4.過阻尼系統（ξ>1）由式(3-5)，可得（3-10）式中，計算表明，當ξ＞1.5時，在式(3-10)的兩個衰減的指數項中、es1t的衰減比es2t的要快得多，因此．過渡過程的變化以es2t項起主要作用。從s平面看，愈靠近虛軸的根，過渡過程的時間愈長，對過渡過程的影響愈大，更起主導作用。式(3-7)~式(3-10)所描述的單位階躍響應函數如圖3-9所示。圖3-9二階系統單位階躍響應由圖3-9可知，ξ＜l時，二階系統的單位階躍響應函數的過渡過程為衰減振蕩，并且隨著阻尼ξ的減小，其振蕩特性表現得愈加強烈，當ξ＝0時達到等幅振蕩。在ξ＝1和ξ＞1時，二階系統的過渡過程具有單調上升的特性。從過渡過程的持續時間來看，在無振蕩單調上升的曲線中，以ξ＝1時的過渡時間ts最短。在欠阻尼系統中，當ξ＝0.4~0.8時，不僅其過渡過程時間比ξ＝1時的更短，而且振蕩不太嚴重。因此，一般希望二階系統工作在ξ＝0.4~0.8的欠阻尼狀態，因為這個工作狀態有—個振蕩特性適度而持續時間又較短的過渡過程。應指出，由以上分析可知，決定過渡過程特性的是瞬態響應這部分。選擇合適的過渡過程實際上是選擇合適的瞬態響應，也就是選擇合適的持征參數ωn與ξ值。在根據給定的性能指標設計系統時，將一階系統與二階系統相比，通常選擇二階系統。這是因為二階系統容易得到較短的過渡過程時間．并且也能同時滿足對振蕩性能的要求。3.4.3單位斜坡響應當二階系統的輸入信號是單位斜坡函數時，xi(t)=t，則Xi(s)=1/s2，那么對應輸出信號的拉氏變換式為（3-11）1.欠阻尼(0＜ξ＜1)時的過渡過程這時，（3-11）式可展開成如下部分分式：取拉氏反變換，得（3-12）式中。2．無阻尼(ξ＝0)時的過渡過程xo(t)=（t≥0）（3-13）3．臨界阻尼(ξ＝1)時的過渡過程這時，求得xo(t)=（t≥0）（3-14）4．過阻尼(ξ＞1)時的過渡過程同樣，可以求得（t≥0）（3-15）二階系統反應單位斜坡函數的過渡過程還可以通過對反應單位階躍函數的過渡過程的積分求得。其中積分常數可根據t＝0時過渡過程xo(t)的初始條件來確定。3.4.4單位脈沖響應當二階系統的輸入信號是理想的單位脈沖函數δ(t)時，系統的輸出xo(t)稱為單位脈沖響應函數，特別記為ω(t)，則，根據拉氏反變換，可得（3-16）1.欠阻尼狀態（0<ξ<1）由式(3-16)，可得（t≥0）（3-17）2.無阻尼狀態（ξ=0）由式(3-16)，可得（）（3-18）3.臨界阻尼狀態（ξ=1）由式(3-16)，可得（t≥0）（3-19）4.過阻尼系統（ξ>1）由式(3-16)，可得（3-20）由式(3-20)可知．過阻尼系統的ω(t)可視為兩個并聯的一階系統的單位脈沖響應函數的疊加。當ξ取不同值時，二階欠阻尼系統的單位脈沖響應如圖3-10所示。圖3-10二階系統單位脈沖響應由圖3-10可知，欠阻尼系統的單位脈沖響應曲線是減幅的正弦振蕩曲線，且ξ愈小，衰減愈慢，振蕩頻率愈大。故欠阻尼系統又稱為二階振蕩系統，其幅值衰減的快慢取決于ξωn(1/ξωn稱為時間衰減常數)。3.4.5二階系統的性能指標大多情況下，系統所需的性能指標一般以時域量值的形式給出。通常，系統的性能指標，根據系統對單位階躍輸入的響應給出。其原因是：（1）產生階躍輸入比較容易，而且從系統對單位階躍輸入的響應也較容易求得對任何輸入的響應；（2）在實際中，許多輸入與階躍輸入相似，而且階躍輸入又往往是實際中最不利的輸入情況。需要指出的是，由于完全無振蕩的單調過程的過渡過程時間太長，所以，除了那些不允許產生振蕩的系統外，通常都允許系統有適度的振蕩，其目的是為了獲得較短的過渡過程時間。這就是在設計二階系統時，常使系統在欠阻尼(正如上所述，通常取ξ＝0.4~0.8)狀態下工作的原因。因此，下面有關二階系統響應的性能指標的定義及計算公式除特別說明者外，都是針對欠阻尼二階系統的單位階躍響應的過渡過程而言的。下面來定義二階系統的性能指標（見圖3-11），并根據定義，推導它們的計算公式，分析它們與系統特征參數ξ、ωn之間的關系。圖3-11二階系統響應的性能指標1.上升時間tr響應曲線從原工作狀態出發，第一次達到輸出穩態值所需的時間定義為上升時間。對于過阻尼系統，一般將響應曲線從穩態值的10％上升到90％所需的時間稱為上升時間。根據定義，當t＝tr時，xo(tr)＝1。由式(3-6)，得即而，故有因為tr是xo(t)第一次達到輸出穩態值的時間，故取，又由于，則（3-21）由式（3-21）可知，當ξ一定時，ωn增大，tr就減小，當ωn一定時，ξ增大，tr就增大。2．峰值時間tp響應曲線達到第一個峰值所需的時間定義為峰值時間。將式(3-6)對時間t求導數，并令其為零，便可求得峰值時間tp，即由整理，得由峰值時間tp的定義，取，又由于，因此（3-22）可見峰值時間是有阻尼振蕩周期的一半。當ξ一定時，ωn增大，tp就減小，當ωn一定時，ξ增大，tp就增大。此情況與tr的相同。3．最大超調量Mp一般用下式定義系統的最大超調量，即（3-23）因為最大超調量發生在峰值時間，t＝tp＝π/ωd時，故將式(3-6)與xo(∞)＝1，代入式(3-23)，可求得即（3-24）可見，超調量Mp只與阻尼比ξ有關，而與無阻尼固有頻率ωn無關。所以，Mp的大小直接說明系統的阻尼特性。也就是說，當二階系統阻尼比ξ確定后，即可求得與其相對應的超調量Mp；反之，如果給出了系統所要求的Mp，也可由此確定相應的阻尼比。當ξ＝0.4~0.8時，相應的超調量Mp=25%~1.5%。4．調整時間ts在過渡過程中，xo(t)取的值滿足下面不等式時所需的時間，定義為調整時間ts。不等式為（t≥ts）（3-25）式中，?是指定的微小量，一般取?＝0.02~0.05。式(3-25)表明，在t＝ts之后，系統的輸出不會超過下述允許范圍：（t≥ts）又因此時xo(∞)＝1，故（3-26）現將式(3-7)代入式(3-26)，得（t≥ts）（3-27）由于所表示的曲線是式(3-27)所描述的減幅正弦曲線的包絡線，因此，可將出式(3-27)所表達的條件改為（t≥ts），解得（3-28）若取?＝0.02，得，當0＜ξ＜0.7時，近似取為；若取?＝0.05，得，當0＜ξ＜0.7時，近似取為。ts與ξ之間的精確關系，可由式(3-27)求得。當?＝0.02，ξ＝0.76時，ts最小；當?＝0.05，ξ＝0.68時，ts最小。在設計二階系統時，一般取ξ＝0.707作為最佳阻尼比。這是因為此時不僅ts小，而且超調量從也不大。在具體設計時，通常是根據對最大超調量Mp的要求來確定阻尼ξ的，所以調整時間ts主要是根據系統的ωn來確定的。由此可見，二階系統的特征參數ωn和ξ決定了系統的調整時間ts和最大超調量Mp，反過來，根據對ts和Mp的要求，也能確定二階系統的特征參數ωn和ξ。5．振蕩次數N在過渡過程時間0≤t≤ts內，xo(t)穿越其穩念值xo(∞)的次數的一半定義為振蕩次數。從式(3-7)可知，系統的振蕩周期是2π/ωd，所以其振蕩次數為(3-29)因此，當0＜ξ＜0.7，?＝0.02時，由與，得(3-30)當0＜ξ＜0.7，?＝0.05時，由與，得(3-31)從式(3-30)和式(3-31)可以看出，振蕩次數N隨著ξ的增大而減小，它的大小直接反映了系統的阻尼特性。由ts的精確表達式來討論N與ξ的關系，此結論不變。綜合上述分析，可將二階系統的特征參量ξ、ωn與瞬態響應各項指標間的關系歸納如下：（1）二階系統的瞬態響應特性由系統的阻尼比ξ和無阻尼固有頻率ωn共同決定，欲使二階系統具有滿意的瞬態響應指標，必須綜合考慮ξ和ωn的影響，選取合適的ξ和ωn。（2）若保持ξ不變而增大ωn，對超調量Mp無影響，卻可以減小峰值時間tp、上升時間tr和調整時間ts，即可以提高系統的快速性。所以增大系統的無阻尼固有頻率對提高系統性能是有利的。（3）若保持ωn不變而增大ξ，會使超調量Mp減小，增加相對穩定性，減弱系統的振蕩性能。在ξ<0.7時，隨著ξ的增大，ts減小；而在ξ>0.7時，隨著ξ的增大，tr、ts均增大（精確計算表明，在ξ>0.7時，ts隨ξ的增大而增大），系統的快速性變差。（4）系統響應的快速性與相對穩定性之間往往是矛盾的，綜合考慮系統的相對穩定性和快速性，通常取ξ＝0.4~0.8，這時系統的超調量Mp在25％到1.5％之間。若ξ＜0.4，系統超調嚴重，相對穩定性差；若ξ＞0.8，則系統反應遲鈍，靈敏性差；當ξ＝0．707時，超調量Mp和調整時間ts均較小，故稱ξ＝0.707為最佳阻尼比。3.4.6二階系統計算舉例例3-3某系統如圖3-12所示，試求其無阻尼固有頻率ωn，阻尼比ξ，超調量Mp，峰值時間tp、調整時間ts(?＝0.05)。圖3-12例3-3圖解對于圖3.12所示系統，首先應求出其傳遞函數，化成標準形式，然后可用公式求出各項特征量及瞬態響應指標。所以，例3-4如圖3-13(a)所示的機械系統，在質塊m上施加xi(t)＝8.9N階躍力后，m的時間響應xo(t)。如圖3-13(b)所示，試求系統的m，k和c值。（a）（b）圖3-13例3-4圖解：由圖可知，xi(t)是階躍力輸入xi(t)=8.9N，xo(t)是輸出位移。由圖可知系統的穩態輸出，此系統的傳遞函數顯然為式中，（1）求k。有Laplace變換的終值定理可知而，因此k=297N/m。其實根據Hooke（胡克）定律很容易直接計算k。因為即為靜變形，可視為靜載荷，從而有即得（2）求m。由公式（3-23）得由公式（3-24）得。將，代入中，得。再由求得m=77.3kg。（3）求c。由，求得c=181.8N·s/m。3.5*高階系統的時間響應3.5.1數學模型三階以上的系統稱為高階系統。實際上，大量的系統，特別是機械系統，幾乎都可用高階微分方程來描述。對高階系統的研究和分析，一般是比較復雜的。這就要求在分析高階系統時，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使問題簡化。高階系統均可化為零階、一階、二階環節的組合，而一般所重視的，是系統中二階環節，特別是二階振蕩環節。因此，本節將利用關于二階系統的一些結論對高階系統作定性分析，并在此基礎上，闡明將高階系統簡化為二階系統來作出定量估算的可能性。高階系統傳遞函數的普遍形式可表示為（n≥m）（3-32）系統的特征方程式為特征方程有n個特征根，設其中n1個為實數根小，n2對為共軛虛根，應有n＝n1+2n2，由此，特征方程可以分解為n1個一次因式（s+pj）(j=1,2,…,n1)與n2個二次因式（k=1，2，…，n2）的乘積。