專題03指對幕等函數值大小比較的深度剖析

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖思維引航............................................................3

03知識梳理?方法技巧...........................................................4

04真題研析?精準預測............................................................5

05核心精講題型突破...........................................................11

題型一：直接利用單調性11

題型二：引入媒介值13

題型三：含變量問題15

題型四：構造函數18

題型五：數形結合22

題型六：特殊值法'估算法26

題型七：放縮法29

題型八：同構法34

重難點突破：泰勒展開、帕德逼近估算法38

差情;奏汨?日標旦祐

指'對、幕形數的大小比較問題是高考重點考查的內容之一，也是高考的熱點問題，命題形式主要以

選擇題為主.每年高考題都會出現，難度逐年上升.

考點要求目標要求考題統計考情分析

預測2025年高考趨

2024年北京卷第9題，5分

勢，指對幕比較大小或以

2024年天津卷第5題，5分

掌握指對塞大小2022年新高考I卷第7題，5分小題壓軸，預計：

指對幕比較大小比較的方法與技2022年天津卷第5題，5分(1)以選擇、填空題型呈

巧2022年甲卷第12題，5分現，側重綜合推理。

2021年II卷第7題，5分

(2)構造靈活函數比較大

2021年天津卷第5題，5分

小將成為考查熱點。

〃?知識導圖?思維引航

㈤3

.n過偏—?—拈工弓

(1)利用函數與方程的思想，構造函數，結合導數研究其單調性或極值，從而確定a,b,C的大小.

(2)指、對、塞大小比較的常用方法:

①底數相同，指數不同時，如a'】和a，。，利用指數函數y=a，的單調性；

②指數相同，底數不同，如流和燧利用幕函數y=^單調性比較大小；

③底數相同，真數不同，如log^i和log/2利用指數函數logM單調性比較大小；

④底數、指數、真數都不同，尋找中間變量0,1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大小

關系的判定.

(3)轉化為兩函數圖象交點的橫坐標

(4)特殊值法

(5)估算法

(6)放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

(7)常見函數的麥克勞林展開式：

①e-+%+蕭+…+p鬲產

②Sin久=X—捺+卷一…+(—1)'潦京+0(/+2)

③COSX=1+,_9+???+(_磊+。(/與

④ln(l+%)=%—曰+?一…+(—1)九詈+o(/+i)

⑤=1+x+%2+…+xn+o(xn)

@(1+x)n=1+nx++o(%2)

0

//慎題砒如糖\\

1.(2024年新課標全國I卷數學真題)已知函數/(X)的定義域為R,/(x)>/(x-1)+/(%-2),且當久<3

時/(%)=久，則下列結論中一定正確的是()

A.7(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】因為當x<3時f(x)=X,所以/(1)=1/(2)=2,

又因為/⑴>/(%-1)+/(x-2),

則f(3)>f(2)+/(1)=3/(4)>/(3)+f(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8/(6)>/(5)+/(4)>13/(7)>/(6)+/⑸〉21,

f(8)>f(7)+f(6)>34/(9)>f(8)+/⑺〉55/(10)>f(9)+/(8)>89,

/(ll)>/(10)+/(9)>144/(12)>/(ll)+/(IO)>233/(13)>/(12)+/(ll)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610/(15)>/(14)+/(13)>987,

f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000,則依次下去可知f(20)>1000,則B正確；

且無證據表明ACD一定正確.

故選：B.

2.(2024年天津高考數學真題)設a=4.2-。,2,匕=4.2。2,c-log4.20.2,則a,b,c的大小關系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】因為y=4.2，在R上遞增，M-0,2<0<0,2,

所以0<4,2-0-2<4.2°<4.202,

所以0<4,2-。2<1<4,2。2,即o<a<l<b,

因為y=log4.2%在(0,+8)上遞增，且0<0.2<1,

所以log4,20-2<log4.21=0，即c<0,

所以c<a<b,

故選：D

3.(2024年北京高考數學真題)已知(久1，月)，(久2,及)是函數丫=2"的圖象上兩個不同的點，貝U()

..八?yi+yz/xi+xz口.yi+yz、刈+%2

A.log2^—<B.\og2—^—>

「iy-i+yz,,?,yi+vi、.

C.log2^-<%1+x2D.10g2->%1+%2

【答案】B

【解析】由題意不妨設％1<久2，因為函數y=2、是增函數，所以0<2整<20，即0<%<及，

對于選項AB：可得《詈>莊冬=2中，即工/>2券>0,

根據函數y=log2X是增函數，所以1嘀空>1嘀2空=空，故B正確，A錯誤；

對于選項D：例如肛=0/2=1，則yi=l,y2=2,

可得log2空=log2|e（0,l）,即10g2空<1=小+犯，故D錯誤：

1

對于選項C：例如=-1,%2=-2,貝1yl=*及=；，

可得log?"產=Iog2（=log23-36（-2,-1）,即log2號">一3=Xi+%2，故C錯誤，

故選：B.

4.（2023年天津高考數學真題）=1.01°-5,6=1.0106,c=O.605,則a,b,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】由y=1.0y在R上遞增，則a=1.01。?5<匕=

由y=在［0,+8）上遞增，貝Ija=1.O105>c=O.605.

所以6>a>c.

故選：D

5.（2022年新高考天津數學高考真題）設。=2。乙b=（9°【c=log2|,貝b力,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【解析】因為267>（1）>0=log2l>log2|,故a>b>c.

故選：D.

6.（2022年高考全國甲卷數學（文）真題）已知96=104=106—11/=8機—9,貝|（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】［方法一］:（指對數函數性質）

由9小=10可得m=log910=曾>1,而lg91gli<（鷺羅）2=（等y<i=（lgio）2,所以署〉品，即

m>lgll,所以a=10小—11>10恒11-11=0.

又lg81gl0<（咒31。）=（嚶）<（lg9）2,所以署>曾，Bpiog89>m,

所以匕=8小一9<81°889—9=0.綜上，a>O>b.

［方法二］：【最優解】(構造函數)

由9nl=10,可得m=log910e(1,1.5).

根據a力的形式構造函數/(久)=xm-x-l(x>1),則/(尤)=mxm-1-1,

令/口)=0,解得孫=加右,由?n=logmW(1,1.5)知x()e(0,1).

f(x)在(1,+8)上單調遞增，所以〃10)>/(8),即a>6,

又因為/(9)=91哂1。-10=0,所以a>0>b.

故選：A.

【點評】法—：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用a力的形式構造函數/(幻=%加一x—l(x>l),根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是

該題的最優解.

7.(2022年高考全國甲卷數學(理)真題)已知a=f1,b=cos；,c=4sin；,貝|()

DZq4

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】［方法一］:構造函數

因為當x￡(。弓)，尤<tan久

故?=4tan">l,故">1,所以c>b；

設/'(%)=COSX+-x2—l,xG(0,+OO),

「(%)=—sinx+x>0,所以/(%)在(0,+8)單調遞增，

故府)>/(。)=0,所以cos；_||>0,

所以b>a,所以c>b>a,故選Z

［方法二］:不等式放縮

因為當汽￡(0卷)sin%<x,

取％=!得：cos^=1-2sin21>1-=||,故b>a

o4-o\ozOZ

4sin［+cos：=V17sinG+9),其中9c(0,。，且sin?=^cosg=今

當4sin［+cos；=V17時，"+W=3及0=］一:

.,1411

止匕時sinj=cos(p=^=,cos-=sing=

,114.1.1.r,

故rcos1=而<=Sin-<4Asin-,故b<c

所以b>a,所以c>b>a,故選/

［方法三］:泰勒展開

設工％=0n.o2r5,則mil。=豆31=1《---0.2-52,b.=cos-1?.1---0.2-52+.0.254

.i

c=4sin；=苧*1+計算得c>b>a,故選A.

4

［方法四卜構造函數

因為(=4tan3，因為當(0,，sin%〈久Vtan%,所以tan［>；,即1,所以c>b；設/(久)=cos%+#

一1/6(0,+8),p(%)=-sinx+x>0,所以/(%)在(0,+8)單調遞增，則f?>/(0尸0,所以cos?||

>0,所以b>a,所以c>b>a,

故選：A.

［方法五］:【最優解】不等式放縮

因為1=4tanj因為當％EV%<tan%,所以tan">/即1,所以c>b；因為當》￡(0()》也

%<%,取'=!得cos==1_2si吟>1—2借=||,故b>a,所以c>b>a.

o4o\o/3N

故選：A.

【整體點評】方法4：利用函數的單調性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數，屬于通性通法;

方法5：利用二倍角公式以及不等式xe(0(),sinx<x<tanx放縮，即可得出大小關系，屬于最優解.

8.(2022年新高考全國I卷數學真題)設a=0.1eai,6=3c=—ln0.9,貝ij()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【解析】方法一：構造法

1V

設/'(%)=ln(l+x)—x(x>-1),因為尸(x)=4一1=一苗，

當萬€(—1,0)時，((久)>0,當xe(0,+8)時r(%)<0,

所以函數/(*)=ln(l+x)—%在(0,+8)單調遞減，在(一1,0)上單調遞增，

所以偌></(。)=0,所以In與一9<3故《>1端=—ln0.9,即b>c,

」

9親1

故

-<e所以<-

所以/(一為</(0)=0,所以1端玲<0,109

10

故Q<b,

設9(%)=+ln(l—%)(0<x<1),則=(x+l)ex+±="+)

令h(x)=ex(x2—1)+1,h!(x)=ex(x2+2x—1),

當0<久<魚一1時，h'M<0,函數九(%)=二(%2—1)+1單調遞減，

當魚一1<%V1時，h!(x)>0,函數九(%)=二(%2-1)+1單調遞增,

又九(0)=0,

所以當0<%<魚一1時，/i(x)<0,

所以當0V%<魚一1時，函數g(X)=疣久+ln(l—%)單調遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,BPO.le0-1>—ln0.9,所以a>c

故選：C.

方法二：比較法

a=O.le01,b=,c=—ln(l—0.1),

①Ina—\nb=0.1+ln(l—0.1),

令/(%)=久+ln(l—x),xE(0,0.1］,

1—x

則f(x)=1--=0,

故f(x)在(0,0.1］上單調遞減，

可得/(0.1)</(0)=0,即Ina-Inh<0,所以a<b；

②a-c—O.le01+ln(l—0.1),

令g(x)=xe*+ln(l—x),xE(0,0,1］,

則g'(x)=xe，+"一E=(1+，)(匚；)"i,

令k(x)=(1+x)(l—x)ex—1,所以kf(x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上單調遞增，可得k(x)>k(0)>0,即gf(x)>0,

所以g(%)在(0。1］上單調遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,BPa—c>0,所以a>c.

故cVa<b.

9(2021年天津高考數學試題)設a=k)g2年36=logL。4c=0.4°汽則〃，b,c的大小關系為()

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

vlog20.3<log2l=0,Aa<0,

logi0.4=—log20.4=log2|>log22=1,

22

???0<O,40-3<0,4°=1,0<c<1,

a<c<b,

故選：D.

10.(2021年全國新高考n卷數學試題)已知。=log52,b=log83,c=1,則下列判斷正確的是(

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】c

【解析】a=log52<log5Vs=|=log82V2<log83=b,即a<c<6.

故選：C.

11.(2021年全國高考乙卷數學(理)試題)設a=21nl.01,fo=lnl.O2,c=VL04-l.貝U()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】［方法一］:

a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>lnl.02=b,

所以力<a；

下面比較c與的大小關系.

記f(x)=21n(l+X)-Vl+4%+1,則f(0)=o,r(x)=2一

由于1+4久一(1+x)2=2x—x2=x(2—x)

所以當0cx<2時，l+4x—(l+x)2>0,即“+4x>(1+x),f(x)>0,

所以f(x)在［0,2］上單調遞增，

所以/'(0.01)>f(0)=0SP21nl.01>VL04-l,即a>c；

令9(x)=ln(l+2x)-4+4x+l,則g(0)=0,g，Q)=備一癮=#懸言學，

由于1+4%—(1+2x)2=—4%2,在x>0時，1+4%—(1+2%)2<0,

所以g'(%)V。即函數9(%)在［0,+8)上單調遞減,所以g(0.01)Vg(0)=0,即lnl.02vVf前一1,即*c；

綜上，b<c<a,

故選：B.

［方法二］:

令f(%)=—x—1(%>1)

(。)=-號出<°，即函數f(x)在(1，+8)上單調遞減

/(V1+0.04)</(I)=0,??.bVc

令9(%)=21n—X+1(1<%<3)

。'(久)=與詈包>0，即函數9(x)在(1，3)上單調遞增

g(y/l+0.04)⑨⑴=0,???a)c

綜上，b<c<a,

故選：B.

題型一：直接利用單調性

【典例1-1】設a=2i，2,6=lg3,c=ln，則a、b、c的大小順序為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【答案】A

【解析】由函數、=111%7=坨%在（0,+8）上單調遞增，可得lngvlnl=O,0=Igl<lg3<IglO=1.

因函數y=2%在R上單調遞增，貝I。？>21=2.故IngVIni=0=Igl<lg3<1<21-2,

即Q>b>c.

故選：A

【典例1-2】（2024?高三?黑龍江雞西?期中）已知函數f（%）=2、+%,5（x）=log2x+x,九（%）=爐+%的零點

分別為a,b,c,則a,b,c的大小順序為（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】由函數解析式可知三個函數在定義域上均為單調遞增函數.

-1

???/(())=2。+0=1>0,=1=—5<0,故—l<a<0,

=lo§21+1=_1<0>5(1)=log21+1=1>0,故0<6<1,

h(0)=0,故c=0,

.,.a<c<b.

故選：B.

巧

利用指對塞函數的單調性判斷

【變式1-1]已知a=log56力=logo,52,C=e12,比較q,[C的大小為()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】c

【解析】因為函數y=log5X在（0,+00）上單調遞增，

所以a=logs6<logs5=1,

又c<l,所以a>c,又因為函數y=logo,5%在（0,+8）上單調遞減，

所以b=logo,52<logos】=0，因為c>0,

所以b<c,綜上，a>c>b.

故選：C.

【變式1-2］已知a=0.33",6=（j1）（e為自然對數的底數）c-tanl,比較a,b,c的大小（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】由三角函數線可得：不等式1&11汽>%>$也招工6（0,。，

則c=tanl>1,

又函數y=%e為增函數，y=0.33%為減函數，

則1>G）e>Q）e>0.33e>0.337r>0,

所以1>b>a,

綜上所述：c>b>a,

故選D.

命題預測

5

1.(2024?江西新余?一模)故a=(y,b=(J,c=logy,則

3a,b,c的大小順序是（）

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

553

g、YI15、114

7>b=>1=logy>C=logy,

1.33

所以c<b<a,

故選：D

2.已知實數Q,b滿足2。+a=2/=logi63,貝I()

A.a>bB.a<bC.ci—bD.a,6的大小無法判斷

【答案】A

【解析】函數/(x)=2，+x在R上單調遞增，S/(|)=V2+|<2,貝I］由2。+。=2,得a>:,

1

又b=log163<log164=-,所以a>b.

故選：A

題型二：引入媒介值

【典例2-1】(2024?高三?江西?期中)已知a=ln2,b=cos2,c=G),貝!Ja,b,。的大小順序為()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【解析】Q=ln2>In盛=T，b=cos2<0,c=(g)=22=4,貝！Jc>a>b.

故選：A

Q1

【典例2-2】三個數Q=sin,,b=2例c=ln3—ln2的大小順序是()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

Q1O

【解析】Q=si丐E(0,1),fo=23>1,c=ln3—ln2=In-G(0,1),

所以b最大，

因為X**所以孚<sin|<L

因為9<e,所以,<五，則h4<lnV^=J,所以sin,>ln|,

4NNLNN

即cVaVb.

故選：B

巧

尋找中間變量0,1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大小關系的判定.

2

【變式2?1］已知a=log23,b=(|)3,c=cos(-|ji)-sin(-3，比較a,b,c的大小為()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

［解析］易知c=cos(—|兀)—sin(—=cos1+sin^=|,

a=log23>log2(2V2)=|=(|)=c>b=(|)l

故選：B

2

【變式2-2］已知a=ln4,b=lg4,c=Q)3,貝!J()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

【答案】A

21.

【解析】因為ln4>Ine=1,lg4<IglO=1,lg4>IgVlO=Q)3<Q)2=

2

所以GT<】g4<ln4,所以c<bVa.

故選：A.

I命題預測31-

1.已知a=logo.48,b=log0.60.5,c=log23,貝！J()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】CL=logo_48<logo.41=0,而0.65=VO.216<VO.25=0.5<0.6,

則1=log0,60.6<log0,60.5<log0,60.62=-,又c=log23>log22V2=

所以c>b>a.

故選：D

2-已知。=總b=^c=l，則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

【解析】由題意可得：a=^=^=log2e,h=^|=log23,c=|=log222=log2V8,

因為3>V8>e,且y=log2%在定義域(0,+8)內單調遞增，

可得log23>Iog2V^>log2e,所以b>c>a.

故選：D.

3.已知a=k)gi.40.7,b=1.407,c=0.71-4,則a,b,c的大小關系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

1407

【解析】由于a=logi,40.7<10gl.41=0，0<c=0.7<0.7°=1=1.4°<1,4=b,

所以a<c<b.

故選：B

題型三：含變量問題

bd2a2a

【典例3-1］［新考法］若0V2a<bV1,=a,x2=(2a),x3=b,x4=(2b)f則()

A.%4<%3V<%2B.<%2<%3<%4

C.x2<%1<%4<x3D.%3<%4<%1<X2

【答案】B

【解析】方法一：因為b>0,所以函數丫=/在9+8)上單調遞增.

因為a>O所以abv(2a)"即%i<%2?

同理，由函數y=%?。在(0,+8)上單調遞增，得扶即%3<%4.

因為0<2a<b,所以(2a)2a<b2a.

因為0V2a<1,所以y=(2a尸在R上單調遞減，

所以(2a)b<(2a)2a,所以(2。*<爐。,即第2<%3，

所以％IV%2<%3V%4?

方法二：

由0v2aVb<l,令a=b=3,

oZ

1

r4

則"1='=乎，X2=:，丫3=(￡)=當X4=1.

因為坐<1，所以％1V%2V%3<%4.

故選：B.

【典例3-2】(2024?高三?河北邢臺?期中)已知1VmVnV2,口=儼,b=w,cfogHm,貝！JQ,瓦c的大小關

系是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

【解析】因為所以)/=")=771久7=108幾%在(0,+8)上均單調遞增,

771n1

所以a=幾>幾1>L匕=m>m>1,c=lognm<lognn=1,即a>c,b>c,

對于a,6,構造函數/(%)=等=((尤)=胃二

易知e>x>0時，f'(x)>0,即此時函數單調遞增，則/⑺</(>)=*<*

所以711nm<mlnn=>lnmn<lnnm,

因為y=ln%在(0,+8)上單調遞增，所以血九〈九小，

綜上a>b>c.

故選：A

國囪目巧

對變量取特殊值代入或者構造函數

【變式3-1](多選題)已知正數a力滿足ea(l—lnb)=l,則()

1

A.e<b<e2B.ea+->2

C.ea>bD.ea-Inb>1

【答案】BCD

【解析】對于A中，因為a>0,可得0<?<1,又因為1—lnb=±,所以0<l—lnb<l,

可得0<lnb<l,解得lVbVe,所以A不正確；

對于B中，由a>0,則6。>1,則e。+±22口^=2,

當且僅當即a=0時，等號成立，因為a>0,所以6。+々>2,所以B正確，

QaQa

對于C中，由函數/(%)=/—%—1,可得r(%)=e、一l,

當％V0時，<0,/(%)單調遞減；

當%>0時，/(%)〉0,/(%)單調遞增，

所以=/(0)=0，則/(%)=e久一%—1N0,即

當且僅當久=0時，等號成立，

因為a>0時，因為即(1一111力)=1,可得1―1出7=6一。>一。+1,

所以a>lnb,即e。〉》，所以C正確；

對于D中，由1—lnb=e—。，所以e。+1—Inb=e。+。>2,可得e。一lnb>l,所以D正確.

故選：BCD.

【變式3-2](2024?陜西西安?統考一模)設a>/?>0,a+h=1且％=—(工)：'=log洶z=lo§(l+l)ah,則%,y,

z的大小關系是（）

A.x<z<yB.z<y<x

C.y<z<xD.x<y<z

【答案】A

【解析】由Q>b>0,a+b=1,可得0<bV1<aVl,

則z=lo8fll)ah=log必ab=loS±ab=-1

\a+b/abab

因為0Vb<1,所以logb。Vlogbb=1,則y=loSla=—log^a>—log)=—1,

因為t=——1,所以％<zVy.

故選：A.

［命題理測］

1.(多選題)若0<aVb<c,且Iga+1g匕+Ige=0,則下列各式一定成立的是()

A.20+2b>4B.ab<1C.a+c2>2D.a2+c>2

【答案】BC

【解析】因為lga+lgb+lgc=0,所以lgabc=0,則abc=l,

又由于OVaVbVc,所以OVaVl,c>1,ab=-,貝Ijabvl,故B正確；

因為">1,所以a+>2以etc?=2缶>2,故C正確；

當^二ab=1,c=2時，可20+2°=魚+2<4,故A錯誤；

當口=專，b=,，c=|時，a2+c=1+|<2,故D錯誤.

故選：BC.

2.(多選題)若0<aVbVl,貝!J()

A.ab<baB.ab+1<a+b

rbra

C.a-<b-D.loga(l+Z?)>logb(l+a)

【答案】AC

【解析】A選項中，因為0<a<l,故丫=a”在R上單調遞減，故加v廢，

因為y=%。在(0,+8)上單調遞增，故即<》。，綜上，ab<aa<ba,A正確；

B選項中，由于a+b—ab—1=(a—1)(1—力)<0,而已知0Va<bVl,所以B不正確;

C選項中，ai-b<公―ao(l-b)lna<(1—a)lnb=署<的，

設/⑺=罟(0<X<1)，則/'(X)=言其。<X<1),

-I

設g(%)=Inx+--1(0<%<1),

則g'O)=沒<o=g(x)>g(i)=>o,

所以在(0,1)上遞增，這樣/(a)</(b),故C正確；

D選項中,取a=5,b=l，則loga(l+b)=log\=log簪，logKl+a)=log得,

又竽=等>與>1，故1嗝(1+))=1。酷<1臉(1+砌=1。嘴，所以D錯誤.

故選：AC.

題型四：構造函數

【典例4-1](2024?陜西咸陽?模擬預測)已知a=i^,b=*c=M，貝心力,。的大小為()

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【答案】D

【解析】因為。=苧=好=苧，?=(=臂，

i-(2x)-21nx_1—Inx

貝，(X)=

一(2x)22x2

所以當X6(0,e)時，尸。)>0,/(無)單調遞增;

當xG(e,+8)時,/'(%)<0,/(x)單調遞減;

所以a=f(2)<f(e)=c,b=f(3)<f(e)=c,

又因為。=寧_31_n_2__l_n84_l_n9__2_1_n3__l_n3

~TT~7272~^2~~~6~

所以c>b>a.

故選：D.

【典例4-2](2024?全國?模擬預測)若4=&，b=2,c=苧，則a,b,c的大小順序為()

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【解析】構造函數f(x)=等，則a=f停),b=f(e),c=f(2),

由廣(久)=^^，令((久)>。得。<x<e,令尸(x)<。得%>e,

則/(%)在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減.

因為2<e,所以f(2)<f(e),所以c<6；

因為e<1,所以/'(e)>/(?),所以b>a；

令Xi%2=e2,且l<xi<e<X2，則/(打)_/(%2)=/(%1)_/(旨)=翳_(2一黑""，

令9⑴喈-號，久Me),

1-lnx

則丁(“)=黑=(1_lnx)缶>0,

2e2

所以g(x)在(l,e)上單調遞增，

又9(e)=0，所以g(x)<0，所以fOi)</。2)，

因為qx2=e2,且l<2<e<，所以a=/'停)>f(2)=c,所以c<a<b.

故選：B

國國國

構造函數比大小是高考數學的重點題型，它可以從“形”與“數”兩個角度入手解題。

“形”的構造：不等式兩邊的結構相似時，我們可以構建一個函數，通過分析這個函數的單調性，進而根據“若

函數g(x)單調遞增，則X]2/Og(xj2g(x2)；若函數/(X)單調遞減，再之工2=g(xjwg(x2)”

判斷.

“數”的構造：觀察到待比較式子間數與數的關系后，我們可據此構造函數.

【變式4-1】新考法|設函數/⑴=x+lnx,g(x)=xlnx-1,八⑴=1一§+1+?在(0,+8)上的零點分別

為a,b,c,則a,瓦c的大小順序為()

A.c<b<aB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】因為/'(X)=x+lnx,f'(x)=1+|>0,所以/'(%)在(0,+8)上單調遞增，

又因為/?=|-ln20<0/(1)=10>0,所以存在ae@,1)使得/(a)=0,

所以ae@,1),

1

因為9(%)=%ln%—1,g'(x)=Inx+1,令夕(久)=0,解得第=9

當xe(0,9時，^(%)<0,則g(x)在(0,目上單調遞減，

當xeg,+8)時，)(久)>0,則g(x)在(0,9上單調遞增，

又因為g(l)=—1<0,g(2)=21n2-1>0,l?,bG(1,2),

又/i(x)=1?xe(0,+00),所以〃(久)=等+：++>0,所以％(%)在(0,+8)上單調遞增，

又陪)<0,h⑴>0,所以存在ceg,i)使得h(c)=0,所以b最大，

ell11C111

因為.=^=元=春>再，所以lng>ln斯=lneW=—5，

詞=尾+江-0.5+30,二(1€出》,

又啕+紅。，小信1)

a<c<b.

故選：B.

【變式4-2］已知。=遮，b=ln(V5+1),c=\^,試比較a,b,c的大小()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

［解析】設TH(%)=In%—%+1,

則當x>1時=--1<0,zn(x)單調遞減，

故m(遮+1)=ln(V5+1)-(V5+1)+1<m(l)=0,

故In(乃+1)<乃，進而b<a,

設71(%)=41nx+x—6,

由于函數y=In%和y=支均為定義域內的單調遞增函數,

所以?1(%)=41nx+%—6為(3,+8)上的單調遞增函數，

因此n(遙+1)=41n(V5+1)+(V5+1)-6>n(3)=41n3-3>0,

故41n(代+1)+(V5+1)-6>0^>ln(V5+1)>-叱。+6=

故6>c,

因此a>b>c,

故選：B

命題預測

1.已知a=ln(sinl.O2),b=c=lnl.02,則()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

【答案】C

【解析】因為y=sinx在(0,()內單調遞增，

Tl

則0=sinO<sinl,02<sin-=1,即sinl.02G(0,1),

又因為y=In%在(0,+8)內單調遞增,

則a=ln(sinl,O2)<Ini=0,c=lnl.02>Ini=0,可得a<c；

令％=0.02,則匕=售^,c=ln(l+x),

構建f(x)=ln(l+>0,

1x

_(際<0,

則尸(%)=二一一二際=F

■*■十41+x22(l+x)Vl+x

可知f(x)在(0,+8)上遞減,則/'(0.02)(0)=0,即c<b；

綜上所述：a<c<b.

故選：C.

2.若a=g,b=cos(1—^),

C=~71,則a、b、c滿足的大小關系式是().

A.a>b>cB.a<b<cC.a>c>bD.b>c>a

【答案】A

111jr1

【解析】顯然§>/即a>c,而b=cosQ-5)=si丐,

設/(%)=x—sin%(0<%<1),求導得/(%)=1—cosx>0/(%)在(0,1)上單調遞增,

則f(%)>/(0)=0,即當0<%<1時，x>sinx,因此a=g>sing=b；

設g(x)=sinx—%+y(0<%<1),求導得g<%)=cosx—1+y,

令夕(％)=cosx—1+y(0<x<1),(p'{x}=—sin%+%>0,

則函數9(%),即g'(x)在(0,1)上單調遞增，g'(x)>