專題05與圓相關求解題（雙空題精選29道）

一、填空題

1.如圖，在Rta4BC中，ZXSC=9O°,以4B為直徑的。。交47于點E,點。是BC的中點，連接OE、OC,

OC交DE于點、F,AO=10,DE=4,則AC=,而的值是.

BDC

【答案】4V西三

【分析】連接BE、OD,根據直徑性質平角性質，得NBEC=90°,根據直角三角形斜邊中線性質得BC=8,

根據乙4BC=90。，AB=20,得AC=4屈，證明△ABC“△BEC,得益=與，得CE="圖，根據三角形

DL/IC29

中位線性質得。。=2國，OD||AC,得AODFMCEF,得蕓=蕓=餐.

LFLCO

【詳解】解：連接BE、OD,

MB為。。的直徑，

??.乙4EB=90°,

：/BEC=180°-^AEB=90°,

???點。是的中點，

：,DE=BD=CD=苑，

?.4。=10,OE=4,

"8=240=20,BC=8,

???乙4BC=90。，

-AC=JAB2+BC2=4V29，

-/.ABC=乙BEC=90°,乙ACB=乙BCE,

??.△ABCFBEC,

CE_BC

~BC~~AC9

.\CE=I6V29

29’

???O是中點,

.?.。0=夕。=2屈，OD||AC,

???△ODFCEF,

OF_0D_29

~CF~~CE~~Q'

故答案為：

4V29?o

【點睛】本題主要考查了圓與相似三角形綜合.熟練掌握圓周角定理推論，直角三角形斜邊中線性質，勾

股定理，三角形中位線性質，相似三角形判定和性質，是解題的關鍵.

2.如圖，△ABC是。。內接三角形，。。的半徑是任，BC=2,乙4cB=120。，乙4cB的角平分線CD交力B

于點F,交。。于點。，連接4。、BD,過點。作。。的切線交C8的延長線于點E,則線段4B的長度為.

線段DE的長度為

［答案］聞標哼

【分析】如圖，作直徑BG,連接DG,0D,過點B作8Hle。于點證明△ABZ）是等邊三角形，得

AB=BD,由BG是。。的直徑，得NBDG=90。，NGBD=90。-60。=30。，進而得DG=：BG=VI^,由勾股

定理得AB=BD=JBG=同，由DE是。。的切線，^BDE=90°-zODB=60°=Z.DCE,進而證

m/^BDE^ADCE,利用相似三角形的性質即可得解.

【詳解】解：如圖，作直徑BG,連接DG,OD,過點2作BH1CD于點H,

=120°,N4C8的角平分線CD交28于點尸，

...乙ACD=4BCD=6Q°,

.".Z.DAB=Z.BCD-Z.ACD=4ABD=(BGD—60°,

.,.Z.ADB=60°=Z-BAD=Z.DBA,

.?.△4BD是等邊三角形，

：.AB—BD,

??,8G是。。的直徑，

?"OG=90。，

.-.ZGBD=9O°-6O°=3O°,

.?.DG=^BG=V13?

■■AB=BD=YJBG2-DG2=J(2V13)2-(V13)2=聞,

■.■BH1CD,4BCD=60。,

:/CBH=90°-60°=30°,

.-.CW=|BC=1,

■■BH=VfiC2-CW2=V22-l2=百，

■■DH=^BD2-BH2=J(V39)2-(V3)2=6，

.-.CD=CH+DH=7,

,：OB=OD,

...4。80=4008=30。，

???DE是。。的切線，

：.0D1DE,

"BDE=90°-/.ODB=60°=乙DCE,

vZE=(E,

???△BDEDCE,

DCDECE口口7DE2+BI

BDBEDE'1V§9BEDE

；.BE=^DE,

7

.」-=2+亭。E

??廝-DE"

解得=

故答案為：V§9>|V39.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理的推論，等邊三角形的判定及性質，勾股定理，相似三角形的判定及

性質，30度直角三角形的性質，熟練掌握圓周角定理的推論，等邊三角形的判定及性質，勾股定理，相似

三角形的判定及性質是解題的關鍵.

3.如圖，在。。中，AB為直徑,BD為弦，點C為弧BD的中點，以點C為切點的切線與的延長線交于點

E,連接4c交于點F,若2F=3CF,AB=6,貝U8E的長度為；CE的長度為.

【答案】24

【分析】根據垂徑定理及其推論，切線的性質，勾股定理，平行線分線段成比例定理解答即可.

【詳解】解：連接。配

?.?點C為弧BD的中點,

■.OCLBD,

???以點C為切點的切線與4B的延長線交于點E,

：.OC1CE,

：.CE||BD,

AF_AB

'''CF~~BE'

-AF=3CFf48=6,

.,.%=△，0A=OB=OC=^AB=3,

CFBE2

.?.BE=2；

；.0E=OB+BE—5；

:.CE=YOE2-OC2=4,

故答案為：2；4.

【點睛】本題考查了垂徑定理及其推論，切線的性質，勾股定理，批判性的判定，平行線分線段成比例定

理，熟練掌握性質和定理是解題的關鍵.

4.以4B為直徑的。。與AC相切于點4弦DE14B于點H連接CD并延長交AB于點尸、交。。于點G,連接

0D.若乙DOH=24C,0D=3,AH^l.貝,CG=.

【分析】由勾股定理得，DH=NOD2_OH2=近,由垂徑定理可求DE=2^；由。。與4C相切于點4可

得B41C4,則DEIIC4,NGDE=4C,如圖，連接AE,AG,由圓周角定理可得NDE4=NDG4=：

乙DOA=LC=￡GDE,則AC=AG,AE||CG,證明四邊形4CDE是平行四邊形，則4C=DE=2V^,

AE=CD,AG=2V5,證明△4HE三△FHD(ASA)，則力E=DF,AH=F”=1,AF=2,如圖，過G作GM_LC4

的延長線于M,設GM=a,AM^b,則CM=2代+b,證明△GCMs^FCA,則器=器，即悔=空學，可

AC乙2V5

求6=心（￡1一2），由勾股定理得，AG2^AM2+GM2,即（2V§）2=b2+a2=[Vi（a—2）]2+a2,可求滿足要

求的解為。=￥，則。="，CM=華，由勾股定理得，CG=JCM2+GM2,計算求解即可.

【詳解】解：?MB為直徑，DELAB,

；.DH=EH=初,

由題意知，。/=。0=3,

：.0H=0A-AH=2f

由勾股定理得，DH=7OD2-OW2=V5.

?'?DE-2V5；

???。。與AC相切于點4

：.BA1CA,

.-.DE||CA,

：.Z-GDE=Z.C,

如圖，連接ZE,AG,

,：AD=AD,

:.Z.DEA=Z.DGA=jzDOX="=乙GDE,

：.AC=AG,AE||CG,

又〈DE||CA,

四邊形ACDE是平行四邊形，

.\AC=DE=2V5>ZE=CD,

-'-AG=2V5,

?:乙HEA=^HDF,EH=DH,乙AHE=CFHD,

△AHE=△FHZ)(ASA)，

：.AE=DF,AH=FH=1,

:.AF^2,

如圖，過G作GMJ.C4的延長線于M,

設GM=a,AM^b,貝i]CM=2q+b,

vzGCM=/.FCA,NGMC=90°=zJMC,

AGCM“△FCA,

GM_CM??a_2V5+6

二市=五，E|2=^=">

解得，b=Vi(a—2)，

由勾股定理得，AG2=AM2+GM2,即(2V^)2=b2+a2=[vM(a-2)7+a2,

解得，(2=與或。=0(舍去)，

“=幽

3

3

由勾股定理得，CG=yJcM2+GM2=^

故答案為：2V5.苧.

【點睛】本題考查了切線的性質，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，等角對

等邊，平行四邊形的判定與性質等知識.熟練掌握切線的性質，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，相似

三角形的判定與性質，等角對等邊，平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵.

5.如圖，以為直徑的。。與4C相切于點4以4C為邊作平行四邊形4CDE,點。、E均在。。上，DE與

4B交于點尸，連接CE,與O。交于點G,連接DG.若AB=10,DE=8,則AF=.DG=.

【答案】8誓償g

【分析】連接。。并延長，交。。于點連接GH,設CE、4B交于點河，根據四邊形4CDE為平行四邊形,

得出DE||AC,AC=DE=8,證明力BlDE,根據垂徑定理得出DF=EF==4,根據勾股定理得出

22

OF=VOD-￡>F=3,求出力尸=。4+。9=5+3=8；證明△EFMs/kc4M,得出言=黑，求出FM=

I，根據勾股定理得出EM=JEF?+FM2=J42+（丁=率,證明△EFMsaHGD,得出霽=需，求出

【詳解】解：連接。。并延長，交。。于點〃，連接GH,設CE、4B交于點如圖所示:

???以2B為直徑的O。與4C相切于點

.-.AB1AC,

.-.Z.CAB=90°,

?.?四邊形4CDE為平行四邊形，

：.DE||AC,AC=DE=8,

;/BFD=/.CAB=90°,

.,.AB1DE,

...DF=EF=；DE=4,

???48=10,

：.DO=BO=AO==5,

???OF=y/oD2-DF2=3,

??.”=。4+。/=5+3=8；

???DE\\AC,

??.△EFMCAM,

EF_FM

^~AC~~AMf

4_FM

AF-FM"

nn4FM

即石o=oQ—~r忘MJ，

o

解得：FM--,

■■-EM=VEF2+FM2=J+?=嚕

???DH為直徑，

.?ZOGH=90。，

"DGH=乙EFM,

,;DG=DG,

???乙DEG=LDHG,

△EFMFHGD,

FM_EM

：,~DG~~DH"

84V13

即且=M,

DG10

解得：。6=智.

故答案為：8；當要.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，垂徑定理，圓周角定理，切線的性質，勾股定理，三角形相

似的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法.

6.如圖，在四邊形/BCD中，AD=CD=2?CB^AB=6,NB力。=/BCD=90。，點￡在對角線8。上

運動，。。為△￡>(7￡的外接圓，當。。與ND相切時，。。的半徑為；當。。與四邊形N8CD的其

它邊相切時，其半徑為.

【分析】由題意易得tan/48。=tanNC8。=?,則有乙48。=NC8D=30。，Z.ADB=/.CDB=60°.連接

0D,過點。作0MleD于點由4D與。。相切，則有ODL4。，即乙4。。=90°,DM=*D=?即有

乙ODM=UDC-UDO=30°,則可求出。。=羨二旃=2，問題得解；

②可分為。。與四邊形4BCD的4B邊相切和。。與四邊形ABCD的BC邊相切兩種情況，進而根據切線的性

質可進行求解.當OO與四邊形2BC0的48邊相切于點G時，作OELCD于點尸，并延長，交/。的延長線

于點P,交AB于點N,利用NFIIBC,DF=|c￡)=百,即可求出N4NF=乙4BC和其度數，即可求出NP=乙GON

和其度數，即可求出DP=20F、FP,進而求出4P、NP、NF,設。G=。。=r,則可表示出。N、OF,在

RfADFO中,利用勾股定理得可得到關于廠的方程，解方程即可求出后當。。與四邊形48CD的8C邊相切

時，則切點即為點c,為。。的直徑，OO的半徑為百.

【詳解】解：,在四邊形2BCD中，AD=CD=2V3>CB=AB=6,zBAD=zBCD=9。°,

■■.tanZ.ABD=tanzCSZ)=—,

3

:.Z.ABD=/.CBD30°,4ADB=KCDB=6Q°,

連接O。，過點。作OMX少于點

如圖所示：

???力。與O。相切，

：.ODVAD,即乙WO=90。，DM=*D=?

：/ODM=UDC-UDO=30°,

即O。的半徑為2；

②分兩種情況討論

第一種情況：當。。與四邊形力BCD的48邊相切于點G時，作OF1CD于點尸，并延長，交/。的延長線于

點P,交AB于點、N,如圖所示：

:.NF\\BC,DF=*D=4

.-.^.ANF=^ABC=60°,

.?ZP=NGON=30°,

:.DP=2DF=2V3，FP=^^=3,

■?■AP=4V3,

:.NF=5,

設。G=OD=r,則有。N=coK。N=竽乙

...OF=5-4，

3

”孱2

在比△。尸。中，由勾股定理得：（5-等r）+3=/，整理得：一一20百7+84=0,

解得：rr=10V3-6V6>2=10百'+6五（不符合題意，舍去）；

第二種情況：當。。與四邊形4BCD的BC邊相切時，則切點即為點C,

??.CD為OO的直徑，

■■■QO的半徑為百；

綜上所述：當。。與四邊形4BCD的一邊相切時，其半徑為2或10b-6痣或百；

故答案：2；百或10V5-6立.

【點睛】本題主要考查切線的性質、勾股定理及解直角三角形，熟練掌握切線的性質、勾股定理及解直角

三角形是解題的關鍵.

7.如圖，以力B為直徑的O0,點E在圓外，且NB4E=90。，BE與O。交于點。，過。作CD14B于點

H,連接CE交2B于點R交。。于點G.若8H=2,4"=8,貝iJCD=,4G=.

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，圓周角定理，正確作出輔助線是解題

關鍵.連接尸，由垂徑定理和勾股定理即可求出長；連接BC,分別證明△。///"△石力乩

△BHD-八BAE,ABFC-AAFG,結合勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，連接

■■AB=BH+AH=10,

.,.OB=OD=5,

；.0H=0B—BH=3.

??,CD1AB,

.-.CH=DH=y/0D2-0H2=4,CD=2DH=8；

如圖，連接BC,

22

在中，BC=.JCH+BH=2V5.

■:^BAE=90°,CDLAB,

.-.AE||CD,

ACHF-AEAF,ABHD?ABAE,

CH_HFDH_BH

"''AE~'AFf~AE~~ABf

又?：CH=DH,

.HF_BH_2_1

"~AF~'AB_10~5,

-HF+AF=AH=8f

...HF=4x8=34F=gx8=?

6363

在RtaFUC中，CF=JCH2+HF2=^42+Q)2=p/10.

-Z-ABC=￡.AGF,Z.BFC=^AFG,

???△BFCS^AFG,

,CFBC_2V5

.?赤=茄，即？F=謫，

3

.'.AG=5V2.

故答案為：8,5加.

8.如圖，等腰直角△4BC中，AB=AC,4。是△ABC的高，AD=屈,則=；若以點力為圓心,

半徑為2加作04點M是。4上一動點，連接MC,點N是MC的中點，則線段DN的最大值是.

【答案】2V3V3+V2

【分析】由等腰三角形的性質和直角三角形的性質可得8。=8=4￡)=版。=在，再根據勾股定理即可求

1

出4B；根據三角形的中位線可知當M,48三點共線時，MB最大,求出其最大值，即可求出DN

的最大值.

【詳解】解：「△ABC是等腰直角三角形,

???Z.BAC=90°,

■.■AB=AC,4D是△4BC的高,

:.BD=CD=AD=辿=氣,^ADB=90°,

AB=y/AD2+BD2=2V3；

連接MB,

???點N是MC的中點，BD=CD,

.??當MB最大時，DN最大,

當三點共線時，MB最大,MB最大為2百+2五,

DN最大值為［MB=V3+V2,

故答案為：2V3,V3+V2-

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，點圓最值，三角形的中位線，勾股定理，解

題的關鍵是利用三角形的中位線把求DN的最值問題轉化為求MB的最值.

9.如圖，4B是。。的直徑，BC是。。的切線，點3為切點.連接4C交。。于點。，點E是。。上一點,

144

連接BE,DE,過點/作AFIIBE交BD的延長線于點F.若BC=13,AD=—,4F=4ADE,貝MB的長度

是,。尸的長度是.

of「口

【分析】先證明得出益=而，則BC2=CZT4C=CD(4D+CD),求出CD=5,再由勾股

定理求得BD=dBC2—CD2=12,即可由勾股定理求得ZB的長；然后連接4E,證明=得出

BF-AB^―,再由OF=8尸一B。求解.

【詳解】解：rB是。。的直徑，

N4DB=NBDC=90°,

???48是。。的直徑，BC是。。的切線，

：.AB1BC

：.Z.ABC=90°

：,Z-ABC=Z-BDC

,?,Zf=Z-C

△BCDACB

BC_CD

'''AC~~BC

?-BC2=CD-AC=CD^AD+CD）

即132=CD（等+C￡>）,

解得：CD=5或CD=-詈（不符合題意，舍去），

在RtaBOC中，由勾股定理得=<BC2—CD2=12,

在RtaBDA中，由勾股定理得：AB=JBD2+AD2=^

■■AFWBE,

VZ.F=Z-ADE,Z.ADE=Z.ABE,

???Z.F=Z.BAF,

???BF=AB=等

DF=BF-BD=警-12=y；

故答案為：-y.

【點睛】本題主要考查了切線的性質，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的

判定與性質，勾股定理，等腰三角形的判定等等，證明ZF=N8力尸是解題的關鍵.

10.如圖，4B是。。的直徑，點D為4B下方。。上一點，點C為痂的中點，連結CD,CA,AD.延長AC、

DB交于點E.若CE=2也,BD=2,則。。的半徑為,SAABD=.

【分析】延長C。交。。于尸,根據直徑所對的圓周角為直角得BE14。，再根據垂徑定理得。尸14。，設。。

的半徑為尺，貝=OC=R,ffiliAAOC-AABE,得到AC=CE=2后，BE=2OC=2R,進而得

AE=4V6>DE=BD+BE=2R+2在Rt△ABD和Rt△4ED中利用勾股定理構造方程力B2-B02=AE2-D

E2由此解出R即可；根據AB是。。的直徑，得到力DIDE,在中，利用勾股定理構造方程力。2=人

E2-DE2,得到4。=4VL根據代入面積公式計算即可.

此題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，理解圓周角定理，熟練掌握垂徑定理，靈活運用勾股

定理構造方程是解決問題的關鍵.

【詳解】解：延長C。交。。于R

如圖所示

??/B是。。的直徑,

￡.ADB=90°,即

???點。為旃的中點，

根據垂徑定理得CF14。，

OCWBE,

設。。的半徑為火，則48=2R,0C=R

vOA=OBfOCWBE

.,.Z.ACO=Z.E,z.A=Z-A

??.△AOCABE

-AB=2AO

??.4C=CE==2/BE=2OC=2R,

■■.AE=4V6,DE=BD+BE=2R+2,

在RtZkABD中，由勾股定理得2標

在RgAED中，由勾股定理得4。2=4片—。產，

AB2-BD2=AE2-DE2

???(2/?)2-22=(4V6)2-(2R+2產

整理得R2+R—12=0,

解得&=(不合題意，舍去)，

3,R2=-4

???O。的半徑為3.

??/B是O。的直徑，

：.AD1DE

,；DE=8,AE=4V6

.?.在RtZkAED中，AD2=AE2-DE2

AD2=(4A/6)2-82=12

■■.AD=4V2

：.S=^-AD-BD=^x4V2X2=4V2

故答案為：3,4V2.

11.如圖，AB為。。的直徑，C為O。上半圓的一個動點，CE1A8于點E,NOCE的角平分線交。。于點

D.且。。的半徑為5,連接4D,則力。=；若弦4c的長為6,貝氏。=

【答案】5近742

【分析】如圖1,連接。￡?、AD,由CD是NOCE的角平分線，可得NOCD=NECD,由。C=。。，可得

乙OCD=AODC,貝IJNECD=NODC,CE||0D,4。。力=NCE。=90。，由勾股定理得，AD=S近;如圖1,

過點/作4F_LCD于點R由布=而，可得NACD=9-1。。=45。，由勾股定理得，AC=41AF=6,可求

AF=CF=3V2）由勾股定理得DF=YAD2-AF2,根據CD=CF+OF,計算求解即可.

【詳解】解：如圖1,連接。D、AD.

圖1

?.￡￡）是NOCE的角平分線，

.,.Z.OCD=Z-ECD,

?.?。。=。0,

：.Z.OCD=Z.ODC,

"ECD=Z.ODC,

：.CE||0D,

.-.zD0i4=zCE0=90o,

由勾股定理得，AD=VOA2+OD2=5V2；

如圖1,過點工作4F1CD于點尸，

---AD=AD,

.?.乙46=，。。=45。，

4FC是等腰直角三角形，AF=CF,

由勾股定理得，AC=yjAF2+CF2=V2AF=6,

解得，AF=CF=3?

由勾股定理得DF=AD2-AF2=4加,

.-.CD=CF+DF=7V2.

故答案為：5五，7V2.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，勾股定理的應用，圓周角定理的應

用，二次根式的加減運算等知識.熟練掌握等腰三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，勾股定理，

圓周角定理是解題的關鍵.

12.如圖，48是。。的直徑，BC是。。的切線，連接AC交。。于點。，點￡為。。上一點，滿足礪=麗,

連接BE交47于點巴若CD=1,SC=V5-貝么8=,EF=.

【分析】此題重點考查圓周角定理、切線的性質定理、相似三角形的判定與性質等知識，連接4E、BD,由

4B是。。的直徑，BC是。。的切線，推導出=N力BC=90°,則NBFC+NDBE=90°,

NC+N￡MB=90。，由朝=而，得=所以NBFC=NC,則BF=BC=V^,DF=CD=1,可

證明△BDCsaABC,得病=片，求得AC=5,貝!]4F=3,AB=2V5.再證明△AFE”△8尸。，得法=

DCZ1LUr

蔡求得吁等=乎,于是得到問題的答案.

DrtSr5

【詳解】解：如圖，連接4E、BD,

??/B是。。的直徑，BC是。。的切線,

=90°,BCLAB,

?ZBC=90。,

.-.ZBFC+=90°,ZC+=90°,

vDE=DB,

：.Z-DBE=Z.DAB,

：.Z.BFC=ZC,

.?.BF=BC=V5>

???BD1CF,

：,DF=CD=lf

，BF=VBD2+DF2=V2+1=返，

???乙BDC=^ABC=90。,ZC=ZC,

?,.ABDCMABC,

—CD?=—BC.

BCACf

.-.AC=—=^L=5,

CD1

???AB=VXC2-BC2=V25^5=2仁XF=AC-CD-DF=5-1-1=3,

'.'Z-EAF=乙DBF,Z.AFE=乙BFD,

???△AFEMBFD,

EFAF

DFBF

EF3

"T=^

...EF=等

故答案為：2近,等.

13.如圖，以4B為直徑的。。與2E相切于點4BE與O。交于點。，過。作CO14B于點”，連接CE交

于點尸、交O。于點G.若BH=2,4H=8,貝IJCD=,4G=

B

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質及切線的性質等知識，掌握相關知識

是解題的關鍵.

①連接。。，根據題意先求出直徑4B的長，得到半徑的長，根據垂徑定理得到CH=DH,再根據勾股定理

即可求解；

②連接BC,先求出BC=2后再證明E4F,△BHD7BAE,得到累=喘，器=器，求得

AcArAcAD

=pAF=^,根據勾股定理求出CF=*IU，再證明△BFCs^AFG,即可求解.

【詳解】解：①如圖，連接。。，

CH=DH=1CD,乙FHD=/.BHC=90°,

■.■BH=2,AH=8,

■.AB=BH+AH=10,

：.OB=OD=5,

：,OH=BO-BH=3,

在Rt△OHD中，DH=y/0D2-0H2=V52-32=4,

?.-CW=￡>W=4=|C￡),

：.CD=2DH=8,

②如圖，連接BC,

B

在中，BC=Jc“2+BH2="2+22=2年,

?ME是。。的切線，

.,.AB1AE,

又?.?AB1CD,

.-.CDWAE,

ACHF-△EAF,ABHDSABAE,

CH_HFDH_BH

"''AE~'AFf~AE~~AB

又?:CH=DH,

.HF_BH_2_1

：'~AF一屈一而一F

-HF+AF=AH=8,

???HF=￡X84.=3X8=9

在RtzXFHC中，CF=JCH2+郵=

-2LABC=^LAGF,乙BFC=Z-AFG,

.??ABFC?AAFG,

CF_BC

'~AF~'AGf

AFBC

：.AG—

CF3V10

故答案為：8,5V2.

14.如圖，4B是。。的直徑，BC是。。的切線，連接4C交。。于點D,點E為。。上一點，滿足礪=麗,

連接BE交4c于點F,若CD=1,BC=近,則8尸=,EF=

A

【答案】V5等

【分析】連接4E,DE,BD,由等弧所對的圓周角相等得NE4F=ADBE=NB4D,根據余角性質可證

乙AFE=MFB,從而BF=BC=Q證明△4BDBCD可求得4。=4,證明△4EF必BDF可求得

EF=里

5

【詳解】如圖，連接4E,DE,BD.

A

■：DE=DB,

.'-Z-EAF—乙DBE=乙BAD,

?MB是。。的直徑，

：.Z.AEB=Z.ADB=90°,

.'^EAF+^LAFE=90°,

???BC是。。的切線，

???乙4BC=90。，

.?ZC+Nb4c=90。，

：.Z-AFE=Z.C,

,：Z.AFE=乙CFB,

;/CFB=zC,

BF=BC=V5>

.-.FD=CO=1,

■-BD=I(VS)2-l2=2,

MCBD+^ABD=90。,2840+乙ABD=90°,

：.Z-CBD=乙BAD,

-.^ADB=Z.CDB=90°f

AABD?△BCD,

AD_BD

,?麗一而'

tAD_2

?萬一,，

.,.AD=4,

???4萬=3,

'：Z-AFE=Z.BFD,Z-AEF=乙BDF=90°,

??.△AEF?ABDF,

AF_EF

'''BF~~FD9

3__EF

【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質，等腰三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，正

確作出輔助線是解答本題的關鍵.

15.如圖，4B是。。的直徑，BC是O。的切線，點B為切點.連接4c交O。于點。，點E是。。上一點，

連接BE,DE,過點4作4FII8E交BD的延長線于點F.若BC=5,CD=3,Nf=^ADE,貝MB的長度是：

DF的長度是.

【答案】爭6|1/2|

【分析】由直徑所對的圓周角是直角得到乙4。8=4引兀=90。，根據勾股定理求出8。=4,則COSC=MDG=

I，由切線的性質得到乙4BC=90。，則可證明NC=N4BD,解直角三角形即可求出43=；；^而=”；連接

□COS^-/iDLJJ

AE,由平行線的性質得至=再由=/.ADE=/.ABE,推出得至I]

onono

BF=AB=—,則=B尸一BD=y-4=].

【詳解】解：MB是。。的直徑，

：./.ADB=4BDC=9。。,

在RtaBDC中，由勾股定理得BD=」BC2—CD2=4,

CD3

???c°sCr=km

???BC是。。的切線,

.??N4BC=90°,

.-.ZC+ACBD=乙CBD+乙ABD=90°,

：.Z-C=Z-ABD,

Dn4of)

在RMABD中，4B=心而=/可

：.Z.BAF=Z.ABE,

vzF=Z-ADEfZ-ADE=Z-ABE,

.,.zF=Z.BAF,

20

：，BF=AB=^.

ono

：.DF=BF-BD=y-4=|；

故答案為：與；*

【點睛】本題主要考查了切線的性質，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，解

直角三角形，等腰三角形的判定等等，證明=是解題的關鍵.

16.如圖，點C在以AB為直徑的半圓。上，。2=2返，點尸是公的中點，AD平分NC4B交8F于點。，則

4ADB=度；當DB=DF時，則BC的長為.

【答案】135。喑/融

——、1

【分析】由2B為直徑，可得NC=90。，由尸是2C的中點，可得NCBF=N4BF=5乙4BC,由AD平分NC4B,

1__

=Z.CAD=-Z.BAC,可求N71BF+NBA。=45。，根據4力。8=180°—(4力8/+NB40)，計算求解

即可；4力。9=45°,連接。D,AF,則4尸4。=45°=44DF,AF=DF,由。8=OF,可得ODJ.8F,

乙ODB=9Q°,則NAD。=45°=NADE,證明△三△EAD(ASA)，貝!|DE=D。，OD=^AF,設

AF=DB=DF=a,貝！］BF=2a,DE=OD=^a,BE=|a,由勾股定理得，AB=Y/BF2+AF2=Vsa=4

近,證明△BCEs^BFA,則黑=黑，據此計算求解即可.

DrAD

【詳解】解：■MB為直徑，

.-.ZC=90°,

???尸是前的中點，

.-.C?=AF,

.-.ACBF=/.ABF=^ABC,

???4。平分/CAB,

.-.ABAD=ACAD=^BAC,

???2(N4BF+ABAD)=180°-zC=90°,

解得，^.ABF+/.BAD=45°,

：./.ADB=180°-(z.XBF+/.BAD)=135。，

??.乙4OF=45。,

如圖，連接。。，AF,

???乙4FB=90°,

.?ZFAD=45°=乙4DF,

-.AF=DFf

,:DB=DF,

.-.ODLBFf乙ODB=90。,

：,Z.ADO=45°=/.ADE,

^Z-OAD=Z.EAD,AD=ADf

△OAD=△瓦4。(ASA)，

.,.DE=DO,

???0、D分別為BA、BF的中點，

.-.OD=^AF,

IQ

設/尸=OB=DF=a,貝!]BF=2a,DE=OD=-a,BE=-af

由勾股定理得，ABBF2+A產=近a=2x2近,

解得，a=4,

.-.BF=8,DE=OD=2,BE=6,

-：Z-CBE=乙FBA,(BCE=Z.BFA,

???△BCE?ABFA,

BCBE目BC6

?誨=病即n可=而，

解得，BC=^,

故答案為：135。，噌.

17.如圖，在△ABC中，NACB=90。，點尸是RtaABC外接圓上的一點，且乙4cp=45。，連接BP,4P.點

〃為弧NP上一點(不與/,P重合)，過尸作PDIBM于。點.

(i)aABP的形狀為；

(2)若AM=2,DM=?貝|JBM=.

【答案】等腰直角三角形2+2V3

【分析】(1)由乙4cB=90。，可知ZB為直徑，貝U41PB=9O。，由而=而，可得乙4BP=乙4cp=45。，進

而可得結論；

(2)由題意知，乙4M8=90。，如圖，作PN14M的延長線于N,則四邊形PDMN是矩形，證明

△BDP三ZiaNP(AAS)，貝l|PD=PN=V^,BD=AN=AM+MN=2+^,根據=+計算求

解即可.

【詳解】(1)解：???乙4cB=90。,

.?.4B為直徑，

.-.Z.APB=90°,

?：AP=AP,

.-.^ABP=KACP=45°,

：./.BAP=45°=/-ABP,

.?.△4BP是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形；

(2)解：由題意知，NAMB=90。，

如圖，作PN14M的延長線于N,則四邊形PDMN是矩形，

：.MN=PD,PN=DM=V3>

,.?PM=PM,

；/MBP=/.MAP,

?:乙DBP=LNAP,/.BDP=90°=Z.ANP,BP=AP,

△BDP=△ANP(AAS)，

:.BD=AN,PD=PN=V3,

：.BD=AN=AM+MN=2+^,

:.BM=BD+DM=2+2百，

故答案為：2+2V3.

18.如圖，四邊形4BCD內接于OO,BCWAD,AC1BD.若44。。=120°,AD=也,貝此C4。的度數為

BC的長為.

【答案】15。1

【分析】本題考查了平行線的性質，圓周角定義，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，勾股定理，解

直角三角形,等邊三角形的判定和性質，由平行線的性質可得NCBD=^ADB,由圓周角定理得NCBD=ACAD,

即得NC4D=^ADB=45°,即可得NBC4=Z.ADB=45°,由根據等腰三角形的性質可得=^ODA=30°,

由角的和差關系可得乙二4。=/乙4。一乙。4。=15。，再解直角三角形可得。4=取而=1,最后證明△BOC

為等邊三角形即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接。3、0C,過點。作。E140于點M

-BCWAD,

:/CBD=Z.ADB,

'.'Z-CBD=Z-CAD,

：.Z-CAD=Z-ADB,

?：AC1BD,

.-.^AFD=90°,

：,Z.CAD=Z.ADB=45°,

=^LADB=45°,

???乙4。。=120。，04=。。，

=4ODA=30°,

：,^CA0=ACAD-Z.0AD=45°-30°=15°,

-0A=0D,0ELAD,

：,AE=^AD=^,AAEO=90°,

；.0B=OC=1,

-0A=OC,

^ACO=^CAO=15°,

"BCO=2LBCA+^ACO=45°+15°=60°,

-0B=0C=l9

??.△BOC為等邊三角形，

：.BC=OB=1,

故答案為：15°,1.

19.如圖，AB為。。的直徑，弦CD14B于點E,點尸在圓上，且DF=CD,BE=2,CD=8,CF交力B于點

【分析】連接c。、DO,并延長。。交CF于，，由垂徑定理可知CE,在Rt^COE中，可以求出半徑C。的長；

又由CF=CD和垂徑定理得=根據圓周角定理可得NCFD=/COB,從而可知COSNCFD,

在Rt△DHF中可求出FG,也就可求得C尸的長度；在Rt△DHF中利用勾股定理求出OH,再求出。H=DH-OD,

同樣地，在RSOG”中利用余弦函數求出。G,從而可求得4G=Q4-0G.

【詳解】解:"BE=2,CD=8,CDLAB,

CE=DE=4,CB=BD,

連接C。，設CO=r,則。E=r-2,

在RtZ\COE中，CE2+0E2=C02,

解得：r=5,

???CO=5,OE=3,

并延長D。交CF于H,

■■■DF=CD,

.-.DF=CD,

由垂徑定理可知，OH1CF,FH=#F,

???"FD是而所對圓周角，NCOB是前所對圓心角，且而=2前,

Z-CFD=Z.COB,

OE3

???cosZ-CFD=cos乙COB

DF=CD=8,

324

FH=DF-coszCFD=8x-=—,

???CF=2FH=y：

22

由勾股定理得：DH=y/DF-FH=Y'

7

OH=DH-OD=-f

???乙HOG=(BOD=^COB,

3

???cosZ-HOG=cos乙COB=

“OH7

OG=------=—,

cosZ.HOG3

o

■.AG=OA-OG=^.

【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理，直角三角形中的余弦三角函數，通過構造輔助線,

利用垂徑定理和圓周角定理是解題關鍵.

20.如圖在。。中，48是直徑，P為2B上一點（點尸不與4,8兩點重合），弦MN過點P,Z.NPB=45°.

（1）若AP=2,BP=6,則MN的長為.

（2）當點尸在4B上運動時（保持NNPB=45。不變），則皿乎=

【答案】2V14|

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質和判定，完全平方公式等知識點，關鍵是

作輔助線構造直角三角形，應用垂徑定理，勾股定理來解決問題.

（1）作。H1MN于H,得到HN=MH,由4P=2,BP=6,得到圓的半徑長，由△POH是等腰直角三角形,

得到。H的長，由勾股定理求出NH的長，即可得到MN的長.

(2)由PM=MH-PH=NH-OH,PN=NH+PH=NH+OH,得到PM?=(可”-。“)2(NH+OH)2

+PN2+

22

=2(NH+OHy因此。"2+可"2=。%2=。42,得至!]PM2+PN2=2O42,即可解決問題.

【詳解】解：（1）作。H_LMN于H,

■■.AB=AP+PB=8,

ON=4,P0=OA-AP=4-2=2,

???乙NPB=45°,

...△POH是等腰直角三角形,

???OH=爭。=VL

???NH=JON2-OH2=V14>

???MN=2NH=2V14，

故答案為：2VH.

(2)由(1)知MH=NHQH=PH,

PM=MH-PH=NH-OH.PN=NH+PH=NH+OH,

???PM2+PN2=(NH-OH)2+(NH+OH)2=2(加+0吟,

???OH2+NH2=ON2=OA2,

PM2+PN2=2OA2,

「842=(2。4)2=4。42,

PM2+PN21

AB2-=2，

故答案為：p

21.如圖，AB為O。的直徑，AB=10,BC=6,。為弧AC上一動點，連結BD,CD,作CE1CD交BD于￡,

連結0E.

(1)當。為弧4C的中點時，BE=；

(2)當。在弧AC上運動時，0E的最小值為.

【答案】苧I

【分析】(1)利用垂徑定理結合勾股定理求出49BD,證明△DCEs/i4BC,即可解答；

(2)過8作4B垂線交47延長于G,設以BG為直徑的圓的圓心為8,連接0H,證明點B,E,C,G四點共圓，則

可得E在以BG為直徑的一段圓弧上.當點。三點共線時，0E有最小值，求出

CG,BG,再利用三角形中位線求出。”即可求解.

【詳解】解：（1）連接。D/D,

?■D為公的中點，

.-.OD1AC,

.?/為4c中點.

?MB為直徑，

.-.^ACB=90°,

■■AC=y/AB2-BC2=V102-62=8,

.-.AF=4.

為AB中點，尸為AC中點，

-，OF=^BC=3,

：.DF=2,

■■AD=JAF2+DF2=2V5-

■：/.ADB=90°,

■■BD=YJAB2-AD2=4V5.

'.'Z-BAC=乙BDC,乙ACB=Z-DCE,

???△DCE?AABC.

DC_AC

^~DE~~ABf

.-.DE=%

2

.-.BE=^-.

2

(2)過5作48垂線交/C延長于G,設以BG為直徑的圓的圓心為連接0”,

Z-BAC+Z-ABC=2CBG+Z-ABC=90°,Z.BAC=乙BDC,

：.Z-BAC=乙CBG,

Z.BDC=乙CBG,

???乙EBC+乙BCE=(CED,乙CED+乙BDC=90。,

???乙EBG+Z.ECG=(EBC+乙BCE+乙CBG+乙BCG=180°,

???