極點、極線極點與極線考點一1.極點與極線的定義過點P(x0，y0)的動直線交圓錐曲線于A，B兩點，過A，B的切線交點的軌跡叫做點P關于圓錐曲線的極線，點P叫做相應于此極線的極點，簡稱極.一個極點與其對應的極線稱作一對配極元素，它們之間的關系稱作一對配極關系.2.極點、極線與圓錐曲線的位置關系如圖(1)，若極點P在圓錐曲線外，則相應的極線l與點P的切點弦重合，即相應的極線l是由點P向圓錐曲線所引的兩條切線的切點弦所在直線，極線l與圓錐曲線有兩個交點；如圖(2)，若極點P在圓錐曲線內，則極線l是圓錐曲線經過點P的弦的兩端點處的兩條切線交點的軌跡，此時，極線l與圓錐曲線相離，它們無交點；如圖(3)，若極點P在圓錐曲線上，則相應的極線l與在點P處的切線重合，即相應的極線l就是圓錐曲線在點P處的切線，極線l與圓錐曲線有唯一交點.

例1√√√對于A，點P與圓的位置關系有三種，不妨設點P(x0，y0)在圓C的外部，兩切點分別為T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，兩條切線的方程分別為xix+yiy=r2(i=1，2)，∵P(x0，y0)在切線上，∴x0x1+y0y1=r2，x0x2+y0y2=r2，∴T1(x1，y1)，T2(x2，y2)在直線x0x+y0y=r2上，由兩點確定一條直線知直線T1T2的方程為x0x+y0y=r2，A正確；對于B，極線l與橢圓相交，且為由點P向橢圓所引兩條切線的切點弦所在直線，設兩切點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，兩條切線的方程分別為

規律方法

規律方法(3)從幾何角度看，如圖，設P是不在圓錐曲線上的一點，過P點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E，F，G，H，連接EH，FG交于N，連接EG，FH并延長，延長線交于M，則直線MN為點P對應的極線.若P為圓錐曲線上的點，則過P點的切線即為極線.由圖同理可知，PM為點N對應的極線，PN為點M對應的極線.因而將△MNP稱為自極三角形.

跟蹤演練1

考點二極點與極線的性質及應用

例2

(2)設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)，并求出該定點的坐標.

規律方法

規律方法(3)如圖3，A，B為圓錐曲線Γ的一條對稱軸l上的兩點(不在Γ上)，若A，B關于Γ調和共軛，過點B任作Γ的一條割線，交Γ于P，Q兩點，則∠PAB=∠QAB.(4)如圖4，已知點Q在圓錐曲線Γ的對稱軸上，直線l垂直于該對稱軸，過點Q作直線交Γ于點M，N，P為l上任意一點.若點Q與直線l是Γ的一對極點與極線，當對稱軸是x軸時，kPM+kPN=2kPQ.規律方法

規律方法(6)如圖6，設圓錐曲線Γ的一個焦點為F，與F相應的準線為l.若過點F的直線與圓錐曲線Γ相交于M，N兩點，則Γ在M，N兩點處的切線的交點Q在準線l上，且FQ⊥MN；反之，若過準線l上一點Q作圓錐曲線Γ的兩條切線，切點分別為M，N，則直線MN過焦點F，且FQ⊥MN.

跟蹤演練2

(2)過點P(4，1)的動直線l與橢圓C相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取點Q，滿足|AP||QB|=|AQ||PB|，證明：點Q總在某定直線上.

√拓展練習思維提升

√

√

4.已知圓M：x2+y2-2x-2y-2=0，且直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM||AB|最小時，直線AB的方程為A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0√

5.(多選)已知直線l：ax+by-r2=0與圓C：x2+y2=r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是A.若點A在圓C上，則直線l與圓C相切B.若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C.若點A在圓C外，則直線l與圓C相離D.若點A在直線l上，則直線l與圓C相切√√√顯然對于圓C，以A(a，b)作為極點，那么極線就是l：ax+by-r2=0，若極點A在圓C上，則極線l為圓C的切線，故A正確；若極點A在圓C內，則極線l與圓C相離，故B正確；若極點A在圓C外，則極線l是圓C的切點弦，與圓C相交，故C錯誤；若極點A在直線l上，這時極線恰好為切線，極點為切點，故D正確.

√√√

7.過點P(-2，3)作圓C：x2+(y-2)2=4的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為

.

2x-y+6=0切點弦AB所在的直線就是點(-2，3)關于圓C的極線，其方程為-2x+(3-2)(y-2)=4，即2x-y+6=0.8.已知直線l：y=kx+2與圓C：(x-1)2+y2=9交于A，B兩點，過A，B分別作圓C的兩條切線l1和l2，直線l1和l2交于點P，則線段PC長度的最小值是

，線段PC最短時，四邊形PACB

的面積是

.

如圖，設P(m，n)，則切點弦AB所在直線的方程即點P關于圓C的極線方程，為(m-1)(x-1)+ny=9，這與直線l：y=kx+2是同一條直線，由于l：y=kx+2過點(0，2)，故點(0，2)在切點弦AB上，因此(m-1)(0-1)+2n=9，即m-2n+8=0.由此知，點P的軌跡方程是x-2y+8=0，記為l3.于是|PC|的最小值就是點C(1，0)到直線l3：x-2y+8=0的距離，

(2)設△MAB的面積為S，試求S的最小值.

10.