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文檔簡介
1.4.1角平分線的性質(zhì)第1章直角三角形湘教版數(shù)學(xué)8年級下冊(公開課課件)授課教師:********班級:********時(shí)間:********一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)學(xué)生能夠理解直角三角形的定義,掌握直角三角形的性質(zhì)和判定定理。熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理進(jìn)行相關(guān)計(jì)算和證明。過程與方法目標(biāo)通過觀察、猜想、操作、驗(yàn)證等過程,培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力和邏輯推理能力。體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體驗(yàn)成功的喜悅,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識和勇于探索的精神。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)直角三角形的性質(zhì)和判定定理。勾股定理及其逆定理的應(yīng)用。難點(diǎn)勾股定理及其逆定理的證明。靈活運(yùn)用直角三角形的知識解決實(shí)際問題。三、教學(xué)方法講授法:系統(tǒng)講解直角三角形的概念、性質(zhì)和定理,確保學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識。啟發(fā)式教學(xué)法:通過設(shè)置問題情境,引導(dǎo)學(xué)生思考、探索,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。小組合作法:組織學(xué)生進(jìn)行小組討論和合作探究,培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和交流能力。練習(xí)法:通過針對性的練習(xí)題,鞏固學(xué)生所學(xué)知識,提高學(xué)生的解題能力。四、教學(xué)過程(一)導(dǎo)入新課(5分鐘)展示一些生活中常見的直角三角形圖片,如直角三角板、建筑物的支架等,讓學(xué)生觀察并感受直角三角形的特點(diǎn)。提問:在這些圖形中,你能發(fā)現(xiàn)什么共同的特征?引出直角三角形的定義:有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形。(二)知識講解(20分鐘)直角三角形的性質(zhì)直角三角形的兩個(gè)銳角互余。引導(dǎo)學(xué)生通過三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行證明。已知三角形內(nèi)角和為180°,在直角三角形中,有一個(gè)角是90°,那么另外兩個(gè)銳角之和為180°-90°=90°,即兩個(gè)銳角互余。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。利用矩形的性質(zhì)來推導(dǎo)。將直角三角形補(bǔ)成一個(gè)矩形,因?yàn)榫匦蔚膶蔷€相等且互相平分,所以直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。直角三角形的判定有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。讓學(xué)生根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行推理證明。如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角互余,那么這兩個(gè)角的和為90°,則第三個(gè)角為180°-90°=90°,所以這個(gè)三角形是直角三角形。勾股定理內(nèi)容:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)。證明:介紹常見的證明方法,如趙爽弦圖法。通過拼圖,利用圖形面積之間的關(guān)系來證明勾股定理。勾股定理的逆定理內(nèi)容:如果三角形的三邊長a,b,c滿足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\),那么這個(gè)三角形是直角三角形。證明:采用構(gòu)造法,構(gòu)造一個(gè)直角三角形,使其兩直角邊分別為a,b,根據(jù)勾股定理,其斜邊長為\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\),因?yàn)橐阎猏(a^{2}+b^{2}=c^{2}\),所以這個(gè)構(gòu)造的直角三角形的斜邊為c,與原三角形三邊對應(yīng)相等,根據(jù)SSS(邊邊邊)全等判定定理,原三角形與構(gòu)造的直角三角形全等,所以原三角形是直角三角形。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過操作、驗(yàn)證等方式,探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.(難點(diǎn))2.能運(yùn)用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題.
(重點(diǎn))5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解挑戰(zhàn)第一關(guān)情境引入問題1:在紙上畫一個(gè)角,你能得到這個(gè)角的平分
線嗎?
用量角器度量,也可用折紙的方法.問題2:如果把前面的紙片換成木板、鋼板等,還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎?提煉圖形
問題3:如圖,是一個(gè)角平分儀,其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線,你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS,兩全等三角形的對應(yīng)角相等.尺規(guī)作角的平分線ABOMNC畫法:1.以O為圓心,適當(dāng)長為半徑作弧,交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N.2.分別以M,N為圓心.大于1/2MN的長為半徑作弧.兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于C.3.作射線OC.射線OC即為所求.ABMNC為什么OC是角平分線呢?OO已知:OM=ON,MC=NC。求證:OC平分∠AOB。證明:連接CM,CN
在△OMC和△ONC中,
OM=ON,
MC=NC,
OC=OC,
∴△OMC≌△ONC(SSS)
∴∠MOC=∠NOC
即:OC平分∠AOB自學(xué)檢測:如下圖:用尺規(guī)過點(diǎn)C畫直線L的垂線。怎么畫呢?自學(xué)檢測:若點(diǎn)C在L外呢?互相交流一下,看這個(gè)問題能不轉(zhuǎn)化為“畫線段垂直平分線”的問題呢?自學(xué)檢測:復(fù)習(xí)引入1.角平分線的概念一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的平分線.OBCA122.下圖中能表示點(diǎn)P到直線l的距離的是
.線段PC的長PlABCD3.下列兩圖中線段AP能表示直線l1上一點(diǎn)P到直線l2的距離的是
.AAPPl1l2l1l2圖1圖2圖1角平分線的性質(zhì)如圖,任意作一個(gè)角∠AOB,作出∠AOB的平分線OC.在OC上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P畫出OA,OB的垂線,分別記垂足為D、E,測量PD,PE并作比較,你得到什么結(jié)論?在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.PAOBCDEPD=PE作圖探究驗(yàn)證結(jié)論已知:如圖,∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證:PD=PE.PAOBCDE證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中,∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,OP=OP,∴△PDO
≌△PEO(AAS).∴PD=PE.一般情況下,我們要證明一個(gè)幾何命題時(shí),可以按照類似的步驟進(jìn)行,即1.明確命題中的已知和求證;2.根據(jù)題意,畫出圖形,并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證;3.經(jīng)過分析,找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑,寫出證明過程.
性質(zhì)定理:
角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件:(1)角的平分線;(2)點(diǎn)在該平分線上;(3)垂直距離.定理的作用:
證明線段相等.應(yīng)用格式:∵OP
是∠AOB的平分線,∴PD=PE(在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等).推理的理由有三個(gè),必須寫完全,不能少了任何一個(gè).知識要點(diǎn)PD⊥OA,PE⊥OB,BADOPEC典例精析例
已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證:EB=FC.ABCDEF分析:先利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF,再利用“HL”證明Rt△BDE
≌Rt△CDF.ABCDEF證明:∵AD是∠BAC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,∴
DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE
和Rt△CDF中,DE=DF,BD=CD,∴Rt△BDE
≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是
.ABCD3E1.如圖,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足分別是E,F(xiàn),DE=DF,∠EDB=60°,則∠EBF=
度,BE=
.60BFEBDFACG3.已知用三角尺可按下面方法畫角平分線:在已知∠AOB的兩邊上,分別取OM=ON,再分別過點(diǎn)M,N作OA,OB的垂線,交點(diǎn)為P,畫射線OP,則OP平分∠AOB.為什么?AOBMNP解:在△MOP和△NOP中,
OM=ON,
OP=OP,∴△MOP≌△NOP(HL).∵△MOP≌△NOP,∴∠MOP=∠NOP,即OP平分∠AOB.1.操作測量:取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置,分別過點(diǎn)P作PD⊥OA,PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足,測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表:2.觀察測量結(jié)果,猜想線段PD與PE的大小關(guān)系,寫出結(jié):__________
PDPE第一次第二次第三次
COBAPD=PEpDE實(shí)驗(yàn):OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P是射線OC上的
任意一點(diǎn)猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)驗(yàn)證猜想已知:如圖,∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證:PD=PE.PAOBCDE證明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中,∠PDO=∠PEO,∠AOC=∠BOC,OP=OP,∴△PDO
≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等
性質(zhì)定理:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件:(1)角的平分線;(2)點(diǎn)在該平分線上;(3)垂直距離.定理的作用:
證明線段相等.應(yīng)用格式:∵OP
是∠AOB的平分線,∴PD=PE推理的理由有三個(gè),必須寫完全,不能少了任何一個(gè).知識要點(diǎn)PD⊥OA,PE⊥OB,BADOPEC例1:已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證:EB=FC.ABCDEF證明:
∵AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,∴
DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE
和Rt△CDF中,DE=DF,BD=CD,∴Rt△BDE
≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典例精析例2:如圖,AM是∠BAC的平分線,點(diǎn)P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=______cm.BACPMDE4溫馨提示:存在兩條垂線段———直接應(yīng)用典例精析1.應(yīng)用角平分線性質(zhì):存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì):面積周長條件知識與方法利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解
DA.
B.
C.
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