1.4.1角平分線的性質第1章直角三角形湘教版數學8年級下冊（公開課課件）授課教師：********班級：********時間：********一、教學目標知識與技能目標學生能夠理解直角三角形的定義，掌握直角三角形的性質和判定定理。熟練運用勾股定理及其逆定理進行相關計算和證明。過程與方法目標通過觀察、猜想、操作、驗證等過程，培養學生的自主探究能力和邏輯推理能力。體會從特殊到一般的數學思想，提高學生分析問題和解決問題的能力。情感態度與價值觀目標讓學生在數學學習中體驗成功的喜悅，激發學生學習數學的興趣。培養學生的合作交流意識和勇于探索的精神。二、教學重難點重點直角三角形的性質和判定定理。勾股定理及其逆定理的應用。難點勾股定理及其逆定理的證明。靈活運用直角三角形的知識解決實際問題。三、教學方法講授法：系統講解直角三角形的概念、性質和定理，確保學生掌握基礎知識。啟發式教學法：通過設置問題情境，引導學生思考、探索，培養學生的思維能力。小組合作法：組織學生進行小組討論和合作探究，培養學生的合作意識和交流能力。練習法：通過針對性的練習題，鞏固學生所學知識，提高學生的解題能力。四、教學過程（一）導入新課（5分鐘）展示一些生活中常見的直角三角形圖片，如直角三角板、建筑物的支架等，讓學生觀察并感受直角三角形的特點。提問：在這些圖形中，你能發現什么共同的特征？引出直角三角形的定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形。（二）知識講解（20分鐘）直角三角形的性質直角三角形的兩個銳角互余。引導學生通過三角形內角和定理進行證明。已知三角形內角和為180°，在直角三角形中，有一個角是90°，那么另外兩個銳角之和為180°-90°=90°，即兩個銳角互余。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。利用矩形的性質來推導。將直角三角形補成一個矩形，因為矩形的對角線相等且互相平分，所以直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。直角三角形的判定有一個角是直角的三角形是直角三角形。有兩個角互余的三角形是直角三角形。讓學生根據三角形內角和定理進行推理證明。如果一個三角形中有兩個角互余，那么這兩個角的和為90°，則第三個角為180°-90°=90°，所以這個三角形是直角三角形。勾股定理內容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)。證明：介紹常見的證明方法，如趙爽弦圖法。通過拼圖，利用圖形面積之間的關系來證明勾股定理。勾股定理的逆定理內容：如果三角形的三邊長a，b，c滿足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么這個三角形是直角三角形。證明：采用構造法，構造一個直角三角形，使其兩直角邊分別為a，b，根據勾股定理，其斜邊長為\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)，因為已知\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，所以這個構造的直角三角形的斜邊為c，與原三角形三邊對應相等，根據SSS（邊邊邊）全等判定定理，原三角形與構造的直角三角形全等，所以原三角形是直角三角形。學習目標1.通過操作、驗證等方式，探究并掌握角平分線的性質定理.（難點）2.能運用角的平分線性質解決簡單的幾何問題.

（重點）5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理9布置作業學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解挑戰第一關情境引入問題1：在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分

線嗎？

用量角器度量，也可用折紙的方法．問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？提煉圖形

問題3：如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據是SSS，兩全等三角形的對應角相等.尺規作角的平分線AＢＯＭＮＣ畫法：１．以Ｏ為圓心，適當長為半徑作弧，交ＯＡ于點Ｍ，交ＯＢ于點N．２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于1/2ＭＮ的長為半徑作弧．兩弧在∠ＡＯＢ的內部交于Ｃ．３．作射線ＯＣ．射線ＯＣ即為所求．AＢＭＮＣ為什么OC是角平分線呢？OＯ已知：OM=ON，MC=NC。求證：OC平分∠AOB。證明：連接CM,CN

在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，

∴△OMC≌△ONC（SSS）

∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB自學檢測：如下圖：用尺規過點Ｃ畫直線Ｌ的垂線。怎么畫呢？自學檢測：若點Ｃ在Ｌ外呢？互相交流一下，看這個問題能不轉化為“畫線段垂直平分線”的問題呢？自學檢測：復習引入1.角平分線的概念一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.OBCA122.下圖中能表示點P到直線l的距離的是

.線段PC的長PlABCD3.下列兩圖中線段AP能表示直線l1上一點P到直線l2的距離的是

.AAPPl1l2l1l2圖1圖2圖1角平分線的性質如圖，任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC.在OC上任取一點P,過點P畫出OA,OB的垂線，分別記垂足為D、E，測量PD，PE并作比較，你得到什么結論？在OC上再取幾個點試一試.PAOBCDEPD=PE作圖探究驗證結論已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據題意，畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證；3.經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程.

性質定理：

角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.應用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE（在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.知識要點PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC典例精析例

已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分線的性質定理得到DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE

≌Rt△CDF.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是

.ABCD3E1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG3.已知用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON,再分別過點M,N作OA,OB的垂線，交點為P，畫射線OP,則OP平分∠AOB.為什么？AOBMNP解：在△MOP和△NOP中，

OM=ON，

OP=OP，∴△MOP≌△NOP（HL）.∵△MOP≌△NOP，∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.1.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數據填入下表：2.觀察測量結果，猜想線段PD與PE的大小關系，寫出結：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE實驗：OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的

任意一點猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質驗證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等

性質定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.應用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.知識要點PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC例1：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：

∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典例精析例2:如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應用典例精析1.應用角平分線性質：存在角平分線涉及距離問題2.聯系角平分線性質：面積周長條件知識與方法利用角平分線的性質所得到的等量關系進行轉化求解

DA.

B.

C.