1.4.1角平分線的性質(zhì)第1章直角三角形湘教版數(shù)學(xué)8年級下冊（公開課課件）授課教師：********班級：********時(shí)間：********一、教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)學(xué)生能夠理解直角三角形的定義，掌握直角三角形的性質(zhì)和判定定理。熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理進(jìn)行相關(guān)計(jì)算和證明。過程與方法目標(biāo)通過觀察、猜想、操作、驗(yàn)證等過程，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力和邏輯推理能力。體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識和勇于探索的精神。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)直角三角形的性質(zhì)和判定定理。勾股定理及其逆定理的應(yīng)用。難點(diǎn)勾股定理及其逆定理的證明。靈活運(yùn)用直角三角形的知識解決實(shí)際問題。三、教學(xué)方法講授法：系統(tǒng)講解直角三角形的概念、性質(zhì)和定理，確保學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識。啟發(fā)式教學(xué)法：通過設(shè)置問題情境，引導(dǎo)學(xué)生思考、探索，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。小組合作法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論和合作探究，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和交流能力。練習(xí)法：通過針對性的練習(xí)題，鞏固學(xué)生所學(xué)知識，提高學(xué)生的解題能力。四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）展示一些生活中常見的直角三角形圖片，如直角三角板、建筑物的支架等，讓學(xué)生觀察并感受直角三角形的特點(diǎn)。提問：在這些圖形中，你能發(fā)現(xiàn)什么共同的特征？引出直角三角形的定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形。（二）知識講解（20分鐘）直角三角形的性質(zhì)直角三角形的兩個(gè)銳角互余。引導(dǎo)學(xué)生通過三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行證明。已知三角形內(nèi)角和為180°，在直角三角形中，有一個(gè)角是90°，那么另外兩個(gè)銳角之和為180°-90°=90°，即兩個(gè)銳角互余。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。利用矩形的性質(zhì)來推導(dǎo)。將直角三角形補(bǔ)成一個(gè)矩形，因?yàn)榫匦蔚膶蔷€相等且互相平分，所以直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。直角三角形的判定有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。讓學(xué)生根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行推理證明。如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角互余，那么這兩個(gè)角的和為90°，則第三個(gè)角為180°-90°=90°，所以這個(gè)三角形是直角三角形。勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)。證明：介紹常見的證明方法，如趙爽弦圖法。通過拼圖，利用圖形面積之間的關(guān)系來證明勾股定理。勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形的三邊長a，b，c滿足\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，那么這個(gè)三角形是直角三角形。證明：采用構(gòu)造法，構(gòu)造一個(gè)直角三角形，使其兩直角邊分別為a，b，根據(jù)勾股定理，其斜邊長為\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)，因?yàn)橐阎猏(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，所以這個(gè)構(gòu)造的直角三角形的斜邊為c，與原三角形三邊對應(yīng)相等，根據(jù)SSS（邊邊邊）全等判定定理，原三角形與構(gòu)造的直角三角形全等，所以原三角形是直角三角形。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過操作、驗(yàn)證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.（難點(diǎn)）2.能運(yùn)用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題.

（重點(diǎn)）5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理9布置作業(yè)學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解挑戰(zhàn)第一關(guān)情境引入問題1：在紙上畫一個(gè)角，你能得到這個(gè)角的平分

線嗎？

用量角器度量，也可用折紙的方法．問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？提煉圖形

問題3：如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對應(yīng)角相等.尺規(guī)作角的平分線AＢＯＭＮＣ畫法：１．以Ｏ為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交ＯＡ于點(diǎn)Ｍ，交ＯＢ于點(diǎn)N．２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于1/2ＭＮ的長為半徑作弧．兩弧在∠ＡＯＢ的內(nèi)部交于Ｃ．３．作射線ＯＣ．射線ＯＣ即為所求．AＢＭＮＣ為什么OC是角平分線呢？OＯ已知：OM=ON，MC=NC。求證：OC平分∠AOB。證明：連接CM,CN

在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，

∴△OMC≌△ONC（SSS）

∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB自學(xué)檢測：如下圖：用尺規(guī)過點(diǎn)Ｃ畫直線Ｌ的垂線。怎么畫呢？自學(xué)檢測：若點(diǎn)Ｃ在Ｌ外呢？互相交流一下，看這個(gè)問題能不轉(zhuǎn)化為“畫線段垂直平分線”的問題呢？自學(xué)檢測：復(fù)習(xí)引入1.角平分線的概念一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.OBCA122.下圖中能表示點(diǎn)P到直線l的距離的是

.線段PC的長PlABCD3.下列兩圖中線段AP能表示直線l1上一點(diǎn)P到直線l2的距離的是

.AAPPl1l2l1l2圖1圖2圖1角平分線的性質(zhì)如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC.在OC上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P畫出OA,OB的垂線，分別記垂足為D、E，測量PD，PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試.PAOBCDEPD=PE作圖探究驗(yàn)證結(jié)論已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.一般情況下，我們要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，可以按照類似的步驟進(jìn)行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.

性質(zhì)定理：

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE（在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）.推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè).知識要點(diǎn)PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC典例精析例

已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE

≌Rt△CDF.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是

.ABCD3E1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG3.已知用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON,再分別過點(diǎn)M,N作OA,OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP,則OP平分∠AOB.為什么？AOBMNP解：在△MOP和△NOP中，

OM=ON，

OP=OP，∴△MOP≌△NOP（HL）.∵△MOP≌△NOP，∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.1.操作測量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE實(shí)驗(yàn)：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的

任意一點(diǎn)猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)驗(yàn)證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等

性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè).知識要點(diǎn)PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC例1：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：

∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典例精析例2:如圖，AM是∠BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應(yīng)用典例精析1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長條件知識與方法利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解

DA.

B.

C.