類型9探究性問題

壓軸例題精講

【例】有公共頂點A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點E,F分別在邊AB和AD上，

連接BF,DE,M是BF的中點，連接AM交DE于點N.

(1)線段DE與AM之間的數量關系是位置關系是_______；

(2)將圖1中的正方形AEGF繞點A順時針旋轉45°，點G恰好落在邊AB上，如圖2,其他條件不變，線

段DE與AM之間的關系是否仍然成立？并說明理由.

AFDAD

【解】(1)DE=2AMDEXAM.

(2)仍然成立.理由如下：

如圖.延長AM到點H,使MH=AM,連接BH.

G

B

??.點M是BF的中點,；.BM=FM.

又/BMH=NAMF,

/.BH=AF=AE,ZH=ZFAM,

；.AF〃BH,

/.ZFAB+ZABH=180°.

又：ZEAF+ZBAD=ZDAE+ZBAF=180°,

NABH=/DAE.又AB=AD,

△ABH^ADAE,AH=DE.

,/AH=2AM,DE=2AM.

又ZBAH=ZADE,ZBAH+ZDAN=90°,

ZADE+ZDAN=90°,

/.ZAND=90°,

即DEXAM.

1.問題提出如圖1,在△ABC中,AB=AC,D是AC的中點，延長BC至點E使DE=DB,延長ED交AB于點

F，探究徐勺值.

問題探究⑴先將問題特殊化如圖2,當/BAC=60。時,直接寫出黑的值；

⑵再探究一般情形.如圖1,證明⑴中的結論仍然成立.

問題拓展如圖3,在4ABC中,AB=AC,D是AC的中點,G是邊BC上一點，^=-(n<2),延長BC至點E,

DC71

使DE=DG,延長ED交AB于點F.直接寫出笠的值(用含n的式子表示).

2如圖，二次函數y=-$2+1”+4的圖象與x軸交于A.B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C.

點P是第一象限內二次函數圖象上的一個動點，設點P的橫坐標為m.過點P作直線PDLx軸于點D,作直線B

C交PD于點E.

⑴求A,B,C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數表達式；

(2)當4CEP是以PE為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；

⑶連接AC,過點P作直線1〃AC,交y軸于點F,連接DF.試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P,

使得CE=FD,若存在,請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由.

3.綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動.

⑴操作判斷

操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平;

操作二:在AD上選一點P,沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM,BM.

根據以上操作，當點M在EF上時，寫出圖1中一個30。的角:;

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續探究，過程如下：

將正方形紙片ABCD按照⑴中的方式操作，并延長PM交CD于點Q,連接BQ.

①如圖2,當點M在EF上時,/MBQ=°,ZCBQ=°;

②改變點P在AD上的位置(點P不與點A,D重合)，如圖3,判斷/MBQ與/CBQ的數量關系，并說明理由；

(3)拓展應用

在⑵的探究中,已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm,當FQ=1cm時直接寫出AP的長.

圖1-

APDAPD

BCBC

圖2圖3

4.在△ABC中,/ACB=90。，翌=m,D是邊BC上一點,將△ABD沿AD折疊得到仆AED,連接BE.

⑴特例發現如圖1,當m=l,AE落在直線AC上時，

①求證:/DAC=NEBC;

②填空：海勺值為二

CE

⑵類比探究如圖2,當m￥l,AE與邊BC相交時，

在AD上取一點G,使/ACG=/BCE,CG交AE于點H探究(第勺值(用含m的式子表示)，并寫出探究過程；

CE

(3)拓展運用在(2)的條件下，當機=：D是BC的中點時，若EB.EH=6,求CG的長.

圖1圖2

5.問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題:如圖①，在口ABCD中,BELAD,垂足為E,F為CD的中點，連

接EF,BF,試猜想EF與BF的數量關系，并加以證明；

獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實踐探究：⑵希望小組受此問題的啟發，將口ABCD沿著BF（F為CD的中點）所在直線折疊，如圖②，點C

的對應點為C,連接DC并延長交AB于點G,請判斷AG與BG的數量關系，并加以證明；

問題解決：⑶智慧小組突發奇想，將口ABCD沿過點B的直線折疊,如圖③，點A的對應點為A，，使A^BXC

D于點H,折痕交AD于點M,連接A，M,交CD于點N.該小組提出一個問題：若此nABCD的面積為20,邊長AB=

5,BC=2V5,,求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積.請你思考此問題，直接寫出結果.

1.實驗與探究

操作一：如圖1是一張矩形紙片，點E在邊AB上把△BCE沿直線CE翻折，使點B落在對角線AC上的點

F處，連接DF,且點E,F,D在同一直線上.

⑴若/CEB=70。廁/EDC=°;

⑵當AE=4時，求BE的長.

操作二:如圖2,矩形紙片中,AB=5,BC=4,點G是BC的中點點E是AB邊上的一動點，將ABGE沿EG所在

直線翻折得到△FEG,連接DF,則線段DF的最小值是______.

2.如圖1,矩形ABCD中,AB=10,BC=8.E為邊BC上一點，沿直線DE將矩形折疊，使點C落在AB邊的點

C處.

⑴填空AC的長為;

⑵如圖2,將ADCE沿線段AB向右平移使點C與點B重合得到△DBE,DE與BC交于點F,DB與DE

交于點G,求EF的長；

⑶在圖2中，連接GF,EE,則四邊形GEEF是平行四邊形嗎？若是，請予以證明；若不是，請說明理由.

3.已知拋物線y=ax2+bx+c關于y軸對稱，且過點((1,:)和點(2,1).);

4

⑴求拋物線的解析式；

⑵若點D(-l,p)和點E(m-Lq)在拋物線上，試比較p,q的大小；

(3)過點F(0,1)作與y軸不垂直的直線交拋物線于點A和點B，線段AB的垂直平分線交y軸于點M,試探

究需是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.

FM

4.如圖1,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,點P為線段CD上的一個動點，點P從D點出發,以每秒4個單位

長度的速度從點D向點C運動，過點P作AC的平行線交AD于點、,將4PDQ沿PQ折疊，點D落在點E

處，連接DE,AE,如圖2,設運動的時間為t秒.

(1)觀察猜想:①當點P運動時,NADE的大小是否發生變化？若發生變化，求sin/ADE的變化范圍；若不發生

變化，直接寫出sinZADE的值；

②在P點運動過程中，線段AE的最小值為(直接寫出答案)；

(2)推理探究:設△PQE與AACD的重疊部分的面積為S,請你直接寫出S與t的函數解析式，并寫出自變量

t的取值范圍；

(3)拓展延伸：延長PE交直線AC于點F，交直線BA于點G，在運動過程中，當F為EG的中點時(如圖3),

試求出t的值.

BGA

圖3

5.如圖1,M是線段AB上任意一點(不與點A,B重合)，分別以AM和BM為斜邊在AB同側構造等腰直角

三角形AMC和等腰直角三角形BMD,連接CD.取AB的中點E,CD的中點F,連接EF.

猜想驗證：

⑴如圖2,當點M與點E重合時,試判斷EF與CD之間的數量關系，并說明理由；

(2)如圖3,當點M與點E不重合時，問題

(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

⑶如圖3,若AB=2cm.線段EF是否存在最小值，若存在，請直接寫出最小值；若不存在，請說明理由.

圖2圖3

6.在學習研究完特殊的平行四邊形之后，某學習小組針對矩形中的折疊問題進行了研究.問題背景如下：在矩形

ABCD中，AB=4,BC=6.M為BC的中點,P,Q分別是AB,CD邊上的點，連接MP,MQ.

操作與發現

如圖1,WAMBP沿PM翻折，點B落在點B處，將△MCQ沿MQ翻折，點C落在點C處,連接B'C.

⑴當B'C,^BC時，小組成員發現BP=CQ,請你完成證明；

⑵如圖2，小組成員進一步發現當MB1±MC',CQ=1時，還能求出BP的值，請你求出這個值；

(3)如圖3，小組成員沿著⑵小題的思路，提出了問題“當△MBC為等邊三角形，且CQ=1.5時，求BP的長”.

請你直接寫出BP的長.

7如圖1,已知拋物線曠=-呆2+乂+4與*軸交于A,B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C,作

直線BC,點C關于x軸的對稱點是點C.

(1)求點c的坐標和直線BC的表達式；

⑵如圖2,點M在拋物線的對稱軸上，N為平面內一點，依次連接BM,CM,CN,NB,當四邊形BMCN是菱形

時，求點M坐標；

⑶如圖3,P是拋物線第一象限內一動點，過點P作x軸的平行線分別交直線BC和y軸于點Q和點E,

連接PC交直線BC于點D,連接QC,PB,設點P的橫坐標為m,AQCD的面積為Sx,APBD的面積為S?,求工

-52的最大值.

類型9探究性問題

1.問題探究(1);(2)略問題拓展一

44

問題探究⑴證明/ADF=/CDE=NCED=30。,從而證明AF:AD=AD:AB=1:2,即可得AFA;⑵取BC的中點H,連

接DH,證明△DBH^ADEC,AEDH-AEFB,再由相似三角形的性質證明結論；問題拓展利用全等三角形、相似

三角形的判定與性質即可證明.

解：問題探究⑴;

⑵證明:取BC的中點H,連接DH.

是AC的中點,

???DHAB.DH=-2AB.

TAB二AC,

???DH=DC,

JNDHONDCH.

YBD=DE,

JNDBH=/DEC.

I.ZBDH=ZEDC.

???ADBH^ADEC.

???BH=EC.

EB_3

,,EH——2■

???DH〃AB,

???AEDH^AEFB.

.FB_EB_3

"DH~EH~2

.FB_3

??AB——4■

tAF_1

"AB-4

另解1:證明/人口尸二/八8口得4ADF^AABD也可求解.

另解2:取AB的中點M,證明△ECD之△DMB也可以求解.

問題拓展早.

4

2.(l)A(-2,0),B(8,0),C(0,4)y=-|x+4(2)(4,6)(3)4或2--2

⑴根據拋物線的函數表達式求出點C,A,B的坐標，再利用待定系數法求出直線BC的函數表達式即可；⑵

易得點P(m，-加2+孤+4)過點C作CG±PD于點G，由題中已知條件可證得四邊形CODG是矩形，再利用

矩形的性質與平行線的性質得到/1=/2,結合/CGE=NBOC,可證得△CGEs^BOC,從而可求出EG,根據等腰

三角形“三線合一”可得PG=EG,然后利用PD=PG+DG建立關于m的方程，解方程即可求出m的值，據此可得點

P的坐標;(3)過點C作CHXPD于點H,易得點P(m--im2+jm+4),先求出直線AC的函數表達式,根據PF

//AC,可得直線PF的函數表達式，從而可得點F的坐標，求出OF的長，利用HL定理證明RtACHE^RtAD

OF,則有NECH=NFDO,進而得/FDO=NCBO,利用等角的正切相等，可建立關于m的方程，解方程即可求出m

的值.

解:(1)由y=—；久2+|久+4得，

當x=0時,y=4.

.??點C的坐標為(0,4).

當y=0時，—^X2+^X+4—0,

解，得-=-2,X2=8.

?.?點A在點B的左側，

???點A,B的坐標分別為A(-2,0),B(8,0).

直線BC的函數表達式為y=-|%+4.

⑵???點P在第一象限拋物線上，橫坐標為m,且PDJ_x軸于點D,

點P的坐標為(m，—1/+|m+4),=m.

13

???PD=——m7+-m+4.

42

??,點B的坐標為(8,0),點C的坐標為(0,4),

???OB=8,OC=4.

過點C作CG±PD于點G,則NCGD=90。.

???ZPDO=ZCOD=90°,

???四邊形CODG是矩形.

JCG〃OB,DG=OC=4,CG=OD=m.

AZ1=Z2.

ZCGE=ZBOC=90°,

.'.△CGE^ABOC.

tEG_CG

??CO-BO"

即吧=2

48

???EG=-m.

2

在^CPE中,TCP=CE,CG_LPE,

???PG=EG=-m.

2

.?.PD=PG+DG=-m+4.

2

131

???——7+-m+4=-m+4.

422

解，得g=4M2=0（舍去）.

m=4.

當m=4時，y=—im2+|m+4=6.

；?點P的坐標為(4,6).

(3)m的值為4或：2V5-2.

3.(1)ZABP或ZPBM或ZMBC或/BME(2)①15,15②/MBQ=NCBQ,理由略⑶*機或||cm

⑴過點M作MHLBC于點H,則易證四邊形BEMH是矩形則MH=BE根據折疊的性質可知NABP=Z.PBM

,AE=BE=AB,AB=BM,再利用正弦的定義可得sinZMBH的值從而可得/MBC=30。,結合/ABC=90。,可得

NABP=/PBM=30。從而可得/BME=30。;⑵①根據⑴中結論可得/-MBC=30。,根據HL證明RtAMBQ^RtAC

BQ,從而即可求解;②根據正方形的性質與軸對稱的性質得到對應邊相等、對應角相等.再根據HL證明RtAMBQ^

RtACBQ,從而即可得結論；(3)分點Q在線段DF上、線段CF上兩種情況進行討論，根據折疊的性質、勾股定理

即可求解.解：(1)/ABP或NPBM或/MBC或/BME.(注:任意寫出一個即可)

⑵①15,15.

?ZMBQ=ZCBQ.

(注：若沒有寫出判斷結果，但后續證明正確，不扣分)

理由如下：

:四邊形ABCD是正方形，

,>.AB=BC,ZA=ZC=90°.

由軸對稱性質彳導BM=AB,ZBMP=ZA=90°.

ZBMQ=ZC=90°,BM=BC.

：BQ是公共邊，

/.RtAMBQ^RtACBQ.

ZMBQ=ZCBQ.

(3).cm或2413cm.

4.⑴①略②1⑵m(3)V2

(1)①延長AD交BE于F,由折疊和等角的余角相等即可證明結論；②根據已知條件證明△ADC^ABEC,即

可求解；⑵延長AD交BE于F,根據折疊和等角的余角相等證明兩個角相等，并結合已知相等的角，證明△ACG

-△BCE，得比例式,即可求解；(3)根據折疊的性質,結合點D是BC的中點得三角形的中位線，根據平行得同

位角相等、內錯角相等，再利用(2)中的相似三角形得對應邊成比例，從而求出AC和CD的比值，即可求出CG

和AG的比值，設CG=x,再根據比例式、三角形全等、勾股定理，表示出各邊的長，根據EBEH=6,求出x的值，

取正值即可求解.

解：(1)①證明:延長AD交BE于點F.

B

由折疊得/-AFB=90°=乙ACB.

：.ZDAC+ZADC=ZBDF+ZEBC=90°.

ZADC=ZBDF,

ZDAC=ZEBC.

②絲二L

CE

(2)^=m.

理曲延長AD交BE于點F.

由折疊得^AFB=90°=乙ACB.

：.ZADC+ZDAC=ZBDF+ZCBE=90°.

ZADC=ZBDF,

JNDAC=NCBE.

???ZACG=ZBCE,

AAACG^ABCE.

CGAC

—=—=m.

CEBC

(3)由折疊得NAFB=9(F,BF=FE.

YD是BC的中點,

???DF〃CE.

.\ZBEC=ZBFD=90o,ZAGC=ZECG,ZGAH=ZCEA.

由(2)知^ACG^ABCE,

???ZAGC=ZBEC=90°,

AGCGACV2

——————VT——.

BECEBC2

CD

CG一八A仆DC1

?'?—=t3.Y\.Z-GAC=—=—p.

AGACV2

設CG=x，則AG=V2x,CE=岳,BE=2x.

；.AG=CE.

/.AAGH^AECH.

???AH=EH,GH=CH.

I

???GH=-x.

2

在RtAAGH中，

由勾股定理得AH=y/AG2+GH2=|x.

VEBEH=6,

???2x--x=6.

2

解得X-士企(負值舍去).

CG=V2.

5.(1)EF=BF(2)AG=BG,證明略⑶暫

⑴證法一：分別延長AD,BF交于點M,根據平行四邊形的性質可得對應角相等，結合中點得對應邊相等，

可證△MDF^ABCF，得對應邊相等，再利用直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半進行代換，可證明EF=B

F；證法二：過點F作FMXEB于點M,由已知條件結合平行線的判定得AD〃FM〃BC,由平行線分線段成比例

定理，得出EM=MB，進而由線段垂直平分線的性質得EF=BF；⑵證法一：根據折疊得對應角相等和對應邊相等，

結合中點和已知角相等進行代換，可證明四邊形DGBF是平行四邊形，等量代換后可證明AG=BG；證法二:連接C

C交FB于點N,根據折疊的性質得CCLFB,根據平行線的判定得DG〃FB,進而證得四邊形DGBF是平行四邊

形進而得出AG=BG;⑶過點M作MPLBH于點P,由折疊的性質得小BPM是等腰直角三角形根據SABCD=20

得BH的長，進而可求出AH的長，通過證明△A'HN-ACHB得NH的長，再證△AHNs^APM,進而求得HP,

MP的長,即可求出陰影部分的面積.

解:(1)EF=BF.

證法一：如圖①，分別延長AD,BF相交于點M.

AB

圖①

?/四邊形ABCD是平行四邊形；AD〃BC.

.\Z2=ZC,ZM=Z1.

為CD的中點,；.DF=CF.

AMDF^ABCF.

；.FM=FB.即F為BM的中點.

???BF=-BM.

2

VBEXAD,AZBEM=90°.

.?.在RtABEM中.EF=EF=BF.

證法二如圖①過點F作FMLEB于點M,

貝!|NEMF=90。.

VBEXAD,AZAEB=90°.

/AEB=/EMF".AD〃FM.

:四邊形ABCD是平行四邊形,AD〃BC.

4cLEMDF

?*.ADFMBC.—=—.

MBFC

；F為CD的中點,...DF=FC.

；.EM=MB.

FM_LEB,FM垂直平分EB..\EF=BF.

(2)AG=BG.

證法一：如圖②，

由折疊可知：Nl=N2=l^CFC.

FC=FC.

；F為CD的中點，FC=FD=\CD.

.*.FC'=FD..,.Z3=Z4.

1

???Z.CFC=z3+乙4,???z4="CFU.

：.N4=N1.???DG〃FB.

.?.四邊形ABCD為平行四邊形,???DC〃AB.

???四邊形DGBF為平行四邊形.

???BG=DF.：.BG=-AB.：.AG=BG.

2

證法二:連接cc交FB于N.

圖②

由折疊可知：FC'=FC,CC'±FB.

.-.乙CNB=90°.

?；F為CD的中點，;FC=FD=|CD

???FC=FD.■.zl=z2.

：FC'=FC".ZFC'C=ZFCC'.ISADC'C中，Z1+ADC'C+/.DCC=180°,

Z1+Z2+^FC'C+乙FCC=180°.

/.2Z2+2ZFC'C=180°.

/2+/FC'C=90。.ZDC'C=90°.

ZDC'C=ZC'NB.ADG〃FB.

,/四邊形ABCD是平行四邊形,DC〃AB.

四邊形DGBF是平行四邊形.

122

BG=FD.BG=^AB.：.AG=BG.(3)y

過點M作MP_LBH于點P,在nABCD中,AB〃DC.

VAB±DC,.,.ABIAB,

由折疊可知/ABM=NMBH=45。，

???APBM是等腰直角三角形,PM=PB.

又SnABCD=BHDC=5BH=20,Z.BH=4.

由折疊知A'B=AB=5,；.A'H=1.

在RtABCH中，BC=2逐，由勾股定理可得CH=2.

由/A'=/C,NAHN=/BHC=90。,可得△A'HN^ACHB,.—=—,BP-=—NH=2.

CHBH24

設HP=x，貝(]A'P=l+x,BP=MP=4-x,

???—=二一，解得x=-,

4-x1+x3

4210

MP=4--=—

33

=X5X-X1X2=

???S圓錐側=SA'MB~sArNH1Y|y_1=爭即陰影部分的面積為y

壓軸預測

L操作一。)40(2)2V5-2操作二：例—2

操作一：⑴由四邊形ABCD是矩形得CD〃AB,NDAE=90°,由翻折得/CEF=ZCEB=70°,則/AE

D=40。,所以NEDC=NAED=40。。)設BE=x,根據折疊的性質與矩形的性質得到對應邊與對應角相等，根據CD//AB

證明△DFCs^EFA根據相似三角形對應邊成比例，可建立方程求出x的值，從而可得BE的長；操作二：連接D

G,根據三角形三邊關系可知DF>DG-FG,當點F落在DG上時，線段DF=DG-FG,即DF^DG-FG,根據勾股定理求

得DG的長,即可得DF的最小值.

解:操作一：(1)40

(2)設BE=x,

由折疊得/CED=/CEB,EF=BE=x,在矩形ABCD中,CD=AB=x+4,CD〃AB,

/.ZCEB=ZDCE,

ZCED=ZDCE,?.CD=DE,

；.DE=AB,

；.DE-EF=AB-BE,即DF=AE=4.

VCD//AB,.*.ADFC^AEFA,

CD_DF

''AE-EF'

x+4_4

丁二p

解得=2V5-2,X2=-2V5-2(舍)，

；.BE=2V5-2.

操作二：V29-2.

2.(1)6(2)2(3)四邊形GEEF不是平行四邊形，理由略

(1)由△ACD為直角三角形，利用勾股定理建立方程求得AC的長;(2)由勾股定理求得BE,連接EE,由平移的性

質、相似三角形的判定和性質求得EF；(3)作輔助線，由相似三角形的性質、勾股定理、等腰三角形的性質計算出

D'F與DG的長度，從而得到GE與FE的長度關系，根據平行四邊形的判定進行判斷.

解:⑴6.

⑵由折疊可知,DC=DC=10.

在RtADAC中根據勾股定理可求得AC'=6,

.*.BC'=AB-AC'=10-6=4.

在RtABEC'中，設BE=x,

根據勾股定理，得（（8-x）2=x2+4*

解得x=3,即BE=3,EC'=EC=5.

連接EE,則由平移可知，

EE'=CB=4,且EE〃AB〃CD,

于是可得^FEE'^AFCD'^AECD,

/.EF:EE'=CE:CD=5:10=1:2.

XEE'=4,/.EF=2.

⑶四邊形GEE'F不是平行四邊形.

理由如下：

由折疊可知/CDE=/C'DE.

另由平移可知NCDE=/BDE,且DE〃D'E,于是得/BDE-NDGD,

.?"/CDE=ND'GDX[UDD'G是等腰三角形,，DD'=D'G=4.

如圖，過點D作DHLDG于點H,

貝!JDH=HG,@.ADD'H^ADEC,

貝！jD'H:DH=EC:DC=1:2.

設D'H=x，則DH=2x.

在RtADD'H中，根據勾股定理，

得比2+（2x）2=42,解得比=?，

DG=—.

5'5

而在RtADCF中,DC=DC-DD=10-4=6,

CF=CE-EF=5-2=3,

根據勾股定理可求得DF=3V5

，DG力D'F,即GE#FE',

故四邊形GEEF不可能是平行四邊形.

3.(l)y=；久2(2)當m=0或m=2時,p=q;當m<0或m>2時,p<q;當0<m<2時,p>q(3)2

⑴根據拋物線關于y軸對稱可確定b的值，再根據已知兩點求出a,C的值，即可求出拋物線的解析式；⑵先

求出點D及其關于y軸的對稱點的坐標，再根據拋物線的開口方向和對稱軸確定橫坐標的關系，列出方程或

不等式,求出m的值，從而分情況比較出p和q的大小即可；或由p-q=-；6(機-2)彳導p-q關于m的函

數，進而即可求解；或根據二次函數的圖象與性質直接求解即可；(3)設定點A,B的坐標及直線AB的解析式，

將其代入拋物線解析式，得到一元二次方程，求出方程的解(含待定系數k),即可分別求出自變量以及函數值

的和或差，再利用勾股定理、相似三角形的判定與性質即可求解；或設出A,B兩點坐標及直線AB的解析式，

將直線AB的解析式代入y=［比2中，得關于x的一元二次方程，得方程的解再設AB的垂直平分線上的任意

一點Q(x,y),再由勾股定理進而即可求解.

解:⑴：拋物線關于y軸對稱,，b=0.

又...拋物線過點(1,；),(2,1),

??Ja+c/解得卜.

14a+c=1,1c=0,

???拋物線的解析式為y=i%2.

4

(2)解法一:：點D(-l,p)在拋物線y="2上，...「=*

???拋物線圖象開口向上，且點D(-0關于y軸的對稱點的坐標為((1,

由圖象可知，

當m-l=l或即當m=2或m=0時,p=q;當或即當m<0或m>2時p<q;當即0<m

<2時,p>q,

當m=0或m=2時p=q;當m<0或m>2時p〈p;當0<m<2時,p>q.

解法二：p-q=：-：(7H-1)2

44

=—^m(m—2).

把p-q看成關于m的函數，由圖象可知，

當m=0或m=2時,p=q;

當m<0或m>2時,p<q；

當0<m<2時,p>q.

解法三：二次函數y=開口向上，對稱軸為y軸，

拋物線y=：/上距離y軸越遠的點，函數值越大.

:點D到y軸距離為1,

..?由圖象可知，

當m-l=±l,即m=0或m=2時,p=q;

當或即m<0或m>2時,p<q;

當--km-lvl,即0<mv2時,p>q.

(3)解法一：器為定值，且定值是2.

設A0),B(X2,y2)，直線AB的解析式為y=kx+l(k#O).

把y=kx+1代入y=*中，得與-4依-4=0.

???△=16k2+16>0,

???/=2k+27k2+I,%2=2k—27k2+1,

2

貝［JXi+x2=4fc,yi+y2=+%2)+2=4fc+2

2

xr—x2=Zk+1,

=

y-L—y2—&)—4k7k2+1.

如圖，過點B作BNLy軸過點A作人?^〃丫軸，交點為N.

線段AB中點P的坐標為(2k,2k2+1).

又???F(0,1),根據勾股定理，可得

FP=J(2/c)2+(2)2+1-1)2=|2/C|V/C2+1,

2

??.AN=\yr-y2\=|4fc|Vfc+1.

ZMPF=ZBNA=90°,ZMFP=ZBFO=ZBAN,

:?△FPMS/XANB,

.AB_AN_|4/C|V/C2+1_?

??FM-FP—|2fc|Vfc2+l.'

解法.二：籌為定值，且定值是2.

FM

設A&,yi),B(X2,y2)，直線AB的解析式為y=kx+l(k#0).

2

把y=kx+1代入y=與2中，得x_4kx—4=0.

“4

16k2+16>0,

=2fc+27k2+I,X2—2k—27k2+1,

2

貝!I+比2=4k,g+y2=k(xr+x2)+2-4fc+2

—x2=47k2+1,

7i-y2=-x2)=4k7k2+1.

設AB的垂直平分線上的任意一點Q的坐標為(x,y).

-Q4=QB,QA2=QB2.

根據勾股定理，可得

2222

(x-%!)+(y-yj=(x—x2)+(y-y2),

■■■y=■x+2k2+3.

k

令x=0彳導y=2k2+3,即M(0,2k2+3),

FM=2k2+2=2(fc2+1).

根據勾股定理，可得

AB=一久2尸+(乃一%)2

=J16(H+=4(1+1),

.AB__4(丁+1)_2

"FM~2(fc2+l)-'

2至

4.⑴①|②苔(2)S=6t(0<t<1),(3)

-18t2+48t-24(1<t<2)I)瓦

⑴①由已知條件得/ADE=/ACD,從而判斷出/ADE不發生變化并求得sin/ADE;②當AE_LDE時，AE=

放

AD-sin乙4DE,即可求解;⑵當0<t<l時，S=Sp%;當1<長2時.S=SPDQ-SEMN，利用相似三角形的性質及邊關系表

示出EM和EN的長，進而求得結果；(3)結合⑵可表示出線段的長，進而表示出PG,過點G作GHLCD于點

H,表示出PH的長，在R3GPH中利用勾股定理列方程求解即可.

解:⑴①由題意知PQ為DE的中垂線，由PQ〃AC知直線DE始終與AC垂直,/ADE=NACD,

AZADE的大小不會發生變化，sin乙4DE=|,

②線段AE的最小值為孩

(2)由題意知PD=4t,PC=8-4t,當點E剛好落在AC上時，P為CD的中點，如圖1,

BA

PD

圖1

4t=4,t=l.

當0<t<l時，S=[x3tx4t=6t2；當l<t<2時，如圖2,

Q

設EQ,PE分別交AC于點N,M.

由折疊知N1=N2.

VPQ//AC,/.Z1=Z4,Z2=Z3,

N3=N4,???PC=PM=8-4t,???EM=8t-8.

同理(QN=QA=6-3t,EN=6t-6,

?*-S=6t2——(St-8),(6t—6)

=-18產+48t—24,

[6/(0<t<1),

"-l-18t2+48t-24(1<t<2).

(3攻口圖3,由題意知PD=PE=4t,PC=PF=8-4t,二EF=FG=GA=8-8t,；.PG=16-12t.

過點G作GHLCD于點H,

則DH=8-8t,PH=12t-8,

...在RtAGPH中,62+（12t-8產=（16-12t「解得t=

16

5.（1）CD=2EF,理由略（2）成立，證明略⑶j

⑴利用直角三角形斜邊中線的性質證明即可；（2）延長AC交BD的延長線于點G,連接GM,,利用矩形

的性質，直角三角形斜邊中線的性質求解即可；（3）根據CD=2EF,CD=MG>EG求解EF的最小值.

解:⑴CD=2EF.

理由如下：

VAAMC和4BMD都是等腰直角三角形，

ZACM=ZMDB=90°,AC=MC,MD=BD,

N4=^AMC=|(180°-^ACM)=45。，

乙DMB=AB=j(180°-4MDB)=45",

ZCMD=180°-ZAMC-ZDMB=90°.

：F是CD的中點.

MF=|CD,gPCD=2MF.

:點M與點E重合，

；.MF=EF,；.CD=2EF.

⑵成立.

證明：如圖，延長AC交BD的延長線于點G,連接GM,GE.

AAMC和4BMD都是等腰直角三角形，

ZACM=ZMDB=90°,AC=MC,MD=BD,

1

N4=^AMC=j(180°-ZXCM)=45。，

乙DMB=ZB=j(180°-4MDB)=45",

ZMCG=ZAGB=ZGDM=90°,AG=BG,

四邊形MCGD是矩形，△AGB是等腰直角三角形,

/.GM=CD.

：E是AB的中點,，GEJ_AB,

.-./.AEG=90°.

是CD的中點,；.F是GM的中點.

在RtAMEG中,F是GM的中點，

EF=^1GM1,：.EF="，即CD=2EF.

⑶3

6.(1)略⑵|(3)1573-24

(1)由等邊對等角得.NMB'C'=NMC'B',,由B'C〃BC得.AMB'C=乙BMB'/MC'B'=乙CMC；再利用等腰

三角形兩底角相等和折疊的性質得到NBMP=NCMQ,通過三角函數的定義可證得BP=CQ；⑵延長PM與D

C,延長線交于點E，作QFXME于點F,由折疊及對頂角相等可得/QME=45。,在RtACMQ中，利用勾股定理求出

MQ的長，設BP=x,易證得△CME四△BMP,表示出QE,QF,ME的長，再利用等面積法列方程解出x的值，即可

得至I」BP的長度；⑶延長QM交AB的延長線于點H,作PNXMH于點N.由折疊及對頂角相等可得/PMH=6

0。,在RtACMQ中，利用勾股定理求出MQ的長，設BP=x,易證得△CMQgZ\BMH,表示出PN,MH,PH的長，再利

用等面積法列方程解出x的值，即可得到BP的值.

解:⑴證明:：M為BC的中點,；.MB=MC.

由折疊知B'M=BM,C'M=CM,

MB'=MC,乙MBC=乙MCE.

,.?B'CWBC,

.-./.MB'C==/.CMC,

：.乙BMB'=乙CMC'.

由折疊可知，/-PMB=|乙BMB',乙CMQ=|乙CMC',

：.ZBMP=ZCMQ.

四邊形ABCD是矩形,ZB=ZC=90°.

在RtABMP和RtACMQ中可得，tan/BMP=翳,tan/CMQ=篙.

MB=MC,ZBMP=ZCMQ,.\BP=CQ.

⑵如圖所示，延長PM與DC,延長線交于點E,作QFJ_ME于點F.

VMB'XMC,

.-.乙BMB'+/.CMC=90°.

再由折疊及對頂角相等可得/QME=45。.

：BC=6,M是BC的中點

/.BM=CM=3.

在RtACMQ中，由勾股定理得

MQ=^CQ2+CM2=Vl2+32=V10,

設BP=x，在RtABPM中,由勾股定理得

PM2=BP2+BM2=x2+9.

在4CME和^BMP中，

"?ZCME=ZBMP,CM=BM,

ZMCE=ZMBP=90°,

/.△CME^ABMP,

???CE=BP=x,ME2=MP2=/+9.

在RtA