考點精煉--向量運算的技巧專項練

2025年高考數學二輪復習備考

一、單選題

1.如圖，在VABC中，AN=〈AC,尸是BN的中點，若=+則根+〃=()

2.已知ABC的外接圓圓心為。，S.2AO=AB+AC，\OA\=\AB\,則向量在向量8c上的投影向

量為()

A.-BCB.昱BCC.--BCD.一立BC

4444

19

3.已知△ABC是邊長為1的正三角形，⑷V=gNC,尸是8N上一點且AP=MA5+§AC,則APA5=

()

212

A.—B.—C.—D.1

993

4.已知正三角形A3C的邊長為2,點。滿足cr>=〃2C4+wC3，且相>0,?>0,2m+n=\,則的

取值范圍是()

A.(-?),1)B.(2,+co)C.(1,2)D.(0,2]

5.如圖，邊長為4的等邊VABC,動點尸在以BC為直徑的半圓上.若AP=2AB+〃AC,則彳+工〃

的取值范圍是()

6.在三角形ABC中，加3,AC=6,向量皿在向量AC上的投影向量為%C,尸為BC上一點,

且BP=2PC,則網=(

A.4B.V21C.s/23D.5

7.在AABC中，AB=AC=5,BC=6,尸為AABC內的一點，AP=xAB+yAC,則下列說法錯誤的

是（）

A.若P為△ABC的重心，則2x+y=lB.若P為△ABC的外心，貝1]2小8。=18

75

C.若尸為AABC的垂心，則D.若尸為AA3c的內心，則=z

168

二、多選題

8.已知點P是VABC的中線3D上一點（不包含端點）且AP=xAB+yAC,則下列說法正確的是（）

L12

A.x+2y=lB.2x+y=lC.2%+4V>272D.一+一的最小值是9

xy

三、填空題

9.在三角形Q4B中，點尸為邊A3上的一點，且AP=2P8，點。為直線。尸上的任意一點（與點O

和點尸不重合），且滿足。。=4。4+%。3,則才=.

10.如圖，已知VABC的面積為6,28AC=2,若=點及廠分別為邊AC中點，則

DFCE的最大值為.

33

11.在VABC中，AD=-DC,P是直線3。上一點，^AP=mAB+-AC,則實數機的值為____.

45

2兀

12.設點P在以A為圓心，半徑為1的圓弧BC上運動（包含B,C兩個端點），ZB4C=彳且

AP=2xAB+yAC,則x+V的最大值為.

ABAD

13.在平面四邊形ABCD中，ADuBC網+口4=-AC,BAAD=2,ZBAD=;若E、F為

2

邊瓦）上的動點，S.\EF\=43,則AE.AR的取值范圍為.

14.已知VA6C中，AB=6,AC=3,且,43+(2—22)Ac|(/lcR)的最小值為若P為邊AB上

任意一點，則尸PC的最小值是

ABAC1

⑸已知線段2M,CN為VABC的兩條內角平分線’若麗?扇二’且3cM?=■BM,則sinC

的值為.

四、解答題

16.已知VABC的內角A,B,C的對邊分別為a,6,c,向量〃?=(J^sinC,l+cosA),n=?),且7"〃n.

⑴求角A；

(2)如圖，/胡。的平分線AD交于。，AD=1,求」一+」-的取值范圍.

參考答案

1.D

因為.=^AC,所以BN=AJV-AB=LAC-AB,

22

因為尸是BN的中點，所以2尸=[BN=1AC-1A8,

242

所以AP=A8+2尸=A8+LAC-LAB=LAB+LAC,

4224

113

XAP=mAB+nAC>所以m=77，〃=7，BPm+n=—.

244

故選：D.

2.C

9JT

由向量線性運算和外接圓的特點可知AB1AC,結合模長相等關系可求得ZAOC=等，由投影向量

公式可直接求得結果.

ABC中，2A0=A2+AC，則。是BC的中點，所以BC為圓。的直徑，

則有卜=又|AO|=|A@,貝I).ABO為等邊三角形,

有乙BAC=],ZABO=pZAOC=y,向量函在向量BC夾角為與，

則向量。4在向量BC上的投影向量為|°半。$至，岡一1m.

故選：C.

3.A

Q1

根據題意得AP=，，ZAB+3⑷V,由尸，3,N三點共線求得mug,利用向量數量積運算求解即可.

由AN=』NC,得3=」AC,且Q=zn屈+2前=小通+勺前，

3499

Q1

而尸，氏N三點共線，則加+§=1,即機="

19

所以AP=§AB+§AC,

(12\122

所以APA5=-AB+-ACAB=-+-xcos60°=-.

199J999

故選：A.

A

4.C

tg?CD=mCA+nCBR2m+n=l,聯想到CD=+,從而取AC的中點，利用共線定理

即可得結果.

如圖，取AC的中點E,

連接BE,則CA=2CE,CD=mCA+nCB=2mCE+nCB,

又2〃2+〃=l,故民三點共線，

因為m>0,〃>0,所以點。在中線BE上運動（不含端點）.

在正三角形ABC中，BELAC,

則口q<「4<口耳，故口。卜（1,2）.

故選：C.

5.D

建立平面直角坐標系，可得半圓弧8c的方程為：x2+y2=4（y<0）,設P（%”）,根據向量的坐標運

算法則算出彳+g〃關于犯〃的式子，利用三角換元與正弦函數的性質求解即可.

由題意可以BC所在直線為x軸，2c的垂直平分線為>軸，建立平面直角坐標系，如圖所示:

結合已知得A（。,2右），B（-2,0）,C（2,0）,

半圓弧BC的方程為：x2+y2=4（j<0）,

設尸（〃尸），貝i]AP=（租,"一2若），AB=（-2,-2V3）,AC=（2,-273）,

“7=-24+2〃

由AP=/IAB+〃AC得:

n-273=-2732-273//

181

——m------n+—

4122

解得：

161

u=—m---〃+一

4122

所以丸+工〃=--m近124〃+*

——nH------1——m-

242

因為尸的〃）在5c上,所以4+〃2=4（〃（0）,

又（2COSO）2+（2sin°）2-4,

貝U可設m=2cos。，n—2smO,TI<0<2TI,

將相=2cos8,幾=2sing代入（*）整理得：

.11031.兀3

2+—//=——cos"------sin〃+—=——sin〃+—+—,

24442I6）4

,八?/口7兀，八兀，13兀

由兀<e<2兀得—<夕H—4—，

666

所以一"（。+汴；，*；sin,+胃+匕,

故的取值范圍是-

故選：D.

6.B

TT—.21

先由向量在向量AC上的投影向量求出入BAC=§,接著由3P=2PC求得4P=1AC+gAB,再

結合向量數量積運算律和模長公式即可計算得解.

由題得向量AB在向量AC上的投影向量為卜@cosZBAC-=|cosZBACAC=^AC,

|jr

所以COSZBAC=5，又ZBACW(O,TT),故ZBAC=§,

因為BP=2PC,所以PC=ggC,

所以AP=AC-PC=AC-§BC=AC-1(AC-AB)=]AC+§AB,

2

I.|2214.21.24

所以AP=-AC+-AB=-AC+-AB+-ACAB

1133999

4n1o47i

=-x62+-x32+-x6x3cos-=16+1+4=21,

9993

所以|A尸卜衣

故選：B.

7.B

對于A,如圖，P為AABC的重心時，延長AP交3C于點。.

22111

必有人夕=耳/1￡)=3乂3(43+40=§(48+40,即x=y=§,故有2x+y=l,即A正確;

對于B,如圖，PBBC=(AB-AP)BC=ABBC-APBC,

在RtAA5D中，AD=^52-(^)2=4,故cos/ABO=|,

3

于是AB"=|AB\-\BC\cos<AB,BC>=5x6x(--)=-18,

因AB=AC,則AP_L3C,即AP.3W=O,故尸"BC=—18,故B錯誤;

A

對于C,如圖，延長BP交AC于點E,不妨設AP=x,PE=y,

在RtA4H￡>中，5111/區4。=3,故區""￡中，sinZPAE=sinABAD=^-=-①,

5x5

119424

又SVABC=]XBCxAD=—xACxBE1,解得BE=—,故BP=——y,

247

在0Z)中，(4—x)2+9=(—―>尸②，聯立①和②，解得了=:，

54

故人P7=7(AB+AC),即尢=>=7(，則x+y=7c正確；

16323216

對于D,如圖，設VABC的內切圓半徑為一，

則由SABc=_xBCxA￡)=工x(A3+BC+C4)r解得r=3,BRAP=4--=-,

22222

故4尸=:4。=堤(48+4。)，即x=y=2,則x+y=:，D正確.

816168

故選：B.

8.ACD

2

設3P=43。(0<彳<1),利用向量線性運算表示出AP=(1-/l)AB+萬AC,即可得到x+2y=l,判斷

選項AB,然后利用基本不等式求最值，即可判斷選項CD.

由題知，設BP=/15D(O<X<1),

則AP=AB+8P=AB+

=AB+^AD-AB^=(1-A)AB+-AC,

因為AP=x4B+yAC,

1~A-=x

所以,4_,貝!Jx+2y=1,且％>0,y>0,A正確，B不正確；

2*+4-v=2'+22y>2j2g=20，

當且僅當x=2y=；時，等號成立，C正確；

又一+-二|-+-|(x+2y)

xyyxy)

=1+4+2Z+^>5+2A/4=9,

xy

2y2x1

當且僅當」=一，即x=y=:時，等號成立，D正確.

xy3

9.-/0.5

2

由題意作圖，利用平面向量的線性運算，以04。8為基底表示0P，結合共線，可得答案.

由已知OP=o/+AP=OA+[A2=OA+^(OB-OA^=-OA+-OB,

...AA4i

OQ^AyOA+^OB,0Q,OP共線，所以1=2,^~=~.

33-

故答案為：g.

10.>_運

23

根據條件先求得AB，AC的關系，然后用表示出OF,CE,根據數量積運算結合基本不等式求

解出最大值.

|ITI-

因為SVABC=—AB-ACsin—=V3,所以AB-AC=4,

。。IIO1

因為。尸=DC+CF=—3C——AC=-(AC-AB\一一AC=-AC一一AB,CE=CA+AE=-AB-AC,

323、12632

(12W1、31212

所以。產.C￡：=(kAC—5A51/45—AC—qAC--AB

=--ABACcos---AC1--AB2=---(AC2+2AB2),

436326''

因為AC?+n21AC。-2AB?=2血AB.AC=8在，

，3

AB=27「

當且僅當AC2=2A4,即工時取等號，所以AC2+2A4的最小值為80,

AC=

所以U(AC2+2A⑹的最大值為|一38應，即最大值為|一竿.

故答案為：3-逑.

23

11.--/-0.4

5

設BP=tBD，結合向量線性運算法則利用AB,AC表示AP，結合平面向量基本定理列方程求加.

因為尸是直線上一點，故可設8尸=4。，

所以AP=AB+3P=+=AB+?Ar>—AB)=(l-r)A3+rAD,,

—.3--3

又AD=—DC,所以AD=—AC,

47

3/3

所以AP=(1—"AB+7AC,XAP=mAB+-ACfA民AC不共線，

所以1T="K3t3

2

所以f=(,m=--.

5

2

故答案為：晨.

12.叵

33

建立平面直角坐標系，設P(cosasin[()2,73r]),根據平面向量線性運算得到

x+y'cos6+%叵sin。，再由輔助角公式及正弦函數的性質計算可得.

-26

建立如圖所示的直角坐標系，

(iJ3、

所以A5=（I,O）,AC=（—；,,因此有2xAB+yAC=2x--y,^~

l22

因為A尸=(cos仇sin8),AP=2xAB+yAC,

八c1

cos6/=2x——yr-

21q

所以有l=>—cosc/H-------sinc/=x+y,

.aC26

sin8=——y

2

于是有x+y=—cos0+sin0=2^1sin(^+(p)，其中tancp=，

2635

因為公吟即中考后,當。+夕="T|T時取得最大值,

3

故答案為：孚

2兀

13.

T

ABAD1

由AD=5C可知平面四邊形ABC。是平行四邊形，由囪+用=2m可知四邊形是菱形且

邊長為2,由34AO=2可知NBA。=120,即可求出相關的角度和長度，再利用向量極化恒等式,

即可求解.

如圖，設AG3D交于。，.不妨設E點到3點的距離大于F點到3點的距離，

因為AO=BCnAD=3C且AD〃2C,

所以平面四邊形ABCD是平行四邊形,

ABAD

設=<V,|AD|=*所以網卡網

所以絲+處」AC=J_(AB+AO)」AB+LAO,

ab22^>22

所以a=Z?=2,則平面四邊形A5C￡)是菱形，

又BA-AD=2，所以5A,AD=|BA|-|AZ)|COS(71-NBA。)=-2x2cosNBA。=2,

127r

所以cos/R4O=—5,又NBAZ)￡(0,7i),則NR4O=3-,

jr

所以/AD5=ZABD=ZCDB=NCBD=-,

所以BO=2OD=2AD-cos30=2x2x^-=2V3,

2

設EF的中點為尸，貝I]AE=AP+PE,AF=AP+PF=AP-PE,

/I|、2

22I|2Q

所以AE-AF=AP~-PE-=|AP|-1^\AP9\~~-,

又易知|AP|的最小值為M=l,最大值為圖+仔=*

3173

所以4E4的最小值為1-/“最大值為二廠1，

所以AE-A/的取值范圍為

27rF1

故答案為：y,-J

81

14.

16

設N84C=6,應用向量數量積運算律得,48+(2-22)4。=小72(1-cose)U-g)2-；]+36,結合最

小值可得。帶，進而得到CgB%,再建立合適的坐標系，應用坐標法求明女的最小直

設Z6AC=。,

且\AAB+(2-22)AC|=J|/IAB|*2+22(2-2A)|AB||AC|COS6>+|(2-2A)AC|2

=73622+722(1-2)cos(9+36(1-/I)2=7722(2-1)-722(2-1)cos6?+36

=J72(1-COS6?)[(/1-1)2-^]+36>，18+18cos6>,

當且僅當2=；時等號成立，又k48+(2-22)&4(/1€：1<)的最小值為33,

所以J18+18cos6=3百ncos6=L,又。€(0,兀)，則的C=6=工，

23

應用余弦定理有BC=y]AB2+AC2-2AB-ACcos0=J36+9—18=34，

綜上，AB2=AC2+BC2,故C=],則8=v，如下建立平面直角坐標系,

則A(0,0),8(6,0),C(|,孚),P(x,0)且尤€(0,6),

所以P8-PC=(6-x,0>(3-x,M)=x2-"x+9=(x-")2-^N-q,

22241616

1CQI

當且僅當x=9時等號成立，故尸2.PC最小值為-3.

416

Q1

故答案為：

16

15.逑/3石

77

可以先利用數量積定義得到角4然后利用數量積定義和正弦定理轉化條件，再綜合利用三角變換知

識得到結果.

.ABAC\AB\\AC\,1

由---------=---------cosA=cosA4=一,所以A=60。.

\AB\\AC\\AB\\AC\2

因為3CN-2M，

所以31CN|?|EW1905(180。-0^)=|CB|.|BM|-cos(180°-1),

IP3|CW|-cos(180°-60°)=-|CB|cos-|,則||CN|=|CB|cos，.

B

cos—

|CN|_sinBsin3___2

在△CBN中應用正弦定理,

|CB|sin(B+y)sin(120°-y3

2

所以m皿8=5111(120。-5)85:1,又COsgWO,

所以3sin?=sin(120°--1),即3sin(60。—1)=sin(120°-§,

展開3(里。sC」sin馬=旦矣+、￡,

22222222

cc

2sin—cos—2tan—2x~y_4^

整理可得tanC=3,sinC=222

所以cos^sin^1+tan2c7

22+

2221+

故答案為：手

71

16.⑴孑

(2)(73,2^

（1）將條件化為岳sinC=c（l+cosA）,然后利用正弦定理得到l+cosA=3（l-cosA）,解出A即可;

(2)先得到:+!=石，然后根據余弦定理得出±+±=嚴”了)，使用不等式方法證明

bcBDCD揚+,2_慶

石〈白+&V2有，并對每個小(若,2g］構造相應的VABC作為例子，即可得到答案.

(1)由加〃〃可知瘋?sinC=c(l+cosA),故1+8$4=巫蟲￡=避竺￡d=^sinA,且顯然有

ca

l+cosA>0.

故(1+cosA)2=3sin2A=3(1-COS?=3(1+cosA)(1-cosA),

i7r

從而1+COSA=3(1-COSA),解得COSA=5，而Ae(0,7t),所以A=§.

(2)設B￡>=x,CD=y,則羽y>0,S.yBD+xCD=0,故有

AD=^-[AB+BD\+^—(CD+AC\=^^AB+^—AC+-^—(yBD+xCD\=^^AB+^—AC

x+yv'%+y\'x+yx+yx+y^'x+yx+y>

(11Abk

但由于陋平分/SAC,故有AO=H—AB+^AC=—A5+：AC,這里人>0.

\cb)cb

所以K+：=1,得左=①，故AD=3AB+EAC,b二ycx

從而小

cbb+cb+cb+cx+yb+cx+