相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題壓軸訓(xùn)練（5類壓軸）

01壓軸總結(jié)

目錄

壓軸題型一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問題（利用分類討論思想）...............................1

壓軸題型二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長多解問題（利用分類討論思想）............................7

壓軸題型三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問題.........................................15

壓軸題型四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與幾何綜合問題............................................23

壓軸題型五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)探究應(yīng)用問題..................................................37

02壓軸題型

壓軸題型一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問題（利用分類討論思想）

例題：（23-24九年級上?江西撫州?期中）如圖，在△48C中，48=8厘米，/C=16厘米，點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā),

沿著邊向點(diǎn)5以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)0從點(diǎn)C出發(fā)，沿著C/邊向點(diǎn)A以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也相應(yīng)停止運(yùn)動(dòng)，那么，當(dāng)以A、尸、。為頂點(diǎn)的三角形與△4BC相似時(shí)，運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為秒.

鞏固訓(xùn)練

1.（2023八年級上?江蘇?專題練習(xí)）如圖，在△4BC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)

以每秒1個(gè)單位長度的速度沿B—A勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)同樣的速度沿A-CfB勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)

點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、。同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，當(dāng)t為時(shí)，以B、P、。為頂點(diǎn)的三角

形是等腰三角形.

A

2.（23-24九年級上?遼寧盤錦?階段練習(xí)）如圖，Rt4/BC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,點(diǎn)、D是BC邊

的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，沿C-4—5的方向在/C、48邊上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)8移動(dòng)，運(yùn)

動(dòng)至點(diǎn)2即停止.連接P。，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)間才=時(shí)，線段PD截RtZ\/BC為兩部分所得

的三角形與RtZ\/5C相似.

3.（23-24九年級下?河南商丘?開學(xué)考試）如圖1,RtZ\/BC中，ZACB=90°,AC=6cm,SC=8cm,動(dòng)點(diǎn)

尸從點(diǎn)8出發(fā)，在A4邊上以每秒3cm的速度向點(diǎn)N勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，在C8邊上以每秒

2cm的速度向點(diǎn)2勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒（0<"2）,連接尸Q.

（1）若△AP。與△ZBC相似，求f的值;

⑵（如圖2）連接N。，CP,若求，的值.

壓軸題型二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長多解問題（利用分類討論思想）

例題：（23-24九年級上?全國?單元測試）如圖，AB1BD,CDLBD,48=6,CD=16,BD=2Q,一動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)3向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)闹凳菚r(shí)，與△PCD是相似三角形.

鞏固訓(xùn)練

3

1.（2024?黑龍江雞西?二模）如圖，在矩形48co中，BC=6,E是3C的中點(diǎn)，連接NE,tan/R4E=:，P

4

是/。邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)。落在NE上的點(diǎn)處，當(dāng)△/尸。是直角三角形

時(shí)，的值為.

2.（2024?河南?三模）如圖，在矩形4BC。中，48=6,40=12,E是線段4D上一動(dòng)點(diǎn)，以￡為直角頂

點(diǎn)在EB的右側(cè)作等腰三角形E3尸，連接。尸，當(dāng)點(diǎn)尸落在矩形48CD的對角線上時(shí)，則DF的長為,

3.（2024?河南瀑河?二模）如圖，在△4BC中，NABC=90。,AB=6,BC=8,點(diǎn)。為/C邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接

BD,將沿3。翻折得到AHBO,當(dāng)47）與△48C的直角邊垂直時(shí)，4D的長度為.

4

4.（2024?河南周口?三模）如圖，在平行四邊形48CD中，=6,=5,N3為銳角，且sin5=-,P是邊

AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C,D同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得點(diǎn)C',。'，當(dāng)△/C'。是直角三角形時(shí)，線

段2P的長為.

壓軸題型三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問題

例題：（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，在矩形48co中，點(diǎn)E是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對角線

8。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接8E,EE.若/8=2,/。=4,則8E+E廠的最小值是.

E

AD

F

---------1c

鞏固訓(xùn)練

1.（2023?江蘇無錫?二模）如圖，線段48為。。的直徑，點(diǎn)C在48的延長線上，48=4,BC=2,點(diǎn)、P

是。。上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以C尸為斜邊在PC的上方作Rt△尸CD,且使/DCP=60。，連接。￡）,則

2.（23-24九年級上?江蘇無錫?期中）已知，如圖，ZUBC中，AB=\0,BC=6,AC=S,半徑為1的O。與

三角形的邊48、NC都相切，點(diǎn)P為。。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0為3。邊上一動(dòng)點(diǎn)，則P。的最大值與最小值的和

為.

3.（2024?四川自貢?模擬預(yù)測）如圖，在RtANOB中，ZAOB=90°,OA=8,02=11,以。為圓心，4為半

徑作。。，分別交兩邊于點(diǎn)C,。兩點(diǎn)，P為劣孤CD上一動(dòng)點(diǎn)，則;尸/+尸8的最小值____.

4.（2024?江蘇無錫?一模）（1）如圖①，RtZi/8C中，N/8C=90°,N8=6,=8,點(diǎn)。是邊4c的中

點(diǎn).以點(diǎn)A為圓心，2為半徑在△4BC內(nèi)部畫弧，若點(diǎn)P是上述弧上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是邊8C上的動(dòng)點(diǎn),

PQ+。。的最小值是

（2）如圖②，矩形/BCD中^5=20073,^=300.E為C。中點(diǎn)，要在以點(diǎn)A為圓心，10為半徑的

圓弧上選一處點(diǎn)P,邊3c上選一處點(diǎn)Q,M,N是以。為圓心，10為半徑的半圓的三等分點(diǎn)處,

PM+NE的最小值是.

（圖①）（圖②）

壓軸題型四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題與幾何綜合問題

例題：（24-25九年級上?四川成都?階段練習(xí)）已知，如圖，在△NBC中，AB=AC=4,NA4c=90。，點(diǎn)。

為/C邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與/,C重合），連接將線段。8繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到。E,

連接3￡、CE.

AT）1

（2）當(dāng)安=§時(shí)，求邑E女及CF的值.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測）已知在正方形48c。中，AB=4,點(diǎn)￡為5c邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C重

合），連接4E,將NE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到E尸，連接”交C。于點(diǎn)G

F

圖1!S2

GF

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為8c的中點(diǎn)時(shí)，求,元的值；

（2）如圖2,若DG=BE,求3E的長；

（3）連接。尸，求。尸的最小值.

2.(22-23九年級上?四川成都?階段練習(xí))如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作

EF±AE交線段CD于點(diǎn)F.

圖1圖2圖3

⑴若N3=6,BE=7,CE=3,求C廠的長；

(2)如圖，若48=6,BC=8,BE=3,連接NC交E產(chǎn)于點(diǎn)G,求CG的長；

(3)如圖，連接2月，若AF平分NE4D,延長FE至點(diǎn)〃，使得NE4H=45。,連接工〃交線段2c于點(diǎn)P,

AR

且PE=，1C,求名的值.

3BC

3.(23-24八年級下?江蘇蘇州?期末)在矩形/BCD中，AB=5a,8c=6。，點(diǎn)E是2c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

圖1圖2圖3

(1)如圖1,延長3N,若反N,。三點(diǎn)在一直線上，a=l,求8E的長;

(2)過點(diǎn)N作NHL40,垂足為“：

①如圖2,若a=l,BE=g求的面積；

②如圖3,若3￡=與，連接CM,則需的值為.

壓軸題型五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)探究應(yīng)用問題

例題：(23-24九年級下?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí))類比探究題：

【建立模型】

如圖1,等腰直角三角形A8C中，ZACB=90°,CB=CA,直線口)經(jīng)過點(diǎn)C,過/作切于點(diǎn)

過8作BE_LEZ)于點(diǎn)E.求證：AACD知CBE.

【應(yīng)用模型】

如圖2,點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)8是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為直角邊作等腰直角"BC,使ABAC=90°,

設(shè)點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為x,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y,請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系.

【拓展拔高】

如圖3,矩形48CD中，AB=3,BC=5,點(diǎn)尸是8c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸與點(diǎn)8,C都不重合），現(xiàn)將△產(chǎn)10

沿直線包＞折疊，使點(diǎn)C落到點(diǎn)尸處；過點(diǎn)P作Z8尸尸的角平分線交4B于點(diǎn)月設(shè)3P=X,BE=y,求＞

與x的函數(shù)關(guān)系：y是否有最大值，若有，求出最大值；若沒有，說明理由.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?貴州遵義?二模）圖①，在正方形4BC。中，點(diǎn)E是邊上一48動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿DE折疊，點(diǎn)A

落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)尸處，連接4尸并延長,交8C于點(diǎn)G.

圖②備用圖

⑴判斷NE與BG的數(shù)量關(guān)系為二

（2）【應(yīng)用】如圖①，延長。下交8c于點(diǎn)

①證明：ZHFG=AFGH；

②若HB=3a,HF=5a,/E=8,求8E的長度;

（3）【拓展】如圖②，將正方形改成矩形，其中NO=2C。，將矩形沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處（矩形

內(nèi)部），連接，尸并延長，交BC于點(diǎn)G,延長。尸交直線3C于點(diǎn)若HB=3a,HF=5a,直接寫出3

BE

的值.

2.（23-24九年級下?河南信陽?期中）綜合與實(shí)踐

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】

在學(xué)習(xí)了“特殊平行四邊形，，后，興趣小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)問題：如圖1,已知正方形/BCD,E為對

角線NC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作垂直于4C的射線CG,點(diǎn)尸在射線CG上，且/匹尸=90。，連接E尸.通過觀

察圖形，直接寫出跖與3尸的數(shù)量關(guān)系：

⑵【類比探究】

興趣小組的同學(xué)在探究了正方形中的結(jié)論后,將正方形換成矩形繼續(xù)探究.如圖2