相似三角形中的動點問題壓軸訓練（5類壓軸）

01壓軸總結

目錄

壓軸題型一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）...............................1

壓軸題型二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）............................7

壓軸題型三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題..........................................15

壓軸題型四相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題...........................................23

壓軸題型五相似三角形中的動點探究應用問題.................................................37

02壓軸題型

壓軸題型一相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）

例題：（23-24九年級上?江西撫州?期中）如圖，在△48C中，48=8厘米，/C=16厘米，點尸從點A出發,

沿著邊向點5以lcm/s的速度運動，點0從點C出發，沿著C/邊向點A以2cm/s的速度運動，其中一個

動點到端點時，另一個動點也相應停止運動，那么，當以A、尸、。為頂點的三角形與△4BC相似時，運

動時間為秒.

C

【答案】半32秒或4秒

【知識點】相似三角形一動點問題

【分析】本題考查了相似三角形的判定及性質，設運動時間為t秒，分4QP=/C和440尸=4,兩種情

況，利用相似三角形的性質即可求解，熟練掌握相似三角形的判定及性質，利用分類討論思想解決問題是

解題的關鍵.

【詳解】解：設運動時間為/秒，

當410尸=/C時，如圖：

則/。=16-2t,AP=t,AABCS—PQ,

工理,即：一，，

ACAB168

解得：f=4,

當尸=4時，如圖:

則/0=16-2乙AP=t,AABCS“QP,

.AQ=AP_即16-2Z/

ABAC''816'

解得：仁當32，

綜上所述，運動時間為半32秒或4秒，

故答案為：半32秒或4秒.

鞏固訓練

1.（2023八年級上?江蘇?專題練習）如圖，在△/BC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,動點尸從點3出發

以每秒1個單位長度的速度沿8->/勻速運動；同時點。從點A出發同樣的速度沿ZfC-?2勻速運動.當

點尸到達點A時，P、。同時停止運動，設運動時間為/秒，當f為時，以B、P、。為頂點的三角

形是等腰三角形.

A

…心、25,-7a_56工?

【答案】打秒或萬秒或三秒

【知識點】相似三角形——動點問題、幾何問題（一元一次方程的應用）、等腰三角形的性質和判定、用勾股

定理解三角形

【分析】根據題意分三種情況討論：當8P=P。時，首先解得/3=5,易得NP=5-g過。作于

AF)AC

D,證明由相似三角形的性質可得力=二W,代入數值并求解；當8尸=2。時，易得

AQAB

BP=AC+CQ=t,BQ=7-t,易得7T=/并求解；當2。=尸0時，過。作于D,易知

BD=\t,BQ=l-t,證明△8OQSC/,由相似三角形的性質可得黑=空，代入數值并求解.

2ZXJ8BQAB

【詳解】解：①當=P。時，如圖1,

由題意得：BP=PQ=AQ=t,

在RtZX/BC中，AC=3,3C=4,

■■AB^^AC2+BC1-5，

AP=5—tf

過。作于。，

15-/

???AD=-AP=——,

22

???//=//,ZADQ=ZACB=90°f

Z\ADQ^/\ACB,

ADAC

,?瓦一U'

5—/

3,解得"當秒；

t5

②當=時，如圖2,

BQc

圖2

由題意得：BP=AC+CQ=t,

：.BQ=3+4—，=7—%,

7

=解得/=5秒；

③當5。=尸。時，如圖3,

過。作于。，

：.BD=；BP=gt,BQ=7-t,

vZB=ZB,NBDQ=NACB=90。,

.?.△BDQSABCA,

BD_BC

,,西一五'

J./56

,2_4,解得/二工秒.

--=713

7—/5

綜上所述，/的值是II秒或1秒或II秒.

故答案為：弓秒或g秒或II秒.

【點睛】本題主要考查了勾股定理、等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質、一元一次方程的應用

等知識，熟練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵.

2.（23-24九年級上?遼寧盤錦?階段練習）如圖，RtZ\43C中，ZC=90°,AC=8,BC=6,點。是3C邊

的中點，動點尸從點C出發，沿C-4—8的方向在/C、邊上以每秒2個單位的速度向點8移動，運

動至點2即停止.連接P。，當點尸運動時間，=時，線段PO截RtZ\/BC為兩部分所得

的三角形與RtZ\/5C相似.

C

PX\

D

AB

【答案】2或39或6.5或8.1

o

【知識點】利用相似三角形的性質求解

【分析】本題主要考查相似三角形性質的運用，掌握分類討論思想是解題的關鍵.

由題意可知：線段截為兩部分，然后分情況運用相似三角形的性質解答即可.

【詳解】解：①當點尸在/C上，即0W/W4時，PC=2t,CD=：BC=3,

CPCD2t3

當△。尸時，三二三，即=解得：t=2.

CTICnoo

當加時，笑=/，即§=解得：,=9；

CTI6Xo

②如圖：當點。在25上時，43=招+8?=10,BP4</<9,PB=\8-2t,BD=；BC=3

當△皿力jC/5時，即與4=］解得：U6.5；

A.DCB106

PRF）D1Q_□

當APBDSACBN時，米=至,即竺/=2,解得：/=8」.

\^D±J2i.O10

9

故答案為：2或3或6.5或8.1.

o

3.（23-24九年級下?河南商丘?開學考試）如圖1,RtZ\48C中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,動點

P從點2出發，在胡邊上以每秒3cm的速度向點/勻速運動，同時動點0從點C出發，在C8邊上以每秒

2cm的速度向點8勻速運動，運動時間為t秒（0<t<2）,連接P。.

（1）若△8P。與△4BC相似，求才的值；

⑵（如圖2）連接/。，CP,若/。，。尸，求f的值.

【答案】（嗒或II

【知識點】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與性質綜合

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、直角三角形的性質等知識點，由三角形相

似得出對應邊成比例是解題的關鍵.

（1）先根據勾股定理求出力2,分ABPQSABAC、兩種情況，再根據相似三角形的性質列

出比例式求解即可；

（2）如圖：過尸作于點M,AQ,CP交于點N,則〃/C,可證AAPM,根據相似三

角形的性質可得比/=與入PM=當,再根據"CQSAC九。得出=然后代入數據計算即可.

55CMMP

【詳解】（1）解：-ZACB=90°,/C=6cm,3C=8cm,

???AB=V62+82=10cm,

由題意可得：BP=3t,QC=2t,AB=1Ocrn,BC=8cm,

①當時,

AAP。SAR4c

BPBQ

?樂一疏'

3t8—2，,解得：￡=,20;

108

②當ABPQ時,

BPBQ

.菸一而'

8—2，3t左37/n32

不，解得：t=—

10o25

綜上,當"言20或32時，尸。與△N5C相似.

(2)解：由題意可得：BP=3t,QC=2t,BC=8cm,AB=10cm,

如圖：過尸作尸于點M,AQ,CP交于點N,

.?.△BPMSABAC,

BPBMPM口口3tBMPM129

ABBC~AC，B10-8—,解得：PM=-t,

655

Q

vZNAC+ZNCA=90°,ZPCM+ZNCA=909

；,/NAC=/PCM,^ZACQ=ZPMC=90°,

.“ACQs￡MP,

ACCQ

''CM~MP'

6

—13

解得：r

壓軸題型二相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）

例題：（23-24九年級上?全國?單元測試）如圖，ABLBD,CDLBD,AB=6,CD=16,BD=20,一動

點尸從點8向點。運動，當2尸的值是時，與△PCD是相似三角形.

C

BPD

【答案】8或12或與

【知識點】相似三角形的判定與性質綜合

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出

兩三角形的對應邊成比例、對應角相等.

欲證A/MB與△PCD相似，通過觀察發現兩個三角形已經具備一組角對應相等，即/48尸=/。。尸=90。,

此時，再求夾此對應角的兩邊對應成比例即可.

【詳解】解：設5尸=巧BD=20,貝U尸。=3。-3月=20—%,

分兩種情況考慮:

ADDO

當△尸ZBs△尸CD,有而=而,

又AB=6,CD=16,

6x

,即6(20—%)=①,

1620—x

解得：x=*

當AP4BSACPD,有理二絲

PDCD

6_x

即x(20-，)=96,

20-x-16

整理得：(x-12)(x-8)=0,

解得：x,=12,x2=8,

綜上，當尸離8的距離為五或8或12時，與△PCD是相似三角形.

故答案為：8或12或石.

鞏固訓練

3

1.（2024?黑龍江雞西?二模）如圖，在矩形N8CO中，BC=6,E是3C的中點，連接NE,tanNA4E=:，P

4

是ND邊上一個動點，沿過點尸的直線將矩形折疊，使點。落在/E上的點加處，當是直角三角形

時，PD的值為.

【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題

【分析】根據矩形的性質，中點以及tan//E5=g,求出BE的長，進而求出ZE,的長，設

PD'=PD=x,當是直角三角形時，分兩種情況：①當44。'尸=90。，②當乙4尸。=90。時，根據

相似三角形的性質列出方程，解之即可得到結果.

【詳解】解：???在矩形4BCD中，BC=6,E是2C的中點，

.?.40=50=6,/BAD=/B=/C=/D=9。°,BE=3,

,i4B4

.?.tan/AEB-——,

BE3

=4,

???AE=siAB2+BE2=5，

???沿過點P的直線將矩形折疊，使點。落在4E上的點O'處，

PD=PD',

設PD=PD'=x,貝ij：AP=4D-PD=6-x,

當是直角三角形時，

①//。'。=90。時，則乙4D7=N氏4D=,

：?/PAD'=NAEB=90°-ZBAE,

???AABEsAPDA,

ABAERn45

???——7=——,即：一二----,

PD'PAx6-x

Q

解得：x=\,

Q

經檢驗，X=］是原方程的解，

.-.PD=~.

3

②當//PD'=90°時，

ZAPD'=ZB=90°,

:ZPAE=ZAEB,

AAPUSAEBA,

APPD'

"耘一下’

6—x_x

?，*=一,

34

24

解得：X=y,

24

經檢驗，x=萬是原方程的解，

24

PD=--

7

綜上所述，當△4PD是直角三角形時，尸。=：8或言24.

故答案為:18或24

【點睛】本題考查了折疊的性質、矩形的性質、勾股定理以及相似三角形的判定和性質等知識，熟練掌握

上述知識、靈活應用分類思想和方程思想是解題的關鍵.

2.（2024?河南?三模）如圖，在矩形48。中，AB=6,40=12,E是線段AD上一動點，以￡為直角頂

點在即的右側作等腰三角形E3尸，連接。尸，當點尸落在矩形4BCD的對角線上時，則DF的長為.

【答案】2后或6

【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、全等的性質和/S4(44S)綜合C4”或者44S)、用勾股定理

解三角形、根據矩形的性質求線段長

【分析】先證明“成0小尸，得出4B=EH=6,AE=HF,然后分尸在C。和NC上討論，利用相似三

角形的判定與性質求解即可.

【詳解】解：過尸作皿，M于〃，

?.?在矩形48CD中，48=6,40=12,

/.A=Z.ADC=90°,AB=CD=6,

ZBEF=90°,

ZABE=ZHEF=90°-AAEB,

又BE=FE,

.“ABE且AHEF(AAS),

AB=EH=6,AE=HF,

設AE=HF=a,貝!|DH=/D-/E-EH=6-a,

當尸在AD上時，如圖，

AEHD

產-------------]c

???FHLAD,N/=90。，

；.HF〃AB,

???△DHFs^DAB,

DHHFp6—aa

???畝=方'即1n可有,

解得a=2,

:.HF=2,DH=4,

?*-DF=y/HF2+DH2=2A/5；

當方在ZC上時，如圖，

AHHF口門6+aa

/.——=——,即---=-,

DACD126

解得a—6,

???尸與C重合，

DF-6,

綜上，。尸的長為2石或6.

故答案為：2石或6.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，矩形的性質，勾股定理等知識,

明確題意，添加合適輔助線，構造全等三角形、相似三角形是解題的關鍵.

3.（2024?河南漠河?二模）如圖，在△/BC中，NABC=90。,AB=6,BC=8,點。為/C邊上一動點，連接

BD,將△48。沿8。翻折得到當HZ）與△48C的直角邊垂直時，4）的長度為.

【答案】2或6/6或2

【知識點】折疊問題、相似三角形的判定與性質綜合、角平分線的性質定理、用勾股定理解三角形

【分析】分當時和當時兩種情況，畫出圖形求解即可.

【詳解】當時，延長HO交48于點E,貝1」44瓦＞=90°,如圖，

-AC=SIAB2+BC2=10.

V//=/ADE=/A'DF,

/A'FD=/AWD=90。.

由折疊知，ZABD=AABD,

DE=DF,

???ZAED=/ABC=90°,

：.DE//BC,

???LAEDsAABC,

AEAB_6_3

-8-4?

設4￡=3x,O￡=4x，則40==5%，

CF=10-5x-4x=10-9x.

???/BFC=/ABC=90°,ZC=ZC,

I.ACBFS^CAB,

CFBC

,,二一就‘

10-9x_8

一，

810

2

AD=5x-=2；

5

當HO_L5C時，如圖,

???/ABC=ZDGC=90°,

??.AB//AD,

???/ABD=AADB.

由折疊知，NADB=NA，DB,

NADB=/ABD,

AD=AB=6.

綜上可知，ND的長度為2或6.

【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理，角平分線的性質，相似三角形的判定與性質，等角對等邊,

分類討論是解答本題的關鍵.

4

4.（2024?河南周口?三模）如圖，在平行四邊形48CD中，N8=6,/。=為銳角，且sinS=-,P是邊

AB上的一動點，點C,D同時繞點P按逆時針方向旋轉90。得點U。，當△/CD是直角三角形時，線

段8P的長為—.

22

【知識點】利用平行四邊形的性質求解、相似三角形的判定與性質綜合、根據旋轉的性質求解

【分析】題目主要考查旋轉的性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形及相似三角形的判定和性質，

解一元二次方程等，理解題意，綜合運用這些知識點進行分情況分析是解題關鍵.

過點C作于點〃，根據平行四邊形的性質及解三角形得出C"=4,再由旋轉的性質分三種情況

討論：①當以C'為直角頂點時，②當以/為直角頂點時，③當以。為直角頂點時，分別利用旋轉的性質,

相似三角形的判定和性質及解一元二次方程求解即可.

【詳解】解:過點C作以，48于點H,

,??在口ABCD中，BC=AD=5,

一,4

??.在Rt^BCH中,CH=BCsvsxB=5x—=4,

由旋轉的性質，得△PCDOPCD,CD=CD,CD1CD9,

r

^AB\\CD,CDlABf由△/CD是直角三角形，可知需分三種情況討論：

①當以C為直角頂點時，如圖1，

圖1

■.■CD'LAB,

.?.點C'落在A4的延長線上.

PC±PC,

PCVAB,

.??點P與點〃重合，

.-.PC=4,

；.BP=3；

②當以/為直角頂點時，如圖2,

設C'。'與射線R4的交點為7,

VPC±PC,

:./CPH+NTPC=90。,

■:CD」AT,

ZPC'T+NTPC'=90°,ZCPH=ZPC'T,

NCHP=ZPTC=90°,PC=CP,

：.&CPHAPCT,

；.C'T=PH,PT=CH=4.

設C'T=PH=t,則/尸=48—3尸=6—(3+0=3—t,

；.AT=PT-AP=^-(3-t)=\+t.

■：ZC'AD'=90°,C'D'YAB,

:.AATD'SAC'TA,

.AT_CT

"TD'~TA，

;.AT2=CT-TD',

.?.(l+/)2="67),

化簡得2產一4f+l=0,

解得y1土也，

2

BP=3+1+=4+-^-；

I2J-2

③當以。'為直角頂點時，點P在A4的延長線上，不符合題意.

綜上所述，BP=3或4+正或4-1；

22

故答案為：3或4+立或4-變.

22

壓軸題型三相似三角形動點中求線段及線段和最值問題

例題：（24-25九年級上?全國?課后作業）如圖，在矩形48c。中，點E是ND上的一個動點，點?是對角線

8。上一個動點，連接BE,EF.若/3=2,/。=4,則8E+E/的最小值是.

【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、線段問題（軸對稱綜合題）、垂線段最短、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了軸對稱的性質，垂線段最短，勾股定理，相似三角形的判定與性質等知識.作點3關

于的對稱點玄，連接B'A,B'E,B'F,過點Q作于點G,交AD于點H,證明當況及尸三點共線,

且〃尸，3。時，8E+E/的值最小，此時點E在點H處，點尸在點G位置.先求出=4,3。=2VL再

證明得到歿=些，求出8G=85,即可得到BE+E尸的最小值為盛.

BDDA55

【詳解】解：如圖，作點5關于4D的對稱點玄，連接8'45瓦2戶，則8名=8E，8',42三點共線，過點

9作夕GLBO于點G,交AD于點則BE+EF=B'E+EF*B'F*B'G,即當",瓦下三點共線，且

*尸，8。時，8E+E斤的值最小，此時點E在點〃處，點尸在點G位置.

,:AB=2,AD=4，

:.BB'=4,BD=2#,

VNBB'G+ZB'BG=NB'BG+ABDA=90°，

ZBB'G=ABDA,

ZB'GB=ZDAB=90°,

:.AB'BG^ADBA,

B'BB'G4B'G

■----=----,即Bn—=―—

BDDA2。54A

解得B'G=—,

5

即BE+EF的最小值為—.

故答案為：—

5

鞏固訓練

1.（2023?江蘇無錫?二模）如圖，線段48為。。的直徑，點C在48的延長線上，4B=4,BC=2,點、P

是。。上一動點，連接CP,以C尸為斜邊在尸C的上方作RSPCD,且使/DCP=60。，連接OD,貝iJOZ>

【答案】2e+1/1+26

【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、圓與三角形的綜合（圓的綜合問題）

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質、兩圓的位置關系、軌跡等知識，如圖，作ACOE,使得

ZCEO=90°,NEC。=60°,則CO=2CE,OE=26，NOCP=NECD,由△COPs^cED,推出

OpCP1

子=茨=2,即ED=：OP=1（定長），由點E是定點，OE是定長，推出點。在半徑為1的OE上，由此

EDCD2

即可解決問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題.

【詳解】解：如圖，作ACOE,使得NCEO=90。，ZECO=60°,則CO=2CE=4,。￡=2百，

/OCP=4ECD,

??.CP=2CD,

COCP

-----=------=2,

CECD

:ACOPsACED,

OPCPc

???--=------=2,

EDCD

即￡D=；OP=1（定長），

???點E是定點，OE是定長,

點。在半徑為1的OE上，

-■OD<OE+DE=2y[3+1，

.??。。的最大值為26+1,

故答案為：2G+L

2.（23-24九年級上?江蘇無錫?期中）已知，如圖，△4BC中，AB=10,BC=6,AC=S,半徑為1的OO與

三角形的邊/8、/C都相切，點P為。。上一動點，點0為3c邊上一動點，則P0的最大值與最小值的和

為.

【答案】572+5

【知識點】切線的性質定理、相似三角形的判定與性質綜合、用勾股定理解三角形、根據矩形的性質與判

定求線段長

【分析】設。。與/C相切于點。，與N8相切于點E,連接OD,OE,過點。，作8c垂足為口交。。

于用此時垂線段。。最短，月。最小值為。。-。用求出。0,當2與8重合時，BO的延長線與QO交于點

，62最大值。2+。6.

本題考查了圓的切線的性質，矩形的性質與判定，勾股定理的應用，相似三角形的性質與判定等知識，關

鍵是確定尸。的最小值與最大值的位置.

【詳解】解：???△NBC中，AB=\Q,BC=6,AC=^,

AB2=AC2+BC2,

:.N4CB=9。。,

設。。與/C相切于點。，與N2相切于點E,連接。。，OE,過點。，作O<J_8c垂足2,交。。于用連

接49,延長與2c相交于點R過尸作尸G14B于點G,如圖1,此時垂線段。2最短，片。最小值

為則四邊形ODC2為矩形，49平分NB/C,

設CF=FG=x,則BF=6-x,

AC=AG=8,

BG=AB-AG=10-8=2,

由勾股定理得，（6-X）2--=22,

Q

解得：x=t，

:.GF=-,

3

OE//GF,

/\AOEsAAFG,

co1_AE

：.—=—^，即官一丁，

FGAG-

AE=3,

,AF=AE=3,

=C°=8_3=5,

.?陶=0。「06=5_1=4,

如圖2,當G與3重合時，連接2。，延長2。與。。交于點心,

此時EQ為最大值，

2222

P2Q2=OQ2+OP2=^JOE+BE+1=^1+(10-3)+1=5近+1,

■■pQ的最大值與最小值的和為：

耳2+2=4+5&+1=5五+5，

故答案為：56+5.

3.(2024?四川自貢?模擬預測)如圖，在Rt“O3中，AAOB=90°,CU=8,OB=U,以。為圓心，4為半

徑作。。，分別交兩邊于點C,。兩點，P為劣孤CD上一動點，則;尸/+尸3的最小值___.

【答案】5石

【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、三角形三邊關系的應用、圓的基本概念辨析

【分析】本題考查圓的有關性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，取。C的中點E,證明

△POESAAOP,從而得出=進而由+所以最小值是班長，再利用勾股定理求出班

即可.

【詳解】解：如圖，連接。尸，取OC的中點E,連接EP，EB,

；.APOES小AOP,

PE_OE

,~PA~~OP~2,

JPA+PB=PE+PBNBE,

2

?.J0”+尸5的最小值是班，

?/OE=—OC=2,OB=11,

2

-BE=yJOE2+OB2=V22+112=5y/5，

.?.；尸/+尸3的最小值是5vL

故答案為：5y[5.

4.（2024?江蘇無錫?一模）（1）如圖①，RtZi/8C中，N/8C=90°,N8=6,=8,點。是邊/C的中

點.以點A為圓心，2為半徑在△4BC內部畫弧，若點P是上述弧上的動點，點。是邊8C上的動點,

PQ+。。的最小值是

（2）如圖②，矩形/8C。中48=2006,80=300.E為CO中點，要在以點A為圓心，10為半徑的

圓弧上選一處點P,邊8c上選一處點Q,M.N是以。為圓心，10為半徑的半圓的三等分點處，

PM+NE的最小值是.

（圖①）（圖②）

【答案】V97-2/-2+V97570

【知識點】矩形與折疊問題、利用平行四邊形的性質求解、相似三角形的判定與性質綜合、線段問題（軸對

稱綜合題）

【分析】本題是矩形綜合題，考查了矩形的性質，軸對稱-最小值問題，相似三角形的性質與判定等，本題

綜合性較強，巧妙的添加輔助線是解題的關鍵.

（1）作點。關于2c的對稱點連接AP,過點〃作DELNB交22的延長線于E,則

QD=QD',DK=D'K,當A、P、Q、。在同一條直線上時，?。+8=/。一/2取得最小值，由

DK//AB,可得ACDKSACAB,運用相似三角形性質可得。K=3,CK=4,再由勾股定理即可求得答案；

（2）連接M0,NQ,過點。作于K,作點A關于直線"N的對稱點W,將E向左平移10得到

點E',過點￡作EL/4，過點4作/Z_LEZ于連接、A'E'.E'M,由題意得隨著圓心。在3c

上運動，在平行于3C且到3c距離為5e的直線上運動，再運用勾股定理可得PM+NE最小值即可.

【詳解】解：（1）如圖①，作點。關于8。的對稱點。'，連接。'。、AP,過點。作。48交的延

長線于E,

則DK=D'K,

A

圖①

當A、P、0、O在同一條直線上時，+=取得最小值,

???ZABC=90°,AB=6,BC=8,

AC=^AB'+BC2=A/62+82=10，

???點。是邊4c的中點，

:.CD=-AC=5,

2

■：DK//AB,

.,.△CDKSKAB,

DKCKCDDKCK5

..?布=疏=就，即Rn甘=w=m，

:.DK=3,CK=4,

:.DK=3,BK=4,

■：ZE=ZEBK=ZBKD'=90°,

四邊形BEDK是矩形，

:.D'E=BK=4,BE=D'K=3,

:.AE=AB+BE=6+3=9,

AD'=\lAE2+D'E2=V92+42=V97，

■：AP=2,

-PQ+QD的最小值=歷一2,

故答案為：V97-2;

(2)如圖②，連接NQ,過點。作QKLMN于K,作點A關于直線的對稱點4,將E向左平

移10得到點過點E'作EL/AB,過點4作/Z_LEZ于L,連接、A'E'、E'M,

；M、N是半圓。的三等分點，且半徑為10,

為等邊三角形，且MN〃BC,MN=10,

■:QKLMN,QM=\0,

QK=5y/3,

隨著圓心。在上運動，MN在平行于BC且到BC距離為56的直線上運動,

?;EE'〃MN旦EE'=MN=10,

四邊形EE2W是平行四邊形，

:.NE=ME',

:.PM+NE=PM+ME'>AM-AP+ME'=AM+ME'-IO,

是CD的中點,

:.DE=gcD=T。比,

E'L=AA'-DE=2(AB-QK)-DE=2x(20073-5g)-10073=29073,

A'L=BC-E'E=300-10=290,

在RM/'EZ中，A'E'=YIA'IJ+E'I}=72902+(29073)2=580,

.1PAf+A?■最小值=0￡'-42=580-10=570,

故答案為：570.

壓軸題型四相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題

例題：（24-25九年級上?四川成都?階段練習）已知，如圖，在△ASC中，4B=/C=4,NA4c=90。，點。

為/C邊上的一個動點（點。不與/,。重合），連接。8,將線段繞點。逆時針旋轉90。，得到DE,

連接5E、CE.

（1）求證：ABADS^BCE；

AD1

（2）當所=§時，求及。尸的值.

【答案】（1）見解析

（2）S“E℃=；；仃=半

【知識點】相似三角形的判定與性質綜合、全等的性質和Z&4（AAS）綜合（/”或者44S）、等腰三角形

的性質和判定、根據旋轉的性質求解

【分析】（1）通過等腰直角三角形的性質可得/48。=/。班'=45。，BC=42AB,BE=4iBD，再根據兩

邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，即可證明;

(2)延長/C,過點后作石6，/。于點6,ffi?llABD^KGDE,得出AS=9=4,EG=AD=\,根

據三角形的面積公式求出5皿即可;

延長EC,過點。作。HLEC于點”，根據得出/BCE=/A4c=90。，證明ADC"為等

腰直角三角形，得出=爸=*=呼，根據勾股定理得出CEMJCG'+EG?=彳弄=拒，求

出￡〃=。￡+。”=亞+逑=逑，證明AEC尸得出三=5與，代入數據求出結果即可.

22DHEH

【詳解】（1）證明：???43=/C,ABAC=90°f

，/ABC=ZACB=1x90°=45°,BC=1AB?+AC?=742+42=4五，

???線段。E線段。8繞點D逆時針旋轉90。得到，

BD=ED/BDE=90°,

??./DBE=/DEB=—x90。=45°,BE=41BD,

2

,?"ABC-ZDBC=ZDBE-ZDBC，

即/ABD=/CBE,

BC=血AB，BE=41BD，

ABBD

??.LBADsABCE.

(2)解：延長4C,過點E作/于點G,如圖所示:

則ZEGD=90°,

AD_1

AC=4

BC-39

AD=—x4=lCD=—x3=3,

3+1f3+1

VABAD=ABDE=ZEGD=90°,

/./ABD+AADB=/ADB+/EDG=90°,

???ZABD=ZEDG,

BD=DE，

.??"BD口/\GDE,

：.DG=必=4,EG=AD=\,

113

△EDC222

延長EC,過點。作。于點”，如圖所示:

A

則ZD〃C=90。，

根據解析（1）可知，ABADs△BCE,

/./BCE=ABAC=90°,

???//CB=45。，

/DCH=180。-90。-45。=45。，

?；/DHC=90。,

.?.ADCH為等腰直角三角形，

CD_3_3>/2

：,CH=DH

V2-V2-2

VDG=4,DC=3,

:.CG=4—3=1,

在Rt^CEG中，根據勾股定理得：

CE=>!CG2+EG2=7i2+i2=V2，

EH=CE+CH=y/2+—=巫,

22

NECF=ADHE=90°,ZCEF=/DEH,

小ECFs^EHD,

CFCE

,?而一而‘

CFV2

即逑「s/2，

~2~

解得：CF=迎.

5

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股

定理，旋轉的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質.

鞏固訓練

1.（2024?江蘇徐州?模擬預測）已知在正方形4BCD中，48=4,點E為3C邊上一動點（不與點比C重

合)，連接4E,將/E繞點后順時針旋轉90。得到E尸，連接，尸交C。于點G

圖1圖2

GF

(1)如圖1,當點E為8c的中點時，求下的值；

AG

(2)如圖2,若DG=BE,求8E的長；

(3)連接。尸，求。尸的最小值.

【答案】⑴:

⑵4拒-4

(3)272

【知識點】利用二次函數對稱性求最短路徑、全等的性質和/SN(AAS)綜合SSN或者//S)、根據正方

形的性質證明、相似三角形的判定與性質綜合

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、二次

函數的性質等知識點，正確作出輔助線并靈活運用相關知識成為解題的關鍵.

(1)過點尸作切交3c延長線于，，延長必，4。交于則四邊形是矩形，則

AM=BH,HM//AB//CD,由旋轉的性質可得4E=E尸，ZAEF=90°,證明絲A￡77F(AAS)得到

EH=AB=4,進而求出==證明△/GZ)得到/G=2尸G,FG=，/廠,則；

33AG2

(2)過點尸作F/71BC交5C延長線于延長HF,AD交于M,設5￡=QG=x,則四邊形是矩

形，貝!|4四=3〃，MH=AB=4,HM//AB//CD,同理可得0△瓦如，貝|

EH=AB=4,FH=BE=x,^MF=4-x,AM=BH=x+4,同理可得空=也，即：_—解方

MFAM4-xx+4

程即可；

(3)如圖：過點尸作G//〃。C交8c延長線于8,交4。延長線于G,則/G=Z7/=9O。，則四邊形NAfflW

是矩形；再證明A/匹絲AE毋'(AAS)可得3￡=彼,//￡=/8=8。，即BE=HC；設BE=x,則

6。=彼=占6尸=4-工由勾股定理可得。尸=2(》-2)2+8,最后根據二次函數的性質即可解答.

【詳解】（1）解：如圖所示：過點尸作萬交延長線于7/,延長HF,交于則四邊形48H飲

是矩形，

AM=BH9HM//AB//CD,

由旋轉的性質可得：AE=EF,ZAEF=90。,

,?,四邊形ABCD是正方形，

??.ZB=ZH=90°,

???/BEA+NBAE=90°=ZBEA+ZHEF,

???/BAE=ZHEF,

小ABE知EHF(AAS),

：.EH=AB=4,

???點￡為5C的中點，

：.BE=-BC=2,

2

：.AM=BH=6,

-CD//MH,

工小AGDS^AFM,

AGAD2

??應一加一3'

：.AG=-FG,

3

：.FG=-AF,

3

GF1

"^4G~2

(2)解：過點/作FH_LBC交5C延長線于“，延長處；40交于設BE=DG=x,則四邊形

是矩形，

AM=BH,HM//AB//CD,

同理可得：AABE之LEHF,

...EH=AB=4,FH=BE=x,

：.MF=4-x,AM=BH=x+4,

同理可得：AAGDS小4FM,

^DGADx=4

：4-x~x+4"

?,?x2+4x=16-4x,解得：x=-4+4收或-4+4立(舍去)

經檢驗：x=-4+4也是原方程的解，

BE=4A/2—4;

(3)解：如圖：過點尸作G4〃。。交5。延長線于交4。延長線于G,則NG=NH=90。，則四邊形GOS

為矩形,

??.ZHFE+ZFEH=90°,

-ZAEF=90°,

；"FEH+AAEB=9。。,

???ZHFE=ZAEB,

?；AE=EF,

.?.△Z￡5絲△EHF(AAS),

BE=HF,HE=AB=BC,

；.BE=HC,

設BE=x,則GZ)=8C=x,GP=4-x,

DF2=GD2+GF2=X2+(4-X)2=2(X-2)2+8,

.?.當x=2時，。尸2有最大值8,則。尸有最大值2拒

2.(22-23九年級上?四川成都?階段練習)如圖，在矩形/BCD中，點E為線段BC上一個動點，過點E作

EF±AE交線段CD于點F.

圖1圖2圖3

(1)若23=6,BE=7,CE=3,求CF的長;

(2)如圖，若48=6,BC=8,BE=3,連接/C交E廠于點G,求CG的長;

(3)如圖，連接4斤，若4月平分NE4。，延長FE至點〃，使得NF4H=45。,連接交線段2c于點P,

1AR

且尸￡=，C,求強的值.

3BC

7

【答案】⑴CF=]

(2)GC=|

AB4

(z3x)----=—

「BC5

【知識點】根據正方形的性質與判定求線段長、相似三角形的判定與性質綜合、全等三角形綜合問題、用

勾股定理解三角形

【分析】(1)證明△/BES^ECF,根據相似三角形的性質得出比例式，代入數據進行計算即可求解;

525

⑵由