重難點01填空壓軸題邏輯推理

明考情.知方向

北京中考數學2021-2024年的“填空壓軸題”題特點主要體現在對邏輯推理能力的重視、綜合性與開放性的

結合、新定義題型的引入、分類討論與多解法的應用、貼近實際與創新性的設計、難度適中但選拔性強以

及注重基礎知識與能力培養等方面。這些特點不僅考查學生的數學知識掌握情況，還考查其綜合運用能力

和創新思維能力。

熱點題型解讀

【題型1表格信息邏輯推理題】

此類題考查了方程相關的邏輯推理題，利用表格找到等量關系，綜合判斷，最終選擇最為合適的方案。

找到問題的最優解。

1.（北京市第五中學分校2024-2025學年九年級下學期開學）某酒店在客人退房后清潔客房需打掃衛生、

整理床鋪、更換客用物品、檢查設備共四個步驟某清潔小組有甲、乙、丙三名工作人員，工作要求如下：

①"打掃衛生"只能由甲完成；每間客房"打掃衛生"完成后，才能進行該客房的其他三個步驟，這三個步驟

可由任意工作人員完成并可同時進行；②一個步驟只能由一名工作人員完成，此步驟完成后該工作人員才

能進行其他步驟；③每個步驟所需時間如表所示：在不考慮其他因素的前提下，若由甲單獨完成一間客房

的清潔工作，需要分鐘；若由甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，則最少需要分鐘.

步驟打掃衛生整理床鋪更換客用物品檢查設備

所需時間/分鐘9764

【答案】2643

【詳解】解：甲單獨完成一間客房的清潔工作，需要的時間為：

9+7+6+4=26（分鐘），

甲先完成第1間客房的衛生打掃工作，然后乙完成第1間客房的更換客用物品和檢查設備，丙完成第1間

客房整理床鋪工作，完成后再等2分鐘，開始第1間客房的更換客用物品和檢查設備，乙完成后再進行第2

間客房整理床鋪工作，完成后再等1分鐘，開始第3間客房的更換客用物品和檢查設備，丙完成第2間客

房工作后，馬上再完成第3間客房整理床鋪工作，當甲完成第四間客房打掃衛生工作后，三個人同時完成

剩余的三項工作，這樣所需要的時間為：

4x9+7=43（分鐘），

即甲、乙、丙合作完成四間客房的清潔工作，則最少需要43分鐘.

故答案為：26；43.

2.（北京市第十三中學2021-2022學年九年級下學期開學）某快遞公司的快遞件分為甲類件和乙類件，快

遞員送甲類件每件收入1元，送乙類件每件收入2元.累計工作1小時，只送甲類件，最多可送30件，只

送乙類件，最多可送10件；累計工作2小時，只送甲類件，最多可送55件，只送乙類件，最多可送20件；…，

經整理形成統計表如表：

累計工作時長最多件數（時）

12345678

種類（件）

甲類件305580100115125135145

乙類件1020304050607080

（1）如果快遞員一天工作8小時，且只送某一類件，那么他一天的最大收入為一元；

（2）如果快遞員一天累計送x小時甲類件，y小時乙類件，且x+y=8,x,y均為正整數，那么他一天的最

大收入為一元.

【答案】160180

【詳解】解：（1）由統計表可知:如果該快遞員一天工作8小時只送甲類件，則他的收入是

1x145=145（元）

如果該快遞員一天工作8小時只送乙類件，則他的收入是

2x80=160（元）

回他一天的最大收入是160元；

⑵依題意可知：尤和y均正整數，且x+y=8

①當x=l時，則y=7

回該快遞員一天的收入是1x30+2x70=30+140=170（元）；

②當x=2時，則y=6

回該快遞員一天的收入是1x55+2x60=55+120=175（元）；

③當x=3時，則y=5

團該快遞員一天的收入是lx80+2x50=80+100=180（元）；

④當x=4時,則y=4

團該快遞員一天的收入是1x100+2x40=100+80=180（元）；

⑤當x=5時，則y=3

團該快遞員一天的收入是1x115+2x30=115十60=175（元）；

⑥當x=6時,則y=2

團該快遞員一天的收入是1x125+2x20=125+40=165（元）；

⑦當x=7時，則y=l

團該快遞員一天的收入是1x135+2x10=135+20=155（元）

綜上討論可知：他一天的最大收入為180元.

故填：160；180.

3.（北京師范大學附屬實驗中學2024-2025學年九年級下學期3月）某陶藝工坊有A和8兩款電熱窯，可

以燒制不同尺寸的陶藝品，兩款電熱窯每次可同時放置陶藝品的尺寸和數量如表所示.

尺寸

數量（個）大中小

款式

A81525

B01020

燒制一個大尺寸陶藝品的位置可替換為燒制兩個中尺寸或六個小尺寸陶藝品，但燒制較小陶藝品的位置不

能替換為燒制較大陶藝品，某批次需要生產10個大尺寸陶藝品，50個中尺寸陶藝品，76個小尺寸陶藝品.

（1）燒制這批陶藝品，A款電熱窯至少使用次；

（2）若A款電熱窯每次燒制成本為55元，8款電熱窯每次燒制成本為25元，則燒制這批陶藝品成本最低

為元.

【答案】2135

【詳解】解：（1）設燒制這批陶藝品，A款電熱窯使用了x次，

根據題意,得8x210,

則尤

4

以為正整數，x的最小值為2,

團燒制這批陶藝品，A款電熱窯至少使用2次,

故答案為：2；

解：（2）0A款電熱窯每次燒制成本為55元，2款電熱窯每次燒制成本為25元，

團要使成本最低，則在保證能夠完成燒制任務的前提下，A款電熱窯的使用次數要保證使用次數最少，且8

款電熱窯的使用次數也要最少；

當A款電熱窯的使用次數為2次時，則可以燒制10個大尺寸陶藝品，30+2x（8*2-10-1）=40個中尺寸陶

藝品，25x2+1x6=56個小尺寸陶藝品，

團在此種情形下，只需要2款電熱窯的使用次數1次即可完成任務，

回燒制這批陶藝品成本最低為55x2+25=135,

故答案為：135.

4.（24-25九年級上?北京海淀?開學考試）綜合實踐課上，老師帶領學生制作甲，乙兩個航天器模型，已知

每個模型制作完成共需打磨、組裝、上色三道工序，制作要求如下：①兩個航天器模型分別按照打磨、組

裝、上色的順序依次由A,B,C三名學生完成；②同一個學生不能同時給兩個模型進行相同的工序；③

兩個航天器模型每道工序所需時間如表所示：

工序

時間打磨（A）組裝（B）上色（C）

模型

模型甲11分鐘9分鐘10分鐘

模型乙7分鐘12分鐘9分鐘

在不考慮其它因素的前提下，

（1）若只完成模型甲的制作，需要時間一分鐘；

（2）若這兩個模型都制作完成，所需的最短時間為一分鐘.

【答案】3038

【詳解】解：（1）11+9+10=30（分鐘）；

故答案為：30；

（2）①A先打磨乙模型用時7分鐘，

②A打磨甲模型與8組裝乙模型同時進行，用時11分鐘，（A完成，8再有1分鐘完成），11+1=12（分

鐘），

③8組裝甲模型與C上色乙模型同時進行，9分鐘都完成，

④C上色甲模型，10分鐘完成，

這兩個模型都制作完成，所需的最短時間為：7+12+9+10=38（分鐘）.

故答案為：38.

5.（2022?北京?中考真題）甲工廠將生產的I號、II號兩種產品共打包成5個不同的包裹，編號分別為A,

B,C,D,E,每個包裹的重量及包裹中I號、II號產品的重量如下：

包裹編號1號產品重量/噸II號產品重量/噸包裹的重量/噸

A516

B325

C235

D437

E358

甲工廠準備用一輛載重不超過19.5噸的貨車將部分包裹一次運送到乙工廠.

（1）如果裝運的I號產品不少于9噸，且不多于11噸，寫出一種滿足條件的裝運方案（寫出要裝

運包裹的編號）；

（2）如果裝運的I號產品不少于9噸，且不多于口噸，同時裝運的II號產品最多，寫出滿足條件的裝運方

案（寫出要裝運包裹的編號）.

【答案】ABC（或ABE或AD或ACE或ACD或BCD）ACE

【詳解】解:（1）根據題意,

選擇ABC時,裝運的I號產品重量為:5+3+2=10（噸），總重6+5+5=16<19.5（噸），符合要求;

選擇ABE時,裝運的I號產品重量為:5+3+3=11（噸），總重6+5+8=19<19.5（噸），符合要求;

選擇AD時，裝運的I號產品重量為:5+4=9（噸），總重6+7=13<19.5（噸），符合要求;

選擇ACD時,裝運的I號產品重量為:5+2+4=11（噸），總重6+5+7=18<19.5（噸），符合要求;

選擇BCD時,裝運的I號產品重量為:3+2+4=9（噸），總重5+5+7=17<19.5（噸），符合要求;

選擇DCE時,裝運的I號產品重量為:4+2+3=9（噸），總重7+5+8=20>19.5（噸），不符合要求;

選擇BDE時,裝運的I號產品重量為:3+4+3=10（噸），總重5+7+8=20>19.5（噸），不符合要求;

選擇ACE時,裝運的I號產品重量為:5+2+3=10（噸），總重6+5+8=19<19.5（噸），符合要求;

綜上，滿足條件的裝運方案有ABC或ABE或ACE或AD或ACD或BCD.

故答案為：ABC（或ABE或ACE或AD或ACD或BCD）.

（2）選擇ABC時，裝運的II號產品重量為：1+2+3=6（噸）；

選擇ABE時，裝運的II號產品重量為：1+2+5=8（噸）；

選擇AD時，裝運的II號產品重量為：1+3=4（噸）；

選擇ACD時，裝運的II號產品重量為：1+3+3=7（噸）；

選擇BCD時，裝運的II號產品重量為：2+3+3=8（噸）；

選擇ACE時，裝運的”號產品重量為：1+3+5=9（噸）.

故答案為：ACE.

【題型2圖表信息邏輯推理題】

主要考查了邏輯與推理，理解題意列舉出所有的順序情況是解題的關鍵.與圖形結合增加了該題的趣味

性，適當的作圖可以幫助更好的找到該類題的解題思路。

6.（2021?北京海淀?一模）圖1是一個2x2正方形網格，兩條網格線的交點叫做格點.甲、乙兩人在網格

中進行游戲，規則如下：

S1

游戲規則

o.兩人依次在網格中畫線段，線段的起點和終點均為格點；

b.新畫線段的起點為前一條線段的終點，且與任意已畫出線段不能有其它公共點；

c.已畫出線段的所有端點中，任意三個端點不能在同一條直線上；

d.當某人無法畫出新的線段時，則另一人獲勝.

如圖2,甲先畫出線段48,乙隨后畫出線段BC.若這局游戲繼續進行下去，最終的獲勝者是.（填

"甲"，"乙"或"不確定"）.

圖2

【答案】乙

【詳解】解：甲先畫出線段48,乙隨后畫出線段BC.

第三步應由甲走，甲從C向右走橫線到F,此時C、F、A三點在一線，不符合游戲規則,

甲只有向下走到D,

第四步應由乙走，乙從。向右走橫線到B,與任意已畫出線段不能有其他公共點，此方向不能走，如果向

下走到X,此時〃、D、C三點共線此路也不能走，只有沿斜下方走到E,

第五步應由甲走，甲從E起向右橫向走到G,此時C、B、G三點共線此路不能走，向上走到B,與已知線

段有公共點，此路不能走，斜向上走到此時，D、B、M三點共線，不能符合規則，則甲沒地方可走.

最終的獲勝者是"乙

故答案為：乙.

H

7.（2022?北京順義?二模）對于題目：“如圖1,平面上，正方形內有一長為12、寬為6的矩形，它可以

在正方形的內部及邊界通過移轉（即平移或旋轉）的方式，自由地從橫放移轉到豎放，求正方形邊長的最

小整數"甲、乙、丙作了自認為邊長最小的正方形，先求出該邊長x,再取最小整數

甲：如圖2,思路是當x為矩形對角線長時就可移轉過去；結果取“=14.

乙：如圖3,思路是當x為矩形外接圓直徑長時就可移轉過去；結果取w=14.

丙：如圖4,思路是當x為矩形的長與寬之和的也倍時就可移轉過去；結果取〃=13.

2

甲、乙、丙的思路和結果均正確的是.

【答案】甲、乙

【詳解】團矩形長為12寬為6,

團矩形的對角線長為：n=762+122=6A/5>

回矩形在該正方形的內部及邊界通過平移或旋轉的方式，自由地從橫放變換到豎放,

回該正方形的邊長不小于6非,

013<6A/5<14,

團該正方形邊長的最小整數n為14.

故甲的思路正確，長方形對角線最長，只要對角線能通過就可以，結果也正確；

乙的思路正確，長方形對角線就是圓的直徑最長，只要圓能通過就可以，結果也正確；

丙的思路錯誤，長方形對角線最長，只要對角線能通過才可以，故丙的思路與結果都錯誤；

故答案為：甲、乙.

8.（24-25九年級下?北京海淀?開學考試）某公司有四個部門：A、B、C、D,需要選擇會議室，部門A、

B、C、。需要的會議室數量分別為2、3、4、5個.會議室的編號為1至15號，電梯口左右兩側分別是

單數編號的會議室和雙數編號的會議室，如圖所示.每個部門在選擇會議室時，只能選擇相鄰的會議室，

并且所選會議室的編號之和盡可能小.如果部門A先選，它選擇了1號和2號會議室，接著部門B選擇了3

號、5號、7號會議室，要使部門C、。都能選到會議室，則接下來應該讓_________（填C或者。）部門

選.如果部門C首先選擇會議室，要使其他三個部門都能選到會議室，寫出一種滿足條件的選擇會議室的

先后順序.

I/~~\I/---I/------\I/---\I/---\I/---KI/---\I/---I/------<I/---\I/---KI1---KI/---\I/---\I/—XI

【答案】DAfDf3或OfBfA

【詳解】解：（1）如果部門A先選，它選擇了1號和2號會議室，接著部門B選擇了3號、5號、7號會

議室，

若接下來讓部門C選，它會選擇4號、6號、8號、10號會議室，此時剩下的會議室沒有5個相鄰的，則部

門。不能選上會議室，不符合題意；

若接下來讓部門。選，它會選擇4號、6號、8號、10號、12號會議室，最后讓部門C選，它會選擇9號、

11號、13號、15號會議室，則部門C、。都能選到會議室，符合題意；

故答案為：D.

（2）如果部門C首先選擇會議室，由題意可知，它會選擇1號、2號、4號、6號會議室，

下面分3種情況討論：

①接下來讓部門A選，它會選擇3號、5號會議室：

若接下來讓部門B選，它會選擇7號、9號、11號會議室，此時剩下的會議室沒有5個相鄰的，則部門。不

能選上會議室，不符合題意；

若接下來讓部門。選，它會選擇7號、9號、11號、13號、15號會議室，最后讓部門8選，它會選擇8號、

10號、12號會議室，則部門A、B、。都能選到會議室，符合題意；

②接下來讓部門B選，它會選擇3號、5號、7號會議室，此時剩下的會議室沒有5個相鄰的，則部門。不

能選上會議室，不符合題意；

③接下來讓部門。選，它會選擇3號、5號、7號、9號、11號會議室：

若接下來讓部門A選，它會選擇8號、10號會議室，此時剩下的會議室沒有3個相鄰的，則部門3不能選

上會議室，不符合題意；

若接下來讓部門8選，它會選擇8號、10號、12號會議室，最后讓部門A選，它會選擇13號、15號會議

室，則部門A、B、。都能選到會議室，符合題意；

二綜上所述，滿足條件的選擇會議室的先后順序為或Of3fA.

故答案為：&--3或DFB-A.

9.（24-25九年級下?北京海淀?開學考試）小宇和同學們一起玩填數游戲，規則如下：

游戲規則

?將卜8的密畋分別均入右圖的8個留圈中.

?填數時每個數必須使用一次,且不俺盛夏；

?圖中用線收相連的兩個中所填數的差的

絕對值必現大于I.

根據上述規則，

（1）在圓圈。中可以填寫的數字為（寫出一個即可）；

（2）若圓圈6中填寫的數字為3,則圓圈c中所有可能填寫的數字為.

【答案】答案不唯一，例如15

【詳解】解：（1）根據題意，圓圈。中可以填寫的數字為1或8,

故答案為：1,答案不唯一；

（2）若圓圈b中填寫的數字為3,圓圈。中填寫的數字為1時，如圖所示：

圓圈。中填寫的數字為1時，如圖所示:

圓圈c中沒有符合題意的可填寫的數字；

故答案為：5.

10.（24-25九年級下?北京西城?開學考試）2019年11月，聯合國教科文組織將每年的3月14日定為“國際

數學日"，也被許多人稱為兀節”

某校今年"無節"策劃了五個活動，規則見下圖：

盛心“九節”活動規則一7

'1/A

?活動前每人先發一枚“萬幣”活動名稱獎勵的“萬幣”數量/枚

24點2

?每參與一個活動消耗一枚“7

數獨2

?沒有“萬幣”不能參與活動華容道

*每個活動至多參與一次魔方

?挑戰成功,按右表發放獎勵魯班鎖4

<?挑戰失敗，謝謝參與

小云參與了所有活動.

（1）若小云只挑戰成功一個，則挑戰成功的活動名稱為—；

（2）若小云共挑戰成功兩個，且她參與的第四個活動成功，則小云最終剩下的"兀幣"數量的所有可能取值

為一

【答案】魯班鎖1枚、2枚或3枚

【詳解】解：（1）回小云參與了所有活動，且小云只挑戰成功一個，

回小云用活動前發放的一枚、幣”參與了魯班鎖，且挑戰成功，贏得4枚，幣〃，再次參與了其余四個活動,

未挑戰成功，

故答案為：魯班鎖；

（2）團小云共挑戰成功兩個，且參與的第四個活動成功，

團小云參與的第一個活動成功，且為華容道、魔方或魯班鎖，

若參與的第一個活動為華容道，則參與的第四個活動可能為24點、數獨、魔方或魯班鎖，最終剩下的，幣"

數量可能是1枚、2枚或3枚，

若參與的第一個活動為魔方，則參與的第四個活動可能為24點、數獨、華容道或魯班鎖，最終剩下的，幣”

數量可能是1枚、2枚或3枚，

若參與的第一個活動為魯班鎖，則參與的第四個活動可能為24點、數獨、華容道或魔方，最終剩下的，幣”

數量可能是2枚或3枚，

故答案為：1枚、2枚或3枚.

【題型3文字信息邏輯推理題】

考查推理與論證，解題的關鍵是根據題意，分析其存在的規律和方法;

11.（2022?北京房山?一模）某市為進一步加快文明城市的建設，園林局嘗試種植A、B兩種樹種.經過試

種后發現，種植A種樹苗。棵，種下后成活了仁。+5]棵，種植8種樹苗6棵，種下后成活了（6-2）棵.第

一階段兩種樹苗共種植40棵，且兩種樹苗的成活棵樹相同，則種植A種樹苗棵.第二階段，該園

林局又種植A種樹苗加棵，B種樹苗"棵，若根=2”，在第一階段的基礎上進行統計，則這兩個階段種植A

種樹苗成活棵數種植8種樹苗成活棵數（填"或“="）.

【答案】22>

[1<7c

—。+5=b—2

【詳解】解：第一階段，依題意得：2,

a+b=40

則種植A種樹苗22棵；

第二階段，回種植A種樹苗根棵，5種樹苗幾棵，若m=2m

M種樹苗成活了g機+5=幾+5（棵），

8種樹苗成活了小2（棵），

團這兩個階段A種樹苗共成活了1x22+5+n+5=〃+21（棵），

B種樹苗共成活了18-2+"-2="+14（棵），

0n+21>n+14,

團這兩個階段A種樹苗共成活棵數>8種樹苗共成活棵數，

故答案為：〉.

12.（北京市第十五中學2024-2025學年九年級下學期開學）張華在網上經營一家禮品店，春節期間準備

推出四套禮品進行促銷，其中禮品甲45元/套，禮品乙50元/套，禮品閃70元/套，禮品丁80元/套，如果

顧客一次購買禮品的總價達到100元，顧客就少付x元，每筆訂單顧客網上支付成功后，張華會得到支付

款的80%.

①當x=5時，顧客一次購買禮品甲和禮品丁各1套，需要支付元；

②在促銷活動中，為保證張華每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的六折，則x的最大值為.

【答案】12025

【詳解】解：（1）當x=5時，顧客一次購買禮品甲和禮品丁各1套，需要支付：45+80-5=120元.

故答案為：120.

（2）設顧客一次購買干果的總價為M元，當0<M<100時，張軍每筆訂單得到的金額不低于促銷前總價

的六折，當M2100時,0.8（M-x）S0.6M,解得,0.8xV0.2M.

0M>1OO恒成立，

0O.8x<2OO

解得：x<25.

故答案為25.

13.（2024?北京西城?模擬預測）小黃、小劉、小李三人進行乒乓球比賽賽前訓練，每局兩人進行比賽，第

三個人做裁判，每一局都要分出勝負，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉做裁判，依次進行.半

天訓練結束時，發現小李共當裁判9局，小劉、小黃分別進行了23局、13局比賽，在這半天的訓練中，三

人共進行了局比賽，其中第9局比賽的裁判是.

【答案】27小黃

【詳解】解：.,小李共當裁判9局，

二.小劉和小黃之間打了9局，

小劉、小黃分別進行了23局、13局比賽，

二.小劉和小李之間進行了23-9=14局比賽，

小黃和小李之間進行了13-9=4局比賽，

???三人一共打了9+14+4=27局比賽，

?小劉打了23局比賽、小黃打了13局比賽，

二小劉當裁判4局，小黃當裁判14局，

而小李當裁判9局，從1到27共14個奇數，13個偶數，

;每一局都有勝負，

???不會出現連續做裁判的情況，

小黃當裁判的局為奇數局，

第9局比賽的裁判是小黃，

故答案為：27；小黃

14.（2024?北京順義?一模）小明觀看了紙牌魔術表演，非常感興趣，并做了如下實驗和探究：

將幾張紙牌摞起來（從上面分別記為第1張，第2張，第3張），先將第1張牌放到整摞牌的下面，再去

掉第2張牌；繼續將第3張牌放在整摞牌的下面，再去掉第4張牌……如此循環往復，最終到只留下一張紙

牌為止.例如，若將4張紙牌摞起來，按上述規則操作，陸續去掉第2張，第4張，第3張，最終留下第1

張紙牌.將8張紙牌摞起來，按上述規則操作，最終留下的是第張紙牌；將相張紙牌摞起來，按上

述規則操作，若最終留下的是第1張紙牌，則〃2=（用含”的代數式表示，其中“為自然數）.

【答案】12"

【詳解】解：8張紙牌順序從上到下為，（將1張牌放到牌底，去掉下一張視為一輪），1,2,3,4,5,6,

7,8,

前四輪去掉了2,4,6,8,

還剩下4張紙牌從上至下為1,3,5,7,

再經過2輪去掉3,7,

還利2張紙牌、從上至下為1,5,

再經過1輪，去掉5,

最終剩下的是原來的第1張紙牌；

由條件中4張紙牌，按上述規則操作后，最后留下的第1張紙牌，

將機張紙牌摞起來，按上述規則操作，若最終留下的是第1張紙牌，

團/=2"；

故答案為：1；2".

15.（2023?北京房山?二模）甲、乙、丙三位同學進行象棋比賽訓練，兩人先比，若分出勝負，則由第三個

人與勝者比賽；若是和棋，則這兩個人繼續下一局比賽，直到分出勝負.如此進行......比賽若干局后，甲勝

4局，負2局；乙勝3局，負3局；若丙負3局，那么丙勝了局，三位同學至少進行了局比

賽.

【答案】18

【詳解】解：總負局數為2+3+3=8,而甲、乙勝局數為4+3=7,故丙勝局數為8-7=1,

故答案為：1,8

限時提升練

（建議用時：20分鐘）

1.現在有三個倉庫A、4、4,分別存有7噸、12噸、11噸某原材料；要將這種原材料運往三個加工廠與、

與、層，每個加工廠都需要10噸原材料.從每個倉庫運送1噸材料到每個加工廠的成本如下表所示（單位:

元/噸）：

耳層B}

A(7t)126

4(12t)042

A3(lit)315

現在要讓每個倉庫清倉、每個加工廠都得到足夠的材料，

（1）如果從4運10噸到4、運1噸到當，從A運7噸到層，那么從4需要運