2025屆山東濟(jì)寧市兗州區(qū)高三5月校質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（）A． B． C． D．2．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是由一個(gè)棱柱挖去一個(gè)棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．72 B．64 C．48 D．323．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則的解集是（）A． B．C． D．4．已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A． B．C． D．5．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．46．已知向量，，則與共線的單位向量為()A． B．C．或 D．或7．關(guān)于函數(shù)，有下述三個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的一個(gè)周期為；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③函數(shù)的值域?yàn)?其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①② B．② C．②③ D．③8．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則公比（）A．1 B．2 C．3 D．49．下列函數(shù)中，圖象關(guān)于軸對(duì)稱的為（）A． B．，C． D．10．某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為，設(shè)地球半徑為，該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為，則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）A． B．C． D．11．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若變量x，y滿足：，且滿足，則參數(shù)t的取值范圍為_(kāi)______.14．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的公比是．15．某中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)班共有10人，分為甲、乙兩個(gè)小組，在一次階段測(cè)試中兩個(gè)小組成績(jī)的莖葉圖如圖所示，若甲組5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為81，乙組5名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為73，則x-y的值為_(kāi)_______．16．“六藝”源于中國(guó)周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”．某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動(dòng)中開(kāi)展了“六藝”知識(shí)講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“禮”與“樂(lè)”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為_(kāi)_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，；（2）若對(duì)任意存在和使成立，求實(shí)數(shù)的最小值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)F在直線上，平行于x軸的兩條直線，分別交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交該拋物線的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn).（1）求拋物線C的方程；（2）若F在線段上，P是的中點(diǎn)，證明：.19．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．20．（12分）4月23日是“世界讀書(shū)日”，某中學(xué)開(kāi)展了一系列的讀書(shū)教育活動(dòng)．學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書(shū)小組（每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書(shū)小組）學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問(wèn)卷調(diào)查．各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：小組甲乙丙丁人數(shù)12969（1）從參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人來(lái)自同一個(gè)小組的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，滿足條件．（1）求角；（2）若邊上的高為，求的長(zhǎng)．22．（10分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，（Ⅰ）證明；AC⊥BP；（Ⅱ）求直線AD與平面APC所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

聯(lián)立方程解得M(3，)，根據(jù)MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，計(jì)算距離得到答案.【詳解】依題意得F(1,0)，則直線FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x軸的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形點(diǎn)M到直線NF的距離為故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.2、B【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，利用體積公式，即可求解。【詳解】由題意，幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4，高為3的正四棱錐，所以幾何體的體積為，故選B。【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解。3、B【解析】

利用函數(shù)奇偶性可求得在時(shí)的解析式和，進(jìn)而構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.【詳解】為定義在上的奇函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，，為奇函數(shù)，，由得：或；綜上所述：若，則的解集為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對(duì)稱區(qū)間的解析式；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略奇函數(shù)在處有意義時(shí)，的情況.4、C【解析】

當(dāng)時(shí)，最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫(huà)函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得．【詳解】當(dāng)時(shí)，，得；最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，即時(shí)，，在，上遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)．不合題意；當(dāng)，即時(shí)，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn)；根據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在，上有2個(gè)零點(diǎn)，如圖：且，解得，，．故選．【點(diǎn)睛】遇到此類問(wèn)題，不少考生會(huì)一籌莫展.由于方程中涉及兩個(gè)參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過(guò)程中有可能分類不全面、不徹底.5、A【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即的關(guān)系，求出雙曲線的離心率.【詳解】解：設(shè)雙曲線的半個(gè)焦距為，由題意又，則，，，所以離心率，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題6、D【解析】

根據(jù)題意得，設(shè)與共線的單位向量為，利用向量共線和單位向量模為1，列式求出即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，設(shè)與共線的單位向量為，則，解得或所以與共線的單位向量為或.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.7、C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)時(shí)，，，再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換，函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，而，當(dāng)時(shí)，再求值域.【詳解】因?yàn)椋盛馘e(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故②正確；函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域，易知，故當(dāng)時(shí)，，故③正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.8、C【解析】

由正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，即，又，即，運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋裕郑裕郑獾?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.9、D【解析】

圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.【詳解】圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)；A中，，，故為奇函數(shù)；B中，的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)；C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；D中，且，，故為偶函數(shù).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法：對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有，則函數(shù)是奇函數(shù)；都有，則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)對(duì)稱．10、A【解析】

由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合橢圓的離心率,求出橢圓的長(zhǎng)半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率：，（c為半焦距;a為長(zhǎng)半軸），設(shè)衛(wèi)星近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面距離分別為r，n，如圖：則所以,,故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長(zhǎng)半軸的求法,是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.11、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B；又，，所以排除選項(xiàng)A、C，故選D．12、C【解析】

求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【詳解】由得，在時(shí)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，∴是增函數(shù)，∴由得，解得．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，解題時(shí)可先確定函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)變量x，y滿足：，畫(huà)出可行域，由，解得直線過(guò)定點(diǎn)，直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與可行域有交點(diǎn)即可，再結(jié)合圖象利用斜率求解.【詳解】由變量x，y滿足：，畫(huà)出可行域如圖所示陰影部分，由，整理得，由，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，由，解得，由，解得，要使，則與可行域有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，滿足條件，當(dāng)時(shí)，直線得斜率應(yīng)該不小于AC，而不大于AB，即或，解得，且，綜上：參數(shù)t的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.14、.【解析】

當(dāng)q=1時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以.15、【解析】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念，求出x、y的值.【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得：甲班5名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為，解得；又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73，則；.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計(jì)算中位數(shù)、平均數(shù)，考查數(shù)據(jù)分析能力，屬于簡(jiǎn)單題.16、【解析】

分步排課，首先將“禮”與“樂(lè)”排在前兩節(jié)，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個(gè)元素與其它兩個(gè)元素合起來(lái)全排列，同時(shí)它們內(nèi)部也全排列．【詳解】第一步：先將“禮”與“樂(lè)”排在前兩節(jié)，有種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全排有種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂(lè)”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)為．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用，排列組合問(wèn)題中，遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則，相鄰問(wèn)題用捆綁法，不相鄰問(wèn)題用插入法．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）不等式等價(jià)于，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可證恒成立，從而原不等式成立.（2）由題設(shè)條件可得在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性后可得其最小值，結(jié)合前述的集合的包含關(guān)系可得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由，所以在上是減函數(shù)，所以，故.因?yàn)椋裕援?dāng)時(shí)，.（2）由（1）當(dāng)時(shí)，；任意，存在和使成立，所以在上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，（1）當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不合題意；（2）當(dāng)時(shí)，，由題意知在上不單調(diào)，所以，即，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以，解得，因?yàn)椋猿闪ⅲ旅孀C明存在，使得，取，先證明，即證，令，則在時(shí)恒成立，所以成立，因?yàn)椋詴r(shí)命題成立.因?yàn)椋?故實(shí)數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立、等式能成立中的應(yīng)用，前者注意將欲證不等式合理變形，轉(zhuǎn)化為容易證明的新不等式，后者需根據(jù)等式能成立的特點(diǎn)確定出函數(shù)應(yīng)該具有的性質(zhì)，再利用導(dǎo)數(shù)研究該性質(zhì)，本題屬于難題.18、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)在直線上，可求得的值，從而求得拋物線的方程；（2）法一：設(shè)直線，的方程分別為和且，，，可得，，，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的方程，根據(jù)在直線上，可得，再分別求得，，即可得證；法二：設(shè)，，則，根據(jù)直線的斜率不為0，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別求出，，化簡(jiǎn)，即可得證.【詳解】（1）拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且該點(diǎn)在直線上，所以，解得，故所求拋物線C的方程為（2）法一：由點(diǎn)F在線段上，可設(shè)直線，的方程分別為和且，，，則，，，.∴直線的方程為，即.又點(diǎn)在線段上，∴.∵P是的中點(diǎn)，∴∴，.由于，不重合，所以法二：設(shè)，，則當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不符合題意，故可設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線的方程，得又，為該方程兩根，所以，，，.，由于，不重合，所以【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．19、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)即可求出函數(shù)的最小正周期根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)在定義域上的最大值和最小值【詳解】（Ⅰ）由題意得原式的最小正周期為.（Ⅱ），.當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.綜上，得時(shí)，取得最小值為0；當(dāng)時(shí)，取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式展開(kāi)，輔助角公式，三角函數(shù)的性質(zhì)等，較為綜合，也是常考題型，需要計(jì)算正確，屬于基礎(chǔ)題20、（1）（2）見(jiàn)解析，【解析】

（1）采用分層抽樣的方法甲組抽取4人，乙組抽取3人，丙組抽取2人，丁組抽取3人，從參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，基本事件總數(shù)為，這兩人來(lái)自同一小組取法共有，由此可求出所求的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，而甲、丙兩個(gè)小組學(xué)生分別有4人和2人，所以抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題設(shè)易得，問(wèn)卷調(diào)查從四個(gè)小組中抽取的人數(shù)分別為4，3，2，3（人），從參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名的取法共有（種），抽取的兩名學(xué)生來(lái)自同一小組的取法共有（種），所以，抽取的兩名學(xué)生來(lái)自同一個(gè)小組的概率為（2）由（1）知，在參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中，來(lái)自甲、丙兩小組的學(xué)生人數(shù)分別為4人、2人，所以，抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0，1，2,因?yàn)樗噪S機(jī)變量的分布列為：012所求的期望為【點(diǎn)睛】此題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查分層抽樣、古典概型、排列組合等知識(shí)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.21、（1）．（2