浙江省杭州市第二中學2025屆高三二模數學試題試卷（B版）考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列的前項和為，且，，則()A． B． C． D．2．函數的部分圖象大致為（）A． B．C． D．3．在中，角的對邊分別為，，若，，且，則的面積為（）A． B． C． D．4．在中所對的邊分別是，若，則（）A．37 B．13 C． D．5．五行學說是華夏民族創造的哲學思想，是華夏文明重要組成部分.古人認為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關系.若從5類元素中任選2類元素，則2類元素相生的概率為（）A． B． C． D．6．若函數f(x)＝x3＋x2－在區間(a，a＋5)上存在最小值，則實數a的取值范圍是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)7．函數的大致圖象是A． B． C． D．8．“且”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知，，，則的最小值為（）A． B． C． D．10．在中，，，，若，則實數()A． B． C． D．11．等差數列中，，，則數列前6項和為（）A．18 B．24 C．36 D．7212．函數的圖像大致為（）.A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則_____14．在中，，，，則繞所在直線旋轉一周所形成的幾何體的表面積為______________.15．已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上任一點，且的最小值為，則該雙曲線的離心率是__________.16．曲線在點處的切線方程是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.18．（12分）某工廠，兩條相互獨立的生產線生產同款產品，在產量一樣的情況下通過日常監控得知，生產線生產的產品為合格品的概率分別為和.（1）從，生產線上各抽檢一件產品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.（2）假設不合格的產品均可進行返工修復為合格品，以（1）中確定的作為的值.①已知，生產線的不合格產品返工后每件產品可分別挽回損失元和元．若從兩條生產線上各隨機抽檢件產品，以挽回損失的平均數為判斷依據，估計哪條生產線挽回的損失較多？②若最終的合格品（包括返工修復后的合格品）按照一、二、三等級分類后，每件分別獲利元、元、元，現從，生產線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測，結果統計如下圖；用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產一件產品的利潤為，求的分布列并估算該廠產量件時利潤的期望值.19．（12分）某市為了鼓勵市民節約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過度的部分按元/度收費，超過度但不超過度的部分按元/度收費，超過度的部分按元/度收費．（I）求某戶居民用電費用（單位：元）關于月用電量（單位：度）的函數解析式；（Ⅱ）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份戶居民每戶的用電量，統計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這戶居民中，今年1月份用電費用不超過元的占，求，的值；（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下，若以這戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數據用該組區間的中點代替，記為該居民用戶1月份的用電費用，求的分布列和數學期望.20．（12分）在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是的中點.（1）證明：平面；（2）設是直線上的動點，當點到平面距離最大時，求面與面所成二面角的正弦值.21．（12分）已知函數，.（1）求函數在處的切線方程；（2）當時，證明：對任意恒成立.22．（10分）如圖，正方體的棱長為2，為棱的中點.（1）面出過點且與直線垂直的平面，標出該平面與正方體各個面的交線（不必說明畫法及理由）；（2）求與該平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據已知條件判斷出數列是等比數列，求得其通項公式，由此求得.【詳解】由于，所以數列是等比數列，其首項為，第二項為，所以公比為.所以，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查等比數列的證明，考查等比數列通項公式，屬于基礎題.2、B【解析】

圖像分析采用排除法，利用奇偶性判斷函數為奇函數，再利用特值確定函數的正負情況。【詳解】，故奇函數，四個圖像均符合。當時，，，排除C、D當時，，，排除A。故選B。【點睛】圖像分析采用排除法，一般可供判斷的主要有：奇偶性、周期性、單調性、及特殊值。3、C【解析】

由，可得，化簡利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面積．【詳解】解：，，且，，化為：．，解得．．故選：．【點睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．4、D【解析】

直接根據余弦定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，屬于基礎題．5、A【解析】

列舉出金、木、水、火、土任取兩個的所有結果共10種，其中2類元素相生的結果有5種，再根據古典概型概率公式可得結果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結果，其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結果，所以2類元素相生的概率為，故選A.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數是解題的關鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現象的發生.6、C【解析】

求函數導數，分析函數單調性得到函數的簡圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.【詳解】由題意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數，在(－2，0)上是減函數，作出其圖象如圖所示．令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，則結合圖象可知，解得a∈[－3，0)，故選C.【點睛】本題主要考查了利用函數導數研究函數的單調性，進而研究函數的最值，屬于常考題型.7、A【解析】

利用函數的對稱性及函數值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數為奇函數，可排除B選項；當時，，可排除D選項；當時，，當時，，即，可排除C選項，故選：A【點睛】本題考查了函數圖象的判斷，函數對稱性的應用，屬于中檔題．8、A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區域,即可進行判斷.【詳解】如圖，“且”表示的區域是如圖所示的正方形，記為集合P，“”表示的區域是單位圓及其內部，記為集合Q，顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件，故選:.【點睛】本題考查了不等式表示的平面區域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.9、B【解析】,選B10、D【解析】

將、用、表示，再代入中計算即可.【詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算，是一道中檔題.11、C【解析】

由等差數列的性質可得，根據等差數列的前項和公式可得結果.【詳解】∵等差數列中，，∴，即，∴，故選C.【點睛】本題主要考查了等差數列的性質以及等差數列的前項和公式的應用，屬于基礎題.12、A【解析】

本題采用排除法:由排除選項D；根據特殊值排除選項C;由,且無限接近于0時,排除選項B；【詳解】對于選項D:由題意可得,令函數,則,;即.故選項D排除;對于選項C：因為,故選項C排除;對于選項B:當,且無限接近于0時,接近于,，此時.故選項B排除;故選項:A【點睛】本題考查函數解析式較復雜的圖象的判斷;利用函數奇偶性、特殊值符號的正負等有關性質進行逐一排除是解題的關鍵;屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

化簡得，利用周期即可求出答案．【詳解】解：，∴函數的最小正周期為6，∴，，故答案為：．【點睛】本題主要考查三角函數的性質的應用，屬于基礎題．14、【解析】

由題知該旋轉體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，根據圓錐側面積計算公式可得.【詳解】解：由題知該旋轉體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，在中，，，，如下圖所示，底面圓的半徑為，則所形成的幾何體的表面積為.故答案為：.【點睛】本題考查旋轉體的表面積計算問題，屬于基礎題.15、【解析】

根據雙曲線方程，設及，將代入雙曲線方程并化簡可得，由題意的最小值為，結合平面向量數量積的坐標運算化簡，即可求得的值，進而求得離心率即可.【詳解】設點，，則，即，∵，，，當時，等號成立，∴，∴，∴.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線與向量的綜合應用，由平面向量數量積的最值求離心率，屬于中檔題.16、【解析】

利用導數的幾何意義計算即可.【詳解】由已知，，所以，又，所以切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導數的幾何意義，考查學生的基本計算能力，要注意在某點處的切線與過某點的切線的區別，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2).【解析】

分析：（1）先根據絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍．詳解：（1）當時，可得的解集為．（2）等價于．而，且當時等號成立．故等價于．由可得或，所以的取值范圍是．點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數形結合思想，將絕對值不等式與函數以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數、數形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．18、(1)(2)①生產線上挽回的損失較多.②見解析【解析】

(1)由題意得到關于的不等式，求解不等式得到的取值范圍即可確定其最小值；(2)①.由題意利用二項分布的期望公式和數學期望的性質給出結論即可；②.由題意首先確定X可能的取值，然后求得相應的概率值可得分布列，最后由分布列可得利潤的期望值.【詳解】（1）設從，生產線上各抽檢一件產品，至少有一件合格為事件，設從，生產線上抽到合格品分別為事件，，則，互為獨立事件由已知有，則解得，則的最小值（2）由（1）知，生產線的合格率分別為和，即不合格率分別為和.①設從，生產線上各抽檢件產品，抽到不合格產品件數分別為，，則有，，所以，生產線上挽回損失的平均數分別為：，所以生產線上挽回的損失較多.②由已知得的可能取值為，，，用樣本估計總體，則有，，所以的分布列為所以（元）故估算估算該廠產量件時利潤的期望值為（元）【點睛】本題主要考查概率公式的應用，二項分布的性質與方差的求解，離散型隨機變量及其分布列的求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.19、（1）；（2），；（3）見解析.【解析】試題分析:（1）根據題意分段表示出函數解析式;（2）將代入（1）中函數解析式可得，即，根據頻率分布直方圖可分別得到關于的方程,即可得;（3）取每段中點值作為代表的用電量,分別算出對應的費用值,對應得出每組電費的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.試題解析:（1）當時，；當當時，；當當時，，所以與之間的函數解析式為.（2）由（1）可知，當時，，則，結合頻率分布直方圖可知，∴，（3）由題意可知可取50，150，250，350，450，550，當時，，∴，當時，，∴，當時，，∴，當時，，∴，當時，，∴，當時，，∴，故的概率分布列為25751402203104100.10.20.30.20.150.05所以隨機變量的數學期望20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點，連接，根據菱形的性質，結合線面垂直的判定定理和性質進行證明即可；（2）根據面面垂直的判定定理和性質定理，可以確定點到直線的距離即為點到平面的距離，結合垂線段的性質可以確定點到平面的距離最大，最大值為1.以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系.利用空間向量夾角公式，結合同角的三角函數關系式進行求解即可.【詳解】（1）證明：取中點，連接，因為四邊形為菱形且.所以，因為，所以，又，所以平面，因為平面，所以.同理可證，因為，所以平面.（2）解：由（1）得平面，所以平面平面，平面平面.所以點到直線的距離即為點到平面的距離.過作的垂線段，在所有的垂線段中長度最大的為，此時必過的中點，因為為中點，所以