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文檔簡介
2025屆四川省廣元市萬達中學(xué)高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題文試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.如圖所示,已知某幾何體的三視圖及其尺寸(單位:),則該幾何體的表面積為()A. B.C. D.3.已知直線過雙曲線C:的左焦點F,且與雙曲線C在第二象限交于點A,若(O為坐標原點),則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.4.過橢圓的左焦點的直線過的上頂點,且與橢圓相交于另一點,點在軸上的射影為,若,是坐標原點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.5.已知集合,,則()A. B. C. D.6.費馬素數(shù)是法國大數(shù)學(xué)家費馬命名的,形如的素數(shù)(如:)為費馬索數(shù),在不超過30的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是()A. B. C. D.7.已知,,分別是三個內(nèi)角,,的對邊,,則()A. B. C. D.8.某設(shè)備使用年限x(年)與所支出的維修費用y(萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分別為,,,,由最小二乘法得到回歸直線方程為,若計劃維修費用超過15萬元將該設(shè)備報廢,則該設(shè)備的使用年限為()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年9.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則等于()A.3 B.C.2 D.10.已知分別為雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.11.已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為().A. B. C. D.12.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A. B.(1,2), C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.春天即將來臨,某學(xué)校開展以“擁抱春天,播種綠色”為主題的植物種植實踐體驗活動.已知某種盆栽植物每株成活的概率為,各株是否成活相互獨立.該學(xué)校的某班隨機領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株,設(shè)為其中成活的株數(shù),若的方差,,則________.14.已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,則的取值范圍為_____.15.隨著國力的發(fā)展,人們的生活水平越來越好,我國的人均身高較新中國成立初期有大幅提高.為了掌握學(xué)生的體質(zhì)與健康現(xiàn)狀,合理制定學(xué)校體育衛(wèi)生工作發(fā)展規(guī)劃,某市進行了一次全市高中男生身高統(tǒng)計調(diào)查,數(shù)據(jù)顯示全市30000名高中男生的身高(單位:)服從正態(tài)分布,且,那么該市身高高于的高中男生人數(shù)大約為__________.16.已知拋物線的焦點為,斜率為2的直線與的交點為,若,則直線的方程為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)從拋物線C:()外一點作該拋物線的兩條切線PA、PB(切點分別為A、B),分別與x軸相交于C、D,若AB與y軸相交于點Q,點在拋物線C上,且(F為拋物線的焦點).(1)求拋物線C的方程;(2)①求證:四邊形是平行四邊形.②四邊形能否為矩形?若能,求出點Q的坐標;若不能,請說明理由.18.(12分)如圖,在直角中,,通過以直線為軸順時針旋轉(zhuǎn)得到().點為斜邊上一點.點為線段上一點,且.(1)證明:平面;(2)當(dāng)直線與平面所成的角取最大值時,求二面角的正弦值.19.(12分)已知函數(shù)(1)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(2)求證:20.(12分)已知,均為給定的大于1的自然數(shù),設(shè)集合,.(Ⅰ)當(dāng),時,用列舉法表示集合;(Ⅱ)當(dāng)時,,且集合滿足下列條件:①對任意,;②.證明:(ⅰ)若,則(集合為集合在集合中的補集);(ⅱ)為一個定值(不必求出此定值);(Ⅲ)設(shè),,,其中,,若,則.21.(12分)隨著時代的發(fā)展,A城市的競爭力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬.近日,某報社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷,參與調(diào)查的對象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計自然環(huán)境1.森林城市,空氣清新2003002.降水充足,氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計10001000(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人;(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表,并判斷是否有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)?自然環(huán)境人文環(huán)境合計男女合計附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822.(10分)已知點P在拋物線上,且點P的橫坐標為2,以P為圓心,為半徑的圓(O為原點),與拋物線C的準線交于M,N兩點,且.(1)求拋物線C的方程;(2)若拋物線的準線與y軸的交點為H.過拋物線焦點F的直線l與拋物線C交于A,B,且,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
通過列舉法可求解,如兩角分別為時【詳解】當(dāng)時,,但,故充分條件推不出;當(dāng)時,,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】
由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知,該幾何體是一個圓錐,其母線長是5,底面直徑是6,該幾何體的表面積.故選:C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識,幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.3、B【解析】
直線的傾斜角為,易得.設(shè)雙曲線C的右焦點為E,可得中,,則,所以雙曲線C的離心率為.故選B.4、D【解析】
求得點的坐標,由,得出,利用向量的坐標運算得出點的坐標,代入橢圓的方程,可得出關(guān)于、、的齊次等式,進而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由,得,則,即.而,所以,所以點.因為點在橢圓上,則,整理可得,所以,所以.即橢圓的離心率為故選:D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解,解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式,充分利用點在橢圓上這一條件,圍繞求點的坐標來求解,考查計算能力,屬于中等題.5、D【解析】
先求出集合B,再與集合A求交集即可.【詳解】由已知,,故,所以.故選:D.【點睛】本題考查集合的交集運算,考查學(xué)生的基本運算能力,是一道容易題.6、B【解析】
基本事件總數(shù),能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和只有,,,共有個,根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過的正偶數(shù)中隨機選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的只有,,,共有個則它能表示為兩個不同費馬素數(shù)的和的概率是本題正確選項:【點睛】本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問題,是基礎(chǔ)題.7、C【解析】
原式由正弦定理化簡得,由于,可求的值.【詳解】解:由及正弦定理得.因為,所以代入上式化簡得.由于,所以.又,故.故選:C.【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形,三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,屬于中檔題.8、D【解析】
根據(jù)樣本中心點在回歸直線上,求出,求解,即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上,,由,估計第年維修費用超過15萬元.故選:D.【點睛】本題考查回歸直線過樣本中心點、以及回歸方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,從而求得,然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】,所以,,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題,涉及到的知識點有復(fù)數(shù)的乘除運算,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題目.10、A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【詳解】.又,可令,則.設(shè),得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來,從而再由勾股定理建立的關(guān)系.11、D【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,所以,解得,所以二項式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為.考點:二項式系數(shù),二項式系數(shù)和.12、A【解析】
若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率.根據(jù)這個結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】已知雙曲線的右焦點為,若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率,,離心率,,故選:.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,解題時要注意挖掘隱含條件.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意可知:,且,從而可得值.【詳解】由題意可知:∴,即,∴故答案為:【點睛】本題考查二項分布的實際應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,考查計算能力,屬于中檔題.14、【解析】
兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于軸對稱的點的等價命題是方程在區(qū)間上有解,化簡方程在區(qū)間上有解,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),求出單調(diào)區(qū)間,利用函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】解:根據(jù)題意,若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,則方程在區(qū)間上有解,即方程在區(qū)間上有解,設(shè)函數(shù),其導(dǎo)數(shù),又由,可得:當(dāng)時,為減函數(shù),當(dāng)時,為增函數(shù),故函數(shù)有最小值,又由;比較可得:,故函數(shù)有最大值,故函數(shù)在區(qū)間上的值域為;若方程在區(qū)間上有解,必有,則有,即的取值范圍是;故答案為:;【點睛】本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題,函數(shù)零點問題的拓展.由于函數(shù)的零點就是方程的根,在研究方程的有關(guān)問題時,可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點是借助函數(shù)的零點,結(jié)合函數(shù)的圖象,采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.15、3000【解析】
根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求出,進而可求出身高高于的高中男生人數(shù).【詳解】解:全市30000名高中男生的身高(單位:)服從正態(tài)分布,且,則,該市身高高于的高中男生人數(shù)大約為.故答案為:.【點睛】本題考查正態(tài)曲線的對稱性的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.16、【解析】
設(shè)直線l的方程為,,聯(lián)立直線l與拋物線C的方程,得到A,B點橫坐標的關(guān)系式,代入到中,解出t的值,即可求得直線l的方程【詳解】設(shè)直線.由題設(shè)得,故,由題設(shè)可得.
由可得,
則,從而,得,所以l的方程為,故答案為:【點睛】本題主要考查了直線的方程,拋物線的定義,拋物線的簡單幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)①證明見解析;②能,.【解析】
(1)根據(jù)拋物線的定義,求出,即可求拋物線C的方程;(2)①設(shè),,寫出切線的方程,解方程組求出點的坐標.設(shè)點,直線AB的方程,代入拋物線方程,利用韋達定理得到點的坐標,寫出點的坐標,,可得線段相互平分,即證四邊形是平行四邊形;②若四邊形為矩形,則,求出,即得點Q的坐標.【詳解】(1)因為,所以,即拋物線C的方程是.(2)①證明:由得,.設(shè),,則直線PA的方程為(ⅰ),則直線PB的方程為(ⅱ),由(ⅰ)和(ⅱ)解得:,,所以.設(shè)點,則直線AB的方程為.由得,則,,所以,所以線段PQ被x軸平分,即被線段CD平分.在①中,令解得,所以,同理得,所以線段CD的中點坐標為,即,又因為直線PQ的方程為,所以線段CD的中點在直線PQ上,即線段CD被線段PQ平分.因此,四邊形是平行四邊形.②由①知,四邊形是平行四邊形.若四邊形是矩形,則,即,解得,故當(dāng)點Q為,即為拋物線的焦點時,四邊形是矩形.【點睛】本題考查拋物線的方程,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,屬于難題.18、(1)見解析;(2)【解析】
(1)先算出的長度,利用勾股定理證明,再由已知可得,利用線面垂直的判定定理即可證明;(2)由(1)可得為直線與平面所成的角,要使其最大,則應(yīng)最小,可得為中點,然后建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值,進一步得到正弦值.【詳解】(1)在中,,由余弦定理得,∴,∴,由題意可知:∴,,,∴平面,平面,∴,又,∴平面.(2)以為坐標原點,以,,的方向為,,軸的正方向,建立空間直角坐標系.∵平面,∴在平面上的射影是,∴與平面所成的角是,∴最大時,即,點為中點.,,,,,,,設(shè)平面的法向量,由,得,令,得,所以平面的法向量,同理,設(shè)平面的法向量,由,得,令,得,所以平面的法向量,∴,,故二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值,考查學(xué)生的運算求解能力,是一道中檔題.19、(1);(2)見解析.【解析】
(1)將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,換元構(gòu)造新函數(shù)即可得解;(2)結(jié)合(1)可得,令,求導(dǎo)后證明其導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增,結(jié)合,即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值,即可得證.【詳解】(1)對任意恒成立等價于對任意恒成立,令,,則,當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減;有最大值,.(2)證明:由(1)知,當(dāng)時,即,,,令,則,令,則,在上是增函數(shù),又,當(dāng)時,;當(dāng)時,,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),,即,.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.20、(Ⅰ);(Ⅱ)(ⅰ)詳見解析.(ⅱ)詳見解析.(Ⅲ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)當(dāng),時,,,,,,.即可得出.(Ⅱ)(i)當(dāng)時,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否則得出矛盾.(ii)由.可得.又,即可得出為定值.(iii)由設(shè),,,,其中,,,2,,.,可得,通過求和即可證明結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)解:當(dāng),時,,,,,..(Ⅱ)證明:(i)當(dāng)時,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否則,而,與已知對任意,矛盾.因此有.(ii)..,為定值.(iii)由設(shè),,,,其中,,,2,,.,..【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.21、(1)(萬)(2)(3)填表見解析;有的把握認為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)【解析】
(1)在1000
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