第32講銳角三角函數及其應用目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構考點一銳角三角函數題型01理解正弦、余弦、正切的概念題型02求角的正弦值題型03求角的余弦值題型04求角的正切值題型05已知正弦值求邊長題型06已知余弦值求邊長題型07已知正切值求邊長題型08含特殊角的三角函數值的混合運算題型09求特殊角的三角函數值題型10由特殊角的三角函數值判斷三角形形狀題型11用計算器求銳角三角函數值題型12已知角度比較三角函數值大小題型13根據三角函數值判斷銳角的取值范圍題型14利用同角三角函數關系求解題型15求證同角三角函數關系式題型16互余兩角三角函數關系考點二解直角三角形題型01構造直角三角形解直角三角形題型02網格中解直角三角形題型03在坐標系中解直角三角形題型04解直角三角形的相關計算題型05構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積考點三解直角三角形的應用題型01仰角、俯角問題類型一利用水平距離測量物體高度類型二測量底部可以到達的物體高度類型三測量底部不可到達的物體的高度題型02方位角問題題型03坡度坡比問題題型04坡度坡比與仰角俯角問題綜合考點要求新課標要求命題預測銳角三角函數利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(sinA，cosA，tanA).知道30°，45°，60°角的三角函數值.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角.銳角三角函數及其應用是數學中考中比較重要的考點,其考察內容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數值，③解直角三角形與其應用等.出題時除了會單獨出題以外，還常和四邊形、圓、網格圖形等結合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型.預計2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構造直角三角形，是得分的關鍵.解直角三角形能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題.解直角三角形的應用考點一銳角三角函數1.銳角三角函數的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定義表達式圖形正弦sinsin余弦coscos正切tantan3.銳角三角函數的關系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關系：1）同角三角函數的關系：tanA=sin2)互余兩角的三角函數關系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函數值三角函數30°45°60°2332313【補充】表中是特殊角的三角函數值.反過來，若已知一個特殊角的三角函數值，則可求出相應的銳角.5.銳角三角函數的性質性質前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大11.若銳角是用一個大寫英文字母或一個小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時習慣省略角的符號“∠”,如tanA、sina、cosA.若銳角是用三個大寫英文字母或一個數字表示的,則表示它的正弦、余弦及正切時,不能省略角的符號“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.2.tanA乘方時,一般寫成tannA,它與3.銳角三角函數是針對直角三角形中的銳角而言的.而且由銳角三角函數的定義可知,其本質特征是兩條線段長的比.因此,銳角三角函數只有數值,沒有單位，它的大小只與角的大小有關，而與它所在的三角形的邊長無關.4.根據定義求三角函數值時，一定根據題目圖形來理解，嚴格按照三角函數的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形.題型01理解正弦、余弦、正切的概念【例1】（2022·湖北·統考模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，BD是斜邊AC上的高，AB≠BC，則下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC【變式1-1】（2021·浙江杭州·統考一模）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【變式1-2】（2023·福建泉州·統考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，則A．35 B．34 C．45【變式1-3】（2022·河北唐山·統考二模）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為∠α，敘述正確的是（）

A．sinαB．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α的函數值無關【變式1-4】（2021·浙江杭州·統考三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列結論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a＝c?cosB【變式1-5】（2019·湖南邵陽·校聯考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各邊都擴大5倍，則tanA的值（

）A．不變 B．擴大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定【變式1-6】（2021·遼寧撫順·統考一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB題型02求角的正弦值【例2】（2022·江西·模擬預測）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，連接PO并延長與⊙O交于點C、D，若CD=12，PA=8，則sin∠ADB的值為（

A．45 B．35 C．34【變式2-1】（2020·江蘇揚州·統考模擬預測）如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經過點C、D，則sin∠ADC的值為（

A．21313 B．31313 C．【變式2-2】（2020·山東聊城·統考模擬預測）如圖，在4×5的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么sin∠ACB的值為（

A．355 B．175 C．3題型03求角的余弦值【例3】（2023·湖北省直轄縣級單位·統考模擬預測）如圖，在4×4網格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．25【變式3-1】（2022·吉林長春·?？寄M預測）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑．若CD=10，弦AC=6，則cos∠ABC的值為（

A．45 B．35 C．43【變式3-2】（2023·內蒙古烏蘭察布·?？寄M預測）如圖，△ABC的三個頂點分別在邊長為1的正方形網格上，則cos∠BAC的值為【變式3-3】（2022·廣東中山·統考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在直徑AB上（點C與A，B兩點不重合），OC＝3，點D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長到E點，使BE＝BD．(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BE＝6，試求cos∠CDA的值．題型04求角的正切值【例4】（2023·江蘇揚州·統考二模）北京冬奧會開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設計，體現了環保低碳理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點A，F，B，D，C，E是正六邊形的六個頂點，則tan∠ABE＝．【變式4-1】（2023·江蘇蘇州·校考二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，點D是⊙O外一點，∠BCD=∠BAC，連接OD交BC于點E．(1)求證：CD是⊙O的切線．(2)若CE=OA,sin∠BAC=4【變式4-2】（2022·浙江紹興·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于點K，H是AF的中點，連接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的長．題型05已知正弦值求邊長【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，則A．5003 B．5035 C．60【變式5-1】（2023·廣東佛山·校聯考模擬預測）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現測得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，則點A到BC的距離為（

）A．60sin50° B．60sin50° C．【變式5-2】（2020·河北·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點A(10,0)，sin∠COA=45．若反比例函數y=kx(k>0,x>0)經過點A．10 B．24 C．48 D．50題型06已知余弦值求邊長【例6】（2022·廣西南寧·南寧二中?？既＃┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83 【變式6-1】（2016·內蒙古鄂爾多斯·統考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cosα＝45，則線段CE的最大值為【變式6-2】（2020·廣東廣州·統考一模）如圖所示，ABCD為平行四邊形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosα=513，點E為直線CD上一動點，將線段EA繞點E逆時針旋轉α得到線段EF（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）當點C，B，F三點共線時，設EF與AB相交于點G，求線段BG的長；（3）求線段CF的長度的最小值．題型07已知正切值求邊長【例7】（2021·江蘇無錫·統考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則CD長的最大值是（

A．25+34 B．25+1 【變式7-1】（2023·山東日照·?？既＃┤鐖D，點A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝13，則AD的長是【變式7-2】（2023·江西萍鄉·統考二模）如圖，點A在第一象限，AC⊥x軸，垂足為C，OA=25，tanA=12，反比例函數y=kx的圖像經過OA的中點(1)求k值；(2)求△OBD的面積．【變式7-3】（2021·遼寧葫蘆島·統考二模）如圖，已知，在△ABC中，O為AB上一點，CO平分∠ACB，以O為圓心，OB長為半徑作⊙O，⊙O與BC相切于點B，交CO于點D，延長CO交⊙O于點E，連接BD，BE．（1）求證：AC是⊙O的切線．（2）若tan∠BDE=2，BC=6，求⊙O的半徑．題型08含特殊角的三角函數值的混合運算【例8】（2022·貴州·模擬預測）計算8+|?2|×cos45°A．2 B．32 C．22+【變式8-1】（2023·湖南株洲·?？家荒＃┯嬎悖?2?1+【變式8-2】（2023·山東濟南·模擬預測）計算：12+【變式8-3】（2023·山東聊城·統考一模）先化簡，再求值：a+1?3a?1題型09求特殊角的三角函數值【例9】（2023·山東淄博·統考一模）在實數2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數的個數是（

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式9-1】（2023·廣東潮州·二模）計算|1?tan60°|的值為（A．1?3 B．0 C．3?1 題型10由特殊角的三角函數值判斷三角形形狀【例10】（2022·湖南衡陽·?？寄M預測）在△ABC中，∠A、∠B均為銳角，且tanB?3+2cosA．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【變式10-1】（2021·廣東廣州·廣州大學附屬中學?？级＃┰凇鰽BC中，sinA=cos90°?C=2A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【變式10-2】（2020·四川自貢·?？家荒＃┰凇鰽BC中，若sinA?32+12?cosB題型11用計算器求銳角三角函數值【例11】（2022·山東煙臺·統考一模）若用我們數學課本上采用的科學計算器計算sin36°18＇，按鍵順序正確的是（

）A．B．C．D．【變式11-1】（2023·山東淄博·統考一模）如圖，某超市計劃將門前的部分樓梯改造成無障礙通道．已知樓梯共有五級均勻分布的臺階，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比為1：2，將要鋪設的通道前方有一井蓋，井蓋邊緣離樓梯底部的最短距離ED＝2.55m．為防止通道遮蓋井蓋，所鋪設通道的坡角不得小于多少度？（結果精確到1）（參考數據表）計算器按鍵順序計算結果（已精確到0.001）11.3100.00314.7440.005題型12已知角度比較三角函數值大小【例12】（2022·上?！ば？寄M預測）如果銳角A的度數是25°，那么下列結論中正確的是（

）A．0<sinA<1C．33<tan【變式12-1】（2020·江蘇揚州·統考一模）比較大?。簊in81°tan47°(填“<”“【變式12-2】（2020·內蒙古·統考二模）在直角三角形ABC中，角C為直角，銳角A的余弦函數定義為，寫出sin70o、cos40o、cos50o的大小關系．題型13根據三角函數值判斷銳角的取值范圍【例13】（2023·陜西西安·?？既＃┤魌anA=2，則∠A的度數估計在（

）A．在0°和30°之間 B．在30°和45°之間C．在45°和60°之間 D．在60°和90°之間【變式13-1】（2022·浙江金華·校聯考一模）若∠A是銳角，且sinA＝13，則（

A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【變式13-2】（2023·陜西西安·?？寄M預測）若cos∠1=0.8，則∠1的度數在（

）范圍內．A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°【變式13-3】（2021·安徽安慶·統考一模）若銳角α滿足cosα＜22且tanα＜3，則αA．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°題型14利用同角三角函數關系求解【例14】（2021·江蘇揚州·統考一模）已知∠α為銳角，且sinα=513，則【變式14-1】（2023·廣東東莞·統考三模）如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點D落在BC邊的點F處．已知CF=4，sin∠EFC=35，則

題型15求證同角三角函數關系式【例15】（2021·北京·統考一模）如圖，在?ABCD中，AC，BD交于點O，且AO=BO．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）∠BDC的平分線DM交BC于點M，當AB=3，tan∠DBC=34【變式15-1】（2022·福建福州·福建省福州屏東中學?？寄M預測）求證：若α為銳角，則sin2(1)如圖，銳角α和線段m，用尺規作出一個以線段m為直角邊，α為內角，∠ACB為90°的Rt△ABC(2)根據（1）中所畫圖形證明該命題．【變式15-2】（2023·河北保定·統考二模）嘉嘉在某次作業中得到如下結果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2據此，嘉嘉猜想：對于任意銳角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)當α=30°，β=60°時，驗證sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，請結合如圖所示Rt△ABC給予證明，其中∠A所對的邊為a，∠B所對的邊為b，斜邊為c(3)利用上面的證明方法，直接寫出tanα與sinα，題型16互余兩角三角函數關系【例16】（2023·江蘇蘇州·蘇州中學校考一模）化簡sin28°?cos28°A．sin28°?cosC．cos28°?sin【變式16-1】（2023·四川成都·成都實外?？家荒＃┮阎猻in42°≈23，則cosA．53 B．13 C．32【變式16-2】（2023·云南昆明·?？既＃┰赗t△ABC中，∠C=90°，sinA=67【變式16-3】（2019·浙江杭州·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足為D．給出下列四個結論：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正確的結論有.考點二解直角三角形解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關系：1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B2）三邊之間的關系：a2+3）兩銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關系：sinA=∠A所對的邊斜邊=ac，sinB=∠BcosA=∠A所鄰的邊斜邊tanA=∠A所對的邊鄰邊解直角三角形常見類型及方法：已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②③∠B=90°－∠A兩直角邊(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一邊和一銳角斜邊和一銳角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角邊和一銳角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角邊和一銳角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③1.1.在直角三角形中，除直角外的五個元素中，已知其中的兩個元素(至少有一條邊)，可求出其余的三個未知元素(知二求三).2.已知兩個角不能解直角三角形，因為有兩個角對應相等的兩個三角形相似，但不一定全等，因此其邊的大小不確定.題型01構造直角三角形解直角三角形【例1】（2023·陜西渭南·統考一模）如圖，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，則邊AB的長為（

A．32 B．35 C．37【變式1-1】（2021·山東聊城·統考一模）如圖，在△ABC中，sinB=13，tanC=2，AB=3，則AC的長為（

A．2 B．52 C．5 【變式1-2】（2022·陜西西安·西安市中鐵中學?？既＃┤鐖D，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACBA．3+1 B．2 C．2 D．6-2【變式1-3】（2022·浙江杭州·校考一模）在△ABC中，AC=42，BC=6，(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC【變式1-4】（2022·河南安陽·模擬預測）公交總站(點A)與B、C兩個站點的位置如圖所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站點離公交總站的距離即AB的長(結果保留根號)．題型02網格中解直角三角形【例2】（2022·江蘇常州·?？级＃┮阎谟?0個完全相同的正三角形構成的網格圖中，∠α、∠β如圖所示，則tanα+β=【變式2-1】（2022·江蘇揚州·統考一模）如圖，在4×4的網格中，每個小正方形的邊長為1，點A，B，C均在格點上，D是AB與網格線的交點，則sin∠ADC2的值是【變式2-2】（2022·四川廣元·校考一模）如圖，A，B，C，D均為網格圖中的格點，線段AB與CD相交于點P，則∠APD的正切值為．【變式2-3】（2021·北京延慶·統考一模）如圖所示，∠MON是放置在正方形網格中的一個角，則tan∠MON的值是題型03在坐標系中解直角三角形【例3】（2023·上海·一模）平面直角坐標系內有一點P1,2，那么OP與x軸正半軸的夾角為α，tanα=【變式3-1】（2022·山東淄博·統考一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB=5，連結AB并延長至C，連結OC，若滿足OC2=BC?AC，tanα=A．?2,4 B．?43,23 【變式3-2】（2021·山東棗莊·校聯考一模）如圖，⊙A經過平面直角坐標系的原點O，交x軸于點B(-4，0)，交y軸于點C(0，3)，點D為第二象限內圓上一點．則∠CDO的正弦值是（

）A．35 B．25 C．34【變式3-3】（2022·山東菏澤·統考二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的頂點A在x軸的正半軸上，矩形的另一個頂點D在y軸的正半軸上，矩形的邊AB=a,BC=b,∠DAO=x．則點C到x軸的距離等于（

）A．acosx+bsinx B．acosx+b題型04解直角三角形的相關計算【例4】（2023·上海奉賢·統考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點D，E．點B，C，D，E處的讀數分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長為．【變式4-1】（2020·浙江麗水·統考模擬預測）圖1是一個閉合時的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為AC，BD（點A與點B重合），點O是夾子轉軸位置，OE⊥AC于點E，OF⊥BD于點F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm，CE=DF，CE:AE=2:3.按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點O轉動．(1)當E，F兩點的距離最大值時，以點A，B，C，D為頂點的四邊形的周長是

cm．(2)當夾子的開口最大（點C與點D重合）時，A，B兩點的距離為cm．【變式4-2】（2022·上海金山·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若tan∠ADB=12，則tan∠DEC【變式4-3】（2022·浙江紹興·模擬預測）如圖，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口b=20mm，則邊長a為mm．題型05構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積【例5】（2022·四川綿陽·統考三模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，則這個四邊形的面積是（

）A．34 B．32 C．3 【變式5-1】（2020·山西·統考模擬預測）如圖，在?ABCD中，AB=BC=2,?∠ABC=60°，過點D作DE//AC，DE=12AC【變式5-2】（2021·江西贛州·統考一模）圖1是一種可折疊臺燈，它放置在水平桌面上，將其抽象成圖2，其中點B，E，D均為可轉動點．現測得AB=BE=ED=CD=14cm，經多次調試發現當點B，E所在直線垂直徑過CD的中點F（1）求平穩放置時燈座DC與燈桿DE的夾角的大??；（2）為保護視力，寫字時眼睛離桌面的距離應保持在30cm，為防止臺燈刺眼，點A離桌面的距離應不超過30cm，求臺燈平穩放置時∠ABE的最大值．（結果精確到0.01°，參考數據：3≈1.732，sin16.07°≈0.2768，cos73.93°≈0.2768【變式5-3】（2022·山東煙臺·統考二模）一酒精消毒瓶如圖1，AB為噴嘴，ΔBCD為按壓柄，CE為伸縮連桿，BE和EF為導管，其示意圖如圖2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．當按壓柄ΔBCD按壓到底時，BD轉動到BD'，此時（1）求點D轉動到點D'的路徑長；（2）求點D到直線EF的距離（結果精確到0.1cm（參考數據：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，【變式5-4】（2022·山西呂梁·統考一模）如圖，是放在水平桌面上的臺燈的幾何圖，已知臺燈底座高度為2cm，固定支點O到水平桌面的距離為7.5cm，當支架OA、AB拉直時所形成的線段與點M共線且與底座垂直，此時測得B到底座的距離為31.64cm（線段AB，AO，OM的和），經調試發現，當∠OAB=115°，∠AOM=160°時，臺燈所投射的光線最適合寫作業，測量得A到B的水平距離為10cm，求此時點B到桌面的距離．（參考數據：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，2≈考點三解直角三角形的應用解直角三角形的相關的名詞、術語：1）視角：視線與水平線的夾角叫做視角．仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2）方位角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．3）坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=h坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．解直角三角形實際應用的一般步驟：1）弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；2）將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；3）選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；4）得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．測量物體的高度的常見模型：1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.2）測量底部可以到達的物體高度模型需測量數據數量關系原理測量儀高m，水平距離n，傾斜角αtanh=m+n?矩形的性質與直角三角形的邊角關系水平距離n，仰角α，俯角βtana=h=h1+h3）測量底部不可到達的物體的高度題型01仰角、俯角問題類型一利用水平距離測量物體高度【例1】（2023·陜西·模擬預測）如圖，某數學興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為45°，在點B處測得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點在同一直線上，若AB=16m，則這棵樹CD的高度是（

A．8(3?3)m B．8(3+3)m【變式1-1】（2022·江蘇蘇州·統考一模）如圖，在點F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達點E即EF=15米，在點E處看點D的仰角為64°，則CD的長用三角函數表示為（

）A．15sin32° B．15tan64° C．【變式1-2】（2022·云南昆明·云南師范大學實驗中學校考三模）某滑雪場用無人機測量雪道長度．如圖，通過無人機的鏡頭C測一段水平雪道一端A處的俯角為50°，另一端B處的俯角為45°，若無人機鏡頭C處的高度CD為238米，點A，D，B在同一直線上，則通道AB的長度為米．(結果保留整數，參考數據sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，【變式1-3】（2023·山東濰坊·統考模擬預測）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔AB垂直于橋面BC于點B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結果保留整數，參考數據：2【變式1-4】（2023·湖北省直轄縣級單位·統考模擬預測）某班同學在一次綜合實踐課上，測量校園內一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，C處測得樹頂D的仰角為37°（點A，B，C在一條水平直線上），已知測量儀高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結果保留小數點后一位．參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

類型二測量底部可以到達的物體高度【例2】（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，B為地面上一點，測得B到樹底部C的距離為10m，在B處放置1m高的測角儀BD，測得樹頂A的仰角為60°，則樹高AC為m（結果保留根號）．【變式2-1】（2020·廣東梅州·統考模擬預測）如圖，某校教學樓AC與實驗樓BD的水平間距CD=153米，在實驗樓頂部B點測得教學樓頂部A點的仰角是30°，底部C點的俯角是45°，則教學樓AC的高度是【變式2-2】（2023·廣東中山·中山市華僑中學校考一模）周末，王老師布置了一項綜合實踐作業，要求利用所學知識測量一棟樓的高度．小希站在自家陽臺上，看對面一棟樓頂部的仰角為45°，看這棟樓底部的俯角為37°，已知兩樓之間的水平距離為30m，求這棟樓的高度．（參考數據：sin37°≈0.60,【變式2-3】（2021·河北石家莊·校聯考一模）如圖，小明利用學到的數學知識測量大橋主架在水面以上的高度AB，在觀測點C處測得大橋主架頂端A的仰角為30°，測得大橋主架與水面交匯點B的俯角為14°，觀測點與大橋主架的水平距離CM為60米，且AB垂直于橋面．（點A,B,C,M在同一平面內）（1）求大橋主架在橋面以上的高度AM；（結果保留根號）（2）求大橋主架在水面以上的高度AB．（結果精確到1米）（參考數據sin14【變式2-4】（2023·浙江金華·統考二模）我們經常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿AB的長．(1)如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點D處，測角儀高為b米，從C點測得A點的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，ａ的代數式表示）(2)我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置，此時測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度類型三測量底部不可到達的物體的高度【例3】（2023·湖北武漢·統考一模）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點處測得乙建筑物D點的俯角α為45°，C點的俯角β為58°，BC為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB為m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，

【變式3-1】（2023·山東東營·校聯考一模）某數學興趣小組準備測量校園內旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺階）．該小組在C處安置測角儀CD，測得旗桿頂端A的仰角為30°，前進8m到達E處，安置測角儀EF，測得旗桿頂端A的仰角為45°（點B，E，C在同一直線上），測角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度．（結果精確到1m．參考數據：3≈1.7）【變式3-2】（2023·天津·模擬預測）如圖，某座山AB的項部有一座通訊塔BC，且點A，B，C在同一條直線上，從地面P處測得塔頂C的仰角為42°，測得塔底B的仰角為35°．已知通訊塔BC的高度為32m，求這座山AB的高度（結果取整數）．參考數據：tan【變式3-3】（2022·浙江紹興·校考一模）越來越多太陽能路燈的使用，既點亮了城市的風景，也是我市積極落實節能環保的舉措．某校學生開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度．如圖，已知測傾器的高度為1.6米，在測點A處安置測傾器，測得點M的仰角∠MBC=33°，在與點A相距3.5米的測點D處安置測傾器，測得點M的仰角∠MEC=45°（點A，D與N在一條直線上），求電池板離地面的高度MN的長．（結果精確到1米；參考數據：sin33°≈0.54,【變式3-4】（2023·四川宜賓·?？家荒＃┠硵祵W興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量，活動過程如下：(1)探究原理：制作測角儀時，將細線一段固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G．測量時，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點O轉動量角器，使觀測目標P與直徑兩端點A,B共線（如圖②），此目標P的仰角∠POC=∠GON．請說明兩個角相等的理由．(2)實地測量：如圖③，公園廣場上有一棵樹，為了測量樹高，同學們在觀測點K處測得頂端P的仰角∠POQ=60°，觀測點與樹的距離KH為5米，點O到地面的距離OK為1.5米；求樹高PH．（(3)拓展探究：公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距離地面高度PH（如圖④），同學們討論，決定先在水平地面上選取觀測點E,F（E,F,H在同一直線上），分別測得點P的仰角α,β，再測得E,F間的距離m，點O1,O2到地面的距離O1【變式3-5】（2022·湖南湘潭·校考模擬預測）開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國石刻藝術瑰寶，盧舍那佛像是石窟中最大的佛像．某數學活動小組到龍門石窟景區測量這尊佛像的高度．如圖，他們選取的測量點A與佛像BD的底部D在同一水平線上．已知佛像頭部BC為4m，在A處測得佛像頭頂部B的仰角為45°，頭底部C的仰角為37.5°，求佛像BD的高度（結果精確到0.1m．參考數據：sin37.5°≈0.61，cos題型02方位角問題【例4】（2023·山東泰安·統考一模）一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時與燈塔P的距離約為海里．（參考數據：sin37°≈35，cos【變式4-1】（2023·河南洛陽·統考一模）如圖，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．經測量，點C在點A的正東方向，AC=200米．點E在點A的正北方向．點B，D在點C的正北方向，BD=100米．點B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°．(1)求步道DE的長度（精確到個位）；(2)點D處有直飲水，小紅從A出發沿人行步道去取水，可以經過點B到達點D，也可以經過點E到達點D．請計算說明他走哪一條路較近？（參考數據：2≈1.414，3【變式4-2】（2023·湖南岳陽·校聯考一模）如圖，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點間的距離．參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【變式4-3】（2022·重慶·重慶一中?？家荒＃?月份，長江重慶段開始進入枯水期，有些航道狹窄的水域通航壓力開始慢慢增加．為及時掌握轄區通航環境實時情況，嚴防船舶擱淺、觸礁等險情事故發生，沿江海事執法人員持續開展巡航檢查，確保近七百公里的長江干線通航安全．如圖，巡航船在一段自西向東的航道上的A處發現，航標B在A處的北偏東45°方向200米處，以航標B為圓心，150米長為半徑的圓形區域內有淺灘，會使過往船舶有危險．(1)由于水位下降，巡航船還發現在A處北偏西15°方向300米的C處，露出一片礁石，求B、C兩地的距離；（精確到1米）(2)為保證航道暢通，航道維護項目部會組織挖泥船對該條航道被淺灘影響的航段進行保航施工．請判斷該條航道是否被這片淺灘區域影響？如果有被影響，請求出被影響的航道長度為多少米？如果沒有被影響，請說明理由．（參考數據：2≈1.414，7【變式4-4】（2023·重慶江北·?？家荒＃┤鐖D所示，在一次海上救援演習中，游艇A按計劃停泊在搜救艇B的南偏東30°方向上，同時，在搜救艇B的正南方向，與搜救艇B相距40海里處還設置了另一支搜救艇C，此時游艇A在搜救艇C的東北方向上，隨著演習正式開始，游艇A按計劃向搜救艇B與C同時發出求救信號，并在原地等待救援．（參考數據：2≈1.41，3≈1.73，(1)在演習正式開始前，搜救艇B與游艇A相距多少海里？（結果保留根號）(2)若搜救艇B與C同時收到游艇A的求救信號，它們同時出發實施救援行動，搜救艇B沿BA行駛，搜救艇C西東沿CA行駛，其中搜救艇B的速度為每小時25海里，搜救艇C的速度為每小時16海里，請通過計算判斷哪支搜救艇先到達游艇A的所在地？【變式4-5】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？家荒＃┤鐖D，一條自西向東的道路上有兩個公交站點，分別是B和C，在B的北偏東60°方向上有另一公交站點A．經測量，A在C的北偏西30°方向上，一輛公交車從B出發，沿BC行駛15003?1500米到達D處，此時D在A的西南方向．（參考數據：2≈1.414(1)求CD的距離；（結果保留根號）(2)該公交車原計劃由D→C行駛，其平均速度為400米/分，但當行駛到D點時，接到通知，DC段道路正在維修，需要沿D→A→C繞道行駛，為了盡快到達C站點，繞道時其平均速度提升到500米/分．那么原計劃所用時間和實際所用時間相比，哪個更少？請說明理由．（結果保留1位小數）題型03坡度坡比問題【例5】（2022·江蘇南通·校考一模）如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABCD，DC∥AB,BC長為6米，坡角β為45°，AD的坡角α為30°，則AD的長為

米（結果保留根號）【變式5-1】（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學校考模擬預測）攔水壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡比是1:3，壩高BC=8m，則坡面AB的長度是【變式5-2】（2023·上海靜安·統考一模）一水庫的大壩橫斷面是梯形，壩頂、壩底分別記作BC、AD，且迎水坡AB的坡度為1∶2.5，背水坡CD的坡度為1∶3，則迎水坡AB的坡角【變式5-3】（2020·河南周口·統考一模）自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進行改造．如圖2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度為1:3；將斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造為斜坡CD，其坡度為1:4．求斜坡CD題型04坡度坡比與仰角俯角問題綜合【例6】（2022·山東濟南·?？家荒＃┤鐖D，在建筑物AB左側距樓底B點水平距離150米的C處有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）為i=1:2.4，坡頂D到BC的垂直距離DE=50米（點A，B，C，D，E在同一平面內），在點D處測得建筑物頂A點的仰角為50°，則建筑物AB的高度約為（參考數據：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米【變式6-1】（2023·內蒙古包頭·模擬預測）如圖，小文在數學綜合實踐活動中，利用所學的數學知識測量居民樓的高度AB，在居民樓前方有一斜坡，坡長CD=15m，斜坡的傾斜角為α，cosα=45．小文在C點處測得樓頂端A的仰角為60°，在D點處測得樓頂端A的仰角為30°（點A，B，(1)求C，D兩點的高度差；(2)求居民樓的高度AB．（結果精確到1m，參考數據：3【變式6-2】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學?？家荒＃┤鐖D，在小晴家所住的高樓AD的正西方有一座小山坡，坡面BC與水平面的夾角為30°，在B點處測得樓頂D的仰角為45°，在山頂C處測得樓頂D的仰角為15°，B和C的水平距離為300米．（A，B，C，D在同一平面內，參考數據：2≈1.41，3

(1)求坡面BC的長度？（結果保留根號）(2)一天傍晚，小晴從A出發去山頂C散步，已知小晴從A到B的速度為每分鐘50米，從B沿著BC上山的速度為每分鐘25米，若她6:00出發，請通過計算說明她在6:20前能否到達山頂C處？（結果精確到0.1）第32講銳角三角函數及其應用目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構考點一銳角三角函數題型01理解正弦、余弦、正切的概念題型02求角的正弦值題型03求角的余弦值題型04求角的正切值題型05已知正弦值求邊長題型06已知余弦值求邊長題型07已知正切值求邊長題型08含特殊角的三角函數值的混合運算題型09求特殊角的三角函數值題型10由特殊角的三角函數值判斷三角形形狀題型11用計算器求銳角三角函數值題型12已知角度比較三角函數值大小題型13根據三角函數值判斷銳角的取值范圍題型14利用同角三角函數關系求解題型15求證同角三角函數關系式題型16互余兩角三角函數關系考點二解直角三角形題型01構造直角三角形解直角三角形題型02網格中解直角三角形題型03在坐標系中解直角三角形題型04解直角三角形的相關計算題型05構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積考點三解直角三角形的應用題型01仰角、俯角問題類型一利用水平距離測量物體高度類型二測量底部可以到達的物體高度類型三測量底部不可到達的物體的高度題型02方位角問題題型03坡度坡比問題題型04坡度坡比與仰角俯角問題綜合考點要求新課標要求命題預測銳角三角函數利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(sinA，cosA，tanA).知道30°，45°，60°角的三角函數值.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角.銳角三角函數及其應用是數學中考中比較重要的考點,其考察內容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數值，③解直角三角形與其應用等.出題時除了會單獨出題以外，還常和四邊形、圓、網格圖形等結合考察，是近幾年中考填空壓軸題常考題型.預計2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構造直角三角形，是得分的關鍵.解直角三角形能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題.解直角三角形的應用考點一銳角三角函數1.銳角三角函數的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定義表達式圖形正弦sinsin余弦coscos正切tantan3.銳角三角函數的關系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關系：1）同角三角函數的關系：tanA=sin2)互余兩角的三角函數關系：sinA=cosB,sinB=cosA,tan4.特殊角的三角函數值三角函數30°45°60°2332313【補充】表中是特殊角的三角函數值.反過來，若已知一個特殊角的三角函數值，則可求出相應的銳角.5.銳角三角函數的性質性質前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大11.若銳角是用一個大寫英文字母或一個小寫希臘字母表示的，則表示它的正弦、余弦及正切時習慣省略角的符號“∠”,如tanA、sina、cosA.若銳角是用三個大寫英文字母或一個數字表示的,則表示它的正弦、余弦及正切時,不能省略角的符號“∠”,如sin∠ABC，cos∠2，tan∠1.2.tanA乘方時,一般寫成tannA,它與3.銳角三角函數是針對直角三角形中的銳角而言的.而且由銳角三角函數的定義可知,其本質特征是兩條線段長的比.因此,銳角三角函數只有數值,沒有單位，它的大小只與角的大小有關，而與它所在的三角形的邊長無關.4.根據定義求三角函數值時，一定根據題目圖形來理解，嚴格按照三角函數的定義求解，有時需要通過輔助線來構造直角三角形.題型01理解正弦、余弦、正切的概念【例1】（2022·湖北·統考模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，BD是斜邊AC上的高，AB≠BC，則下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根據正弦三角函數的定義判斷即可；【詳解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．ADAB=cosAB．BDAD=tanAC．BDBC=cos∠DBC=cosAD．DCBC=sin∠DBC=sinA故選：D．【點睛】本題考查了三角函數的概念，掌握直角三角形中銳角的正弦為對邊比斜邊是解題關鍵．【變式1-1】（2021·浙江杭州·統考一模）在△ABC中，∠C＝90°，BCABA．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【答案】D【分析】設AB=5a，BC=3a，則AC=4a，然后根據三角函數的定義逐項排查即可．【詳解】解：設AB=5a，BC=3a，則AC=4a，則cosA＝ACAB＝4a5a=sinB＝BCAB＝4a5a=tanA＝BCAC=3atanB＝ACBC=4k3k＝故選：D．【點睛】本題主要考查了三角函數的定義和勾股定理，掌握并靈活運用三角函數的定義成為解答本題的關鍵．【變式1-2】（2023·福建泉州·統考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，則A．35 B．34 C．45【答案】C【分析】根據三角函數的定義得到BCAB=35，設BC=3k，AB=5k，利用勾股定理得到【詳解】解：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，sin∴BC設BC=3k，AB=5k，由勾股定理得：AC=A∴cos故選：C．【點睛】本題考查了銳角三角函數，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題關鍵．【變式1-3】（2022·河北唐山·統考二模）如圖，梯子（長度不變）跟地面所成的銳角為∠α，敘述正確的是（）

A．sinαB．cosαC．tanαD．陡緩程度與∠α的函數值無關【答案】A【分析】根據銳角三角函數值的變化規律，正弦值和正切值隨著角的增大而增大，余弦值隨著角增大而減小，逐一判斷即可．【詳解】解：根據銳角三角函數的變化規律，知sinαcosαtanα陡緩程度與∠α的函數值有關，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數值的變化規律是解題的關鍵．【變式1-4】（2021·浙江杭州·統考三模）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列結論正確的是（）A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a＝c?cosB【答案】D【分析】根據三角函數定義：（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．分別進行分析即可．【詳解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，則sinA＝ac，則a=c·tanA＝ab，則b＝acosB＝ac，則a＝ccosB故選：D．【點睛】本題主要考查了銳角三角函數的定義，關鍵是熟練掌握銳角三角函數的定義．【變式1-5】（2019·湖南邵陽·校聯考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，各邊都擴大5倍，則tanA的值（

）A．不變 B．擴大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定【答案】A【分析】利用∠A的大小沒有變進行判斷．【詳解】解：∵∠C＝90°，各邊都擴大5倍所得的三角形與原三角形相似，∴∠A的大小沒有變，∴tanA的值不變．故選：A．【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．【變式1-6】（2021·遼寧撫順·統考一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【分析】根據三角函數的定義進行判斷，即可解決問題．【詳解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c∴sinB=bctanB=ba故選：B．【點睛】本題考查了三角函數的定義，熟記定義是解題關鍵．題型02求角的正弦值【例2】（2022·江西·模擬預測）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，連接PO并延長與⊙O交于點C、D，若CD=12，PA=8，則sin∠ADB的值為（

A．45 B．35 C．34【答案】A【分析】連接OA，根據切線長的性質得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再證△APD≌△BPD（SAS），然后證明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，利用勾股定理求出OP=OA【詳解】解：連接OA∵PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，∴∠APD=∠BPD，在△APD和△BPD中，AP=BP∠APD=∠BPD∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP=OA∴sin∠ADB=APOP故選A．【點睛】本題考查圓的切線性質，三角形全等判斷與性質，勾股定理，銳角三角函數，掌握圓的切線性質，三角形全等判斷與性質，勾股定理，銳角三角函數是解題關鍵．【變式2-1】（2020·江蘇揚州·統考模擬預測）如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經過點C、D，則sin∠ADC的值為（

A．21313 B．31313 C．【答案】A【分析】首先根據圓周角定理可知，∠ABC＝∠ADC，在Rt△ACB中，根據銳角三角函數的定義求出∠ABC的正弦值．【詳解】∵∠ADC和∠ABC所對的弧長都是AC，∴根據圓周角定理知，∠ABC＝∠ADC，∴在Rt△ACB中，AB=A根據銳角三角函數的定義知，sin∠ABC＝ACAB∴sin∠ADC=2故選A．【點睛】本題主要考查銳角三角函數的定義和圓周角的知識點，解答本題的關鍵是利用圓周角定理把求∠ADC的正弦值轉化成求∠ABC的正弦值，本題是一道比較不錯的習題．【變式2-2】（2020·山東聊城·統考模擬預測）如圖，在4×5的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么sin∠ACB的值為（

A．355 B．175 C．3【答案】D【分析】過點A作AD⊥BC于點D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求得線段AC【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥BC于點D，則∠ADC=90°，∴AC=A∴sin∠ACB=故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的運用以及銳角三角函數，正確作出輔助線是解題的關鍵．題型03求角的余弦值【例3】（2023·湖北省直轄縣級單位·統考模擬預測）如圖，在4×4網格正方形中，每個小正方形的邊長為1，頂點為格點，若△ABC的頂點均是格點，則cos∠BAC的值是（

A．55 B．105 C．25【答案】C【分析】過點C作AB的垂線，構造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過點C作AB的垂線交AB于一點D，如圖所示，∵每個小正方形的邊長為1，∴AC=5設AD=x，則BD=5?x，在Rt△ACD中，DC在Rt△BCD中，DC∴10?(5?x)解得x=2，∴cos∠BAC=故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關鍵是能構造出直角三角形．【變式3-1】（2022·吉林長春·校考模擬預測）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，CD是⊙O的直徑．若CD=10，弦AC=6，則cos∠ABC的值為（

A．45 B．35 C．43【答案】A【分析】連接AD，根據直徑所對的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據同弧所對的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【詳解】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD=CD∴cos∠ADC=ADCD=8∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值為45故選：A．【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數、勾股定理，解答本題的關鍵是求出cos∠ADC的值，利用數形結合的思想解答．【變式3-2】（2023·內蒙古烏蘭察布·?？寄M預測）如圖，△ABC的三個頂點分別在邊長為1的正方形網格上，則cos∠BAC的值為【答案】2【分析】根據AC2=12+32=10，BC2【詳解】如圖，∵AC2=12∴AC∴△ABC是直角三角形，∠∴cos∠故答案為：2【點睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角函數等．解決問題的關鍵是熟練掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判斷直角三角形，銳角三角函數定義．【變式3-3】（2022·廣東中山·統考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在直徑AB上（點C與A，B兩點不重合），OC＝3，點D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長到E點，使BE＝BD．(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BE＝6，試求cos∠CDA的值．【答案】(1)證明見解析(2)10【分析】（1）根據直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，從而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根據等腰三角形的性質以及對頂角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根據等腰三角形的性質可得∠E＝∠BDE，從而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形內角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；（2）設⊙O的半徑為r，則AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，從而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根據勾股定理可求出EC的長，從而利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．【詳解】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠ADC，∵EB＝DB，∴∠E＝∠BDE，∴∠E+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴BE是⊙O的切線；（2）解：設⊙O的半徑為r，∵OC＝3，∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，∵BE＝6，∴BD＝BE＝6，在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，∴36+（r+3）2＝（2r）2，∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，在Rt△EBC中，EC＝EB2+BC2＝∴cos∠ECB＝BCEC＝2210∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝1010∴cos∠CDA的值為1010【點睛】本題考查了切線的判定與性質，解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質，以及銳角三角函數的定義是解題的關鍵．題型04求角的正切值【例4】（2023·江蘇揚州·統考二模）北京冬奧會開幕式的巨型雪花狀主火炬塔的設計，體現了環保低碳理念．如圖所示，它的主體形狀呈正六邊形．若點A，F，B，D，C，E是正六邊形的六個頂點，則tan∠ABE＝．【答案】3【分析】由正六邊形的性質得AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再由等邊三角形的性質得∠ABC＝60°，則∠ABE＝12∠ABC【詳解】連接BC、AC，∵點A，F，B，D，C，E是正六邊形的六個頂點，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝12∠ABC∴tan∠ABE＝tan30°＝33故答案為：33【點睛】本題考查了正六邊形的性質、等邊三角形的判定與性質以及特殊角的銳角三角函數，熟練掌握正六邊形的性質、等邊三角形的判定與性質是本題的關鍵．【變式4-1】（2023·江蘇蘇州·校考二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，點D是⊙O外一點，∠BCD=∠BAC，連接OD交BC于點E．(1)求證：CD是⊙O的切線．(2)若CE=OA,sin∠BAC=4【答案】(1)見解析；(2)3【分析】（1）連接OC，根據圓周角定理得到∠ACB=90°，根據OA=OC推出∠BCD=∠ACO，即可得到∠BCD+∠OCB=90°，由此得到結論；（2）過點O作OF⊥BC于F，設BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，BE=1.5x，勾股定理求出AC，根據OF∥AC，得到BFCF=OBOA=1，證得OF為△ABC的中位線，求出OF【詳解】（1）證明：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO,∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠ACO，∴∠BCD+∠OCB=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線．（2）解：過點O作OF⊥BC于F，∵CE=OA,sin∴設BC=4x，則AB=5x，OA=CE=2.5x，∴BE=BC-CE=1.5x，∵∠C=90°，∴AC=AB∵OA=OB，OF∥AC，∴BFCF∴CF=BF=2x，EF=CE-CF=0.5x，∴OF為△ABC的中位線，∴OF=12∴tan∠CEO=OF【點睛】此題考查了圓周角定理，證明直線是圓的切線，銳角三角函數，三角形中位線的判定與性質，平行線分線段成比例，正確引出輔助線是解題的關鍵．【變式4-2】（2022·浙江紹興·一模）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于點K，H是AF的中點，連接CH．(1)求tan∠GFK的值；(2)求CH的長．【答案】(1)1(2)CH【分析】（1）由正方形的性質得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,GF∥BE，∠（2）由正方形的性質求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根據正方形性質求出∠ACF=90°，根據直角三角形斜邊上的中線性質求出CH=12【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，AD∥BC,∴DG=CG-CD=2，AD∥∴△ADK∴DK：GK=AD：GF=1：3，∴GK=∴tan∠GFK（2）解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長AD交EF于M，連接AC、CF，如圖所示：則AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF?AB=3?1=2，∠AMF=90°，∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H為AF的中點，∴CH=在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=∴CH=【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、三角函數、勾股定理，正方形的性質，直角三角形斜邊上的中線性質；本題有一定難度，特別是（2）中，需要通過作出輔助線運用直角三角形斜邊上的中線性質才能得出結果．題型05已知正弦值求邊長【例5】（2022·云南昆明·官渡六中?？家荒＃┰凇鰽BC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，則A．5003 B．5035 C．60【答案】D【分析】根據三角函數的定義得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A=BCAC=35，∴BC=100×3÷5=60，∴AB=AC故選D．【點睛】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數的定義是解題的關鍵．【變式5-1】（2023·廣東佛山·校聯考模擬預測）如圖，一輛自行車豎直擺放在水平地面上，右邊是它的部分示意圖，現測得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，則點A到BC的距離為（

）A．60sin50° B．60sin50° C．【答案】A【分析】先求出∠B=180°?88°?42°=50°，再用三角函數定義，求出AD=AB×sin【詳解】解：過點A作AD⊥BC于點D，如圖所示：∵∠A=88°，∠C=42°，∴∠B=180°?88°?42°=50°，在Rt△ABD中，AD=AB×∴點A到BC的距離為60sin故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理的應用，三角函數的應用，點到直線的距離，解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義．【變式5-2】（2020·河北·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊OA在x軸上，點A(10,0)，sin∠COA=45．若反比例函數y=kx(k>0,x>0)經過點A．10 B．24 C．48 D．50【答案】C【分析】由菱形的性質和銳角三角函數可求點C(6,8)，將點C坐標代入解析式可求k的值．【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥OA于點E，∵菱形OABC的邊OA在x軸上，點A(10,0)，∴OC=OA=10，∵sin∠COA=∴CE=8，∴OE=∴點C坐標(6,8)∵若反比例函數y=kx(k>0,x>0)∴k=6×8=48故選C．【點睛】本題考查了反比例函數性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，菱形的性質，銳角三角函數，關鍵是求出點C坐標．題型06已知余弦值求邊長【例6】（2022·廣西南寧·南寧二中校考三模）如圖，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83 【答案】B【分析】根據余弦的定義即可求解．【詳解】解：∵∠C=90°,cos∴AB=AC故選B．【點睛】本題考查了已知余弦求邊長，掌握余弦的定義是解題的關鍵．【變式6-1】（2016·內蒙古鄂爾多斯·統考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點E，且cosα＝45，則線段CE的最大值為【答案】6.4【分析】作AG⊥BC于G，如圖，根據等腰三角形的性質得BG＝CG，再利用余弦的定義計算出BG＝8，則BC＝2BG＝16，設BD＝x，則CD＝16﹣x，證明△ABD∽△DCE，利用相似比可表示出CE＝﹣110x2+85x，然后利用二次函數的性質求【詳解】解：作AG⊥BC于G，如圖，∵AB＝AC，∴BG＝CG，∵∠ADE＝∠B＝α，∴cosB＝cosα＝BGAB＝4∴BG＝45∴BC＝2BG＝16，設BD＝x，則CD＝16﹣x，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，即α+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠CDE＝∠BAD，而∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴ABCD=BD∴CE＝﹣110x2+8＝﹣110（x﹣8）2當x＝8時，CE最大，最大值為6.4.故答案為：6.4.

【點睛】此題考查了等腰三角形的三線合一的性質，銳角三角函數，相似三角形的判定及性質，利用二次函數的性質求最值問題，正確掌握各知識并綜合運用解題是關鍵.【變式6-2】（2020·廣東廣州·統考一模）如圖所示，ABCD為平行四邊形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosα=513，點E為直線CD上一動點，將線段EA繞點E逆時針旋轉α得到線段EF（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）當點C，B，F三點共線時，設EF與AB相交于點G，求線段BG的長；（3）求線段CF的長度的最小值．【答案】（1）300；（2）11722；（3）【分析】（1）如圖所示，過點A作AK⊥CD交CD的延長線于點K，先根據現有條件求出AK，然后即可求出平行四邊形ABCD的面積；（2）如圖所示，延長CD到P使得AP=AD，先證明ΔPEA?ΔCFE得出CE=AP=13，PE=CF，DE=12，再證明ΔGBF~ΔECF，得出BFCF（3）如圖所示，作點A關于直線CD的對稱點A'，連接EA'、AA'、A'F，以E為圓心，EA為半徑作圓，根據已知推出點F在與直線AA'夾角為α2且經過點A'的直線上運動，設直線A'F與CD交于點Q，直線AA'與直線CD交于點M，直線A'F與直線CB交于點R，過點C作CQ=22，CM=30，MQ=8，A'Q=413，根據RtΔ【詳解】（1）如圖所示，過點A作AK⊥CD交CD的延長線于點K，∵AB//CD，∴∠ADK=∠DAB，∵cos∠DAB=5∴DK=AD?cos∴AK=A∴平行四邊形ABCD的面積為AB×AK=25×12=300；（2）如圖所示，延長CD到P使得AP=AD，∴∠ADP=∠P，∵∠DAB=α，DC//AB，∴∠ADP=∠DAB=α，∴∠P=α，又∠AEF=∠C=α，EA=EF，由∠PEA+∠CEF=180°?α，∠EFC+∠CEF=180°?α，∴∠PEA=∠EFC，∴ΔPEA?ΔCFE，∴CE=AP=13，PE=CF，∴DE=CD?CE=25?13=12，由（1）得AK=12，∴在RtΔAKD中，KD=5，∴PD=10，∴PE=PD+DE=10+12=22=CF，∴BF=CF?CB=22?13=9，∵BG//CE，∴ΔGBF~ΔECF，∴BF∴9∴BG=117（3）如圖所示，作點A關于直線CD的對稱點A'，連接EA'、AA'、A∵EA=EA∴點A'、F在⊙E∵∠AEF=α，∴∠AA∴點F在與直線AA'夾角為α2設直線A'F與CD交于點Q，直線AA'與直線CD交于點M，直線A'F與直線CB交于點R，過點當點F與H重合時，CF取得最小值，易得RtΔA∴∠QCH=∠MA又∠DCB=α，∴∠BCH=α∴ΔQCR為等腰三角形，∴CQ=CR，由（2）得CR=22，MD=5，∴CQ=22，又CM=CD+DM=25+5=30，∴MQ=CM?CQ=30?22=8，∴在RtΔA'MQ由RtΔA∴A∴4∴CH=66即CF的長度的最小值是6613【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數，勾股定理等知識，正確作出輔助線，熟練運用幾何圖形的性質是解題的關鍵．題型07已知正切值求邊長【例7】（2021·江蘇無錫·統考一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝12，AD＝2，BD＝