非正弦周期電流電路§12—1非正弦周期信號iuRCL若：tuU直流電路i=uR若：正弦交流電路IU=Z若：tutu全波整流波形tu方波tu鋸齒波非正弦周期信號諧波分析法：

非正弦周期激勵信號

電路響應(yīng)（有效值、平均值、功率）傅里葉級數(shù)展開

不同頻率的正弦激勵不同頻率正弦激勵下的響應(yīng)求相量法疊加1、將非正弦周期激勵分解為不同頻率的正弦量之和。2、用相量法求解不同頻率正弦激勵時(shí)的響應(yīng)。3、將不同頻率正弦的響應(yīng)進(jìn)行時(shí)域疊加。§12—2周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)周期函數(shù)：f(t)=f(t+kT)

若f(t)滿足狄里赫利條件（在有限的區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和有限個(gè)極大值和極小值）時(shí)可展開成一個(gè)收斂的級數(shù)。f(t)=a0+a1cost+a2cos2t+a3cos3t+‥‥‥+akcoskt+‥+b1sint+b2sin2t+b3sin3t+‥‥‥+bksinkt+‥f(t)=A0+A1mcos(

1t+1)+A2mcos(2

1t+2)+‥‥

+Akmcos(k

1t+k)+‥‥或：

恒定(直流)一次諧波

(基波)二次諧波高次諧波f(t)=A0+

Akmcos(k1t+k)k=1

系數(shù)關(guān)系：a0=T1

0Tf(t)dtak=T2

0Tf(t)cosk

tdt=

1

02

f(t)cosktd

tbk=T2

0Tf(t)sink

tdt=

1

02

f(t)sinktd

tA0=a0Ak=Ak+bk22

k=tg(–

)akbk波形對稱性與系數(shù)的關(guān)系：1、f(t)=f(–t)tu偶函數(shù)bk=02、f(t)=–f(–t)tu奇函數(shù)ak=0tu3、f(t)=–f(t+

)

2

奇諧波函數(shù)（鏡對稱函數(shù)）偶次諧波為零例：求：圖示周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)展開式。f(t)=Em

0<t<T2–Em

<t<TT2解：奇函數(shù)

ak=0bk=

1

02

f(t)sinktd

tbk=

1

0

Emsinktd

t–

1

2Emsinktd

t=

2

0

Emsinktd

t=–k

2Emcosk

t0

=k

4Emk=1、3、5、‥0k=2、4、6、‥f(t)=(sin

t+sin3

t+sin5

t+‥‥‥)

4Em1513tf(t)Em–Em傅里葉分解

的幾何意義：f(t)=(sin

t+sin3

t+sin5

t+‥‥‥)

4Em1513tf(t)Em–Emtf(t)Em–Em幅度頻譜：f(t)=(sin

t+sin3

t+sin5

t+‥‥‥)

4Em1513k

1Am

1

4Em3134Em5154Em7174Em§12—3有效值、平均值和平均功率一、有效值I=1T

0Ti2dt非正弦電流、電壓時(shí)：I0+

Ikcos(kt+k)k=1

2I=1T

0T[]2dti=I0+

Ikcos(kt+k)k=1

2I=I0+I1+I2+‥‥+Ik+‥‥2222

非正弦周期電流(電壓)的有效值等于恒定分量的平方與各次諧波有效值的平方和再開平方。同理：U=U0+U1+U2+‥‥+Uk+‥‥2222思考：有效值相等的非正弦量(電流或電壓)其波形是否相同？i1=Imsint+Imsin3t13i2=Imsint+Imsin(3t–)1312I1=I2=Im+212(Im)213

ti1

ti2二、平均值定義：Iav=T1

0T|i|dt注意：平均值Iav與恒定分量I0的區(qū)別。I0=T1

0Tidt例：i

=Icost2ti恒定分量

I0=0平均值：Iav=T1

0T|

Icost

|dt2tiIav=0.989I平均值的幾何意義——全波整流后的平均值。

在測量非正弦周期電流和電壓時(shí)，要注意選擇合適的儀表。三、平均功率u=U0+

Ukcos(kt+ku

)k=1

2i=I0+

Ikcos(kt+ki)k=1

2P=T1

0Tuidt

=T1

0T[I0+

Ikcos(kt+ki)]k=1

2dt[U0+

Ukcos(kt+ku

)]k=1

2=U0I0+U1I1cos

1+U2I2cos2+‥‥+UkIkcos

k+‥‥

恒定分量功率一次諧波平均功率1、

k=ku–

ki

同次諧波電壓與電流的相位差。2、不同頻率的電壓、電流不產(chǎn)生平均功率。二次諧波平均功率k次諧波平均功率§12—4非正弦周期電流電路的計(jì)算例：已知：uS=10+50cost+25cos(2t+60o)V,R、L、C電路對基波的復(fù)阻抗Z()=8+j(2–8)

。

求：i=?1、直流分量作用：uiRLCI(0)U(0)I(0)=0uiRLC2、基波作用：8

j2

–j8

U(1)I(1)US(1)=2500oVZ(1)=8+j(2–8)

I(1)=U(1)Z(1)=2536.8oAi(1)=5cos(t+36.8o)A3、二次諧波作用：8

j4

–j4

U(2)I(2)US(2)=22.560oVZ(2)=8

I(2)=U(2)Z(2)=23.1360oAi(2)=3.13cos(2t+60o)A4、疊加：i=I(0)+i(1)+i(2)=5cos(t+36.8o)+3.13cos(2t+60o)A注意事項(xiàng)：1、電源電壓或電流的恒定分量單獨(dú)作用時(shí)，把電容看作開路，把電感看作短路。2、電源電壓或電流的各次諧波分量單獨(dú)作用時(shí)，感抗、容抗的值隨各次諧波的頻率變化。3、最后結(jié)果是作時(shí)域疊加，即：瞬時(shí)式相加。電壓、電流的各次諧波的相量直接相加是沒有意義的例：iS1000PF20

1mHu已知：T=6.2810–6STk=T

求：u=?13解:1、將iS分解(教科書P287表12—1)iS=100[+(sin

cost

+sincos2t+sincos3t+sincos4t+‥‥)]mA132

13122313331443iS=33.3+55cost+27.6cos2t–13.8cos4t+‥‥(mA)

tiS100mATTk2、計(jì)算電路對各次

諧波的輸入復(fù)阻抗iS1000PF20

1mHuT=6.2810–6S直流：Z(0)=R=20

=T2

=106rad/s基波：XL=L=1KXC==1KC1R<<L電路可近似認(rèn)為對基波發(fā)生并聯(lián)諧振。Z(1)==50K

CRL二次諧波：Z(2)=(R+j2L)–j2C1(–j2C1)R+j2L=0.667–89.8oK四次諧波：Z(4)=0.267–90oK3、求各分量作用下的電壓響應(yīng)。U(0)=I(0)Z(0)=3.3310–320=0.66VU(1)=I(1)Z(1)=10–350103=

V550o227500o2U(2)=I(2)Z(2)=

V182–89.8oU(4)=I(4)Z(4)=

V3.72–90o4、瞬時(shí)式相加：u=0.66+2750cost+18cos(2t–89.8o)+3.7cos(4t–90o)V

從所得結(jié)果可以看出：響應(yīng)中只保留了基波信號，該電路具有濾波的作用。濾波器：

低通濾波器

uo/ui

高通濾波器

uo/uiuouiuouiuoui

帶通濾波器

uo/ui例：Nui已知：u(t)=10+50cos(1000t–)+30cos(2000t+)V4

4

4

i(t)=5cos(1000t+)+30cos(2000t–)A4

4

求：網(wǎng)絡(luò)中至少有什么元件，如何連接，其值多大？解：P=0，網(wǎng)絡(luò)中無電阻。=1000rad/s時(shí)，

u–

i=–,電路呈感性。2

=2000rad/s時(shí)，

u–

i=,電路呈容性。2

網(wǎng)絡(luò)中有L、CU(0)=10V，I(0)=0；所以，L、C串聯(lián)。基波作用：5055=1000C1–1000L二次諧波作用：303=2000C12000L–解有：C=50FL=10mH例：+–is**usicCRL1L2M已知:C=0.5F,L1=2H,L2=1H,M=0.5H,R=1K。us=150cos(1000t+30o)V,is=0.1cos(2000t)A2求：電容的電流ic。解：消去互感+–isusicCRL1–ML2–ML2–MM非正弦電路，利用疊加定理。1、電壓源作用：+–isusicCRL1–ML2–ML2–MM電容支路與電感(L1–M)支路