第1章直角三角形的邊角關系（壓軸題專練）目錄：題型1：解直角三角形有關的動態問題題型2：解直角三角形有關的綜合判斷問題題型3：解直角三角形在相似三角形中的應用題型4：解直角三角形在特殊平行四邊形中的應用題型5：解直角三角形在平面直角坐標系中的應用題型1：解直角三角形有關的動態問題1．如圖，中，，，，點是邊上一動點，連接，將線段繞點順時針旋轉，當點的對應點恰好落在的邊所在的直線上時，線段的長為．

2．如圖，在中，，點是的中點，將沿折疊得到，連接.若于點，，則的長為．

3．如圖，將邊長為的等邊折疊，折痕為，點B與點F重合，和分別交于點M、N，，垂足為D，，則重疊部分的面積為．

4．已知等腰，．現將以點B為旋轉中心旋轉45°，得到，延長交直線于點D．則的長度為．5．如圖，在菱形中，，、分別在邊、上，將四邊形沿翻折，使的對應線段經過頂點，延長交于點，當時，的值為．

題型2：解直角三角形有關的綜合判斷問題6．如圖，正方形中，，連接，的平分線交于點，在上截取，連接，分別交，于點，，點是線段上的動點，于點，連接．下列結論：①；②；③；④的最小值是，其中所正結論的序號是

7．如圖，在正方形中，點E、F分別在邊上，且，交于M點，交于N點．下列結論：①；②若F是的中點，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結論的序號是（把你認為所有正確的都填上）．

8．將一張正方形紙片對折，使與重合，得到折痕后展開，E為上一點，將沿所在的直線折疊，使得點C落在折痕上的點F處，連接，，，則得下列結論：①是等邊三角形；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④9．如圖，在正方形中，點為邊的中點，連接，過點作于點，連接交于點，平分交于點．則下列結論中，正確的個數為（

）①；②；③當時，A．0個 B．1個 C．2個 D．3個10．如圖，在中，，，的平分線交于點，于點，交于點，連接，．下列結論：①；②四邊形是菱形；③；④．上述結論中正確的序號是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④題型3：解直角三角形在相似三角形中的應用11．如圖，是等邊三角形，射線在右側，，點B、E關于直線對稱，連接、，且交射線于點D，連接并延長交射線于點F．

(1)當時，求的度數；(2)當時，延長到G，使（如圖2），隨著m的變化，判斷的形狀是否變化，并說明理由；(3)在m變化過程中，若，，求線段的長．12．如圖，在等腰中，，點是射線上的一點，聯結，以為底邊作等腰，使得，聯結．

(1)求邊的長；(2)當點在線段上時，記線段的長為，的面積為，求關于的函數解析式，并寫出的取值范圍；(3)當取何值時，是直角三角形．13．如圖1，已知線段，，線段繞點A在直線上方旋轉，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數量關系是；(2)如圖2，在（1）的條件下，若，，，求的長；(3)如圖3，若，，，當時，求此時的值．14．在中，已知，作，D是上一點，，連接、，在上截取，連接．(1)如圖1所示，若，，求的周長；(2)如圖2所示，若分別取、的中點N、H，連接、，求證：；(3)如圖3所示，，，將沿著直線翻折得到，連接，直線交于點P，N為中點，當取得最小值時，請直接寫出的面積．題型4：解直角三角形在特殊平行四邊形中的應用15．是菱形邊上一點，是等腰三角形，，（），，交邊于點，，連接．

(1)如圖，當時，①求的度數；②若，，請直接寫出的長；(2)如圖，當時，若，，求的面積．16．用四根一樣長的木棍搭成菱形，是線段上的動點（點不與點和點重合），在射線上取一點，連接，，使．操作探究一

(1)如圖1，調整菱形，使，當點在菱形外時，在射線上取一點，使，連接，則，操作探究二(2)如圖2，調整菱形，使，當點在菱形外時，在射線上取一點，使，連接，探索與的數量關系，并說明理由；拓展遷移(3)在菱形中，，．若點在直線上，點在射線上，且當時，請直接寫出的長．17．綜合與實踐【問題情境】在數學活動課上，同學們以“折疊矩形”為主題開展數學活動．已知，在矩形中，，，點P是邊上一點，將沿直線折疊，點A的對應點為點．

【操作發現】操作一：如圖①，當點P與點B重合時，過點作，交于點，連接，試判定四邊形的形狀，并說明理由；操作二：如圖②，當點落在邊上時，______；操作三：如圖③，當點為中點時，延長交于點，連接，則______．18．平移，翻折和旋轉是幾種重要的幾何變換方法，它們可以通過改變圖形的位置，使分散的條件集中，從而便于問題解決．

(1)知識理解：如圖1，中，，，將向右平移，使B與C重合，得，連接，則四邊形是形；(2)問題探究：如圖2，E是正方形的邊的中點，F是延長線上的點，，若，直接寫出正方形的邊長；（不用書寫解答過程，但需在圖中作出必要的輔助線）(3)拓展應用：中，，，，延長至E，使，作，與交于G，當時，求的值．題型5：解直角三角形在平面直角坐標系中的應用19．把兩個等腰直角三角形紙片和放在平面直角坐標系中，已知，，，．將繞點順時針旋轉．

(1)當旋轉至如圖1所示的位置時，若點的縱坐標為2，求旋轉角的值；(2)如圖2，當三點在一條直線上時．①求證：；②求的長；(3)當旋轉至的度數最大時，直接寫出的面積．20．在平面直角坐標系中，O為原點，點，點，把繞點A逆時針旋轉，得，點B，O旋轉后的對應點為，，記旋轉角為α．(1)如圖1，若，連接，求的長度；(2)如圖2，若，求的坐標并直接寫出的坐標；(3)在（2）的條件下，邊上的一點P旋轉后的對應點為，請直接寫出的最小值和此時點P的坐標．21．如圖，在坐標系中的，點、在軸上，點在軸上，且，，，是的中點．

(1)求直線的表達式；(2)如圖，若、分別是邊，的中點，矩形的頂點都在的邊上，若，，