第5講四邊形（練習）真題回顧一、單選題1．（2020·上海中考真題）下列命題中，真命題是()A．對角線互相垂直的梯形是等腰梯形B．對角線互相垂直的平行四邊形是正方形C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形D．對角線平分一組對角的梯形是直角梯形【答案】C【分析】利用特殊四邊形的判定定理對每個選項逐一判斷后即可確定正確的選項．【詳解】A．對角線互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故錯誤；B．對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，故錯誤；C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形，正確；D．對角線平分一組對角的梯形是菱形，故錯誤．故選：C．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解特殊四邊形的判定定理，難度不大．2．（2019·上海中考真題）下列命題中，假命題是()A．矩形的對角線相等 B．矩形對角線交點到四個頂點的距離相等C．矩形的對角線互相平分 D．矩形對角線交點到四條邊的距離相等【答案】D【分析】利用矩形的性質分別判斷后即可確定正確的選項.【詳解】、矩形的對角線相等，正確，是真命題；、矩形的對角線的交點到四個頂點的距離相等，正確，是真命題；、矩形的對角線互相平分，正確，是真命題；、矩形的對角線的交點到一組對邊的距離相等，故錯誤，是假命題.故選.【點睛】本題考查了命題與定理的知識.解題的關鍵是了解矩形的性質，難度不大.二、填空題3．（2019·上海中考真題）如果一個正方形的面積是3，那么它的邊長是＝_______.【答案】【分析】正方形的面積公式：S=a，所以a=，求出這個正方形的邊長，即可解答．【詳解】設正方形的邊長為a，則有a2=3∴邊長為a=故答案為【點睛】此題考查正方形的面積，掌握運算公式是解題關鍵4．（2018·上海中考真題）對于一個位置確定的圖形，如果它的所有點都在一個水平放置的矩形內部或邊上，且該圖形與矩形的每條邊都至少有一個公共點（如圖1），那么這個矩形水平方向的邊長稱為該圖形的寬，鉛錘方向的邊長稱為該矩形的高．如圖2，菱形ABCD的邊長為1，邊AB水平放置．如果該菱形的高是寬的，那么它的寬的值是_____．【答案】【分析】先根據要求畫圖，設矩形的寬AF=x，則CF=x，根據勾股定理列方程即可得結論．【詳解】在菱形上建立如圖所示的矩形EAFC，設AF=x，則CF=x，在Rt△CBF中，CB=1，BF=x﹣1，由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，即：12=（x-1）2+（x）2，解得：x=或0（舍），即它的寬的值是，故答案為．【點睛】本題考查了新定義題，矩形的性質、勾股定理等，根據題意正確畫出圖形，熟練應用相關的知識進行解答是關鍵.5．（2018·上海中考真題）通過畫出多邊形的對角線，可以把多邊形內角和問題轉化為三角形內角和問題．如果從某個多邊形的一個頂點出發的對角線共有2條，那么該多邊形的內角和是_____度．【答案】540【分析】利根據題意得到2條對角線將多邊形分割為3個三角形，然后根據三角形內角和可計算出該多邊形的內角和．【詳解】從某個多邊形的一個頂點出發的對角線共有2條，則將多邊形分割為3個三角形．所以該多邊形的內角和是3×180°=540°，故答案為540．【點睛】本題考查了多邊形的內角和與對角線，熟知n邊形從一個頂點出發的對角線將n邊形分成（n-2）個三角形是關鍵.這里體現了轉化的數學思想.三、解答題6．（2020·上海中考真題）已知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊AB、AD上，BE=DF，CE的延長線交DA的延長線于點G，CF的延長線交BA的延長線于點H．（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB?AE，求證：AG=DF．【分析】(1)先證明△CDF≌△CBE，進而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形對邊CDBH，得到∠H=∠DCF，進而∠BCE=∠H即可求解．(2)由BE2=AB?AE，得到=，再利用AGBC，平行線分線段成比例定理得到=，再結合已知條件即可求解．【詳解】解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CDAB．∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．∵CDBH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．(2)∵BE2=AB?AE，∴=，∵AGBC，∴=，∴=，∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．7．（2020·上海中考真題）如圖，在直角梯形ABCD中，，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3．（1）求梯形ABCD的面積；（2）聯結BD，求∠DBC的正切值．【答案】（1）39；（2）．【分析】(1)過C作CE⊥AB于E，推出四邊形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根據勾股定理得到，即可求出梯形的面積；(2)過C作CH⊥BD于H，根據相似三角形的性質得到，根據勾股定理得到，即可求解．【詳解】解：(1)過C作CE⊥AB于E，如下圖所示：∵ABDC，∠DAB=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D=∠AEC=90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴AD=CE，AE=CD=5，∴BE=AB﹣AE=3．∵BC=3，∴CE==6，∴梯形ABCD的面積=×(5+8)×6=39，故答案為：39．(2)過C作CH⊥BD于H，如下圖所示：∵CDAB，∴∠CDB=∠ABD．∵∠CHD=∠A=90°，∴△CDH∽△DBA，∴，∵BD===10，∴，∴CH=3，∴BH===6，∴∠DBC的正切值===．故答案為：．【點睛】本題考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵模擬預測一、單選題1．（2020·上海崇明區·九年級二模）下列命題中，是真命題的是A．兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．兩條對角線相等的四邊形是矩形C．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形D．兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【答案】A【解析】根據特殊四邊形的判定方法進行判斷．對角線相等的平行四邊形是矩形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形2．（2019·上海普陀區·中考模擬）如圖，ABCD的對角線、交于點，順次聯結ABCD各邊中點得到的一個新的四邊形，如果添加下列四個條件中的一個條件：①⊥；②；③；④，可以使這個新的四邊形成為矩形，那么這樣的條件個數是（）A．1個； B．2個；C．3個； D．4個．【答案】C【分析】根據順次連接四邊形的中點，得到的四邊形形狀和四邊形的對角線位置、數量關系有關，利用三角形中位線性質可得：當對角線垂直時，所得新四邊形是矩形．逐一對四個條件進行判斷．【詳解】解：順次連接四邊形的中點，得到的四邊形形狀和四邊形的對角線位置、數量關系有關，利用三角形中位線性質可得：當對角線垂直時，所得新四邊形是矩形．

①∵AC⊥BD，∴新的四邊形成為矩形，符合條件；②∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC，BO=DO．∵C△ABO=C△CBO，∴AB=BC．根據等腰三角形的性質可知BO⊥AC，∴BD⊥AC．所以新的四邊形成為矩形，符合條件；③∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CBO=∠ADO．∵∠DAO=∠CBO，∴∠ADO=∠DAO．∴AO=OD．∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，連接各邊中點得到的新四邊形是菱形，不符合條件；④∵∠DAO=∠BAO，BO=DO，∴AO⊥BD，即平行四邊形ABCD的對角線互相垂直，∴新四邊形是矩形．符合條件．所以①②④符合條件．故選C．【點睛】本題主要考查矩形的判定、平行四邊形的性質、三角形中位線的性質．3．（2018·上海閔行區·中考模擬）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）A．當AB＝BC時，它是菱形 B．當AC⊥BD時，它是菱形C．當∠ABC＝90°時，它是矩形 D．當AC＝BD時，它是正方形【答案】D【分析】由題意分別根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據所給條件可以證出鄰邊相等；根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形；根據對角線相等的平行四邊形是矩形進行分析即可．【詳解】解：A、根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形，當AB=BC時，它是菱形，故A選項正確；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故B選項正確；C、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項正確；D、根據對角線相等的平行四邊形是矩形可知當AC=BD時，它是矩形，不是正方形，故D選項錯誤；綜上所述，符合題意是D選項；故選：D．【點睛】本題主要考查菱形、矩形和正方形的判定，熟練掌握菱形、矩形、正方形是特殊的平行四邊形是解題的關鍵．4．（2020·上海楊浦區·九年級二模）已知在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC與BD相交于點O，那么下列條件中能判定這個四邊形是矩形的是（）A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD【答案】B【分析】根據矩形的判定方法，一一判斷即可解決問題．【詳解】解：A、AB∥DC，AD＝BC，無法得出四邊形ABCD是平行四邊形，故無法判斷四邊形ABCD是矩形．故錯誤；

B、∵AB∥CD，

∴∠BAD＋∠ABC＝∠ADC＋∠BCD＝180°，

∵∠BAD＝∠BCD，

∴∠ABC＝∠ADC，

∴得出四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AC＝BD，

∴四邊形ABCD是矩形．故正確；

C、∵AO＝CO，AB＝BC，

∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，

∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴BC＝CD，

∴AB＝CD，

∴四邊形ABCD是菱形，無法判斷四邊形ABCD是矩形．故錯誤；

D、AO＝OB，AC＝BD無法判斷四邊形ABCD是矩形，故錯誤；

故選：B．【點睛】本題考查矩形的判定方法、熟練掌握矩形的判定方法是解決問題的關鍵，記住對角線相等的平行四邊形是矩形，有一個角是90度的平行四邊形是矩形，有三個角是90度的四邊形是矩形，屬于中考常考題型．5．（2020·上海嘉定區·九年級二模）下列四個命題中，真命題是()A．一組對邊平行，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形B．一組對角相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形C．一組鄰邊相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形D．一組對邊相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形【答案】A【分析】根據平行四邊形的判定進行判斷即可．【詳解】A．一組對邊平行，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形，是真命題；B．一組對角相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形不一定是平行四邊形，原命題是假命題；C．一組鄰邊相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形不一定是平行四邊形，原命題是假命題；D．一組對邊相等，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形不一定是平行四邊形，原命題是假命題．故選：A．【點睛】本題考查了命題與定理和平行四邊形的判定，解題的關鍵是了解平行四邊形的幾個判定定理，難度不大．二、填空題6．（2020·上海浦東新區·九年級三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞點C旋轉，點A、B、D的對應點分別為A’、B’、D’，當A’落在邊CD的延長線上時，邊A’D’與邊AD的延長線交于點F，聯結CF，那么線段CF的長度為____．

【答案】【分析】由勾股定理可求A'C=5，可得A'D=A'C-CD=2，由△ECD∽△A'CB'，對應邊成比例即可求出DE的長，再由△A'DF∽△CDE求出DF的長，最后在Rt△DFC中由勾股定理即可求出DF.【詳解】解：由旋轉前后對應邊相等可知：A'B'=AB=3，B'C=BC=4∴由勾股定理可知：A'C=，∴A'D=A'C-CD=2，又∠ADC=∠B'=90°，且∠ECD=∠A'CB'，∴△ECD∽△A'CB'，∴，代入數據：，∴，又A'F∥CE，∴∠CED=∠A'FD，且∠EDC=∠FDA'，∴△A'DF∽△CDE，，代入數據：，∴，在Rt△DFC中由勾股定理可知：.故答案為：.【點睛】本題借助矩形的性質考查了相似三角形的性質和判定，熟練掌握相似三角形的性質和判定是解決此題的關鍵.7．（2020·上海浦東新區·九年級三模）如圖，在矩形中，，，將矩形繞點旋轉，點、、的對應點分別為、、，當落在邊的延長線上時，邊與邊的延長線交于點，聯結，那么線段的長度為_________．【答案】【分析】由旋轉的性質得CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠ADC=∠A'D'C=90°，由勾股定理得出A'C=5，則A'D=A'C-CD=5-3=2，證Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），得出DF=D'F，設DF=D'F=x，則A'F=4-x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得出方程，解方程得DF=，由勾股定理即可得出CF的長度．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠ADC=90°，∴∠A'DF=∠CDF=90°，由旋轉的性質得：CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠ADC=∠A'D'C=90°，∴，∴A'D=A'C-CD=5-3=2，在Rt△CDF和Rt△CD'F中，，∴Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），∴DF=D'F，設DF=D'F=x，則A'F=4-x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得：22+x2=（4-x）2，解得：x=，∴；故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質和旋轉的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．8．（2020·上海大學附屬學校九年級三模）如圖，在矩形中，AD=6，將矩形折疊，使點B與點D重合，落在處，若，則折痕的長為__________．【答案】4【分析】由，，可求，，由折疊可知，得出，為的直角三角形；由可知，，，由折疊的性質得，等量代換后判斷為等邊三角形，即可得出答案．【詳解】解：在中，∵∴，，∵，∴，由折疊的性質得，∴，∴為等邊三角形，由折疊可知：BE=DE，∵，∴，∵AD=6，∴DE=BE=4，故．故答案為：4．【點睛】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．三、解答題9．（2020·上海九年級二模）如圖，四邊形ABCD是菱形，點E在AB延長線上，聯結AC，DE，DE分別交BC，AC于點F，G，且．求證：（1）∽；（2）【分析】（1）只要證明，又∠BAC=∠GAE，即可證明△ABC∽△AGE；

（2）只要證明△ADG∽△EDA，可得，推出AD2=DE?DG即可證明；【詳解】證明：（1）∵，∴，∵四邊形ABCD是菱形，∴，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵四邊形ABCD是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查相似三角形的性質、菱形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．10（2020·上海楊浦區·九年級二模）如圖，已知在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點M在線段OD上，聯結AM并延長交邊DC于點E，點N在線段OC上，且ON＝OM，聯結DN與線段AE交于點H，聯結EN、MN．（1）如果EN∥BD，求證：四邊形DMNE是菱形；（2）如果EN⊥DC，求證：AN2＝NC?AC．【分析】（1）根據正方形性質及ON＝OM，求出MN∥CD，進而得出四邊形DMNE是平行四邊形，在證明出△AOM≌△DON即可得到平行四邊形DMNE是菱形；（2）根據MN∥CD得到，再由EN⊥DC得到EN∥AD，，再由AB∥DC，得到，即可得到，即為所求．【詳解】證明：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵ON＝OM，∴，∴MN∥CD，又∵EN∥BD，∴四邊形DMNE是平行四邊形，在△AOM和△DON中，∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，∴△AOM≌△DON（SAS），∴∠OMA＝∠OND，∵∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OAM+∠OND＝90°∴∠AHN＝90°．∴DN⊥ME，∴平行四邊形DMNE是菱形；（2）如圖2，∵MN∥CD，∴，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，∴AD⊥DC，又∵EN⊥DC，∴EN∥AD，∴，∵AB∥DC，∴，∴，∴AN2＝NC?AC．【點睛】此題考查正方形相關知識，主要是利用平行線分線段成比例求解，難度較大．11．（2020·上海靜安區·九年級二模）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長BA至點E，使得AE＝AB，聯結DE、AC．點F在線段DE上，聯結BF，分別交AC、AD于點G、H．（1）求證：BG＝GF；（2）如果AC＝2AB，點F是DE的中點，求證：AH2＝GH?BH．【分析】（1）由平行四邊形的性質可得AB＝CD＝AE，AB∥CD，可證四邊形ACDE是平行四邊形，可得，可得結論；（2）由“SAS”可證△BEF≌△DEA，可得∠EBF＝∠EDA，通過證明△AHG∽△BHA，可得結論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AB＝AE，∴AE＝CD，∴四邊形ACDE是平行四邊形，∴AC∥DE，∴，∴BG＝GF；（2）∵AB＝AE，∴BE＝2AE，∵AC＝2AB，∴BE＝AC，∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴AC＝DE，∴DE＝BE，∵點F是DE的中點，∴DE＝2EF，∴AE＝EF，∵DE＝BE，∠E＝∠E，AE＝EF，∴△BEF≌△DEA（SAS），∴∠EBF＝∠EDA，∵AC∥DE，∴∠GAH＝∠EDA．∴∠EBF＝∠GAH．∵∠AHG＝∠BHA，∴△AHG∽△BHA，∴．∴AH2＝GH?BH．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，靈活運用相似三角形判定和性質是本題的關鍵．12.（2021·上海九年級專題練習）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＜BC，AB＝BC＝1，E是邊AB上一點，聯結CE．（1）如果CE＝CD，求證：AD＝AE；（2）聯結DE，如果存在點E，使得△ADE、△BCE和△CDE兩兩相似，求AD的長；（3）設點E關于直線CD的對稱點為M，點D關于直線CE的對稱點為N，如果AD＝，且M在直線AD上時，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）過C點作CF⊥AD，交AD的延長線于F，可證ABCF是正方形，即AB=BC=CF=FA;再由“HL”證得Rt△CBE≌Rt△CFD，可得BE=FD，最后用線段的和差即可；（2）分∠EDC＝90°和∠DEC＝90°兩種情況討論，運用相似三角形的性質和直角三角形的性質即可求解；（3）連接EM交CD于Q，連接DN交CE于P，連接ED，CM，作CF⊥AD于F，由軸對稱的性質可得∠CP