2025屆邵陽市重點中學高三最后一卷數學試題文試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲乙兩人有三個不同的學習小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為（）A．B．C．D．2．已知與函數和都相切，則不等式組所確定的平面區域在內的面積為（）A． B． C． D．3．已知復數z，則復數z的虛部為（）A． B． C．i D．i4．地球上的風能取之不盡，用之不竭.風能是淸潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發展風力發電，近10年來，全球風力發電累計裝機容量連年攀升，中國更是發展迅猛，2014年累計裝機容量就突破了，達到，中國的風力發電技術也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風力發電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖.根據所給信息，正確的統計結論是（）A．截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值B．10年來全球新增裝機容量連年攀升C．10年來中國新增裝機容量平均超過D．截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過5．在中，點為中點，過點的直線與，所在直線分別交于點，，若，，則的最小值為（）A． B．2 C．3 D．6．下列結論中正確的個數是（）①已知函數是一次函數，若數列通項公式為，則該數列是等差數列；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則；③在中，“”是“”的必要不充分條件；④若，則的最大值為2.A．1 B．2 C．3 D．07．某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線：（，）的右焦點與圓：的圓心重合，且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．39．已知復數，若，則的值為（）A．1 B． C． D．10．設、，數列滿足，，，則（）A．對于任意，都存在實數，使得恒成立B．對于任意，都存在實數，使得恒成立C．對于任意，都存在實數，使得恒成立D．對于任意，都存在實數，使得恒成立11．設是虛數單位，，，則（）A． B． C．1 D．212．下列函數中既關于直線對稱，又在區間上為增函數的是()A．. B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，則________，的面積為________．14．已知函數有且只有一個零點，則實數的取值范圍為__________.15．某地區教育主管部門為了對該地區模擬考試成績進行分析，隨機抽取了150分到450分之間的1000名學生的成績，并根據這1000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在[250，400)內的學生共有____人．16．已知向量，滿足，，，則向量在的夾角為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知某種細菌的適宜生長溫度為12℃~27℃，為了研究該種細菌的繁殖數量（單位：個）隨溫度（單位：℃）變化的規律，收集數據如下：溫度/℃14161820222426繁殖數量/個2530385066120218對數據進行初步處理后，得到了一些統計量的值，如表所示：20784.11123.8159020.5其中，.（1）請繪出關于的散點圖，并根據散點圖判斷與哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數量關于溫度的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（2）根據（1）的判斷結果及表格數據，建立關于的回歸方程（結果精確到0.1）；（3）當溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數量的預報值為多少？參考公式：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二成估計分別為，，參考數據：.18．（12分）已知函數（，）滿足下列3個條件中的2個條件：①函數的周期為；②是函數的對稱軸；③且在區間上單調.（Ⅰ）請指出這二個條件，并求出函數的解析式；（Ⅱ）若，求函數的值域.19．（12分）如圖，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.過頂點，的平面與棱，分別交于，兩點.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：四邊形是平行四邊形；（Ⅲ）若，試判斷二面角的大小能否為？說明理由.20．（12分）已知函數，函數在點處的切線斜率為0.（1）試用含有的式子表示，并討論的單調性；（2）對于函數圖象上的不同兩點，，如果在函數圖象上存在點，使得在點處的切線，則稱存在“跟隨切線”.特別地，當時，又稱存在“中值跟隨切線”.試問：函數上是否存在兩點使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由.21．（12分）如圖，在直棱柱中，底面為菱形，，，與相交于點，與相交于點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.22．（10分）已知，均為正數，且.證明：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】依題意，基本事件的總數有種，兩個人參加同一個小組，方法數有種，故概率為.2．B【解析】

根據直線與和都相切，求得的值，由此畫出不等式組所表示的平面區域以及圓，由此求得正確選項.【詳解】.設直線與相切于點，斜率為，所以切線方程為，化簡得①.令，解得，，所以切線方程為，化簡得②.由①②對比系數得，化簡得③.構造函數，，所以在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切線方程為.即.不等式組即，畫出其對應的區域如下圖所示.圓可化為，圓心為.而方程組的解也是.畫出圖像如下圖所示，不等式組所確定的平面區域在內的部分如下圖陰影部分所示.直線的斜率為，直線的斜率為.所以，所以，而圓的半徑為，所以陰影部分的面積是.故選：B【點睛】本小題主要考查根據公共切線求參數，考查不等式組表示區域的畫法，考查圓的方程，考查兩條直線夾角的計算，考查扇形面積公式，考查數形結合的數學思想方法，考查分析思考與解決問題的能力，屬于難題.3．B【解析】

利用復數的運算法則、虛部的定義即可得出【詳解】，則復數z的虛部為.故選：B.【點睛】本題考查了復數的運算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.4．D【解析】

先列表分析近10年全球風力發電新增裝機容量，再結合數據研究單調性、平均值以及占比，即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計裝機容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計裝機裝機容量逐年遞增，A錯誤；全球新增裝機容量在2015年之后呈現下降趨勢，B錯誤；經計算，10年來中國新增裝機容量平均每年為，選項C錯誤；截止到2015年中國累計裝機容量，全球累計裝機容量，占比為，選項D正確.故選：D【點睛】本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5．B【解析】

由，，三點共線，可得，轉化，利用均值不等式，即得解.【詳解】因為點為中點，所以，又因為，，所以．因為，，三點共線，所以，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為1．故選：B【點睛】本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.6．B【解析】

根據等差數列的定義，線面關系，余弦函數以及基本不等式一一判斷即可；【詳解】解：①已知函數是一次函數，若數列的通項公式為，可得為一次項系數），則該數列是等差數列，故①正確；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則與可以相交或平行，故②錯誤；③在中，，而余弦函數在區間上單調遞減，故“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要條件，故③錯誤；④若，則，所以，當且僅當時取等號，故④正確；綜上可得正確的有①④共2個；故選：B【點睛】本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運用和等比數列的求和公式、等差數列的定義和不等式的性質，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．7．C【解析】程序在運行過程中各變量值變化如下表：KS是否繼續循環循環前11第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557是第五圈6120否故退出循環的條件應為k>5?本題選擇C選項.點睛：使用循環結構尋數時，要明確數字的結構特征，決定循環的終止條件與數的結構特征的關系及循環次數．尤其是統計數時，注意要統計的數的出現次數與循環次數的區別．8．A【解析】

由已知，圓心M到漸近線的距離為，可得，又，解方程即可.【詳解】由已知，，漸近線方程為，因為圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，所以圓心M到漸近線的距離為，故，所以離心率為.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線離心率的問題，涉及到直線與圓的位置關系，考查學生的運算能力，是一道容易題.9．D【解析】由復數模的定義可得：，求解關于實數的方程可得：.本題選擇D選項.10．D【解析】

取，可排除AB；由蛛網圖可得數列的單調情況，進而得到要使，只需，由此可得到答案.【詳解】取，，數列恒單調遞增，且不存在最大值，故排除AB選項；由蛛網圖可知，存在兩個不動點，且，，因為當時，數列單調遞增，則；當時，數列單調遞減，則；所以要使，只需要，故，化簡得且.故選：D．【點睛】本題考查遞推數列的綜合運用，考查邏輯推理能力，屬于難題．11．C【解析】

由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：，，解得：.故選:C.【點睛】本題考查了復數的運算，考查了復數相等的涵義.對于復數的運算類問題，易錯點是把當成進行運算.12．C【解析】

根據函數的對稱性和單調性的特點，利用排除法，即可得出答案.【詳解】A中，當時，，所以不關于直線對稱，則錯誤；B中，，所以在區間上為減函數，則錯誤；D中，，而，則，所以不關于直線對稱，則錯誤；故選：C.【點睛】本題考查函數基本性質，根據函數的解析式判斷函數的對稱性和單調性，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用余弦定理可求得的值，進而可得出的值，最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得，則，因此，的面積為.故答案為：；.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時也考查了三角形面積的計算，考查計算能力，屬于基礎題.14．【解析】

當時，轉化條件得有唯一實數根，令，通過求導得到的單調性后數形結合即可得解.【詳解】當時，，故不是函數的零點；當時，即，令，，，當時，；當時，，的單調減區間為，增區間為，又，可作出的草圖，如圖：則要使有唯一實數根，則.故答案為：.【點睛】本題考查了導數的應用，考查了轉化化歸思想和數形結合思想，屬于難題.15．750【解析】因為0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003×50=1，得a=0.006所以1000×0.004+0.006+0.00516．【解析】

把平方利用數量積的運算化簡即得解.【詳解】因為，，，所以，∴，∴，因為所以.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數量積的運算法則，考查向量的夾角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）作圖見解析；更適合（2）（3）預報值為245【解析】

（1）由散點圖即可得到答案；（2）把兩邊取自然對數，得，由計算得到，再將代入可得，最終求得，即；（3）將代入中計算即可.【詳解】解：（1）繪出關于的散點圖，如圖所示：由散點圖可知，更適合作為該種細菌的繁殖數量關于的回歸方程類型；（2）把兩邊取自然對數，得，即，由.∴，則關于的回歸方程為；（3）當時，計算可得；即溫度為27℃時，該種細菌的繁殖數量的預報值為245.【點睛】本題考查求非線性回歸方程及其應用的問題，考查學生數據處理能力及運算能力，是一道中檔題.18．（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）依次討論①②成立，①③成立，②③成立，計算得到只有①②成立，得到答案.（Ⅱ）得到，得到函數值域.【詳解】（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；由③得，，，；若①②成立，則，，，若①③成立，則，，不合題意，若②③成立，則，，與③中的矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，.（Ⅱ）由題意得，，所以函數的值域為.【點睛】本題考查了三角函數的周期，對稱軸，單調性，值域，表達式，意在考查學生對于三角函數知識的綜合應用.19．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）不能為.【解析】

（1）由平面平面，可得平面，從而證明；（2）由平面與平面沒有交點，可得與不相交，又與共面，所以，同理可證，得證；（3）作交于點，延長交于點，連接，根據三垂線定理，確定二面角的平面角，若，，由大角對大邊知，兩者矛盾，故二面角的大小不能為.【詳解】（1）由平面平面，平面平面，且，所以平面，又平面，所以；（2）依題意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面與平面平行，即兩個平面沒有交點，則與不相交，又與共面，所以，同理可證，所以四邊形是平行四邊形；（3）不能.如圖，作交于點，延長交于點，連接，由，，，所以平面，則平面，又，根據三垂線定理，得到，所以是二面角的平面角，若，則是等腰直角三角形，，又，所以中，由大角對大邊知，所以，這與上面相矛盾，所以二面角的大小不能為.【點睛】本題考查了立體幾何中的線線平行和垂直的判定問題，和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉化，屬中檔題.20．（1），單調性見解析；（2）不存在，理由見解析【解析】

（1）由題意得，即可得；求出函數的導數，再根據、、、分類討論，分別求出、的解集即可得解；（2）假設滿足條件的、存在，不妨設，且，由題意得可得，令（），構造函數（），求導后證明即可得解.【詳解】（1）由題可得函數的定義域為且，由，整理得..（ⅰ）當時，易知，，時.故在上單調遞增，在上單調遞減.（ⅱ）當時，令，解得或，則①當，即時，在上