試題PAGE1試題2023-2024學年江蘇省南京市建鄴區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（2分）已知⊙O的半徑為5，點P在⊙O內，則OP的長可能是（）A．7 B．6 C．5 D．42．（2分）關于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣13．（2分）學校食堂有15元，18元，20元三種盒飯供學生選擇（每人購一份）．某天盒飯銷售情況如圖所示，則當天學生購買盒飯費用的平均數(shù)是（）A．15元 B．16元 C．17元 D．18元4．（2分）下列說法中，正確的是（）A．兩個半圓是等弧 B．三個點確定一個圓 C．相等的弦所對的弧相等 D．圓的內接平行四邊形是矩形5．（2分）如圖，⊙O的弦AB，DC的延長線相交于點E，∠AOD＝142°，BC為64°，則∠AED的度數(shù)為（）A．38° B．39° C．40° D．41°6．（2分）若關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根之和是m，兩根之積是n，則關于t的方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的兩根之積是（）A．n+m﹣1 B．n+m+1 C．n﹣m+1 D．n﹣m﹣1二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應位置）7．（2分）方程x2﹣2x＝0的解為．8．（2分）據(jù)調查，某班40位同學所穿鞋子的尺碼如表所示，則鞋子尺碼的中位數(shù)是碼．尺碼/碼3536373839404142人數(shù)346875439．（2分）在⊙O中，弦AB的長恰好等于半徑，弦AB所對的圓心角為．10．（2分）甲、乙兩人分別進行5次射擊練習，成績如下（單位：環(huán)）：甲：7，8，7，7，10；乙：8，7，8，10，8．甲、乙的射擊成績的方差分別為s甲2，s乙2，則s11．（2分）建鄴區(qū)2020年GDP為1122億元，2022年GDP為1251億元，設這兩年GDP的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程為．12．（2分）圓錐的底面半徑為6cm，母線長為10cm，則圓錐的側面積為cm2．13．（2分）如圖，AB＝AC＝AD．若∠ADB＝α，則∠BCD＝．14．（2分）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點P是AF上任意一點，連接PC，PD，則△PCD與正六邊形ABCDEF的面積之比為．15．（2分）設x1，x2是一元二次方程ax2+bx﹣（a+b）＝0（a，b是常數(shù)）的兩個根．若x1x2＜0，則x1+x2的取值范圍是．16．（2分）如圖，在?ABCD中，AB＝12cm，AD＝6cm，∠DAB＝60°，點P為AB上一點，過點C，D，P作⊙O，當點P從點A運動到點B時，點O運動路線的長為cm．三、解答題（本大題共11小題，共88分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x+1＝25；（2）（x﹣2）（x+3）＝（x﹣2）（2x﹣1）．18．（8分）“強國”自習室規(guī)定，每人每天學習需一次性支付10元場地費．隨機抽取自習室一周的學習人數(shù)如下表（單位：人）：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合計5468766496220178756（1）求該自習室本周的日平均營業(yè)額．（2）如果用該自習室本周星期一到星期五的日平均營業(yè)額估計當月的營業(yè)總額，你認為是否合理？如果合理，請說明理由；如果不合理，請設計一個方案，并估計該自習室當月（按30天計算）的營業(yè)總額．19．（8分）根據(jù)江心洲地質水文條件量身打造的“新時代號”泥水平衡盾構機，是目前世界上最先進的盾構設備之一，被譽為“國之重器”．如圖1，盾構機核心部件——刀盤的形狀是一個圓形．如圖2，當機器暫停時，刀盤露在地上部分的跨度AB＝12m，拱高（弧的中點到弦的距離CD）3m，求盾構機刀盤的半徑．20．（8分）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，延長DC，AB相交于點E，且∠ABC＝2∠E．求證：△ADE是等腰三角形．21．（7分）已知關于x的方程x2+kx+k﹣2＝0．（1）證明：不論k為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若k為整數(shù)，則當k＝時，方程的根是整數(shù)．22．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在圓上，BC=CD，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若AD＝10，AO＝13，求CE的長．23．（8分）2023年全國旅游市場持續(xù)回暖．經(jīng)調研，“十一”假期期間，如果某景區(qū)門票定價為每張80元，那么當天入園人數(shù)預計將達到20000人；如果票價每增加1元，那么當天入園人數(shù)就減少200人．要使每日門票收入達到1620000元，票價應定為多少元？24．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且AC=CE，AE，CB的延長線交于點G，CF⊥AB交于AG于點F，垂足為（1）求證：∠CAB＝∠BCD；（2）求證：AF＝FG．25．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點O作AC的垂線，垂足為D，分別交CB的延長線，AC于點E，F(xiàn)，AF，BC的延長線交于點G．（1）求證AC＝CG；（2）若EB＝CG，求∠BAC的度數(shù)．26．（9分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AC＝16cm，BD＝12cm，動點M從點A出發(fā)沿AC方向以2cm/s的速度運動到點C，動點N從點B出發(fā)沿BD方向以1cm/s的速度運動到點D．若點M，N同時出發(fā)，其中一個點停止運動時，另一個點也停止運動．（1）出發(fā)1秒鐘時，△MON的面積＝cm2；（2）出發(fā)幾秒鐘時，△MON的面積為1cm2？27．（8分）如圖，已知△ABC和長度為m的線段．用圓規(guī)與無刻度直尺分別作出滿足下列條件的圓．（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）（1）求作⊙A，使其與線段BC相交所形成的弦的長度為m．（2）求作⊙O，使其與△ABC各邊相交所形成的弦的長度均為m．

2023-2024學年江蘇省南京市建鄴區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（2分）已知⊙O的半徑為5，點P在⊙O內，則OP的長可能是（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】根據(jù)點在圓內，點到圓心的距離小于圓的半徑進行判斷．【解答】解：∵⊙O的半徑為5，點P在⊙O內，∴OP＜5．故選：D．【點評】本題考查了點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內?d＜r．2．（2分）關于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是（）A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1【分析】由一元二次方程根的判別式，解出即可．【解答】解：∵一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，∴（﹣2）2﹣4×1×a＝0，解得，a＝1；故選：C．【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．3．（2分）學校食堂有15元，18元，20元三種盒飯供學生選擇（每人購一份）．某天盒飯銷售情況如圖所示，則當天學生購買盒飯費用的平均數(shù)是（）A．15元 B．16元 C．17元 D．18元【分析】根據(jù)加權平均數(shù)的計算方法，分別用單價乘以相應的百分比，計算即可得解．【解答】解：15×40%+18×50%+20×10%＝17（元），即當天學生購買盒飯費用的平均數(shù)是17元．故選：C．【點評】本題考查了加權平均數(shù)，解題的關鍵是掌握加權平均數(shù)的計算公式．數(shù)據(jù)的權能夠反映數(shù)據(jù)的相對“重要程度”，要突出某個數(shù)據(jù)，只需要給它較大的“權”，權的差異對結果會產(chǎn)生直接的影響．4．（2分）下列說法中，正確的是（）A．兩個半圓是等弧 B．三個點確定一個圓 C．相等的弦所對的弧相等 D．圓的內接平行四邊形是矩形【分析】根據(jù)等弧的概念、確定圓的條件、弧與弦的關系、圓內接四邊形的性質判斷即可．【解答】解：A、兩個半徑相等的半圓是等弧，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、不在同一直線上的三個點確定一個圓，故本選項說法錯誤，不符合題意；C、相等的弦所對的弧不一定相等，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、圓的內接平行四邊形是矩形，說法正確，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是等弧的概念、確定圓的條件、弧與弦的關系、圓內接四邊形的性質，掌握相關的概念和性質是解題的關鍵．5．（2分）如圖，⊙O的弦AB，DC的延長線相交于點E，∠AOD＝142°，BC為64°，則∠AED的度數(shù)為（）A．38° B．39° C．40° D．41°【分析】連接OB，OC，BD，利用圓周角定理求出∠ABD，∠BDC，再利用三角形的外角的性質求出∠AED即可．【解答】解：如圖，連接OB，OC，BD，∵∠ABD=12∠AOD，∠∴∠ABD＝71°，∵BC為64°，∴∠BOC＝64°，∴∠BDC=12∠∵∠ABD＝∠BDC+∠AED，∴∠AED＝71°﹣32°＝39°．故選：B．【點評】本題考查圓周角定理，三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握圓周角定理，屬于中考常考題型．6．（2分）若關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根之和是m，兩根之積是n，則關于t的方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的兩根之積是（）A．n+m﹣1 B．n+m+1 C．n﹣m+1 D．n﹣m﹣1【分析】把方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0看作關于t+1的一元二次方程，則利用關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根為x1，x2得到t1＝x1﹣1，t2＝x2﹣1，然后利用根與系數(shù)的關系得到結論．【解答】解：把方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0看作關于t+1的一元二次方程，設關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根為x1，x2，則方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的兩根為t1＝x1﹣1，t2＝x2﹣1，∵關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根之和是m，兩根之積是n，∴x1+x2＝m，x1x2＝n，∴t1t2＝（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝n﹣m+1．故選：C．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2=?ba，x1x2二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應位置）7．（2分）方程x2﹣2x＝0的解為x1＝0，x2＝2．【分析】把方程的左邊分解因式得x（x﹣2）＝0，得到x＝0或x﹣2＝0，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，x1＝0或x2＝2．故答案為：x1＝0，x2＝2．【點評】本題主要考查對解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程等知識點的理解和掌握，把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．8．（2分）據(jù)調查，某班40位同學所穿鞋子的尺碼如表所示，則鞋子尺碼的中位數(shù)是38碼．尺碼/碼3536373839404142人數(shù)34687543【分析】找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)（或兩個數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)．【解答】解：一共有40個數(shù)據(jù)，位置處于中間的數(shù)是：38，38，所以中位數(shù)是（38+38）÷2＝38．故鞋子尺碼的中位數(shù)是38碼．故答案為：38．【點評】本題考查了中位數(shù)，注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．9．（2分）在⊙O中，弦AB的長恰好等于半徑，弦AB所對的圓心角為60°．【分析】先畫圖，由等邊三角形的判定和性質求得弦AB所對的圓心角．【解答】解：如圖，∵AB＝OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，故答案為60°．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系，以及等邊三角形的判定和性質．10．（2分）甲、乙兩人分別進行5次射擊練習，成績如下（單位：環(huán)）：甲：7，8，7，7，10；乙：8，7，8，10，8．甲、乙的射擊成績的方差分別為s甲2，s乙2，則s【分析】分別計算兩人的平均數(shù)和方差即可得出答案．【解答】解：甲的平均成績?yōu)椋?+8+7+7+10）÷5＝7.8，乙的平均成績?yōu)椋?+7+8+10+8）÷5＝8.2；甲的方差S2=15×[3×（7﹣7.8）2+（8﹣7.8）2乙的方差S2=15×[3×（8﹣8.2）2+（7﹣8.2）2故甲，乙兩人方差的大小關系是：s甲故答案為：＞．【點評】本題考查了方差的計算，方差是各數(shù)據(jù)值離平均數(shù)差的平方和的平均數(shù)，熟練掌握計算公式是解答本題的關鍵．11．（2分）建鄴區(qū)2020年GDP為1122億元，2022年GDP為1251億元，設這兩年GDP的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程為1122（1+x）2＝1251．【分析】根據(jù)建鄴區(qū)2020年GDP為1122億元，2022年GDP為1251億元，列出一元二次方程即可．【解答】解：根據(jù)題意得：1122（1+x）2＝1251，故答案為：1122（1+x）2＝1251．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．12．（2分）圓錐的底面半徑為6cm，母線長為10cm，則圓錐的側面積為60πcm2．【分析】圓錐的側面積＝π×底面半徑×母線長，把相應數(shù)值代入即可求解．【解答】解：圓錐的側面積＝π×6×10＝60πcm2．【點評】本題考查圓錐側面積公式的運用，掌握公式是關鍵．13．（2分）如圖，AB＝AC＝AD．若∠ADB＝α，則∠BCD＝90°+α．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求出角BAD的度數(shù)，再根據(jù)四邊形內角和為360°得出∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°﹣（180°﹣2α）＝180°+2α，再根據(jù)等腰三角形的性質即可推出結果．【解答】解：∵AB＝AD，∠ADB＝α，∴∠ABD＝∠ADB＝α，∴∠BAD＝180°﹣2α，∴∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°﹣（180°﹣2α）＝180°+2α，∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，∴∠ACB+∠BCD+∠ACD＝180°+2α，即2∠BCD＝180°+2α，∴∠BCD＝90°+α，故答案為：90°+α．【點評】本題考查了等腰三角形的性質，四邊形內角和定理，熟記等腰三角形的性質以及四邊形內角和定理是解題的關鍵．14．（2分）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點P是AF上任意一點，連接PC，PD，則△PCD與正六邊形ABCDEF的面積之比為1：3．【分析】設正多邊形的中心為O，如圖，連接CF，DF，OD，根據(jù)AF∥CD，得到S△PCD＝S△FCD，根據(jù)OC＝OF得到S△OCD＝S△OFD=12S△PCD，而S△OCD=1【解答】解：設正多邊形的中心為O，如圖，連接CF，DF，OD，∵AF∥CD，∴S△PCD＝S△FCD，∵OC＝OF，∴S△OCD＝S△OFD=12S△∵S△OCD=16S∴△PCD與正六邊形ABCDEF的面積之比為1：3．故答案為：1：3．【點評】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積，等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．15．（2分）設x1，x2是一元二次方程ax2+bx﹣（a+b）＝0（a，b是常數(shù)）的兩個根．若x1x2＜0，則x1+x2的取值范圍是x1+x2＜1．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得x1+x2=?ba，x1x2=?a+ba，由x1x2＜0，得?a+ba＜0，即?b【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx﹣（a+b）＝0（a，b是常數(shù)）的兩個根，∴x1+x2=?ba，x1x2∵x1x2＜0，∴?a+b即﹣1?b∴?b∴x1+x2=?b則x1+x2的取值范圍是x1+x2＜1．故答案為：x1+x2＜1．【點評】本題考查根與系數(shù)的關系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關系及巧妙使用整體思想是解題的關鍵．16．（2分）如圖，在?ABCD中，AB＝12cm，AD＝6cm，∠DAB＝60°，點P為AB上一點，過點C，D，P作⊙O，當點P從點A運動到點B時，點O運動路線的長為53cm．【分析】根據(jù)垂徑定理確定圓心O所在直線，然后根據(jù)勾股定理得出圓心與CD中點之間距離的變化規(guī)律，從而得出O點的軌跡路程．【解答】解：當點O在CD上時，CD為圓的直徑，∴OD=12CD＝6∴OD＝OP＝AD＝BC，∴P為AB中點或與B重合，當點O在CD下方時，過O作OE⊥CD于，交AB于F，過D作DG⊥AB于G，如圖1，設AP＝xcm，則0≤x≤6，OE＝y(tǒng)cm，∵∠A＝60°，∴AG=12AD＝3cm，DG=3AG＝3又∵AB∥CD，∴EF＝DG＝33cm，DE＝FG＝6cm，∴AF＝AG+FG＝9cm，∴PF＝（9﹣x）cm，∵OP＝OD，由勾股定理得：OE2+DE2＝OF2+PF2，即y2+36＝（33?y）2+（9﹣x）2整理得：y=318x2?3x∴在0≤x≤6時，0≤y≤43，∴O移動了43cm，當O在CD上方時，過O作AB垂線，交CD于E，AB于F，如圖2：設AP＝xcm，則6≤x≤12，OE＝y(tǒng)cm，∴OF＝（y+33）cm，根據(jù)勾股定理得：OE2+DE2＝OF2+PF2，即y2+36＝（y+33）2+（9﹣x）2，整理得：y=3∴x＝9時，y有最大值32，x＝6時，y＝0，x＝12時，y即O點向上移動32cm后，再向下移動32∴O的運動路線總長為：43+32×故答案為：53．【點評】本題主要考查了三角形的外心，通過勾股定理得出圓心O到CD中點距離的變化規(guī)律是本題解題的關鍵．三、解答題（本大題共11小題，共88分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x+1＝25；（2）（x﹣2）（x+3）＝（x﹣2）（2x﹣1）．【分析】（1）把方程左邊化為完全平方式的形式，再求出x的值即可；（2）先移項，再提取公因式即可．【解答】解：（1）x2+2x+1＝25，（x+1）2＝25，x+1＝±25=x1＝4，x2＝﹣6；（2）（x﹣2）（x+3）＝（x﹣2）（2x﹣1），（x﹣2）（x+3）﹣（x﹣2）（2x﹣1）＝0，（x﹣2）[（x+3）﹣（2x﹣1）]＝0，（x﹣2）（x+3﹣2x+1）＝0，（x﹣2）（4﹣x）＝0，x﹣2＝0，或4﹣x＝0，x1＝2，x2＝4．【點評】本題考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和直接開方法是解題的關鍵．18．（8分）“強國”自習室規(guī)定，每人每天學習需一次性支付10元場地費．隨機抽取自習室一周的學習人數(shù)如下表（單位：人）：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合計5468766496220178756（1）求該自習室本周的日平均營業(yè)額．（2）如果用該自習室本周星期一到星期五的日平均營業(yè)額估計當月的營業(yè)總額，你認為是否合理？如果合理，請說明理由；如果不合理，請設計一個方案，并估計該自習室當月（按30天計算）的營業(yè)總額．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的定義計算可得；（2）從極端值對平均數(shù)的影響作出判斷，可用該自習室本周一到周日的日均營業(yè)額估計當月營業(yè)額．【解答】解：（1）該店本周的日平均營業(yè)額為756×10÷7＝1080（元），所以該自習室本周的日平均營業(yè)額為1080元；（2）因為在周一至周日的營業(yè)額中周六、日的營業(yè)額明顯高于其他五天的營業(yè)額，所以去掉周六、日的營業(yè)額對平均數(shù)的影響較大，故用該自習室本周星期一到星期五的日平均營業(yè)額估計當月的營業(yè)總額不合理，方案：用該自習室本周一到周日的日均營業(yè)額估計當月營業(yè)額，當月的營業(yè)額為30×1080＝32400（元）．【點評】本題主要考查算術平均數(shù)及樣本估計總體，解題的關鍵是掌握算術平均數(shù)的定義與樣本估計總體思想的運用．19．（8分）根據(jù)江心洲地質水文條件量身打造的“新時代號”泥水平衡盾構機，是目前世界上最先進的盾構設備之一，被譽為“國之重器”．如圖1，盾構機核心部件——刀盤的形狀是一個圓形．如圖2，當機器暫停時，刀盤露在地上部分的跨度AB＝12m，拱高（弧的中點到弦的距離CD）3m，求盾構機刀盤的半徑．【分析】設OA＝OC＝rm．構建方程求解．【解答】解：設OA＝OC＝rm．∵OC⊥AB，∴AD＝DB=12AB＝6（∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝62+（r﹣3）2，∴r＝7.5．∴盾構機刀盤的半徑為7.5m．【點評】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用參數(shù)構建方程．20．（8分）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，延長DC，AB相交于點E，且∠ABC＝2∠E．求證：△ADE是等腰三角形．【分析】根據(jù)圓內接四邊形的性質和等腰三角形的判定定理證明．【解答】證明：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠A＝∠BCE，∵∠ABC＝2∠E，∠ABC＝∠E+∠BCE，∴∠BCE＝∠BEC，∴∠A＝∠BEC，∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形．【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質、等腰直角三角形的判定，掌握圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角是解題的關鍵，解答時，注意方程思想的靈活運用．21．（7分）已知關于x的方程x2+kx+k﹣2＝0．（1）證明：不論k為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若k為整數(shù)，則當k＝2時，方程的根是整數(shù)．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，即可得出Δ＝（k﹣2）2+4＞0，由此可證出不論k取何值，方程必有兩個不相等的實數(shù)根；（2）將x＝﹣2代入原方程可求出k值，再根據(jù)兩根之和等于?b【解答】（1）證明：Δ＝k2﹣4（k﹣2）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4．∵（k﹣2）2≥0，∴（k﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴不論k取何值，方程必有兩個不相等的實數(shù)根；（2）將x2+kx+k﹣2＝0．整理得：k=2?x2x+1=x＝0，k＝2；x＝1．k=1x＝2，k=?2x＝﹣2，k＝2，……，答：k的值為2，方程的根是整數(shù)．故答案為：2．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）牢記兩根之和等于?b22．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在圓上，BC=CD，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若AD＝10，AO＝13，求CE的長．【分析】（1）連接OC，AC，OA＝OC，則∠OCA＝∠OAC，再由已知條件，可得∠OCE＝90°；（2）作OF⊥AD，得到四邊形OCEF是矩形和AF＝5，根據(jù)矩形性質可得CE長．【解答】（1）證明：連接OC，AC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵BC=∴∠BAC＝∠CAD，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AE，∵∠E＝90°，∴∠OCE＝∠E＝90°，∴OC⊥CE，∵OC是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）解：如圖，作OF⊥AD，∵OF⊥AD，∴AF=12∵∠OFE＝∠FEC＝∠ECO＝90°，∴四邊形OCEF是矩形，∴CE＝OF，在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF=1∴CE＝12．【點評】考查了切線的判定定理和勾股定理，垂徑定理，都是基礎知識要熟練掌握．23．（8分）2023年全國旅游市場持續(xù)回暖．經(jīng)調研，“十一”假期期間，如果某景區(qū)門票定價為每張80元，那么當天入園人數(shù)預計將達到20000人；如果票價每增加1元，那么當天入園人數(shù)就減少200人．要使每日門票收入達到1620000元，票價應定為多少元？【分析】設票價應定為x元，根據(jù)票價×每日銷售的票數(shù)＝每日門票收入，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：設票價應定為x元，由題意得：x[20000﹣200（x﹣80）]＝1620000，整理得：x2﹣180x+8100＝0，解得：x1＝x2＝90，答：票價應定為90元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．24．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且AC=CE，AE，CB的延長線交于點G，CF⊥AB交于AG于點F，垂足為（1）求證：∠CAB＝∠BCD；（2）求證：AF＝FG．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得出∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，根據(jù)直角三角形的性質得出∠CAB+∠ACD＝90°，等量代換即可得解；（2）連接CE，根據(jù)圓周角定理及直角三角形的性質推出∠ACD＝∠AEC，∠AEC＝∠CAE，則∠CAE＝∠ACD，根據(jù)等腰三角形的判定推出AF＝CF，再根據(jù)直角三角形的性質推出∠G＝∠BCF，進而推出CF＝FG，等量代換即可得解．【解答】證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴CF⊥AB于D，∴∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠BCD；（2）如圖，連接CE，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠ABC＝∠AEC，∴∠ACD＝∠AEC，∵AC=∴∠AEC＝∠CAE，∴∠CAE＝∠ACD，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAG+∠G＝90°，∠ACF+∠BCF＝90°，∵∠CAG＝∠ACF，∴∠G＝∠BCF，∴CF＝FG，∴AF＝FG．【點評】此題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系，熟記圓周角定理是解題的關鍵．25．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點O作AC的垂線，垂足為D，分別交CB的延長線，AC于點E，F(xiàn)，AF，BC的延長線交于點G．（1）求證AC＝CG；（2）若EB＝CG，求∠BAC的度數(shù)．【分析】（1）連接CF，根據(jù)垂徑定理得到AF=CF，求得∠FAC＝∠（2）連接AE，過A作AH⊥BC于H，根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可得到結論．【解答】（1）證明：連接CF，∵過點O作AC的垂線，垂足為D，∴AF=∴∠FAC＝∠ACF，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠GFC＝∠ABC，∴∠GFC＝∠ACB，∵∠G＝180°﹣∠GFC﹣∠GC