江西省玉山縣二中2025年高三3月質量檢測試題數學試題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線（，）的左、右頂點分別為，，虛軸的兩個端點分別為，，若四邊形的內切圓面積為，則雙曲線焦距的最小值為（）A．8 B．16 C． D．2．方程在區間內的所有解之和等于()A．4 B．6 C．8 D．103．如圖，在中，，是上的一點，若，則實數的值為（）A． B． C． D．4．（）A． B． C． D．5．設函數，當時，，則（）A． B． C．1 D．6．設為虛數單位，為復數，若為實數，則（）A． B． C． D．7．拋物線的焦點為，則經過點與點且與拋物線的準線相切的圓的個數有（）A．1個 B．2個 C．0個 D．無數個8．在復平面內，復數對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．若函數在時取得最小值，則（）A． B． C． D．10．若復數是純虛數，則實數的值為()A．或 B． C． D．或11．設函數，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．12．設，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在正四棱柱中，P是側棱上一點，且.設三棱錐的體積為，正四棱柱的體積為V，則的值為________.14．如圖，某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足函數，則這段曲線的函數解析式為______________．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說“是乙或丙獲獎.”乙說：“甲、丙都未獲獎.”丙說：“我獲獎了”.丁說：“是乙獲獎.”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是__________．16．已知復數,其中是虛數單位．若的實部與虛部相等,則實數的值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某職稱晉級評定機構對參加某次專業技術考試的100人的成績進行了統計，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規定80分及以上者晉級成功，否則晉級失?。畷x級成功晉級失敗合計男16女50合計（1）求圖中的值；（2）根據已知條件完成下面列聯表，并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關？（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數為，求的分布列與數學期望．（參考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02418．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，底面為正方形，、分別為、的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19．（12分）如圖，四邊形為菱形，為與的交點，平面.（1）證明：平面平面；（2）若，，三棱錐的體積為，求菱形的邊長.20．（12分）的內角所對的邊分別是，且，.（1）求；（2）若邊上的中線，求的面積.21．（12分）已知等差數列的前n項和為，等比數列的前n項和為，且，，.（1）求數列與的通項公式；（2）求數列的前n項和.22．（10分）已知函數（1）已知直線：，：.若直線與關于對稱，又函數在處的切線與垂直，求實數的值；（2）若函數，則當，時，求證：①；②.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據題意畫出幾何關系，由四邊形的內切圓面積求得半徑，結合四邊形面積關系求得與等量關系，再根據基本不等式求得的取值范圍，即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據題意，畫出幾何關系如下圖所示：設四邊形的內切圓半徑為，雙曲線半焦距為，則所以，四邊形的內切圓面積為，則，解得，則，即故由基本不等式可得，即，當且僅當時等號成立.故焦距的最小值為.故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質的簡單應用，圓錐曲線與基本不等式綜合應用，屬于中檔題.2、C【解析】

畫出函數和的圖像，和均關于點中心對稱，計算得到答案.【詳解】，驗證知不成立，故，畫出函數和的圖像，易知：和均關于點中心對稱，圖像共有8個交點，故所有解之和等于.故選：.【點睛】本題考查了方程解的問題，意在考查學生的計算能力和應用能力，確定函數關于點中心對稱是解題的關鍵.3、B【解析】

變形為，由得，轉化在中，利用三點共線可得.【詳解】解：依題：，又三點共線，，解得．故選：．【點睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數.思路是(1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數的值.(2)直線的向量式參數方程：三點共線?(為平面內任一點,)4、D【解析】

利用，根據誘導公式進行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結果.【詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【點睛】本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式，關鍵在于掌握公式，屬基礎題.5、A【解析】

由降冪公式，兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，然后由正弦函數性質求得參數值．【詳解】，時，，，∴，由題意，∴．故選：A．【點睛】本題考查二倍角公式，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數性質，掌握正弦函數性質是解題關鍵．6、B【解析】

可設，將化簡，得到，由復數為實數，可得，解方程即可求解【詳解】設，則.由題意有，所以.故選：B【點睛】本題考查復數的模長、除法運算，由復數的類型求解對應參數，屬于基礎題7、B【解析】

圓心在的中垂線上，經過點，且與相切的圓的圓心到準線的距離與到焦點的距離相等，圓心在拋物線上，直線與拋物線交于2個點，得到2個圓．【詳解】因為點在拋物線上，又焦點，，由拋物線的定義知，過點、且與相切的圓的圓心即為線段的垂直平分線與拋物線的交點，這樣的交點共有2個，故過點、且與相切的圓的不同情況種數是2種．故選：．【點睛】本題主要考查拋物線的簡單性質，本題解題的關鍵是求出圓心的位置，看出圓心必須在拋物線上，且在垂直平分線上．8、B【解析】

化簡復數為的形式，然后判斷復數的對應點所在象限，即可求得答案.【詳解】對應的點的坐標為在第二象限故選：B.【點睛】本題主要考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題.9、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據正弦函數的最值，求得在函數取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當，即時，函數取最小值，所以，故選：D【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數的最值的應用，屬于基礎題．10、C【解析】試題分析：因為復數是純虛數，所以且，因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點：純虛數11、B【解析】

采用排除法：通過判斷函數的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點的函數值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數的定義域為，其關于原點對稱，因為,所以函數為奇函數,其圖象關于原點對稱，故選A排除；對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數的奇偶性和特殊點函數值符號判斷函數圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數值符號是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型.12、C【解析】

根據充分條件和必要條件的定義結合對數的運算進行判斷即可．【詳解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b?logab＜1，logab＜1?a＞b，∴a＞b是logab＜1的充分必要條件，故選C．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據不等式的解法是解決本題的關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設正四棱柱的底面邊長，高，再根據柱體、錐體的體積公式計算可得.【詳解】解：設正四棱柱的底面邊長，高，則，即故答案為：【點睛】本題考查柱體、錐體的體積計算，屬于基礎題.14、，【解析】

根據圖象得出該函數的最大值和最小值，可得，，結合圖象求得該函數的最小正周期，可得出，再將點代入函數解析式，求出的值，即可求得該函數的解析式.【詳解】由圖象可知，，，，，從題圖中可以看出，從時是函數的半個周期，則，.又，，得，取，所以，．故答案為：，．【點睛】本題考查由圖象求函數解析式，考查計算能力，屬于中等題.15、丙【解析】若甲獲獎，則甲、乙、丙、丁說的都是錯的，同理可推知乙、丙、丁獲獎的情況，可知獲獎的歌手是丙．考點：反證法在推理中的應用.16、【解析】

直接由復數代數形式的乘法運算化簡,結合已知條件即可求出實數的值.【詳解】解：的實部與虛部相等,所以,計算得出.故答案為:【點睛】本題考查復數的乘法運算和復數的概念,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)列聯表見解析，有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關；(3)分布列見解析，=3【解析】

（1）由頻率和為1，列出方程求的值；（2）由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計算晉級成功的人數，填寫列聯表，計算觀測值，對照臨界值得出結論；（3）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，知隨機變量服從二項分布，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數學期望.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，可知，解得；（2）由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為，所以晉級成功的人數為（人），填表如下：晉級成功晉級失敗合計男163450女94150合計2575100假設“晉級成功”與性別無關，根據上表數據代入公式可得，所以有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關；（3）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，這人晉級失敗的概率為0.75，所以可視為服從二項分布，即，，故，，，，.所以的分布列為：01234數學期望為.或（）．【點睛】本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量的分布列、數學期望的應用問題，屬于中檔題．若離散型隨機變量，則.18、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）利用中位線的性質得出，然后利用線面平行的判定定理可證明出平面；（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）因為、分別為、的中點，所以．又因為平面，平面，所以平面；（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，，．設平面的法向量為，則，即，令，則，，所以．設直線與平面所成角為，所以．因此，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用空間向量法計算直線與平面所成的角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.19、（1）證明見解析；（2）1【解析】

（1）由菱形的性質和線面垂直的性質，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（2）設，分別求得，和的長，運用三棱錐的體積公式，計算可得所求值．【詳解】（1）四邊形為菱形，，平面，，又，平面，又平面，平面平面；（2）設，在菱形中，由，可得，，，，在中，可得，由面，知，為直角三角形，可得，三棱錐的體積，，菱形的邊長為1．【點睛】本題考查面面垂直的判定，注意運用線面垂直轉化，考查三棱錐的體積的求法，考查化簡運算能力和推理能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．20、（1），（2）【解析】

（1）先由正弦定理，得到，進而可得，再由，即可得出結果；（2）先由余弦定理得，，再根據題中數據，可得，從而可求出，得到，進而可求出結果.【詳解】（1）由正弦定理得，所以，因為，所以，即，所以，又因為，所以，.（2）在和中，由余弦定理得，.因為，，，，又因為，即，所以，所以，又因為，所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查解三角形，靈活運用正弦定理和余弦定理即可，屬于?？碱}型.21、（1）；（2）【解析】

(1)設數列的公差為d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,進而求得.(2)由（1）得，,利用分組求和及錯位相減法即可求得結果.【詳解】（1）設數列的公差為d，數列的公比為q，由可得，，整理得，即，故，由可得，則，即，故.（2）由（1）得，，，故，所以，數列的前n項和為，設①，則②，②①得，綜上，數列的前n項和為.【點睛】本題考查求等差等比的通項公式,考試分組求和及錯位相減法求數列的和,考查學生的計算能力,難度一般.22、（1）（2）①證明見解析②證明見解析【解析】

（1）首先根據直線關于直線對稱的直線的求法，求得的方程及其斜率.根據函數在處的切線與垂直列方程，解方程求得的值.（2）①構造函數，利用的導函數證得當時，，由此證得.②由①知成立，整理得成立.利用構造函數法證得，由此得到，即，化簡后得到.【詳解】（1）由解得必過