安徽省宣城二中2025屆高三4月考試題數學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．若復數滿足（為虛數單位），則其共軛復數的虛部為（）A． B． C． D．3．若復數滿足,則()A． B． C． D．4．雙曲線的左右焦點為，一條漸近線方程為，過點且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于，滿足，則該雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．25．的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為A．-40 B．-20 C．20 D．406．在平面直角坐標系中，已知是圓上兩個動點，且滿足，設到直線的距離之和的最大值為，若數列的前項和恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．7．過拋物線的焦點F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設P為拋物線上的一動點，，若，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知數列是公比為的等比數列，且，，成等差數列，則公比的值為（

）A． B． C．或 D．或9．劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人之一他在割圓術中提出的，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術的核心思想是將一個圓的內接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術的思想，得到的近似值為（）A． B． C． D．10．若點x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區域內（包括邊界），則A．-3,1 B．-3,5 C．-∞,-311．將函數的圖像向右平移個單位長度，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍（縱坐標不變），得到函數的圖像，若為奇函數，則的最小值為（）A． B． C． D．12．已知三棱錐P﹣ABC的頂點都在球O的球面上，PA，PB，AB＝4，CA＝CB，面PAB⊥面ABC，則球O的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數，則使得不等式成立的的取值范圍為_________.14．從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區服務，每天安排一人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當甲、乙兩人都參加時，他們參加社區服務的日期不相鄰，那么不同的安排種數為______________.(用數字作答)15．已知在△ABC中，（2sin32°，2cos32°），（cos77°，﹣cos13°），則?_____，△ABC的面積為_____．16．用數字、、、、、組成無重復數字的位自然數，其中相鄰兩個數字奇偶性不同的有_____個.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列是各項均為正數的等比數列，，且，，成等差數列．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，為數列的前項和，記，證明：．18．（12分）以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，已知曲線，曲線（為參數），求曲線交點的直角坐標.19．（12分）如圖，三棱臺的底面是正三角形，平面平面，.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）為提供市民的健身素質，某市把四個籃球館全部轉為免費民用（1）在一次全民健身活動中，四個籃球館的使用場數如圖，用分層抽樣的方法從四場館的使用場數中依次抽取共25場，在中隨機取兩數，求這兩數和的分布列和數學期望；（2）設四個籃球館一個月內各館使用次數之和為，其相應維修費用為元，根據統計，得到如下表的數據：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程；②叫做籃球館月惠值，根據①的結論，試估計這四個籃球館月惠值最大時的值參考數據和公式：，21．（12分）某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛生防疫工作的相關要求，決定在全公司范圍內舉行一次普查，為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗，由于人數較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.方案②：按個人一組進行隨機分組，把從每組個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結果呈陰性，這個人的血只需檢驗一次（這時認為每個人的血化驗次）；否則，若呈陽性，則需對這個人的血樣再分別進行一次化驗，這樣，該組個人的血總共需要化驗次.假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為，且這些人之間的試驗反應相互獨立.（1）設方案②中，某組個人的每個人的血化驗次數為，求的分布列；（2）設，試比較方案②中，分別取2，3，4時，各需化驗的平均總次數；并指出在這三種分組情況下，相比方案①，化驗次數最多可以平均減少多少次？（最后結果四舍五入保留整數）22．（10分）已知橢圓：（），四點，，，中恰有三點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左右頂點分別為.是橢圓上異于的動點，求的正切的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意建立空間直角坐標系，表示出各點坐標后，利用即可得解.【詳解】平面，底面是邊長為2的正方形，如圖建立空間直角坐標系，由題意：，，，，，為的中點，.，，，異面直線與所成角的余弦值為即為.故選：B.【點睛】本題考查了空間向量的應用，考查了空間想象能力，屬于基礎題.2、D【解析】

由已知等式求出z，再由共軛復數的概念求得，即可得虛部.【詳解】由zi＝1﹣i，∴z＝，所以共軛復數=-1+，虛部為1故選D．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算和共軛復數的基本概念，屬于基礎題．3、C【解析】

把已知等式變形，利用復數代數形式的除法運算化簡，再由復數模的計算公式求解．【詳解】解：由，得，∴．故選C．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數模的求法，是基礎題．4、A【解析】

設，直線的方程為，聯立方程得到，，根據向量關系化簡到，得到離心率.【詳解】設，直線的方程為.聯立整理得，則.因為，所以為線段的中點，所以，，整理得，故該雙曲線的離心率.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學生的計算能力和轉化能力.5、D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應的常數項=80，由5-2r=-1得r=3,對應的常數項=-40，故所求的常數項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數項==-40+80=406、B【解析】

由于到直線的距離和等于中點到此直線距離的二倍，所以只需求中點到此直線距離的最大值即可。再得到中點的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和中點到此直線距離的最大值的關系可以求出。再通過裂項的方法求的前項和，即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由，得，.設線段的中點，則，在圓上，到直線的距離之和等于點到該直線的距離的兩倍，點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離為，，，..故選：【點睛】本題考查了向量數量積，點到直線的距離，數列求和等知識，是一道不錯的綜合題.7、C【解析】

設直線AB的方程為，代入得：，由根與系數的關系得，，從而得到，同理可得，再利用求得的值，當Q，P，M三點共線時，即可得答案.【詳解】根據題意，可知拋物線的焦點為，則直線AB的斜率存在且不為0，設直線AB的方程為，代入得：.由根與系數的關系得，，所以.又直線CD的方程為，同理，所以，所以.故.過點P作PM垂直于準線，M為垂足，則由拋物線的定義可得.所以，當Q，P，M三點共線時，等號成立.故選：C.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系、焦半徑公式的應用，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意取最值的條件.8、D【解析】

由成等差數列得，利用等比數列的通項公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=故選：D．【點睛】本題考查等差等比數列的綜合，利用等差數列的性質建立方程求q是解題的關鍵，對于等比數列的通項公式也要熟練．9、A【解析】

設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術可得圓的面積為,整理可得,當時即可為所求.【詳解】由割圓術可知當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當時,可得,故選:A【點睛】本題考查三角形面積公式的應用,考查閱讀分析能力.10、D【解析】

畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區域，y+1x-2表示封閉區域內的點(x,y)【詳解】畫出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區域內的點(x,y)和定點P(2,-1)設k=y+1x-2，結合圖形可得k≥k由題意得點A,B的坐標分別為A(3,0),B(1,2)，∴kPA∴k≥1或k≤-3，∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D．【點睛】解答本題的關鍵有兩個：一是根據數形結合的方法求解問題，即把y+1x-211、C【解析】

根據三角函數的變換規則表示出，根據是奇函數，可得的取值，再求其最小值.【詳解】解：由題意知，將函數的圖像向右平移個單位長度，得，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍（縱坐標不變），得到函數的圖像，，因為是奇函數，所以，解得，因為，所以的最小值為.故選：【點睛】本題考查三角函數的變換以及三角函數的性質，屬于基礎題.12、D【解析】

由題意畫出圖形，找出△PAB外接圓的圓心及三棱錐P﹣BCD的外接球心O，通過求解三角形求出三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑，則答案可求.【詳解】如圖；設AB的中點為D；∵PA，PB，AB＝4，∴△PAB為直角三角形，且斜邊為AB，故其外接圓半徑為：rAB＝AD＝2；設外接球球心為O；∵CA＝CB，面PAB⊥面ABC，∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB；且DC.∴O在CD上；故有：AO2＝OD2+AD2?R2＝（R）2+r2?R；∴球O的表面積為：4πR2＝4π.故選：D.【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數形結合的解題思想方法，考查思維能力與計算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分，兩種情況代入討論即可求解.【詳解】，當時，，符合；當時，，不滿足.故答案為：【點睛】本題主要考查了分段函數的計算，考查了分類討論的思想.14、5040.【解析】分兩類，一類是甲乙都參加，另一類是甲乙中選一人，方法數為。填5040.【點睛】利用排列組合計數時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏.在本題中，甲與乙是兩個特殊元素，對于特殊元素“優先法”，所以有了分類。本題還涉及不相鄰問題，采用“插空法”。15、【解析】

①根據向量數量積的坐標表示結合兩角差的正弦公式的逆用即可得解；②結合①求出，根據面積公式即可得解.【詳解】①2（sin32°?cos77°﹣cos32°?sin77°），②，，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查平面向量與三角函數解三角形綜合應用，涉及平面向量數量積的坐標表示，三角恒等變換，根據三角形面積公式求解三角形面積，綜合性強.16、【解析】

對首位數的奇偶進行分類討論，利用分步乘法計數原理和分類加法計數原理可得出結果.【詳解】①若首位為奇數，則第一、三、五個數位上的數都是奇數，其余三個數位上的數為偶數，此時，符號條件的位自然數個數為個；②若首位數為偶數，則首位數不能為，可排在第三或第五個數位上，第二、四、六個數位上的數為奇數，此時，符合條件的位自然數個數為個.綜上所述，符合條件的位自然數個數為個.故答案為：.【點睛】本題考查數的排列問題，要注意首位數字的分類討論，考查分步乘法計數和分類加法計數原理的應用，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）由，且成等差數列，可求得q，從而可得本題答案；（Ⅱ）化簡求得，然后求得，再用裂項相消法求，即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）因為數列是各項均為正數的等比數列，，可設公比為q，，又成等差數列，所以，即，解得或（舍去），則，；（Ⅱ）證明：，，，則，因為，所以即.【點睛】本題主要考查等差等比數列的綜合應用，以及用裂項相消法求和并證明不等式，考查學生的運算求解能力和推理證明能力.18、【解析】

利用極坐標方程與普通方程、參數方程間的互化公式化簡即可.【詳解】因為，所以，所以曲線的直角坐標方程為.由，得，所以曲線的普通方程為.由，得，所以（舍），所以，所以曲線的交點坐標為.【點睛】本題考查極坐標方程與普通方程，參數方程與普通方程間的互化，考查學生的計算能力，是一道容易題.19、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點為，連結，易證四邊形為平行四邊形，即，由于，為的中點，可得到，從而得到，即可證明平面，從而得到；（Ⅱ）易證，，兩兩垂直，以，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，設與平面所成角為，則，即可得到答案．【詳解】解：（Ⅰ）取的中點為，連結.由是三棱臺得，平面平面，從而.∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.∵，為的中點，∴，∴.∵平面平面，且交線為，平面，∴平面，而平面，∴.（Ⅱ）連結.由是正三角形，且為中點，則.由（Ⅰ）知，平面，，∴，，∴，，兩兩垂直.以，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，，，，∴，，.設平面的一個法向量為.由可得，.令，則，，∴.設與平面所成角為，則.【點睛】本題考查了空間幾何中，面面垂直的性質，線線垂直的證明，及線面角的求法，考查了學生的邏輯推理能力與計算求解能力，屬于中檔題．20、（1）見解析，12.5（2）①②20【解析】

(1)運用分層抽樣，結合總場次為100，可求得的值，再運用古典概型的概率計算公式可求解果;(2)①由公式可計算的值，進而可求與的回歸直線方程；②求出，再對函數求導，結合單調性，可估計這四個籃球館月惠值最大時的值.【詳解】解：（1）抽樣比為，所以分別是，6，7，