教學(xué)設(shè)計課題余弦定理課型新授課?章/單元復(fù)習(xí)課□專題復(fù)習(xí)課□習(xí)題/試卷講評課□學(xué)科實踐活動課□其他□教學(xué)內(nèi)容分析《6.4.3余弦定理正弦定理》是普通高中數(shù)學(xué)教材2019版必修第二冊6.4《平面向量的應(yīng)用》的第三節(jié)，本節(jié)課主要講解余弦定理的推導(dǎo)和余弦定理的簡單應(yīng)用。本節(jié)內(nèi)容實質(zhì)是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的勾股定理的延伸和推廣，同時也為初中證明三角形全等的邊角邊（SAS）、邊邊邊（SSS）找到依據(jù),它描述了三角形重要的邊角關(guān)系，將三角形的邊與角有機的聯(lián)系起來，實現(xiàn)邊角關(guān)系的互化；本節(jié)內(nèi)容為解決斜三角形中的邊角求解問題提供了一個重要的工具，為初中學(xué)習(xí)做了拓展延申，為解決基本圖形問題提供了重要依據(jù)。為了更好地體現(xiàn)向量的價值，教科書把余弦定理放本節(jié)中，用向量方法推導(dǎo)了定理。解斜三角形作為平面向量知識的應(yīng)用，突出其工具性和應(yīng)用性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。學(xué)習(xí)者分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過了勾股定理、任意角的三角函數(shù)、平面向量等相關(guān)知識，這為過渡到本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。高一下學(xué)期階段的學(xué)生思維較為活躍，求知欲也較強，但沒有接觸過數(shù)學(xué)定理的證明，沒有證明定理的經(jīng)驗，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的建模能力有待提高。因此教師要提供針對性的研究素材，并作必要的啟發(fā)和引導(dǎo)，證明余弦定理的過程中也會存在困難，教師可以適時的點撥。本節(jié)課思維量較大，對思維的嚴謹性和推理能力要求較高。學(xué)習(xí)目標(biāo)確定《課標(biāo)》要求：能用余弦定理解決簡單的實際問題。1.能用向量等知識證明余弦定理，能掌握余弦、正弦定理；2.能初步運用余弦定理及其推論解斜三角形，能解決斜三角形的計算問題，提高運用所學(xué)知識解決實際問題的能力，會從數(shù)學(xué)角度對某些日常生活中和其他學(xué)科中出現(xiàn)的問題進行研究探索，因此在教學(xué)過程中充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)重點難點重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其應(yīng)用，體會向量的工具作用。難點：用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法，及余弦定理在求解三角形時對公式變形的應(yīng)用。學(xué)習(xí)評價設(shè)計通過余弦定理的學(xué)習(xí)，了解向量法證明余弦定理的推導(dǎo)過程；掌握余弦定理及其推論,并能用其解決一些簡單的三角形度量問題；能應(yīng)用余弦定理判斷三角形的形狀；在這個過程中培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。學(xué)習(xí)活動設(shè)計過程學(xué)習(xí)內(nèi)容與教師活動（引領(lǐng)性問題）學(xué)生任務(wù)或?qū)W習(xí)活動設(shè)計設(shè)計意圖或評價目標(biāo)環(huán)節(jié)一內(nèi)容1.（創(chuàng)設(shè)情境）教師活動1.（多媒體展示）【實際情境】千島湖位于杭州到黃山之間，距離杭州129公里，黃山140公里，是這黃金旅游線上一顆璀璨的明珠，下圖就是千島湖的部分照片問題1：現(xiàn)在千島湖上有三座島嶼，島A、島B和島C，其中AB之間的距離1200m，AC之間的距離900m，用測角器測得∠BAC之間的角度為120°，現(xiàn)在想知道BC之間的距離，用什么方法來計算？追問：更一般化，如果知道三角形的兩個鄰邊和夾角，怎樣求對邊？學(xué)生任務(wù)1.獨立思考獨立思考，將問題1.數(shù)學(xué)化，使島A、島B和島C分別在ΔABC的三個頂點上，已知AC=1200m，AB=900m,∠A=120°，求邊BC的長度。在教師的引導(dǎo)下，歸納概括出問題的共同特征，進一步提出數(shù)學(xué)建模思想.設(shè)計意圖：由實際問題出發(fā)，引出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考.提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，增強學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，引入本節(jié)課主題評價目標(biāo)：學(xué)生能否想到用向量或者三角形，發(fā)展學(xué)生分析問題，解決問題的能力。內(nèi)容2.教師活動2.（多媒體展示）在一個三角形中，如果已知鄰邊和夾角，利用所學(xué)的向量知識，解決以下問題：1.在ABC中，已知a=3,b=6，C=600，求c.2.在中，已知a=6,b=4,c=，求C.3.你能填寫下面橫線上的內(nèi)容嗎？_____________,追問：如何用已知的邊c，a和它們的夾角B表示第三邊b？=_______________,=______________。教師在提問學(xué)生后全班同學(xué)進行交流的基礎(chǔ)上進行適當(dāng)點評.最后總結(jié)出余弦定理并證明（教師板書）余弦定理：三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即：注意：余弦定理結(jié)構(gòu)的最大特點是等式兩邊均為齊次式，結(jié)構(gòu)和諧體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。學(xué)生任務(wù)2.回答問題學(xué)生先回想平面向量的數(shù)量積，能否用數(shù)量積解決這兩個問題，寫出解答過程，歸納總結(jié)余弦定理。學(xué)生任務(wù)3.證明結(jié)論嘗試用所學(xué)平面向量的知識證明余弦定理，同理可證：設(shè)計意圖：1.把平面向量的知識過渡到三角形中來，學(xué)會知識遷移.2.利用向量的數(shù)量積運算來化簡復(fù)雜三角形問題。評價目標(biāo)：由特殊三角形邊角關(guān)系歸納總結(jié)出一般三角形的邊角關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和直觀想象能力。設(shè)計意圖：余弦定理的推導(dǎo)是本節(jié)課的一個學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)生推導(dǎo)余弦定理后，對余弦定理的剖析有利于加深對定理的認識和理解，培養(yǎng)學(xué)生的基本技能，基本思想和數(shù)學(xué)運算能力評價目標(biāo)：通過證明余弦定理加深對定理的理解，鍛煉了學(xué)生的邏輯推理能力。教師活動3.（多媒體展示）問題1.1.余弦定理中有幾個量？問題1.2.若想求一個量，需要知道幾個量？問題1.3.如果已知三邊長如何求A？由余弦定理得到推論：cosA=______________________cosB=______________________cosC=______________________問題1.4.勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系。你能說說這兩個定理之間的關(guān)系嗎？一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其它元素的過程叫做解三角形。學(xué)生任務(wù)4.獨立思考學(xué)生通過觀察余弦定理后思考并回答問題：1.余弦定理中有4個量2.需要知道3個量3.推導(dǎo)出余弦定理的變式：，4.若三角形ABC中C=90°，則cos90°=0，這時c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2；勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣。設(shè)計意圖：體現(xiàn)學(xué)生思辨性思維，激發(fā)學(xué)生探究意識，找到勾股定理和余弦定理的關(guān)系，加深對余弦定理的理解，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力。評價目標(biāo)：由余弦定理出發(fā)推導(dǎo)出推論，鍛煉了學(xué)生的基本活動經(jīng)驗和數(shù)據(jù)分析的能力。教師活動4.問題2.1.根據(jù)余弦定理能夠解決解三角形的哪些類型？問題2.2.根據(jù)余弦定理推論能夠解決解三角形的哪些類型？問題2.3現(xiàn)在可以解決千島湖問題嗎？（教師板書）例1.在ABC中，已知，則C是（）Ａ.30B.60C.45或135D.120例2.在的頂點坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,1),C(4,5),有幾種方法求cosC的值.變式：（1）將B坐標(biāo)換成（4，2），同學(xué)還會嗎？（2）你可以進行變式嗎？例3.如圖所示，，學(xué)生任務(wù)5.回答問題老師提示思路，引導(dǎo)探究，強調(diào)注意事項，回答問題1.已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊2.已知三角形的三條邊就可以求出其它角。3.直接用余弦定理可以解決千島湖問題4.學(xué)生自己動手解答例1.例2、例3，然后老師鼓勵學(xué)生展示自己的答案設(shè)計意圖：加深對本節(jié)課內(nèi)容以及學(xué)習(xí)方法的認識與體會，鍛煉了學(xué)生的解決問題的能力。評價目標(biāo)：加深對余弦定理的理解，提高解決問題的能力，鍛煉了學(xué)生對基本知識的運用。環(huán)節(jié)二教師活動5.（多媒體展示）1.在中，，則的最大角是（）A.B.C.D.2.在中，，，則這個三角形是（）A.不等邊三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形3.在中，，則邊上的高為（）A.B.C.D.4.在中，邊的長是方程的兩根，，則。學(xué)生任務(wù)6.自主探究學(xué)生作答，完成習(xí)題，檢測學(xué)習(xí)效果，老師進行點評。設(shè)計意圖：檢測題的設(shè)計由直接運用知識到變式應(yīng)用定理，使學(xué)生加深對定理和推論的理解深度，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)的意識，達到熟能生巧,培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言表達能力，讓學(xué)生得到新的發(fā)展，感受數(shù)學(xué)的實用性。評價目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的計算能力和解決問題的能力。課堂小結(jié)教師活動6.（多媒體展示）通過以上的研究過程，同學(xué)們主要學(xué)到了哪些知識和方法？你對此有何體會？（先由學(xué)生回答總結(jié)，教師適時的補充完善）學(xué)生任務(wù)7.學(xué)生獨立思考歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)知識:1.余弦定理：三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩