概率10.3.2隨機模擬

一、教學目標1.了解隨機數的意義.2.會用模擬方法(包括計算器產生隨機數進行模擬)估計概率.3.通過利用隨機模擬的方法估計事件的概率，培養數學建模素養.4.通過學習事件概率的計算，培養數學運算素養.

二、教學重難點重點：利用隨機模擬試驗求概率．難點：理解用模擬方法估計概率的實質.

三、教學過程

三、教學過程（一）創設情境回顧：如何求實際問題的概率？師生活動：教師提出問題，讓學生帶著問題回顧思考.答：對于古典概型，我們有兩種方法求概率，方法一：利用古典概型的概率計算公式求解；方法二：重復試驗以頻率估計概率；而對于非古典概型，只能用方法二進行求解.思考：用頻率估計概率，需要做大量的重復試驗，有沒有其他方法可以替代試驗呢?（二）探究新知任務1：隨機模擬的概念及蒙特卡洛方法.思考：你知道哪些可以產生隨機數的方法？答：方法一：由試驗產生隨機數，例如我們要產生0~9之間的整數隨機數，像彩票搖獎那樣，把10個質地和大小相同的號碼球放入搖獎器中，充分攪拌后搖出一個球，這個球上的號碼稱為隨機數.方法二：利用計算機產生的隨機數思考：計算器或計算機軟件產生的隨機數是真正的隨機數嗎？答：利用計算機產生隨機數是按照確定的算法產生的數，具有周期性，因此我們把利用計算機產生的隨機數稱為偽隨機數.探究1：拋擲一枚質地均勻的硬幣100次，計算反面朝上的頻率，你認為便捷的方法是什么？具體如何操作呢？答：由于次數較多，計算機產生隨機數更便捷；雖然有周期性產生的是偽隨機數，但周期較長；且頻率本身也是概率的估計值，所以可以用計算機模擬試驗.結合excel中RANDBETWEEN函數，產生取值于0-1之間的隨機整數，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上.這樣不斷產生0，1兩個隨機數，相當于不斷地做拋擲硬幣的試驗.并用COUNTIF函數計算出表格中1的個數，除以100即可得到反面朝上的概率.師生活動：教師指導學生進行獨立思考并進行2分鐘小組合作探究，每組挑選一名代表展示小組討論結果.待學生充分展示后，教師提出新問題：當試驗的元素變多時，你還能用類似的方法計算頻率嗎？設計意圖：培養學生獨立思考的能力的同時，鍛煉學生小組合作能力與總結歸納能力，培養學生數學建模素養.探究2：一個瓶子里裝有2個紅球和3個白球，這些球除了顏色不同外沒有其他區別，每次隨機摸出一個球，摸出紅球的概率是多少？合作探究：1.先進行獨立思考，再通過小組合作，討論如何用隨機數表示多種元素.2.嘗試用試驗或結合計算機產生隨機數估測摸出紅球的概率.3.五分鐘后每組派一名代表對討論結果進行展示.可以讓計算器或計算機產生取值于集合{1，2，3，4，5}的隨機數，用1，2表示紅球，用3，4，5表示白球.這樣不斷產生1~5之間的整數隨機數，相當于不斷地做從袋中摸球的試驗.用電子表格軟件模擬上述摸球試驗的結果，其中n為試驗次數，nA為摸到紅球的頻數，f(A)為摸到紅球的頻率.畫出頻率折線圖，從圖中可以看出：隨著試驗次數的增加，摸到紅球的頻率穩定于概率0.4.說一說：根據上述模擬摸球實驗，你能說一說什么是隨機模擬試驗嗎?答：我們知道，利用計算器或計算機軟件可以產生隨機數.實際上，我們也可以根據不同的隨機試驗構建相應的隨機數模擬試驗，這樣就可以快速地進行大量重復試驗了，這么隨機模擬方式叫做隨機模擬.我們稱利用隨機模擬解決問題地方法為蒙特卡洛方法.（三）應用舉例例1：從你所在班級任意選出6名同學，調查他們的出生月份，假設出生在一月，月……十二月是等可能的.設事件A=“至少有兩人出生月份相同”，設計一種試驗方法，模擬20次，估計事件A發生的概率.解:(法1)根據假設，每個人的出生月份在12個月中是等可能的，而且相互之間沒有影響，所以觀察6個人的出生月份可以看成可重復試驗.因此，可以構建如下有放回摸球試驗進行模擬：在袋子中裝入編號為1，2，…，12的12個球，這些球除編號外沒有什么差別.有放回地隨機從袋中摸6次球，得到6個數代表6個人的出生月份，這就完成了一次模擬試驗.如果這6個數中至少有2個相同，表示事件A發生了.重復以上模擬試驗20次，就可以統計出事件A發生的頻率.(法2)利用電子表格軟件模擬試驗.在A1，B1，C1，D1，E1，F1單元格分別輸入“=RANDBETWEEN(1，12)”，得到6個數，代表6個人的出生月份，完成一次模擬試驗，選中A1，B1，C1，D1，E1，F1單元格，將鼠標指向右下角的黑點，按住鼠標左鍵拖動到第20行，相當于做20次重復試驗，統計其中有相同數的頻率，得到事件A的概率的估計值.下表是20次模擬試驗的結果，事件A發生了14次，事件A的概率估計值為0.70，與事件A的概率(約0.78)相差不大.總結：隨機模擬法的步驟（1）建立概率模型（2）進行模擬試驗（可用計算器或計算機進行）（3）統計試驗結果例2：在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽.假設每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4.利用計算機模擬試驗，估計甲獲得冠軍的概率.解：設事件A=“甲獲得冠軍”，事件B=“單局比賽甲勝”，則P(B)=0.6.用計算器或計算機產生1~5之間的隨機數，當出現隨機數1，2或3時，表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.6.由于要比賽3局，所以每3個隨機數為一組.例如，產生20組隨機數：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354相當于做了20次重復試驗.其中事件A發生了13次，對應的數組分別是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用頻率估計事件A的概率的近似為1320總結：用隨機模擬來估計概率，一般有如下特點的事件可以用這種方法來估計：(1)對于滿足“有限性”但不滿足“等可能性”的概率問題，我們可采取隨機模擬方法來估計概率.(2)對于一些基本事件的總數比較大而導致很難把它列舉得不重復、不遺漏的概率問題或對于基本事件的等可能性難于驗證的概率問題，可用隨機模擬方法來估計概率.（四）課堂練習1.天氣預報顯示，在今后的三天中，每一天下雨的概率為40%，現用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率：先利用計算器產生0--9之間整數值的隨機數，并制定用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3個隨機數作為一組，代表三天的天氣情況，產生了如下20組隨機數907?966?191?925?271?932?812?458?569?683431?257?393?027?556?488?730?113?537?989則這三天中恰有兩天下雨的概率近似為(

)A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15

解：由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數，

在20組隨機數中表示三天中恰有兩天下雨的有：

191、271、932、812、393，共5組隨機數，

所求概率為520=14=0.252.一個不透明的盒子中裝有10個黑球和若干個白球，它們除顏色不同外，其余均相同，從盒子中隨機摸出一球記下其顏色，再把它放回盒子中搖勻，重復上述過程，共試驗400次，其中有240次摸到白球，由此估計盒子中的白球大約有()A.10個B.15個C.18個D.30個解：設白球有x個x解得：x=15，經檢驗x=15是分式方程的解即白球有15個，故選：B.3.我國古代數學名著《數書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為(）A.134石B.169石C.338石D.1365石解：由題意，這批米內夾谷約為1534×284.分別設計一個方案：在一個質地均勻的正方體的六個面上標上恰當的數字，使得多次重復試驗后擲出的點數滿足下面的條件：(1)“3”朝上的頻率穩定在1(2)大于3和小于3的點數的頻率相同．解：(1)在兩個面上寫上數字3，其余四個面上分別寫上數字2、4、5、6；(答案不唯一)

(2)在兩個面上寫上數字3，其余四個面上分別寫上數字1、2、4、5.(答案不唯一5.在學習概率時，老師說：“擲一枚質地均勻的硬幣，大量重復實驗后，正面朝上的概率約是12.”小海、小東、小英分別設計了下列三個模擬實驗：

小海找來一個啤酒瓶蓋(如圖1)進行大量重復拋擲，然后計算瓶蓋口朝上的次數與總次數的比值；

小東用硬紙片做了一個圓形轉盤，轉盤上分成8個大小一樣的扇形區域，并依次標上1至8個數字(如圖2)，轉動轉盤10次，然后計算指針落在奇數區域的次數與總次數的比值；

小英在一個不透明的盒子里放了四枚除顏色外都相同的圍棋子(如圖3)，其中有三枚是白子，一枚是黑子，從中隨機同時摸出兩枚棋子，并大量重復上述實驗，然后計算摸出的兩枚棋子顏色不同的次數與總次數的比值．

根據以上材料回答問題：

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