第六章

平面向量及其應用《單元教學》教學設計單元內容分析一學科素養解讀二單元教學建議三一單元內容分析單元內容結構圖地位與作用《課程標準（2017年版）》對向量及其意義進行了描述：“向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景.向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁.向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數學問題的基本工具，是進一步學習和研究其他數學領域問題的基礎，在解決實際問題中發揮著重要作用.”單元教學目標1.平面向量的概念（1課時）（1）通過對力、速度、位移等分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個相等的含義（2）理解平面向量的幾何表示和基本要素2.平面向量的運算（6課時）（1）借助實例和平面向量的集合表示，掌握平面向量的加、減運算及運算規則，理解其幾何意義。（2）通過實例分析，掌握平面向量的數乘運算及運算規則，理解其幾何意義。理解兩個平面向量共線的含義。（3）了解平面向據的線性運算性質及其幾何意義。（4）通過物理中“功”等實例，理解平面向扭數拱積的概念及其物理意義，會計算平面向批的數量積。（5）通過幾何直觀，了解平面向攬投影的概念以及投影向翟的意義（6）會用數翟積判斷兩個平面向攝的垂直關系.單元教學目標3.平面向量基本定理及坐標表示（4課時）（1）理解平面向兢基本定理及其意義（2）借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示．（3）會用坐標表示平面向量的加、減運算與數乘運算．（4）能用坐標表示平面向量的數量積，會表示兩個平面向量的夾角．（5）能用坐標表示平面向扭共線、垂直的條件4.平面向量的應用與解三角形（5課時）（1）會用向世方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向世在解決數學和實際問題中的作用（2）借助向量的運笲，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理．（3）能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題二學科素養解讀學科素養抽象概括能借助具體到抽象，特殊與一般的思維方式發現和提出向量的有關問題，如向量運算、平面向量基本定理等知識的學習，都是培養學生較強的抽象概括能力的重要載體．在平面幾何物理等情境中，能夠借助抽象概括建立向量模型，解決問題.推理論證在推導向量的運算性質，發現和證明平面向量基本定理、正弦定理、余弦定理等的推理過程中發展學生的推理論證能力．在理解向量的加、減法，向量的數乘運算，向量數量積含義的基礎上，把握這些向量運算之間的關系以及它們與實數運算的區別與聯系；能綜合應用向量的有關知識求解距離、向量的夾角，以及判斷向量的位置關系.運算求解能夠在熟悉或關聯的情境中，發現向量的有關運算對象，并依據相關的運算法則正確地進行運算，能夠結合平面向量的特征解釋運算結果，進一步發展數學運算能力，有效借助向量的有關運算求解簡單的平面幾何問題和一些物理問題等．能解決解三角形問題．學科素養直觀想象能借助向量運算及其幾何意義，發現運算規律，借助幾何直觀認識向量的夾角、投影向量平面上兩點間的距離，把握兩個向量平行或垂直關系．例如，借助“向量三角形”發現和提出一些數學問題，進一步提升運用直觀想象思考問題的意識.數學建模能閱讀、理解問題情境，合理選擇向量運算，通過對已知材料的分析、整理，能清晰、準確地表達向量運算建模的過程和結果，并能解決一些簡單的平面幾何、物理、解三角形等實際問題.思想方法類比能類比物理中的矢量，發現數學中的向量，能類比數的運算提出向量可能的運算，體會類比思想在歸納發現新的數學研究對象中的作用．數形結合能在向量運算中，體會各種向量運算的幾何意義，并運用其幾何意義解決有關的問題如利用平面向量基本定理或正交分解，將簡單的平面幾何問題、物理問題向量化、坐標化．進而通過向量運算發現或證明幾何命題、求解物理問題，體會向量集代數與幾何于一身的特點．能解決解三角形問題.化歸與轉化能在向量有關知識的學習中，體會轉化與化歸的思想如共線向量定理、平面向量基本定理都是通過將研究的向量用基底表示，從而將問題簡化．在運用平面向量解決簡單的平面幾何問題、一些物理問題時，體會這些問題與向量問題的相互轉化，并能在一些具體情境中，通過向量運算、幾何意義和運算性質等將陌生問題轉化為熟悉的向量問題加以解決，能解決斛三角形問題．思想方法分類與整合能在一般向量的運算過程或問題討論中，既考慮向量的大小又考慮向量的方向，能從代數與幾何兩個角度考慮向量的有關問題能在具體問題中對特殊向量進行討論，如共線向量、零向量等特殊向量的有關問題，注意分類討論向量的投影向量與向量夾角的關系．會對三角形分類以證明正弦定理，在不同的情境下會選擇運用哪一個定理（正弦定理、余弦定理）解三角形等．三單元教學建議教學建議一、引導學生用數學模型的觀點看待向量內容在向量概念的教學中，要利用學生的生活經驗、其他學科的相關知識，創設豐富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成與分解，物體做工等，通過這些實例使學生了解向量的物理背景、幾何背景，引導學生認識向量作為描述現實問題的數學模型的作用。同時還要通過解決一些實際問題或幾何問題，使學生學會用向量這一數學模型處理問題的基本方法。教學建議二、加強向量與相關知識的聯系性，使學生明確研究向量的基本思路向量既是代數的對象，又是幾何的對象。作為代數對象，向量可以運算，而且正是因為有了運算，向量的威力才得到充分的發揮；作為幾何對象，向量可以刻畫幾何元素（點、線、面），利用向量的方法可以與三角函數發生聯系，通過向量運算可以描述幾何元素之間的關系（例如直線的垂直、平行等），另外利用向量的長度可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。教學中，教師要充分關注到向量這些特點。引導學生在代數、幾何、三角函數的聯系中學習本章知識。教學建議三、引導學生認真體會向量法的思想實質向量集數與形一身，既有代數的抽象性又有幾何的直觀性，用它研究問題時可以實現抽象思維形象思維的有機結合，因而向量方法是幾何研究的一個強有力的工具。教學中應當通過實例，引導學生認真體會通過建立問題及其運算（運算律）與幾何圖形之間的聯系，利用向量的代數運算研究幾何問題的基本思想，掌握向量的“三部曲”：（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量問題中涉及的幾何元素，將平面問題轉化為向量問題（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題。（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系。其中，由于向量的數量積集距離和角這兩個刻畫幾何元素（點、線、面）之間度量關系的基本量于一身，因而他在解決幾何問題中的作用更大，應當通過適當的問題引起學生的注意。教學建議四、通過與數及其運算的類比，向量法與坐標法的類比，建立相關知識的聯系性，突出思想性。向量及其運算與數及其運算既有區別又有聯系，在研究的思想方法上可以進行類比。這種類比可以打開學生討論向量問題的思路，同時還能使向量的學習找到合適的固著點。為此，教科書在向量概念的引入、向量的線性運算，向量的數量積運算等內容的展開上都注意與數及其運算（加、減、乘）進行類比。例如，在向量的坐標表示中，先提出問題：“在平面直角坐標系中，每一個點都可以用一對有序實數（既它的坐標）表示。對于平面直角坐標系內的每一個向量，如何表示