2025屆吉林省長春六中、八中、十一中等省重點中學高三3月摸底考試數(shù)學試題理試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對2019年這一年的收支情況，下列說法中錯誤的是（）A．月收入的極差為60 B．7月份的利潤最大C．這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D．這一年的總利潤超過400萬元2．設集合，則()A． B．C． D．3．某人用隨機模擬的方法估計無理數(shù)的值，做法如下：首先在平面直角坐標系中，過點作軸的垂線與曲線相交于點，過作軸的垂線與軸相交于點（如圖），然后向矩形內(nèi)投入粒豆子，并統(tǒng)計出這些豆子在曲線上方的有粒，則無理數(shù)的估計值是（）A． B． C． D．4．某三棱錐的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，，若對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．56．設，，則（）A． B．C． D．7．下列命題中，真命題的個數(shù)為（）①命題“若，則”的否命題；②命題“若，則或”；③命題“若，則直線與直線平行”的逆命題.A．0 B．1 C．2 D．38．已知復數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A． B．i C．–1 D．19．已知f（x）=ax2+bx是定義在[a–1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是A． B．C． D．10．下圖為一個正四面體的側(cè)面展開圖，為的中點，則在原正四面體中，直線與直線所成角的余弦值為（）A． B．C． D．11．已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C．2 D．12．已知三棱錐P﹣ABC的頂點都在球O的球面上，PA，PB，AB＝4，CA＝CB，面PAB⊥面ABC，則球O的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設全集，，，則______.14．已知實數(shù)滿足則點構成的區(qū)域的面積為____，的最大值為_________15．在平面直角坐標系xOy中，己知直線與函數(shù)的圖象在y軸右側(cè)的公共點從左到右依次為，，…，若點的橫坐標為1，則點的橫坐標為________.16．設雙曲線的左焦點為，過點且傾斜角為45°的直線與雙曲線的兩條漸近線順次交于，兩點若，則的離心率為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求學生在語數(shù)外3門全國統(tǒng)考科目之外，在歷史和物理2門科目中必選且只選1門，再從化學、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績按新的規(guī)則轉(zhuǎn)換后計入高考總分.相應地，高校在招生時可對特定專業(yè)設置具體的選修科目要求.雙超中學高一年級有學生1200人，現(xiàn)從中隨機抽取40人進行選科情況調(diào)查，用數(shù)字1~6分別依次代表歷史、物理、化學、生物、地理、政治6科，得到如下的統(tǒng)計表：序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）雙超中學規(guī)定：每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執(zhí)教2個選修班（當且僅當一門科目的選課班級總數(shù)為奇數(shù)時，允許這門科目的1位老師只教1個班）.已知雙超中學高一年級現(xiàn)有化學、生物科目教師每科各8人，用樣本估計總體，則化學、生物兩科的教師人數(shù)是否需要調(diào)整？如果需要調(diào)整，各需增加或減少多少人？（2）請創(chuàng)建列聯(lián)表，運用獨立性檢驗的知識進行分析，探究是否有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其熱門人文專業(yè)的招生簡章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報名.現(xiàn)從雙超中學高一新生中隨機抽取3人，設具備高校專業(yè)報名資格的人數(shù)為，用樣本的頻率估計概率，求的分布列與期望.18．（12分）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖所示，在四棱錐中，∥，，點分別為的中點.（1）證明：∥面；（2）若，且，面面，求二面角的余弦值.20．（12分）為貫徹十九大報告中“要提供更多優(yōu)質(zhì)生態(tài)產(chǎn)品以滿足人民日益增長的優(yōu)美生態(tài)環(huán)境需要”的要求，某生物小組通過抽樣檢測植物高度的方法來監(jiān)測培育的某種植物的生長情況．現(xiàn)分別從、、三塊試驗田中各隨機抽取株植物測量高度，數(shù)據(jù)如下表（單位：厘米）：組組組假設所有植株的生長情況相互獨立．從、、三組各隨機選株，組選出的植株記為甲，組選出的植株記為乙，組選出的植株記為丙．（1）求丙的高度小于厘米的概率；（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；（3）表格中所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為．從、、三塊試驗田中分別再隨機抽取株該種植物，它們的高度依次是、、（單位：厘米）．這個新數(shù)據(jù)與表格中的所有數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為，試比較和的大小．（結論不要求證明）21．（12分）已知在多面體中，平面平面，且四邊形為正方形，且//，，，點，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.22．（10分）某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng)，該系統(tǒng)為二級過濾，使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝，再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中，一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換（每個濾芯是否需要更換相互獨立）.若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯，則一級濾芯每個160元，二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元，二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量，為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關數(shù)據(jù)制成的圖表，其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表，圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1：一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2：二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率，以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.（1）求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率；（2）記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；（3）記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若，且，以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù)，試確定的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為，故選項A正確；1至12月份的利潤分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利潤最高，故選項B正確；易求得總利潤為380萬元，眾數(shù)為30，中位數(shù)為30，故選項C正確，選項D錯誤.故選：.【點睛】本題考查了折線圖，意在考查學生的理解能力和應用能力.2．B【解析】

直接進行集合的并集、交集的運算即可．【詳解】解：；∴．故選：B．【點睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運算，是基礎題.3．D【解析】

利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積，進而利用幾何概型的概率公式得出關于的等式，解出的表達式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中，令，可得，則點，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.【點睛】本題考查利用隨機模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應用，同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域的面積，考查計算能力，屬于中等題.4．C【解析】

作出三棱錐的實物圖，然后補成直四棱錐，且底面為矩形，可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球，然后計算出矩形的外接圓直徑，利用公式可計算出外接球的直徑，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示：將其補成直四棱錐，底面，可知四邊形為矩形，且，.矩形的外接圓直徑，且.所以，三棱錐外接球的直徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時要結合三視圖作出三棱錐的實物圖，并分析三棱錐的結構，選擇合適的模型進行計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.5．A【解析】

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為，對于恒成立，然后構造函數(shù)，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.【詳解】，，對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.6．D【解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解：因為，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎題.7．C【解析】

否命題與逆命題是等價命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價命題，寫出②的逆否命題后，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若，則”，令，可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；②的逆否命題為“若且，則”，該命題為真命題，故②為真命題；③的逆命題為“若直線與直線平行，則”，該命題為真命題.故選：C.【點睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：(1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結構，即它的條件和結論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關的知識進行判斷．(2)當一個命題改寫成“若，則”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：①若由“”經(jīng)過邏輯推理，得出“”，則可判定“若，則”是真命題；②判定“若，則”是假命題，只需舉一反例即可．8．C【解析】

利用復數(shù)的四則運算可得，即可得答案.【詳解】∵，∴，∴，∴復數(shù)的虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算、虛部概念，考查運算求解能力，屬于基礎題.9．B【解析】

依照偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，f（﹣x）=f（x），且定義域關于原點對稱，a﹣1=﹣2a，即可得解.【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關于原點對稱，且f（x）是定義在[a–1，2a]上的偶函數(shù)，得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=．故選B．【點睛】本題考查偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，f（﹣x）=f（x）；奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關于原點對稱，定義域區(qū)間兩個端點互為相反數(shù)．10．C【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，三點重合，記作，取中點，連接，即為與直線所成的角，表示出三角形的三條邊長，用余弦定理即可求得.【詳解】將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中三點重合，記作：則為中點，取中點，連接，設正四面體的棱長均為，由中位線定理可得且，所以即為與直線所成的角，，由余弦定理可得，所以直線與直線所成角的余弦值為，故選：C.【點睛】本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應用，屬于中檔題.11．D【解析】

把已知等式變形，然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的公式計算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)模的求法，是基礎題.12．D【解析】

由題意畫出圖形，找出△PAB外接圓的圓心及三棱錐P﹣BCD的外接球心O，通過求解三角形求出三棱錐P﹣BCD的外接球的半徑，則答案可求.【詳解】如圖；設AB的中點為D；∵PA，PB，AB＝4，∴△PAB為直角三角形，且斜邊為AB，故其外接圓半徑為：rAB＝AD＝2；設外接球球心為O；∵CA＝CB，面PAB⊥面ABC，∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB；且DC.∴O在CD上；故有：AO2＝OD2+AD2?R2＝（R）2+r2?R；∴球O的表面積為：4πR2＝4π.故選：D.【點睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結合的解題思想方法，考查思維能力與計算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先求出集合，，然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可．【詳解】解：，或；∴；∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查集合的交集、補集運算，屬于基礎題．14．811【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結合求得區(qū)域面積以及目標函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：數(shù)形結合可知，可行域為三角形，且底邊長，高為，故區(qū)域面積；令，變?yōu)椋@然直線過時，z最大，故.故答案為：；11.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，涉及區(qū)域面積的求解，屬基礎題.15．1【解析】

當時，得，或，依題意可得，可求得，繼而可得答案．【詳解】因為點的橫坐標為1，即當時，，所以或，又直線與函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的公共點從左到右依次為，，所以，故，所以函數(shù)的關系式為．當時，（1），即點的橫坐標為1，為二函數(shù)的圖象的第二個公共點．故答案為：1．【點睛】本題考查三角函數(shù)關系式的恒等變換、正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，主要考查學生的運算能力及思維能力，屬于中檔題．16．【解析】

設直線的方程為，與聯(lián)立得到A點坐標，由得，，代入可得，即得解.【詳解】由題意，直線的方程為，與聯(lián)立得，，由得，，從而，即，從而離心率．故答案為：【點睛】本題考查了雙曲線的離心率，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）不需調(diào)整（2）列聯(lián)表見解析；有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關（3）詳見解析【解析】

（1）可估計高一年級選修相應科目的人數(shù)分別為120，2，推理得對應開設選修班的數(shù)目分別為15，1．推理知生物科目需要減少4名教師，化學科目不需要調(diào)整．（2）根據(jù)列聯(lián)表計算觀測值，根據(jù)臨界值表可得結論．（3）經(jīng)統(tǒng)計，樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數(shù)為12，頻率為．用頻率估計概率，則，根據(jù)二項分布概率公式可得分布列和數(shù)學期望．【詳解】（1）經(jīng)統(tǒng)計可知，樣本40人中，選修化學、生物的人數(shù)分別為24，11，則可估計高一年級選修相應科目的人數(shù)分別為120，2．根據(jù)每個選修班最多編排50人，且盡量滿額編班，得對應開設選修班的數(shù)目分別為15，1．現(xiàn)有化學、生物科目教師每科各8人，根據(jù)每位教師執(zhí)教2個選修班，當且僅當一門科目的選課班級總數(shù)為奇數(shù)時，允許這門科目的一位教師執(zhí)教一個班的條件，知生物科目需要減少4名教師，化學科目不需要調(diào)整．（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計后，制作列聯(lián)表如下：選物理不選物理合計選化學19524不選化學61016合計251540則，有的把握判斷學生”選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關．（3）經(jīng)統(tǒng)計，樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數(shù)為12，頻率為．用頻率估計概率，則，分布列如下：01230.3430.4410.1890.021數(shù)學期望為．【點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的期望與方差，考查獨立性檢驗，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力．18．（1）；（2）【解析】

（1）將有兩個零點轉(zhuǎn)化為方程有兩個相異實根，令求導，利用其單調(diào)性和極值求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為對一切恒成立，令，求導，研究單調(diào)性，求出其最值即可得結果.【詳解】（1）有兩個零點關于的方程有兩個相異實根由，知有兩個零點有兩個相異實根.令，則，由得：，由得：，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又當時，，當時，當時，有兩個零點時，實數(shù)的取值范圍為；（2）當時，，原命題等價于對一切恒成立對一切恒成立.令令，，則在上單增又，，使即①當時，，當時，，即在遞減，在遞增，由①知函數(shù)在單調(diào)遞增即，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問題，考查學生轉(zhuǎn)化能力和分析能力，是一道難度較大的題目.19．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)題意，連接交于，連接，利用三角形全等得，進而可得結論；（2）建立空間直角坐標系，利用向量求得平面的法向量，進而可得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接交于，連接，，≌，且，面面，面，（2）取中點，連，.由，面面面，又由，以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，，，為面的一個法向量，設面的法向量為，依題意，即，令，解得，所以，平面的法向量，，又因二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意中位線和向量法的合理運用，屬于基礎題.20．（1）；（2）；（3）．【解析】

設事件為“甲是組的第株植物”，事件為“乙是組的第株植物”，事件為“丙是組的第株植物”，、、、，可得出.（1）設事件為“丙的高度小于厘米”，可得，且、互斥，利用互斥事件的概率公式可求得結果；（2）設事件為“甲的高度大于乙的高度”，列舉出符合題意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（3）根據(jù)題意直接判斷和的大小即可.【詳解】設事件為“甲是組的第株植物”，事件為“乙是組的第株植物”，事件為“丙是組的第株植物”，、、、．由題意可知，、、、．（1）設事件為“丙的高度小于厘米”，由題意知，又與互斥，所以事件的概率；（2）設事件為“甲的高度大于乙的高度”．由題意知．所以事件的概率；（3）.【點睛】本題考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中等題．21．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）構造直線所在平面，由面面平行推證線面平行；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的余弦值.【詳解】（1）過點交于點，連接，如下圖所示：因為平面平面，且交線為,又四邊形為正方形，故可得，故可得平面，又平面，故可得.在三角形中，因為為中點，，故可得//，為中點；又因為四邊形為等腰梯形，是的中點，故可得//；又，且平面，平面,故面面，又因為平面，故面.即證.（2）連接，，作交于點，由（1）可知平面，又因為//，故可得平面，則；又因為//，，故可得即，，兩兩垂直，則分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設面的法向量為，則，，則，可取，設平面的法向量為，則，，則，可取，可知平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查由面面平行推證線面平行，涉及用向量法求二面角的大小，屬綜合基礎題.22．（1）0.024；（2）分布列