第十章概率10.3頻率與概率10.3.1頻率的穩定性

一、教學目標

一、教學目標1.能理解在具體情況下隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，獲得隨機事件概率的方法之一，形成一種重要的概率思想.2.會用頻率估計概率,歸納出頻率與概率的聯系與區別，發展學生數學抽象，直觀想象和邏輯推理的核心素養.3.通過實際問題分析，培養使用數學的良好意識，提升推理論證能力，激發學習興趣，體驗數學的應用價值和數據分析的核心素養.

二、教學重難點重點：頻率與概率的聯系與區別．難點：對頻率穩定性規律的理解．

三、教學過程（一）創設情境事件的概率越大，意味著事件發生的可能性越大，在重復試驗中，相應的頻率一般也越大；事件的概率越小，則事件發生的可能性越小，在重復試驗中，相應的頻率一般也越小，在初中，我們利用頻率與概率的這種關系，我們通過大量的重復試驗，用頻率去估計概率，你能舉出生活中那些事情發生的概率是用頻率來估計的？(學生舉例)想一想：在重復實驗中，頻率的大小是否就決定了概率的大小呢？頻率與概率之間到底是一種怎樣的關系呢？師生活動：教師展示生活中用頻率估計概率的實例，例如；保險領域的各個中“事故”，讓學生也例舉生活中的實例.設計意圖：通過直觀觀察，結合身邊的事物引出數學知識，學生會感到親切、生動、真實、易于接受.同時，由知識回顧，提出問題，引出頻率與概率的關系問題，發展學生數學抽象，直觀想象和邏輯推理的核心素養.（二）探究新知任務1：在真實試驗探究頻率和概率之間的關系.探究：重復做同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣的試驗，設事件A=“一個正面朝上，一個反面朝上”，統計A出現的次數并計算頻率，再與其概率進行比較.師生活動：1.獨立計算，事件概率；2.小組試驗，記錄頻數；第一步：每人重復做25次試驗，記錄事件A發生的次數，計算頻率；第二步：每4名同學為一組，相互比較試驗結果；第三步：各組統計事件A發生的次數，計算事件A發生的頻率，將結果填入表中10.3-1中.3.交流討論，提出猜想;4.組內交流，匯報展示.總結：方法一：用概率計算.把硬幣正面朝上記為1，反面朝上記為0，則這個試驗的樣本空間Ω={(1，1)，(1，0)，

(0，1)，(0，0)}，A={(1，0)，(0，1)}，所以概率P(A)=0.5.方法二：用頻數計算.思考：比較在自己試驗25次、小組試驗100次和全班試驗總次數的情況下，事件A發生的頻率：（1）各小組的試驗結果一樣嗎？為什么會出現這種情況？（2）隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率有什么變化規律？分析：（1）試驗結果不同---說明隨機事件的頻率是一個變量，隨試驗的改變而改變；（2）事件A發生的頻率----在0.5范圍左右波動，隨著次數的增加波動范圍變小，得到的值更加接近A的概率0.5.設計意圖：通過在真實試驗探究頻率和概率之間的關系，讓學生經歷重復試驗，收集，整理數據，發展學生數學抽象和邏輯推理的核心素養，培養學生合作交流的能力.任務2：在模擬試驗中探究頻率和概率之間的關系.探究：利用計算機模擬擲兩枚硬幣的試驗，在重復試驗次數為20，100，500時各做5組試驗，得到事件A=“一個正面朝上，一個反面朝上”發生的頻數nA師生活動：1.從計算機模擬數據中發現了什么？2.分別繪制n=20,n=100,n=500的頻率波動折現圖;3.從圖中能得出什么結論?要求：先獨立思考完成，再小組內交流討論，最后展示匯報.總結：（1）試驗次數n相同，頻率fn(A)可能不同，這說明隨機事件發生的頻率具有隨機性.(2)從整體看頻率在0.5范圍內波動，當試驗次數n小時，波動幅度較大；當試驗次數設計意圖：通過在計算計模擬試驗中探究頻率和概率之間的關系，進一步探究頻率與概率之間的關系，利用圖表，表示試驗數據，通過觀察，比較發現頻率的特征，提升想象和數據分析素養．任務3：歸納總結頻率和概率之間的關系.師生活動:1.先獨立梳理結構圖2分鐘；2.小組內交流討論補全完善自己的結構圖；3.以小組為單位進行展示匯報.總結：教師可以先總結引出頻率穩定性的概念：一般地，隨著試驗次數n的增大，頻率偏離概率概率的幅度會縮小，即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率PA.因此，我們可以用頻率f設計意圖：讓學生體會用試驗驗證概率模型的合理性，通過試驗發現規律從而建立概率理論模型的思想，進一步提高學生歸納總結和概括問題的能力，解決問題的能力.（三）應用舉例例1：新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應的男嬰數.通過抽樣調查得知，我國2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.（1）估計我國2014年和2015年男嬰的出生率（新生兒中男嬰的比率，精確到0.001）；（2）根據估計結果，你認為“生男孩和生女孩是等可能的”這個判斷可靠嗎？提示：（1）如何去計算出生率？（2）這種計算方法能估計出生率？解：（1）2014年男嬰出生的頻率為：115.88100+115.882015年男嬰出生的頻率為：113.51100+113.51由此估計，我國2014年男嬰出生率約為0.537，2015年男嬰出生率約為0.532.（2）由于調查新生兒人數的樣本非常大，根據頻率的穩定性，上述對男嬰出生率的估計具有較高的可信度.因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結論.例2：一個游戲包含兩個隨機事件A和B，規定事件A發生則甲獲勝，事件B發生則乙獲勝.判斷游戲是否公平的標準是事件A和B發生的概率是否相等.在游戲過程中甲發現：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700次.據此，甲認為游戲不公平，但乙認為游戲是公平的.你更支持誰的結論？為什么？提示：（1）游戲玩10次和玩1000次，甲和乙的獲勝的頻率分別是多少？（2）它們的頻率是相同？若不同有什么區別？能用這些頻率估計概率？（3）概率的大小和游戲的公平性直接有什么關系？.解：（1）當游戲玩了10次時，甲、乙獲勝的頻率都為0.5；當游戲玩了1000次時，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7.（2）根據頻率的穩定性，隨著試驗次數的增加，頻率偏離概率很大的可能性會越來越小。相對10次游戲，1000次游戲時的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時的頻率離概率更近.（3）而游戲玩到1000次時，甲、乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由認為游戲是不公平的.因此，應該支持甲對游戲公平性的判斷.例3:氣象工作者有時用概率預報天氣，如某氣象臺預報“明天的降水概率是90%.如果您明天要出門，最好攜帶雨具”.如果第二天沒有下雨，我們或許會抱怨氣象臺預報得不準確.那么如何理解“降水概率是90%”？又該如何評價預報的結果是否準確呢？提示：（1）氣象預報長期記錄有什么作用？（2）90%相當于是以往事件發生的頻率，可以用它估計事情發生的概率？（3）當隨機事件的概率高時，事件是不是一定會發生？解：只有根據氣象預報的長期記錄(相當于大量試驗)，才能評價預報的準確性;（1）如果在類似氣象條件下預報要下雨的那些天（天數較多）里，大約有90%確實下雨了，那么應該認為預報是準確的；（2）如果真實下雨的天數所占的比例與90%差別較大，那么就可以認為預報不太準確.設計意圖：通過實例分析，讓學生掌握運用頻率來計算事件概率，提升推理論證能力，提高學生的數學抽象，數學建模及邏輯推理的核心素養．（四）課堂練習1.在一次拋硬幣的試驗中，同學甲用一枚質地均勻的硬幣做了100次試驗，發現正面朝上出現了45次，那么出現正面朝上的頻率和概率分別為(

)A.0.45?0.45 B.0.5?0.5 C.0.5?0.45 D.0.45?0.5

解：出現正面的頻率是45÷100=0.45，出現正面的概率是0.5，

故選：D．2.用隨機事件發生的頻率去估算這個事件發生的概率．下列結論正確的是(

)A.事件A發生的概率P(A)是0<P(A)<1

B.事件A發生的概率P(A)=0.999，則事件A是必然事件

C.用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人治療，結果有380人有明顯的療效，現有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計有明顯療效的可能性為76%

D.某獎券中獎率為0.5，則某人購買此券10張，一定有5張中獎解：對于A，P(A)可以是0或1，故A錯誤；

對于B，事件A發生的概率P(A)=0.999，則事件A是隨機事件，故B錯誤；

對于C，根據概率的定義，估計有明顯療效的可能性為380500=0.76，可判斷C正確；

對于D，某獎券中獎率為0.5，某人購買此券10張，不一定有5張中獎，D錯誤；

故選：3.下列關于隨機事件的頻率與概率的關系的說法中，正確的是

(填序號)．?①頻率就是概率;?②頻率是客觀存在的，與試驗次數無關;?③概率是隨機的，在試驗前不能確定;?④隨著試驗次數的增多，頻率越來越接近概率．解：頻率不是概率，所以?①不正確;

頻率是通過試驗得到的，不是客觀存在的，與試驗次數有關，所以?②不正確;

概率不是隨機的，所以?③不正確;

很明顯，隨著試驗次數的增多，頻率越來越接近概率，故?④正確．4.某射手在同一條件下進行射擊，結果如表所示：射擊次數n102050100200500擊中靶心次數m8194492178455擊中靶心的頻率m(1)填寫表中擊中靶心的頻率；

(2)這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？解：(1)根據表中數據，計算依次填入的數據為：

810=0.80，1920=0.95，4450=0.88，92100=0.92，178200=0.89，455500=0.91；

(2)計算15.電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．(Ⅰ)從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；(Ⅱ)隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率；(Ⅲ)電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數據發生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大？(只需寫出結論)解：(Ⅰ)總的電影部數為140+50+300+200+800+510=2000部，

獲得好評的第四類電影200×0.25=50，

故從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率502000=140；

(Ⅱ)獲得好評的電影部數為140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0