貴州省遵義鳳岡二中2025年高三下學(xué)期期末質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題理試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是（）（其中，為無(wú)理數(shù)）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．32．已知函數(shù)，集合，，則（）A． B．C． D．3．如圖所示，三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計(jì)，取），則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A．134 B．67 C．182 D．1084．若的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知集合，，則A． B． C． D．6．從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回的摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為，已知，則A． B． C． D．7．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．8．已知向量，，若，則（）A． B． C．-8 D．89．將一塊邊長(zhǎng)為的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．1210．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱(chēng)為中國(guó)古代四大發(fā)明，此說(shuō)法最早由英國(guó)漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來(lái)許多中國(guó)的歷史學(xué)家所繼承，普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對(duì)中國(guó)古代的政治，經(jīng)濟(jì)，文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動(dòng)作用.某小學(xué)三年級(jí)共有學(xué)生500名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問(wèn)中國(guó)古代四大發(fā)明，能說(shuō)出兩種發(fā)明的有45人，能說(shuō)出3種及其以上發(fā)明的有32人，據(jù)此估計(jì)該校三級(jí)的500名學(xué)生中，對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人12．已知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為8，則實(shí)數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的極大值為_(kāi)_____.14．已知集合，，則_________.15．在編號(hào)為1，2，3，4，5且大小和形狀均相同的五張卡片中，一次隨機(jī)抽取其中的三張，則抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)的概率為_(kāi)_______.16．設(shè)，則除以的余數(shù)是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線C的方程為（），直線l的方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且，求r的值.18．（12分）已知函數(shù)，，.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上存在零點(diǎn).求實(shí)數(shù)的取值范圍；若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)取得最大值，求正實(shí)數(shù)的最大值；若直線與曲線和都相切，且在軸上的截距為，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）在中，，是邊上一點(diǎn)，且，.（1）求的長(zhǎng)；（2）若的面積為14，求的長(zhǎng).20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程：(2)求與交點(diǎn)的極坐標(biāo).21．（12分）已知橢圓：的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，原點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知定點(diǎn)，是否存在過(guò)的直線，使與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)？若存在，求出的方程：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）已知數(shù)列和滿足：.（1）求證:數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

對(duì)于①中，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可判定值正確的；對(duì)于②中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而得到，即可判定是錯(cuò)誤的；對(duì)于③中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為，進(jìn)而得到，即可判定是正確的.【詳解】由題意，對(duì)于①中，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得成立，所以是正確的；對(duì)于②中，設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)椋瑒t又由，所以，即，所以②不正確；對(duì)于③中，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，合理構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.2．C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.3．B【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1，則小直角三角形的邊長(zhǎng)為，

則小正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的面積，

則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為，

故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用，求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.4．B【解析】

先化簡(jiǎn)的二項(xiàng)展開(kāi)式中第項(xiàng)，然后直接求解即可【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中第項(xiàng).令，則，∴，∴（舍）或.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題5．C【解析】分析：根據(jù)集合可直接求解.詳解：,,故選C點(diǎn)睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡(jiǎn)形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.6．B【解析】

由題意知，，由，知，由此能求出．【詳解】由題意知，，，解得，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二項(xiàng)分布的靈活運(yùn)用．7．C【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．8．B【解析】

先求出向量,的坐標(biāo)，然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量，，則，，又，則，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長(zhǎng)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

推導(dǎo)出，且，，，設(shè)中點(diǎn)為，則平面，由此能表示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值．【詳解】解：如圖（4），為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，，且，由為等腰直角三角形可知，，設(shè)中點(diǎn)為，則平面，∴，∴，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和錐體的體積計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于中檔題.10．C【解析】

由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價(jià)條件為，再利用大角對(duì)大邊，結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判定，同時(shí)也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對(duì)大邊以及正弦定理的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.11．D【解析】

先求得名學(xué)生中，只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的人數(shù)，由此利用比例，求得名學(xué)生中對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中，只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有人，設(shè)對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有人，則，解得人.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用樣本估計(jì)總體，屬于基礎(chǔ)題.12．A【解析】

先求的展開(kāi)式，再分類(lèi)分析中用哪一項(xiàng)與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，從而求出的值.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)取2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，當(dāng)取時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為由題知，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開(kāi)式中的系數(shù)問(wèn)題，其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類(lèi)討論，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先求函的定義域，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再解不等式得單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得極值點(diǎn)，即可求出函數(shù)的極大值．【詳解】函數(shù)，，，令得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極大值，極大值為.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意定義域優(yōu)先法則的應(yīng)用．14．【解析】

根據(jù)交集的定義即可寫(xiě)出答案。【詳解】，，故填【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集，需熟練掌握集合交集的定義，屬于基礎(chǔ)題。15．【解析】

先求出所有的基本事件個(gè)數(shù)，再求出“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”這一事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可算出結(jié)果.【詳解】一次隨機(jī)抽取其中的三張，所有基本事件為：1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10個(gè)，其中“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”包含6個(gè)基本事件，因此“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”的概率為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.16．1【解析】

利用二項(xiàng)式定理得到，將89寫(xiě)成1+88，然后再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)即可.【詳解】，因展開(kāi)式中后面10項(xiàng)均有88這個(gè)因式，所以除以的余數(shù)為1.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用，涉及余數(shù)的問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是靈活構(gòu)造二項(xiàng)式，并將它展開(kāi)分析，本題是一道基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．【解析】

先將曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，可得圓心到直線的距離，再由勾股定理，計(jì)算即得.【詳解】以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得曲線C：（）的直角坐標(biāo)方程為，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓.由直線l的方程，化簡(jiǎn)得，則直線l的直角坐標(biāo)方程方程為.記圓心到直線l的距離為d，則，又，即，所以.【點(diǎn)睛】本題考查曲線和直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題.18．；4；12.【解析】

由題意可知，，求導(dǎo)函數(shù)，方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；由，則，分步討論，并利用導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的研究，得出正實(shí)數(shù)的最大值；設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€斜率，切線方程為，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€斜率，即切線方程為，整理得.所以，求得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，最后求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意可知，，則，即方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，解得；因?yàn)椋瑒t，①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，不符題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以不存在，使得在上的最大值為，不符題意；③當(dāng)時(shí)，，解得：，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，則在上單調(diào)遞減，所以，若，則上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可知，，即，整理得，因?yàn)榇嬖冢仙鲜剑裕獾茫C上，的最大值為4；設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€斜率，即切線方程整理得：由題意可知，，即，即，解得所以切線方程為，設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，因?yàn)椋郧芯€斜率，即切線方程為，整理得.所以，消去，整理得，且因?yàn)椋獾茫O(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋裕裕?【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的研究，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于難題.19．（1）1；（2）5.【解析】

（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，再由兩角差的正弦公式求得，最后由正弦定理構(gòu)建方程，求得答案.（2）在中，由正弦定理構(gòu)建方程求得AB，再由任意三角形的面積公式構(gòu)建方程求得BC，最后由余弦定理構(gòu)建方程求得AC.【詳解】（1）據(jù)題意，，且，所以.所以.在中，據(jù)正弦定理可知，，所以.（2）在中，據(jù)正弦定理可知，所以.因?yàn)榈拿娣e為14，所以，即，得.在中，據(jù)余弦定理可知，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形，還考查了由同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求值，屬于簡(jiǎn)單題.20．（1）（2）與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，和【解析】

（1）先把曲線化成直角坐標(biāo)方程，再化簡(jiǎn)成極坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立曲線和曲線的方程解得即可.【詳解】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為：，即.的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程為；(2)聯(lián)立可得：，與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，和.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程的互化，也考查了極坐標(biāo)方程的聯(lián)立，屬于基礎(chǔ)題.21．（1）；（2）存在，且方程為或.【解析】

（1）