第二章控制系統的數學模型2025/4/141動態系統我們所研究的系統，通常以時間t為自變量，按照輸入與輸出關系上的某些特點，可以把系統分為靜態系統和動態系統兩大類。在任一時刻t，系統的輸出取決于同一時刻的輸入，這類系統稱為靜態系統。也稱為無記憶系統。2025/4/142任一時刻，系統的輸出不僅與該時刻的輸入有關，而且與該時刻以前的輸入都有關系，這類系統稱為動態系統，有記憶系統。含有儲能元件的系統均為動態系統，如電路中的電感，磁場能量；電容，電場能量。機械運動中物體的動能和勢能，以及彈簧（彈性勢能）等元件。動態系統的線性線性動態系統是動態系統中最重要的一類，原因在于線性動態系統存在解析解法，絕大多數實際工程技術問題都可以線性化或近似線性化。線性系統與非線性系統在數學模型上的根本區別在于，線性系統的輸入與輸出關系滿足疊加原理。疊加原理的兩個重要性質：可加性與齊次性。

可加性與齊次性的理解，是重點。二者的數學表達式和推導過程是考試重點。2025/4/143控制系統的數學模型為了從理論上對控制系統進行定性的分析和定量的計算，首先要建立系統的數學模型。建立控制系統數學模型的方法：解析法實驗法數學模型時域模型頻域模型狀態空間模型方框圖和信號流圖2025/4/144控制系統數學模型特征1、微分方程的階數等于整個系統中獨立的蓄能元件的個數；2、同一個系統，選擇不同輸入或輸出信號，微分方程的形式則不同；3、數學模型存在的共性是系統性能仿真研究的理論依據(相似系統)。實驗法建立數學模型的步驟黑匣子輸入（已知）輸出（已知）已知知識和辨識目的實驗設計--選擇實驗條件模型階次--適合于應用的適當的階次參數估計--最小二乘法模型驗證—將實際輸出與模型的計算輸出進行比較，系統模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近2025/4/146解析法建立數學模型的步驟建立物理模型。列寫原始方程。利用適當的物理定律—如牛頓定律、基爾霍夫定律、能量守恒定律等選定系統的輸入量、輸出量及狀態變量（僅在建立狀態模型時要求），消去中間變量，建立適當的輸入輸出模型或狀態空間模型。2025/4/147電氣網絡數學模型的建立【例2-l】試列寫如圖示R、L、C串聯電路的微分方程。ui(t)為輸入量,uc(t)為輸出量。解設回路電流為i(t)（中間變量）,如各元件均為線性元件，根據基爾霍夫定律，有2025/4/148電氣網絡數學模型的建立消去中間變量i(t)，可得令則數學模型變為2025/4/149機械系統數學模型的建立【例2-2】試求圖示彈簧-質量-阻尼器組成的機械位移系統的微分方程。設F為輸入量，位移y為輸出量。解2025/4/1410無源電網絡模型

機械位移模型相似系統傳遞函數

傳遞函數是經典控制理論中最常用和最重要的數學模型。經典控制理論的主要研究方法------頻率法和根軌跡法都是建立在傳遞函數基礎上。利用傳遞函數可以不必求解系統的微分方程，就可以研究初始條件為零（零狀態）的系統在輸入信號作用下的動態過程。利用傳遞函數研究系統參數變化或結構變化對動態過程的影響，可使系統分析大大簡化。還可將對系統性能指標的要求轉化為對系統傳遞函數的要求，使系統設計與綜合問題易于實現。2025/4/1412記，稱f(t)為F(s)的拉氏逆變換（象原函數）記，稱F(s)為f(t)的拉氏變換（象函數）附：拉氏變換定義

設函數f(t)當t>=0時有定義，且積分在s的某一域內收斂，則此積分可以寫成稱上式為f(t)的Laplace變換式。拉氏變換的線性性質

α、β為常數，拉氏變換的微分性質

零初始條件下，拉氏變換的平移定理

拉氏變換的初值定理

拉氏變換的終值定理

基本函數及其拉氏變換

傳遞函數

定義及表示形式設SISO線性定常系統，可用n階線性微分方程描述：令X(s)=L[x(t)]，Y(s)=L[y(t)]。零初始條件下，對上式左右兩邊求拉氏變換，得s的代數方程：定義：線性定常系統在零初始條件下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為系統的傳遞函數。傳遞函數的特征及性質1、傳遞函數表征了系統對輸入信號的傳遞能力，是系統的固有特性，與輸入信號類型及大小無關。2、傳遞函數只適用于線性連續定常系統。3、傳遞函數僅描述系統的輸入/輸出特性。不同的物理系統可以有相同的傳遞函數。同一系統中，不同物理量之間對應的傳遞函數也不相同。4、初始條件為零時，系統單位脈沖響應的拉氏變換為系統的傳遞函數。5、實際系統中有n≥m，n稱為系統的階數；6、傳遞函數是系統性能分析的最簡形式之一。線性定常系統的線性微分方程描述：零初始條件下，兩邊取Laplace變換方法一：依據系統微分方程確定輸入/輸出間的傳遞函數傳遞函數的求取方法及應用舉例方法二：依據微分方程組代入消元求傳遞函數解題過程：負載效應方法三:電網絡系統可利用復阻抗的直接求取傳遞函數(例1)解題過程：方法三:利用復阻抗的直接求取傳遞函數(例2)解題過程