2025/4/141導(dǎo)讀為什么要介紹本章?

被控對(duì)象的種類越來(lái)越多，線性模型已不能滿足要求。例如控制系統(tǒng)中常出現(xiàn)穩(wěn)定的自激振蕩，這是線性模型中不存在的。又如控制系統(tǒng)中大量采用繼電控制，但線性系統(tǒng)理論不能分析這類系統(tǒng)。要建立一個(gè)能解決非線性系統(tǒng)全部問(wèn)題的方法是不可能的。目前許多方法是以線性化方法為基礎(chǔ)，加以修補(bǔ)使之適應(yīng)解決非線性問(wèn)題的需要，例如描述函數(shù)法。第7章非線性控制系統(tǒng)2025/4/142第7章非線性控制系統(tǒng)主要內(nèi)容：7.1

引言7.2

描述函數(shù)法7.3非線性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)分析2025/4/143何謂非線性系統(tǒng)：只要系統(tǒng)中包含一個(gè)或一個(gè)以上非線性的環(huán)節(jié)，即稱為非線性系統(tǒng)。

系統(tǒng)的穩(wěn)定性除與結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)外，還與起始偏差的大小有關(guān)。

系統(tǒng)的響應(yīng)形式與輸入信號(hào)的大小和初始條件有關(guān)。

在沒(méi)有外界周期變化信號(hào)輸入時(shí)，非線性系統(tǒng)完全可能產(chǎn)生具有固定周期和幅值的穩(wěn)定振蕩過(guò)程。非線性系統(tǒng)的主要特征：7.1引言1、非線性控制系統(tǒng)的特點(diǎn)2025/4/1447.1引言(1)飽和特性控制系統(tǒng)中，控制裝置或元件的輸出輸入之間的靜特性曲線，不是一條直線，則稱此元件具有非線性特性。典型非線性特性有：飽和特性、死區(qū)特性、間隙特性、繼電器特性。特點(diǎn)：輸入信號(hào)超過(guò)其線性范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)變化，而保持恒定。應(yīng)用：放大器的飽和輸出特性、磁飽和、元件的行程限制、功率限制等等。2、典型非線性特性2025/4/1457.1引言(2)死區(qū)特性特點(diǎn)：輸入信號(hào)在零位附近變化時(shí)，系統(tǒng)沒(méi)有輸出。當(dāng)輸入信號(hào)大于某一數(shù)值時(shí)才有輸出，且與輸入呈線性關(guān)系。應(yīng)用：各類液壓閥的正重疊量、系統(tǒng)的庫(kù)倫摩擦、測(cè)量變送裝置的不靈敏區(qū)、調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)、彈簧預(yù)緊力等等。2025/4/1467.1引言(3)間隙特性特點(diǎn)：輸入輸出之間具有多值關(guān)系

元件開(kāi)始運(yùn)動(dòng)輸入信號(hào)

<a時(shí)，無(wú)輸出信號(hào)；當(dāng)輸入信號(hào)

>a以后，輸出隨輸入線性變化。

元件反向運(yùn)動(dòng)保持在運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化瞬間的輸出值；輸入反向變化

>2a，輸出隨輸入線性變化。應(yīng)用：齒輪傳動(dòng)中的齒隙、液壓傳動(dòng)中的油隙等等。2025/4/1477.1引言(4)繼電器特性應(yīng)用：各類開(kāi)關(guān)元件等。2025/4/1487.1引言2025/4/1497.2

描述函數(shù)法1、描述函數(shù)法的基本思想與條件基本思想

在非線性系統(tǒng)中，雖然沒(méi)有受到外界周期性的振蕩作用，但有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一種具有一定頻率的不衰減的等幅振蕩，這種振蕩具有一定的穩(wěn)定性，受到某種干擾后，還能自動(dòng)恢復(fù)到這種振蕩狀態(tài)。非線性系統(tǒng)出現(xiàn)的這種振蕩稱為自激振蕩。

可見(jiàn)，分析非線性系統(tǒng)的自激振蕩時(shí)，可令r(t)=0。因此，任何只有一個(gè)非線性元件的系統(tǒng)均可化為如圖所示的基本形式。其中，N是非線性環(huán)節(jié)，G(s)是系統(tǒng)的線性部分的傳遞函數(shù)。

N(A)G(s)2025/4/14107.2

描述函數(shù)法

當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來(lái)近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。這時(shí)非線性系統(tǒng)就近似等效為一個(gè)線性系統(tǒng)，并可應(yīng)用線性系統(tǒng)理論中的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析。這就是描述函數(shù)法的基本思想。輸入輸出特性奇對(duì)稱，即y(x)=-y(-x),A0=0系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性能結(jié)構(gòu)圖可簡(jiǎn)化為一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分的串聯(lián)

應(yīng)用限制條件2025/4/14112、描述函數(shù)的定義7.2

描述函數(shù)法

對(duì)于很多非線性環(huán)節(jié)，當(dāng)輸入信號(hào)為正弦函數(shù)時(shí)，一般情況下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出y(t)是與輸入信號(hào)同頻率的非正弦周期函數(shù)，且此周期函數(shù)可以展成傅里葉級(jí)數(shù)：若系統(tǒng)滿足輸入輸出特性是奇對(duì)稱的，則有A0=0。An和Bn為輸出信號(hào)中各諧波分量的幅值，在一般情況下是輸入信號(hào)的幅值A(chǔ)和頻率w的函數(shù)。2025/4/1412近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出只含有基波分量，即7.2

描述函數(shù)法式中

類似于線性系統(tǒng)理論中頻率特性的定義，把非線性環(huán)節(jié)輸出的基波分量的復(fù)向量與輸入正弦信號(hào)的復(fù)向量之比，定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，記為N(A)，即2025/4/14137.2

描述函數(shù)法系統(tǒng)輸出y(t)為單值奇對(duì)稱函數(shù)，則有y(t)=-y(-t)，A0=0，A1=0。2025/4/14147.2

描述函數(shù)法2025/4/14157.2

描述函數(shù)法3、典型環(huán)節(jié)描述函數(shù)典型環(huán)節(jié)描述函數(shù)包括飽和特性、死區(qū)特性、繼電特性、間隙特性等。2025/4/14167.2

描述函數(shù)法

飽和特性描述函數(shù)由于系統(tǒng)輸出y(t)為單值奇對(duì)稱函數(shù)，則有A0=0，A1=0。2025/4/14177.2

描述函數(shù)法2025/4/14187.2

描述函數(shù)法

飽和特性的描述函數(shù)

因，A1=0，2025/4/1419

死區(qū)特性描述函數(shù)7.2

描述函數(shù)法由于系統(tǒng)輸出

y(t)為單值奇對(duì)稱函數(shù)，則A0=0，A1=0。2025/4/14207.2

描述函數(shù)法2025/4/14217.2

描述函數(shù)法

死區(qū)特性的描述函數(shù)2025/4/1422

間隙特性描述函數(shù)7.2

描述函數(shù)法由圖可知，輸出y(t)的直流分量為零，則有A0=0。2025/4/14237.2

描述函數(shù)法2025/4/14247.2

描述函數(shù)法

間隙特性的描述函數(shù)2025/4/1425

繼電特性描述函數(shù)7.2

描述函數(shù)法2025/4/14267.2

描述函數(shù)法

繼電特性的描述函數(shù)

理想繼電特性的描述函數(shù)2025/4/14271、典型結(jié)構(gòu)2、穩(wěn)定性分析閉環(huán)特征方程為：1+N(A)G(jw)=0

N(A)G(jw)=-1，等幅振蕩。

G(jw)包圍-1/N(A)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，否則穩(wěn)定。

-1/N(A)被稱為負(fù)倒描述函數(shù)。7.3

非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)分析N(A)G(jw)2025/4/14287.3

非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)分析2025/4/1429

若當(dāng)振幅A增大時(shí)，-1/N(A)

曲線由G(jw)包圍的區(qū)域(不穩(wěn)定區(qū))穿出，該交點(diǎn)處存在著穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，該交點(diǎn)是自振點(diǎn)。

若曲線G(jw)和曲線-1/N(A)相交，則系統(tǒng)存在周期運(yùn)動(dòng)；3、自振分析7.3

非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)分析

圖中，當(dāng)振幅

A增大時(shí)交點(diǎn)

M2

處的

-1/N(A)曲線由不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，該交點(diǎn)處存在著穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，該交點(diǎn)

M2是自振點(diǎn)。交點(diǎn)M1

處的-1/N(A)

曲線由穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)，該交點(diǎn)處存在著不穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，M1不是自振點(diǎn)。2025/4/1430例7-1：用描述函數(shù)法分析下面非線性系統(tǒng)是否存在自振？若存在，求振蕩頻率和振幅。解：繼電器特性的描述函數(shù)為：1-1-7.3

非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)分析

曲線是為Nyquist圖中負(fù)實(shí)軸上的0~-∞區(qū)段。A從變化范圍為。2025/4/1431在Nyquist圖上繪制的給定系統(tǒng)線性部分頻率響應(yīng)G(jw)與繼電器特性負(fù)倒描述函數(shù)曲線如右圖所示。7.3

非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)分析由線性部分的傳遞函數(shù)得：由圖可知，交點(diǎn)處的-1/N(A)曲線是由不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，存在著穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，該交點(diǎn)是自振點(diǎn)。-1/N(A)G(jw)ImRe起點(diǎn)：終點(diǎn)：因此，開(kāi)環(huán)頻率特性的相頻范圍為：2025/4/14327.3

非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)分析令虛部等于零，得曲線G(jw)穿越Nyquist圖負(fù)實(shí)軸處的角頻率為rad/s。代入實(shí)部，得因此，系統(tǒng)存在頻率為rad/s，振幅為2.122的自振蕩。因，有提示：求自振點(diǎn)的振幅和頻率時(shí)，用下式往往更容易：2025/4/14337.3

非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)分析7.3

非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)分析(1)一個(gè)非線性環(huán)節(jié)，線性部分可直接簡(jiǎn)化2025/4/14344、方框圖的簡(jiǎn)化7.3

非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)分析先加再求N(A)或先分別求N(A)再加：(2)兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)2025/4/1435可采用圖解法簡(jiǎn)化。以下圖所示死區(qū)特性和帶死區(qū)的繼電特性串聯(lián)簡(jiǎn)化為例。通常，先將兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)按下圖(a)、(b)形式放置，再按輸出端非線性特性的變化端點(diǎn)△2

和a2確定輸入x

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)△和a

，獲得等效非線性。2025/4/1436(3)兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)7.3

非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)分析圖

非線性特性串聯(lián)簡(jiǎn)化的圖解方法2025/4/1437△2=K1(△－△1)a2=K1(a－△1

)7.3

非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)分析特性如圖

(c)所示，最后確定等效非線性特性的參數(shù)。由△2=K1(△－△1)得由a2=K1(a－△1)得2025/4/1438當(dāng)時(shí)，由y(x1)可知y(x)=0當(dāng)時(shí)，由y(x1)亦可知特殊地，當(dāng)

x=a時(shí)，x1=a2，由于當(dāng)時(shí)，y(x1)位于線性區(qū)，y(x)

亦呈線性，設(shè)斜率為K

，即有

所以7.3

非線性控制系統(tǒng)描述函數(shù)