數學合格考知識點匯編第1頁，共1頁

第一章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念1.元素與集合的含義一般地，我們把研究對象統稱為元素。元素常用小寫字母a、b、c……表示.把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱為集.集合常用大寫字母A、B、C……表示。集合相等：只要構成這兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的。2.集合的三個性質：1.確定性2.互異性3.無序性3.元素與集合的關系如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作：a∈A如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作：a?A4.常見數集及表示符號(1)N(2)N?或N?(3)Z(4)Q(5)R1.2集合間的基本關系1.子集的概念文字語言符號語言圖形語言一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集A?B(或B?A)??或??2.集合相等的概念一般地，如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任意一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A=B，也就是說，若A?B，且B?A,則A=B.3.真子集的概念文字語言符號語言圖形語言文字語言符號語言圖形語言如果集合A?B，但存在元素x∈B且x?A，就稱集合A是B的真子集A?BB?4.空集(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集.(2)用符號表示為：φ.(3)規定：空集是任何集合的子集.第1頁，共32頁

1.3集合間的基本運算1.并集文字語言：一般地，由屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集。符號語言:A∪B={x|x∈A,或x∈B}圖形語言：2.交集文字語言：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集。符號語言:A∩B={x|x∈A,且x∈B}圖形語言：3.并集與交集的運算性質并集的運算性質交集的運算性質A∪B=B∪AA∩B=B∩AA∪A=AA∩A=AA∪?=AA∩φ=φA?B?A∪B=BA?B?A∩B=A4.全集如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集.通常記作U.5.補集文字語言對于一個集合A，由全集U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為補集，記作文字語言對于一個集合A，由全集U中不屬于A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為補集，記作vA符號語言vA={x|x∈U,x?A}圖形語言6.補集的性質(1)A∪(C∪A)=U.(2)A∩(CuA)=φ.(3)CuU=φ,Cυ?=U,Cu(CuA)=A.4?UA1.4充分條件與必要條件1.充分條件與必要條件第2頁，共32頁

命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關系p?qp?q條件關系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件2.對充分條件和必要條件的進一步劃分：條件p與結論q的關系結論p?q,且q?pp是q的充分不必要條件q?p,且p?qp是q的必要不充分條件p?q,且q?p,即p?qp是q的充要條件p?q,且q?pp是q的既不充分也不必要條件1.5全稱量詞與存在量詞1.全稱量詞與全稱量詞命題(1)全稱量詞：短語“所有的、任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示.(2)全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.表述形式：全稱量詞命題“對M中任意一個x,p(x)成立”,可用符號簡記?x∈M,p(x).2.存在量詞與存在量詞命題(1)存在量詞：短語“存在一個”“至少一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“旦”表示.(2).存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.表述形式：存在量詞命題“存在M中的元素x,使p(x)成立”,可用符號簡記為?x∈M,p(x).3.含量詞的命題的否定形式命題命題的否定結論全稱量詞命題?x∈M,p(x)?x∈M,-p(x)全稱量詞命題的否定是存在命題存在量詞命題?x∈M,p(x)?x∈M,-p(x)存在量詞命題的否定是全稱命題第二章二次函數與一元二次方程、不等式2.1等式性質與不等式性質第3頁，共32頁

1.比較兩實數a，b大小的依據2.不等式的性質(1)a>b?b<a;(2)a>b,b>c?a>c;(3)a>b?a+c>b+c;(4)a>b,c>0?ac>bc,a>b,c<0?ac<bc;(5)a>b,c>d?a+c>b+d;(6)a>b>0,c>d>0?ac>bd;(6)a>b>0,c>d>0?ac>bd;2.2基本不等式1.重要不等式:?a,b∈R,有a^{2}\pmb^{2}\ge2ab,當且僅當a=b時，等號成立。2.基本不等式:若a>0,b>0,用4,6代替重要不等式中a，b，得a+b2≥ab,當且僅當a=b時，等號成立。a+b2叫做a，b的算術平均數，\sqrt{ab}2.3二次函數與一元二次方程、不等式1.一元二次不等式的概念只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是：ax2+bx+c>2.二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)fΔ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)f的圖象ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個不相等的實數根x?,x?(x?<x?)有兩個相等的實數根.x?=x?=-b/2a無實數根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x>x?或x<x?}{x|x≠-b?}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x?<x<x?}??第4頁，共32頁

第三章函數的概念與性質3.1函數的概念及其表示1.函數的概念一般地，設A，B是非空實數集，如果對于數集B中任意一個數x，按照對應關系，在數集B中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱f：A→B為集合A到集合B的一個函數,記作y=f(x),x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.2.區間的概念設a，b是兩個實數，而且a<b，我們規定：(1)滿足不等式a≤x≤b的實數x的集合叫做閉區間，表示為[a，b]。(2)滿足不等式a<x<b的實數x的集合叫做開區間，表示為(a，b)。(3)滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實數x的集合叫做半開半閉區間,表示為[a,b),(a,b]。3.函數的表示要點定義符號函數的表示法解析法用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系優點：簡明；給自變量求函數值列表法列出表格來表示兩個變量之間的對應關系優點：直觀形象，反應變化趨勢圖象法用圖象來表示兩個變量之間的對應關系優點：不需計算就可看出函數值分段函數不同范圍的x，對應關系不同的函數y={f(x?x∈B(1)分段函數就是在函數定義域內，對于自變量的不同取值范圍，有著不同的對應法則的函數。(2)分段函數是一個函數，其定義域、值域分別是各段函數的定義域、值域的并集；各段函數的定義域的交集是空集。(3)作分段函數圖象時，應分別作出每一段的圖象。3.2函數的基本性質1.函數的單調性前提條件設函數f(x)的定義域為I,區間D?I條件?x?,x?∈D,x?<x?都有f(x?)<f(x?)都有f(x?)>f(x?)第5頁，共32頁

圖示結論f(x)在區間D上單調遞增f(x)在區間D上單調遞減圖示結論f(x)在區間D上單調遞增f(x)在區間D上單調遞減特殊情況當函數f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數2.函數的單調性與單調區間函數y=f(x)在區間D上是單調遞增或單調遞減，則函數在區間D上具有(嚴格的)單調性，區間D叫做函數的單調區間。注意：單調性是局部概念，不是整體概念.區間D可能是定義域的一個子區間。3.函數的最大值和最小值前提設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M(或m)滿足條件(1)?x∈I,都有f(x)≤M;(2)?x?∈I,使得f(x?)=M(3)?x∈I,都有f(x)≥m;(4)?x?∈I,使得f(x?)=m結論M為函數y=f(x)的最大值m為函數y=f(x)的最小值注意：(1)函數的最值和值域反映的是函數的整體性質，針對的是整個定義域。(2)函數的值域一定存在，函數的最值不一定存在.若單調函數的值域是開區間，則函數無最值；若函數的值域是閉區間，則閉區間的端點值就是函數的最值。4.函數的奇偶性前提函數f(x)的定義域為I,?x∈I,都有-x∈I條件f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)結論函數f(x)叫偶函數函數f(x)叫奇函數5.圖象特征(1)偶函數的圖象關于y軸對稱.(2)奇函數的圖象關于原點對稱。注意：若奇函數f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0，圖象經過原點；若奇函數f(x)在x=0處無意義，圖象就不經過原點。3.3冪函數1.冪函數的概念定義：形如y=第6頁，共32頁

2.五個具體冪函數：(1)圖像(2)y=xy=x2y=x3y=x1-1y=x定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性單調遞增(-∞,0)單調遞減:(0,+∞)單調遞增單調遞增單調遞增(-∞,0)單調遞減:(0,+∞)單調遞減定點(1,1)3.冪函數性質歸納：(1)所有的冪函數在(0+(2)當α>0時，冪函數的圖象通過原點，并且函數在區間0+(3)當α<0時，冪函數的圖象不過原點，冪函數在(0+∞(4)當α>1時，冪函數的圖象下凸；當0<α<1時，冪函數的圖象上凸；(5)當α為奇數時，冪函數為奇函數；當α為偶數時，冪函數為偶函數。(6)冪函數在第四象限無圖象。第7頁，共32頁

3.4函數應用1.函數的零點對于函數y=f(x),我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=f(x)的零點。方程、函數、圖象之間的關系：方程f(x)=0有實數解?函數y=f(x)有零點?函數y=f(x)的圖象與x軸有交點。2.函數零點存在定理如果函數y=f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，并且有fafb<0,那么，函數y=f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在c3.二分法對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數.y=fx4.用二分法求函數f(x)零點近似值的步驟(1)確定零點x?的初始區間[a,b],驗證f(a)f(b)<0。(2)求區間(a,b)的中點c。(3)計算f(c)，并進一步確定零點所在的區間：①若f(c)=0(此時x?=c),則c就是函數的零點:②若f(a)f(c)<0(此時x?∈(a,c)),則令b=c;③若f(c)f(b)<0(此時x?∈(b,c)),則令a=c。(4)判斷是否達到精確度ε:若|a-b|<ε,得零點近似值a(或b);否則重復(2)~(4)步。記憶口訣：定區間，找中點，中值計算兩邊看：同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎么辦?精確度上來判斷。第8頁，共32頁

第四章指數函數與對數函數4.1指數1.根式及相關概念(1)a的n次方根：如果xn(2)根式定義：式子na2.根式的性質(n>1,且n∈N?)(1)n為奇數時,(1)n為奇數時,nan=3n0=3.正數的正分數指數冪的意義是a正數的負分數指數冪的意義是a0的正分數指數冪等于0：0的負分數指數冪沒有意義.4.有理指數冪運算性質：1a′a35.實數指數冪運算性質：1ara34.2指數含函數1.指數函數一般地，函數y=注意：(1)指數函數的解析式具有三個特征：底數a為大于0且不等于1的常數；指數位置是自變量x；a3的系數是1。(2)求指數函數的關鍵是求底數a，并注意a的限制條件。2.指數函數圖像及性質第9頁，共32頁

底數條件a>10<a<1圖象底數條件a>10<a<1圖象定義域R值域(0,+∞)單調性單調遞增單調遞減奇偶性非奇非偶函數定點(0,1)3.在第一象限，指數函數底數的變化規律為：①底數互為倒數的指數函數的圖象關于y軸對稱：②在第一象限，從x軸到y軸逆時針旋轉，底數a不斷增大；③a>1時，a越大，函數圖象變化越快；0<a<1時，a越小，函數圖象變化越快。4.3對數3.在第一象限，指數函數底數的變化規律為：①底數互為倒數的指數函數的圖象關于y軸對稱：②在第一象限，從x軸到y軸逆時針旋轉，底數a不斷增大；③a>1時，a越大，函數圖象變化越快；0<a<1時，a越小，函數圖象變化越快。4.3對數1.對數的概念(1)若ax=Na(2)a?=N?x=log,N.(3)常用對數:以10為底,記作1gN.自然對數:以無理數e≈2.718…為底,記作lnN.2.對數的基本性質(1)負數和0沒有對數；(2)log,1=0;33.對數恒等式1logaa4.對數的運算性質如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么13第10頁,共32頁

5.換底公式若a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1,則有log4.4對數函數1.對數函數概念：函數y=logxa0注意:①a>0,且a≠1;②loga?的系數為1;③自變量x的系數為1.2.對數函數的圖象及性質0<a<1a>1圖象定義域/值域0<a<1a>1圖象定義域/值域(0,+∞)/R(0,+∞)/R性質過定點(1,0),即x=1時,y=0在(0，+∞)上是單調遞減在(0，+∞)上是單調遞增3.反函數指數函數y=ax與對數函數4.三種函數的性質及增長速度比較指數函數對數函數一元一次函數解析式y=a?(a>1)y=logx(a>1)y=kx(k>0)單調性在(0，+∞)上單調遞增圖象(隨x的增大)逐漸與y軸平行逐漸與x軸平行直線逐漸上升增長速度(隨x的增大)y的增長速度越來越快y的增長速度越來越慢y值增長速度不變增長關系存在一個x?,當x>x?時,a2>kx>logx第11頁,共32頁

第五章三角函數5.1任意角和弧度角1.角的概念角可以看成一條射線繞著端點旋轉所成的圖形.角的三要素頂點、始邊、終邊2.任意角的分類類型定義圖示正角一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成類型定義圖示正角一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角0°-A負角一條射線繞其端點按_逆時針_方向旋轉形成的角A零角一條射線沒有任何旋轉，稱它形成了一個零角0A3.象限角如果角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.4.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和.5.度量角的兩種制度(1)角度制.定義：用度作為單位來度量角的單位制.1度的角等于周角的13(2)弧度制定義：以弧度為單位來度量角的單位制.規定：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.弧度單位用符號rad表示，讀作弧度一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，則角α的弧度數的絕對值是∣第12頁,共32頁

6.常用特殊角的弧度數α30°45°60°90°120°135°150°180°π/?π/4π/3π/22π/?3π/4?π/?πsina12/?213/?-V210cosα3/?2/?10—1-2/?—3/?1tanα3/?13-3——30α210°225°240°270°300°315°330°360°7π/65π/44π/33π/25π/37π/4112πsina—12—3-1—3-/?—10cosα—3/?2/?—1012/?3/?1tanα3/?13—3-130角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數集R之間建立起一一對應關系：每一個角都有唯一的一個實數(即這個角的弧度數)與它對應；反過來，任一個實數也都有唯一的一個角(即弧度數等于這個實數的角)與它對應.7.弧度制下的弧長公式與扇形面積公式(1)弧長公式：在半徑為r的圓中，I=(2)扇形面積公式：在半徑為r的圓中，S=1第13頁,共32頁

5.2三角函數的概念1.任意角的三角函數的定義前提如圖，設α是一個任意角，它的終邊與單前提如圖，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y)定義正弦縱坐標_y_叫做α的正弦函數,記作sinα=_y_。余弦橫坐標_x_叫做α的余弦函數,記作cosα=_x_。正切比值X叫做α的正切,記作tanα=X/x(x≠0)。三角函數正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的縱坐標與橫坐標的比值為函數值的函數，統稱為三角函數。2.三角函數值的符號簡記口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦。簡記口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦。3.終邊相同的角的同一三角函數的值相同，由此得到一組公式(誘導公式一)：sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα,其中k∈Z.4.同角三角函數的基本關系關系式文字表述平方關系sin2α+cos2α=_1_同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1.商數關系sinα=tanα同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.第14頁,共32頁

5.3誘導公式1.誘導公式二2.誘導公式三3.誘導公式四sin(-α)=-sinα,sin(π+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(-α)=cosα,cos(π+α)=-cosαcos(π-α)=-cosαtan(-α)=-tanαtan(π+α)=tanαtan(π-α)=-tanα4.誘導公式五5.誘導公式六sinπ2-acosπ2-α6.對誘導公式一~六的兩點說明誘導公式一~六揭示了終邊具有某種對稱關系的兩角的三角函數之間的關系.5.4三角函數的圖象與性質1.正弦曲線：正弦函數的圖像叫做正弦曲線，是一條連續光滑曲線；余弦曲線：余弦函數的圖像叫做余弦曲線，是一條連續光滑曲線2.函數的周期性：設函數f(x)的定義域為D，若存在一個非零常數T，使任意x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),則函數f(x)就叫做周期函數。T叫做這個函數的周期。最小正周期：在周期函數f(x)的所有周期中存在的一個最小正數。3.函數的奇偶性對函數f(x),如果?x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-(x),那么函數f(x)就叫做奇函數.對函數f(x),如果?x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函數f(x)就叫做偶函數4.函數的單調性如果?x?,x?∈D,當x1<x2時，都有fx如果?x?,x?∈D,當x1<x2時，都有fx第15頁,共32頁

5.正弦函數匯總函數y=sinx圖象函數y=sinx圖象定義域R值域[-1,1]五點法(0,0),(π,1),(π,0),(32周期2kπ(k∈Z)最小正周期2π奇偶性奇函數對稱中心(kπ,0)(k∈Z)對稱軸x=kπ+π/2(k∈Z)單調性在每個閉區間[-π/2+2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)上單調遞增在每個閉區間[2+2kπ,3n最值性x=2kπ+π/2(k∈Z)時,ymax=1x=2kπ+3π/2(k∈Z)時,ymin=1第16頁,共32頁

6.余弦函數匯總函數y=cosx圖象函數y=cosx圖象定義域R值域[-1,1]五點法(0,1),(π/2,0),(π,-1),(3π/2,0),(2π,1)周期2kπ(k∈Z)最小正周期2π奇偶性偶函數對稱中心(kπ+π/2,0)(k∈Z)對稱軸x=kπ(k∈Z)單調性在每個閉區間[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調遞增在每個閉區間[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調遞減最值性x=2kπ(k∈Z)時,ymax=1x=2kπ+π(k∈Z)時,ymin=17.正切函數的圖象與性質解析式y=tanx圖象解析式y=tanx圖象定義域x≠kπ+π/2(k∈Z)值域R最小正周期2π奇偶性奇函數單調性在每一個區間(k∈Z)上都單調遞增對稱性對稱中心(k∈Z)第17頁,共32頁

5.5三角恒等變換1、兩角和差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(2)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(3)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(2)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(3)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(4)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ562、二倍角公式(1)sin2α=2sinαcosα235.6函數y=Asin(ωx+φ)第18頁,共32頁

第六章平面向量及其應用一、向量的概念1、向量的概念：具有大小和方向的量稱為向量.(沒有位置、不能比較大小)2、向量的模：向量麗的大小——長度稱為向量的模，記作∣A向量的模：∣3、零向量：長度等于零、方向是任意的向量，記作δ.(注意δ與0的含義與書寫區別)4、單位向量：長度為一個單位長度的向量.與非零向量a共線的單位向量a說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.5、平行向量：(1)若非零向量a、b的方向相同或相反，則\overrightarrow{a}\|\overrightarrow{b},又叫共線向量：(2)規定δ與任一向量平行.三點A、B、C共線?AB、不C共線?共線定理：b向量平行無傳遞性，即a//b,b//c不能推出ā//b//z(b可能為ō).注意：共線向量僅僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同.6、相等向量：若非零向量a、b方向相同且模相等，則向量a、b是相等向量.(1)相等向量：a=(2)相反向量：za=-二、向量的加法1、三角形法則：首尾相連，起點指向終點.注意：(1)和向量的始點是第一個向量的始點，終點是第二個向量的終點.(2)零向量與任一向量a的和都有a2、平行四邊形法則：共起點，四邊形，對角線第19頁,共32頁

3、向量加法的運算律：交換律：a+b=b+a三、向量的減法1、相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作-a.(1)規定：零向量的相反向量仍是零向量；23a+-a=2、向量的減法：共起點，指向被減向量四、向量的數乘及數量積1、向量數乘的定義：實數λ和向量α的乘積是一個向量，記作λα.(1)向量的模(長度):|λ?|=|a||a|.(2)方向:當λ>0時,與a同方向;當λ<0時,與a反方向.(3)運算律:設λ、μ∈R,則①(λ+μ)ā=λ?+μ?,②λ(μā)=(λμ)a;③λ(a+b)=λa+λb.注意：λa的結果為向量，所以當λ=0時，得到的結果為δ而不是0.2、平面向量數量積(內積)的定義：2、平面向量數量積(內積)的定義：非零向量a與b的夾角：.(1)兩個向量的數量積是一個實數.規定δ與任何向量的數量積為0.(2)運算:±(3)向量a?b=b?3、向量b在a方向上的投影：設θ為a、b的夾角，則b?第20頁,共32頁

b在a方向上的投影向量為：|4、向量的坐標運算：<1>坐標形式：a(1)向量的模：|(2)加法:a+b=x1+(4)數乘:λa=lambd向量a與向量b共線：x1y2-x2yx<2>Ax1∣AB五、正余弦定理1、余弦定理：適用于已知兩邊及其夾角求第三邊；已知三邊求一角.a2=bb2=ac2=b2、正弦定理：適用于已知兩角及一邊解三角形；已知兩邊及其中一邊的對角解三角形(此情況要注意是否有兩個解).aaa3、三角形面積公式：S第21頁,共32頁

第七章復數一、復數的概念1、概念:復數是形如a+bi(a,b∈R)的數,i是虛數單位,i2=-1,a是實部,b是虛部。實數滿足:b=0:虛數滿足:b≠0;純虛數滿足:b≠0,a=0。2、復數相等:a+bi=c+di(a,b,c,d∈R),只需a=c,b=d.3、幾何意義：復數z=a+bi與復平面內的點Z(a，b)一一對應，與平面向量OZ一一對應.(復平面中x軸叫做實軸，y軸叫做虛4、復數的模:復數z=a+bi的模或絕對值記作|z|或|a+bi|,即||z5、共軛復數:復數z=a+bi的共軛復數為z=a-bi.二、復數的運算1、加法運算:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i2、減法運算：a3、乘法運算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(注意：i4、除法運算：①寫成分式形式；②分子分母同乘分母的共軛復數.第22頁,共32頁

第八章立體幾何一、基本立體圖形直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱；斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱；正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；平行六邊形：底面是平行四邊形的四棱柱.二、立體圖形的直觀圖1、用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟：(1)畫軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x'軸和y'軸，兩軸交于O'，且使∠x'(2)畫線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段.(3)取長度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半.2、空間幾何體直觀圖的畫法：(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應的是z'軸.(2)畫底面:平面x'O'y'表示水平平面,平面y'O'z'和x'O'z'表示豎直平面.(3)畫側棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.三、簡單幾何體的表面積與體積1、圓柱、圓錐、圓臺的體積公式柱體的體積公式V=Sh(S為底面面積，h為高)；錐體的體積公式V=1/3Sh(S為底面面積，h為高)；臺體的體積公式V2、球的表面積和體積公式：設球的半徑為R,則球的表面積S=4πR2,球的體積V=4/3πR3.3、內切球與外接球(1)球心到某幾何體各面的距離相等且等于半徑的球是幾何體的內切球.(2)正多面體各頂點同在一球面上，這個球叫做正多面體的外接球.第23頁,共32頁

(3)特殊內切球與外接球計算①球外接于長方體，球的直徑是長方體的體對角線①球外接于長方體，球的直徑是長方體的體對角線a、b、c分別為長方體的長、寬、高)。②球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；③球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.四、點、線、面的位置關系1、基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.“不共線的三點確定一個平面”.2、基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.符號語言:A∈I,B∈I,且A∈α,B∈α?I?α.3、基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號語言:P∈α,P∈β?α∩β=l,且P∈L4、推論1：經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面.5、推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面.6、推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面7、點與直線的位置關系：點在直線上、點在直線外.直線與直線的位置關系：平行、相交、異面.直線與平面的位置關系：平行、相交、直線在平面內.平面與平面的位置關系：平行、相交五、直線、平面的平行1、基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.2、等角定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.3、直線與平面平行的判定定理(1)定理：如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.(2)符號:a?α,b?α,且a∥b?a∥α.(3)實質：線線平行?線面平行4、直線與平面平行的性質定理第24頁,共32頁

(1)定理：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.(2)符號:a(3)實質：線面平行?線線平行，即線面平行蘊含線線平行.5、平面與平面平行的判定定理(1)定理：如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行.(2)符號:8aC(3)實質：線面平行?面面平行6、平面與平面平行的性質定理(1)定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么交線平行.(2)符號:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.(3)實質：面面平行?線線平行7、直線與平面平行(重點)六、直線、平面的垂直1、直線與直線垂直(1)異面直線所成角：①平移作角；②證明所找角即是異面直線所成角；③求角.(2)如果異面直線所成角是直角，那么這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b.(3)空間中兩條直線所成角α的取值范圍是：02、直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α垂直，記作l⊥α.(2)直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們位移的公共點P叫做垂足.第25頁,共32頁

(3)過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.(4)直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言:m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n?l⊥α,(5)如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.符號語言:a∥b,a⊥α?b⊥a.(6)一條直線PA和一個平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.(7)直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.(7)直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.符號語言:a⊥α,b⊥α?a∥b.(8)直線到平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離即為這條直線到平面的距離.平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，這個距離即為兩個平行平面間的距離.3、平面與平面垂直(1)二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.記作：二面角α-AB-β.(2)二面角的平面角：在二面角a-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的范圍：0°≤∠AOB≤90°是二面角的平面角.二面角的平面角.二面角的范圍：0°≤∠AOB≤90°是二面角的平面角.(3)二面角的大小可以用它的平面角來度量.平面角是直角的二面角叫做直二面角.第26頁,共32頁

(4)平面與平面垂直的概念：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直角，就說這兩個平面互相垂直，平面α與β垂直，記作α⊥β.(5)平面與平面垂直的判定定理：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直.符號：(6)平面與平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直符號：符號：4、直線與平面垂直(重點)4、直線與平面垂直(重點)七、三角形的“心”在△ABC中:重心———中線的交點：重心將中線長度分成2：1；垂心————高線的交點：高線與對應邊垂直；內心———角平分線的交點(內切圓的圓心)：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；外心———中垂線的交點(外接圓的圓心)：外心到三角形各頂點的距離相等.①若Ax1y1②若P為△ABC重心,則P③PA.PB=PB.PC=PC.PA?P為△ABC垂心;第27頁,共32頁

第九章統計9.1隨機抽樣1.抽樣調查根據一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調查，并以此為依據對總體的情況作出估計和推斷的調查方法，稱為抽樣調查.樣本：從總體中抽取的那部分個體稱為樣本.樣本容量(樣本量)：樣本中包含的個體數稱為樣本容量.2.簡單隨機抽樣設一個總體含有N(N為正整數)個個體，從中逐個抽取n(1≤n<N)個個體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內未進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣，放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統稱為簡單隨機抽樣.(1)抽簽法：把總體中的W個個體編號，把所有編號寫在外觀、質地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號簽，將號簽放在一個不透明容器中，充分攪拌后，每次從中不放回地抽取一個號簽，連續抽取n次，使與號簽上的編號對應的個體進入樣本，就得到一個容量為n的樣本.優點：簡單易行，當總體較小時，號簽攪拌均勻很容易，個體有均等的機會被抽取，從而能保證樣本的代表性缺點：當總體較大時，費時、費力，且號簽很難被攪拌均勻，產生的樣本代表性差，導致抽樣的不公平(2)隨機數法：(1)用隨機試驗生成隨機數(2)用信息技術生成隨機數：①用計算器生成隨機數：②用電子表格軟件生成隨機數；③用R統計軟件生成隨機數.優點：簡單易行，它很好的解決了抽簽法中遇到的當總體個數較多時制簽難、號簽很難被攪拌均勻的問題缺點：當總體較大時，需要的樣本容量較大時，不太方便3.分層隨機抽樣第28頁,共32頁

按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣.9.2用樣本估計總體1.總體取值規律的估計頻率分布直方圖的畫法：(1)求極差(2)決定組距和組數(3)將數據分組(4)列頻率分布表：各小組的頻率=小組本數量(5)畫頻率分布直方圖：縱軸表示頻率，小長方形面積=頻率.2.總體百分位數的估計(1)第p百分位數：它使得這組數據中至少p%的數據小于或等于這個值，且至少有(100-p)%的數據大于或等于這個值.(2)第p百分位數的計算步驟：①按從小到大排列原始數據.②計算i=n×p%.③若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據，若i是整數，則第p百分位數為第i項與第i+1項數據的平均數.(3)四分位數：第25、50、75百分位數稱為四分位數。3.總體集中趨勢的估計：1.眾數：一組數據中出現次數最多的數.2.中位數：把一組數據按從小到大(或從大到小)的順序排列，處在中間位置的數(或中間兩個數的平均數)叫做這組數據的中位數.3.平均數:如果n個數x?,x?,……,x?,那么=1n頻率分布直方圖中平均數、中位數、眾數的求法1.樣本平均數：可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形面積的乘積之和近似代替.2.在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積應