四川省綿陽市2024-2025學年高一上學期1月期末教學質量測

試數學試題

學校:.姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.已知集合4={引xNO},8={x|x2<1},則API3=()

A.(-1,1)B.(-8,1)C.D.[0,1)

2.下列命題為真命題的是（）

A.若a>b,貝!Ja/Abc?B.若/＞從，則a＜6

C.若〃>人>0,則〃2>。2D.若a<6<0,則ac<6c

3.設p：VT7有意義，4：尤＜3,則P是4的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.下列函數，滿足“對任意石,電?。，1），且X產馬，都有（占-9）［〃占）-〃々）］＜。”的是

)

A.y=tanxB.y=cosx+l

C.y=l°g2^D.y=e

5.函數〃彳）=/+刊乂的大致圖象為（）

7.將甲桶中的10L溶液緩慢注入空桶乙中，經過/min后甲桶中剩余的溶液量符合指數衰減

曲線假設經過lOmin甲桶和乙桶中的溶液量一樣，則乙桶中的溶液達到8L共需

要注入的時間約為（）（參考數據：lg2=0.3）

A.3.3minB.13.2minC.23.3minD.32min

8.已知函數1|+$［一機-1有三個不同的零點，則實數加的取值范圍為（）

A.C.(1,+~)D.

二、多選題

9.若xeR,函數/（x）=a2-2x+（的值域是［0,口），且根則下列結論中正確的是

（）

A.〃>0B.ab=4

C.若=則M+〃D.214

a+b8

10.若函數是定義在R上的奇函數，/（x）=〃2-x）,當0<xWl時，f（x）=x2-x,

則（）

A./（2）=0

B.函數/■（*）圖象關于直線尤=2對稱

C.函數〃x）圖象關于點（2,0）中心對稱

D.當一時，/（x）=-x2+x

11.已知函數〃x）=sinx+lnm蕓（e為自然對數的底數），則（）

A.函數〃x）的定義域為（-M）B.函數“X）是增函數

C.函數f（x）是奇函數D.若/（4、-2川）<1,則x<l

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.函數的定義域為.

13.某扇形的圓心角為2弧度，半徑為4cm,則該扇形的面積為cm2

14.已知函數〃引=睡2H，當0<”6時，且函數在上的最大

2

值與最小值之差為2,則b竺的值為.

四、解答題

15.已知角6的頂點在坐標原點，始邊與*軸正半軸重合，終邊經過點P（-3,4）.

（1）求sine,cose,tane；

（2）求/'（6）=2cos（"1_e）_cos（兀+6）.tan（7i_。）的值.

16.已知關于x的不等式式-辦+2<8的解集為｛N-3<尤<勿.

⑴求的值;

⑵若函數/（力=f-依+2,當xe|m-2,間，meR時，求函數〃元）的最小值（用加表示）.

17.某工廠生產A,3兩種產品，A產品的利潤“（X）（單位：萬元）與投入金額x（單位：

萬元）的關系式為"（x）=儂^+log2^/^斤（x20）；3產品的利潤v（無）（單位：萬元）與投入金

額X（單位：萬元）的關系式為V（x）=2x-log2（64-x）+〃（0Vx<64）.已知投入3萬元生產A

產品可獲利潤為7萬元，投入32萬元生產8產品可獲利潤為65萬元.

⑴求實數加，”的值；

（2）該企業現有47萬元資金全部投入A,3兩種產品中，探究：怎樣分配資金，才能使企業獲

得最大利潤？并求出最大利潤.

18.函數/'（無）=25.（8+夕）（0>0,-"|<9<0）的最小正周期為兀，且cos%9-sin%9=g.

⑴求函數“X）的解析式；

⑵求函數“X）在xe上的單調遞減區間；

⑶若函數產"（x）f-（帆+2）/（x）+2加在xe-將有三個不同的零點從小到大依次為

工,々,尤3，求實數機的取值范圍及1血（％+々+2凡）的值.

19.固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茲等得

出了“懸鏈線”的一般方程，最特別的懸鏈線是雙曲余弦函數g（x）.類似的有雙曲正弦函數

/（X）,我們也可以定義雙曲正切函數廠（無）=K.已知函數“X）和g（x）具有如下性質：

①定義域都為R,且/⑺是增函數；②"X）是奇函數，g（x）是偶函數；③/（x）+g（x）=e\

（常數e是自然對數的底數，e?2.71828---）

⑴求雙曲正弦函數/（無）和雙曲余弦函數g（x）的解析式；

⑵求證：g(2x)=[g(x)f+"(x)]2；

⑶函數/⑺在區間回,《|（加＜”）上的值域是1白,白化eR），求實數上的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

《四川省綿陽市2024-2025學年高一上學期1月期末教學質量測試數學試題》參考答案

題號12345678910

答案DCABADCBABDAC

題號11

答案AB

1.D

【分析】根據一元二次不等式的解法，結合交集的定義進行求解即可.

【詳解】因為3=卜%2<1}=(-1,1),

所以4。8=[0,1),

故選：D

2.C

【分析】通過舉反例可判斷A、B、D是假命題；利用作差法比較大小可判斷C正確.

【詳解】對于A,當c=O時，42>兒2不成立，故A是假命題；

對于B,當a=2,Z?=l時，avb不成立，故B是假命題；

對于C,因為則(a—6)>O,(a+b)>0,所以a?—〃=(Q—>o,故C是真

命題；

對于D,當cWO時，不成立，故D是假命題；

故選：D

3.A

【分析】根據二次根式的性質，結合充分性、必要性的定義進行判斷即可.

【詳解】由p:J1-上有意義,可得1-xNOn無W1,此時顯然q：x<3成立，

若x=2,顯然q：x<3成立，但是沒有意義，

故選：A

4.B

【分析】根據題意，即函數在(0』)上單調遞減，逐個選項判斷即可.

【詳解】由對任意的士,當40,1),且X產尤2，都有(占-%)[〃占)-/(%2)]<。，

即函數/(X)在(。,1)上單調遞減.

答案第1頁，共12頁

對于A,Q(O,l)q[ogJ,而函數y=tanx在(ogj上單調遞增，故A錯誤；

對于B,由余弦函數y=cosx在上單調遞減，所以y=cosx+l在(0,1)上單調遞減，

故B正確；

對于C,>=1。82苫在(0,+8)上單調遞增，故C錯誤；

對于D,y=e*在R上單調遞增，故D錯誤.

故選:B.

5.A

【分析】先求函數的定義域，排除BD,再判斷奇偶性，排除C,最后得出答案.

【詳解】因為/(力=/+111陣所以w>。，

所以函數〃耳=/+1nM的定義域{小力0},排除B,D,

定義域關于原點對稱，因為〃r)=(r)2+ln|-x|=x2+ln|x|-f{x),

所以函數是偶函數，排除C,

所以函數〃司=/+111,的圖象大致為A.

故選：A.

6.D

【分析】根據特殊角的余弦值和誘導公式，結合代入法進行求解即可.

【詳解】一：]=/2cos")=f(2cos升f〃l)=lx(l+4)=5,

故選：D

7.C

【分析】根據題意，利用代入法求出左的值，再根據所求問題列出方程，通過對數的運算法

則和換底公式進行求解即可.

【詳解】因為經過lOmin甲桶和乙桶中的溶液量一樣，

所以10—109"=103仇=>左=一，In2,即Mr)=iOe得"也

設乙桶中的溶液達到8L共需要注入的時間為。，

則有lO-lOe15/。=8^>10-10eln2-iii=8^-10-10x2^=8

答案第2頁，共12頁

--i+—nlelOa1

010x210=2n210=10^1+—=-^^1+—?——〃。23.3,

10lg2100.3

故選：c

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用對數的運算性質和換底公式.

8.B

【分析】令f=則轉化為8。）=/+號匚一加一1,函數〃同=|2=1|+1號一機T有

三個不同的零點，轉化為r-（m+1"+2祖-1=0有兩個根，一個根在（0,1）另一根在（1,+8）,

根據二次方程根的分布即可求解.

【詳解】令r=|2=l|,則g⑺=1+三匚一加一1,由函數〃同=|2「1|+聲，一根一1有三

個不同的零點，

轉化為g（。有兩個零點，一個零點%>1或另一個零點。<，2<1，則

g?）=0n/一（根+1）+2加一1=0,

則一元二次方程（根+1、+2m-1=0的兩根為％,小即/-（m+1"+2m-1=0的一個根在

（0,1）另一根在（1,+8）,

/\?/\f/2（0）>0f2m-l>01

令硝）=一（祖+巾+2吁I,則有%⑴〈。氣…==>—<1，

即實數機的取值范圍為

【分析】根據二次函數的值域性質，結合基本不等式逐一判斷即可.

【詳解】當。=0時，〃村=-2尤+“顯然此時函數的值域不是［0,"），不符合題意;

答案第3頁，共12頁

當時，f(x)=ax2-2x+—=x-^-\--+—,對稱軸為了=1,

v74{aja4a

因為二次函數/(尤)=江-2%+3的值域是[0,+cc),且xcR,

Q>0(-

\a>0n

所以有<1b八7/因此選項AB正確，

——+-=0\ab=4-

、a4

2

若機W〃且/(間=”〃)，所以由二次函數的對稱性可得根+〃=’,

因此選項C不正確；

a>0

〃>0

由<b>0,因為/+從之2而=8,當且僅當a=b=2時取等號,

ab=4

ab=4

所以選項D正確，

故選：ABD

10.AC

【分析】根據奇函數的性質得到“0)=0且/(r)=-〃x),即可判斷A,由/(力=〃2-力

可得了⑺的對稱軸，即可判斷B,再推導出/(2r)+/(x+2)=0,即可判斷C,最后根據

奇偶性求出函數在-1WxWO時的解析式，即可判斷D.

【詳解】因為函數“X)是定義在R上的奇函數，所以"0)=0且/(T)=-/⑺，

又〃x)=〃2-x),所以〃2)=〃0)=0,故A正確;

因為)。)=/(2—x),所以“X)關于x=l對稱，故B錯誤；

由/(-x)=—/(%)，f(x)=f(2-x),

所以—/(—x)=/(2—x),即一/(x)=〃2+x),所以〃x+4)=-〃2+x)=/(x),

則/(x+2)=/(x—2)=—/(2—x),即/(2—x)+/(x+2)=0,

所以函數/(%)的圖象關于點(2,0)中心對稱，故C正確；

因為當0<x〈l時，/(x)=x2-x,

設一lWx<0,貝!]所以/(X)=-/(-x)=-[(-尤)一(-x)]=-尤2-x,

答案第4頁，共12頁

當％=0時/(%)=-d-%也成立，

所以當—IWXWO時，/(%)=—/—%,故D錯誤.

故選：AC.

11.AB

【分析】根據對數的定義，結合奇函數的定義、函數單調性的性質逐一判斷即可.

【詳解】由/(x)=sinx+Ine+—e+e%>O^>(l+x)(l-x)>O^>-l<x<l,因此選項A

1—x1—X

正確；

,e+ex.[[1+x.1[(2八

j(x)=sinx+ln-----=sinx+lne+ln----=smx+l+ln------1,

1—X1—X(1—X)

2

當時，函數y=sinx,y=------1單調遞增，

所以y=sinx+l+ln]三-"也單調遞增，因此選項B正確；

因為/(O)=sinO+lne=lHO,所以函數/(x)是不是奇函數，選項C不正確；

由上可得/'(4-2用)<1=〃0),因為函數〃x)是增函數，

f4"-2"+i<0

所以有，Ml,n-1<4”一2*<0=%<1且》片0,因此選項D不正確，

故選：AB

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用函數單調性的性質進行求解.

12.(-o),0)u(0,l)

【分析】由函數定義域的概念列出不等式求解即可；

fl-x>0

【詳解】由題意可得：，

解得：x<l且xwO,

所以函數的定義域為(-g,o)u(o,i),

故答案為：(-j0)50,1)

13.16

【分析】利用扇形的面積s=;>=!。/，即可求得結論.

【詳解】???扇形的半徑為451,圓心角為2弧度，

答案第5頁，共12頁

，扇形的面積S=Lr=L<z?產=16cm2,

22

故答案為：16.

14.8

【分析】根據對數型函數的圖象，結合函數的單調性進行求解即可.

IQQXX'^.X

【詳解】函數〃尤)=|腕2目=：2'：］的圖象如下圖所示：

I—10g2X,U<X<1

當Ovavb時，/(a)=/(Z?),因此有0<a<l<Z?,

由/⑷=/9)=-log2a=log2b=>log2tz+log2b=0=>log2ab=Unab=\,

于是當了耳心可，即當無￡a?,：時，因為Ovavi,

所以。</<1<，，由函數圖象可知/(x)111ta=/(1)=0,

22

/(a)=-log2a=-21og26Z,=log2：=_log?a,

因為/(/)-/［￡］=-log?。>0，

所以/(/)>/(J,所以/(尤)m”=/(*=Tog?a,

因為函數/(x)在［〃,可上的最大值與最小值之差為2,

所以—2log?〃_。=2=>〃=(=>6=2,

￡_4_

因止匕了一］一8,

2

故答案為：8

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是利用數形結合思想得到0<。<1<6,再根據函數的單

調性進行求解.

答案第6頁，共12頁

15.（l）sin^=—,cos^=-—,tan^=-—

⑵三

3

【分析】（1）根據任意角三角函數定義分別法求解即可；

（2）先應用誘導公式化簡，再代入三角函數值計算求解.

【小題1】???角。的終邊經過點尸（-3,4）,

：.\OP\=7（-3）2+42=5.

4一3344

/.sing=—,cos0=——=----,tang=——=----.

555-33

【小題2】/（。）=2cos[5一一cos（兀+。）?tan（7i-^）

=[2sin0+cos句.（-tan6）

16.(l)a=-l,b=2

2c1

m+m+2,m<——

2

713

⑵"x)min=——<m<—

422

23

m-3m+4,m>—

2

【分析】（1）由不等式三一公+2v8的解集為｛X—3<%<圻，得一3,。是方程f—依—6=0的

兩根，根據根與系數的關系即可得解;

（2）函數/（"=/-依+2的圖象的對稱軸為x=-；,根據對稱軸分布的情況分類討論,

即可求出函數/⑴的最小值.

【詳解】（1）...關于％的不等式/一公+2<8的解集為｛引-3<%<外,

-3,〃是方程f一公一6二0的兩根.

-3xb=-6a-—1

由根與系數的關系，得-3+j,解得

b=2

..a——1,b=2.

答案第7頁，共12頁

(2)由(1)知〃_￥)=丁+尤+2=、+J+：,所以函數/(X)圖象的對稱軸為x=-g,

當mV-g時，函數“X)在［租-2,7對上遞減，

(1丫7

則/(%).=/(機)=［根+/J+—=m92+m+2；

當-1■<根<?!時，函數八尤)在加-2,-；)上遞減，在1-g,加上遞增，

當相25時，函數/(%)在［m-2,向上遞增，

/./(x)mE=/(^—2)=fm-—1+—=m2-3m+4.

m+m+2,m<——

2

7

綜上，

4

m2-3m+4,m>—

2

17.(l)m=2,n=6

(2)A生產線投資15萬元，5生產線投資32萬元時，企業獲得利潤最大，利潤的最大值為97

萬元.

【分析】(1)運用代入法，結合對數的運算性質進行求解即可；

(2)根據(1)的結論，結合對數的性質、對數型函數的單調性、基本不等式進行求解即可.

【詳解】(1),/w(x)=mx+log27x+l,w(3)=7,

/.log273+1+3m=7,

解得m=2.

?."(%)=2x-log2(64-x)+n(0<x<64),v(32)=65,

64—log?(64—32)+幾=65,

解得n=6.

(2)設A生產線投入九萬元，則B生產線投入47-x萬元，企業獲得利潤為《工).

答案第8頁，共12頁

由(1),^w(x)=2x+log2Vx+l,

v(x)=2x-log2(64-x)+6,

/.^(x)=w(x)+v(47-x)=2A：+log2^/x-^-l+2(47-x)-log2(17+x)+6,

整理，得/(x)=log2Jx+1-log2(17+x)+100,

變形得，“x)=log,'亙+100,

''217+x

即心㈠)=log?-而------T--+-..-..2——+100

Vx+1

,/y/x+1+.>2A/T6=8,當且僅當％=15時等號成立.

yjx+l

-18

?e-log2------------116-°^2

A/X+1+I-----

Vx+1

《X)=log2----------....———I-100<100-log28=97

Jx+1H—/

y/X+1

當且僅當x=15時等號成立.

???當A生產線投資15萬元，B生產線投資32萬元時，企業獲得利潤最大，利潤的最大值為

97萬元.

18.(l)/(^)=2sinf2%--^

71兀7171

(2)

6'3'2

(3)-2<m<1,tanQ+尤2+2%3)=退

【分析】（1）由題意函數/'（X）的最小正周期為兀即可求出。，由cos》-sin》=：即可求出

°;

7171

(2)由及求出2x4一看，言,令z=2x-由函數y=2sinz的單調遞減區間

67O-OO6

即可求解;

（3）函數y="（切2一（加+2）〃力+2根的零點得（〃力-2乂〃司-加）=0,得

m

sinf2x--^-—1sin[2x——萬，分類討論即可得解.

答案第9頁，共12頁

【詳解】(1),函數”X)的最小正周期為私。＞。,

2222

?/cos40-sm?4cp-(cos^>-sin^)(cos^+sin2。)=cos^-sin2。=；,

2?21

cos夕+sin(p=\,

A/3兀

cos夕二—,(P=—

26

。兀

/(x)=2sin2x----

6

A-兀兀兀77i5兀

(2)令z=2冗————則ze

6227

T'T，，函數…皿的單調遞減區間是7V兀71715兀

Z6

62'2'6

7兀-71717171571

------<2x-----<—,—<2x-----<—,

662266

./口71717171

解得——<x<——,—<%<—.

2632

jrjrj7r1兀兀兀

函數/(%)在工￡上的單調遞減區間是

26392

(3)..."(切2-(m+2)x+2m=(/(x)-2)(/(x)-m)=0,

.?./(。)=2或/(%)=在

,兀IT。。兀71m

..sinLX——1sinLX———

I6jI6)2

兀兀_7兀17兀兀

?/XG~9~2x——e—

236石'5'

,.r,兀、1小兀兀7i

/.由sin2x——1,LX—=—,毛二一,

V6J623

.?.sin[2x-?]=：有兩個不同的解，一1<：41，

V6J222

—2<m<1,

答案第10頁，共12頁

芭+%2+2巧=~9

tan(j^+%2+2