第08講數學歸納法

.

01學習目標

課程標準學習目標

1.了解數學歸納法的原理.

1.數學歸納法的理解及其應用.

2.能用數學歸納法證明數列中的一些簡單

2.通過利用數學歸納法證明與自然數〃有關的數學命

命題.題，發展邏輯推理素養和數學運算素養.

02思維導圖

k

對數學歸納法的理解

數學歸納法f數學歸納法中的增項問題

，證明恒等式

數學歸納法證明不等式

數學歸納法中的兩個步驟之間的關系、歸納一猜想一證明

用數學歸納法證明整除性問題

'用數學歸納法證明幾何問題

03知識清單

知識點01數學歸納法

一般地，證明一個與正整數〃有關的命題，可按下列步驟進行：

（1）（歸納奠基）證明當〃=〃（）（“oGN*）時命題成立；

（2）（歸納遞推）以"當〃=左"GN*,匕為）時命題成立”為條件，推出“當〃=人+1時命題也成

立”.

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從處開始的所有正整數"都成立，這種證明方法稱為數學歸

納法.【解讀】（1）第一步中的驗證，對于有些問題驗證的并不是n=l,有時需驗證n=2,n=3.

（2）對11=1<+1時式子的項數以及n=k與n=k+l時式子的關系的正確分析是應用數學歸納法成功

證明問題的關鍵.

（3）“假設n=k時命題成立.利用這一假設證明n=k+l時命題成立”，這是應用數學歸納法證明問題

的核心環節，對待這一推導過程決不可含糊不清，推導的步驟要完整、嚴謹、規范.

【即學即練1］（24-25高二上?甘肅慶陽?階段練習）若〃〃）=1+2+22+2、…+251用數學歸納法證明

1+2+22+23+...+2"T是31的倍數（〃eN+）,在驗證〃=1成立時，原式為.

【答案】/(1)=1+2+22+23+24

【分析】將〃=1代入/(〃)計算可得結果.

【詳解】當〃=1時，/(77)=1+2+22+23+...+25X1-1=1+2+22+23+24.

故答案為：/(1)=1+2+22+23+24

知識點02數學歸納法中的兩個步驟之間的關系

記尸5)是一個關于正整數〃的命題.我們可以把用數學歸納法證明的形式改寫如下：

條件：(1)P(如)為真；(2)若P(k)(左GN*,k^n0)為真，則尸(左+1)也為真.

結論：P(")為真.

在數學歸納法的兩步中，第一步驗證(或證明)了當M="o時結論成立，即命題尸(為)為真；第二步

是證明一種遞推關系，實際上是要證明一個新命題：若尸(k)為真，則P*+1)也為真.

完成這兩步，就有尸("°)真，P(?o+D真……P(k)真，P(左+1)真…….從而完成證明.

【即學即練2](24-25高二上?全國?課后作業)在運用數學歸納法證明。+1)向+(》+2產[〃€z)能被

+3x+3整除時，貝I當”=左+1時，除了""時必須有歸納假設的代數式(x+1嚴+(x+相關的表達

式外，還必須有與之相加的代數式為.

【答案】W+3x+3)(x+2)2i

【分析】按數學歸納法寫出證明過程即可得答案.

【詳解】設當〃=先時，(x+1產+。+2產-”eN*)能被/+3x+3整除，

所以〃=k+1時，(%+1)*+2+(x+2)”句=(x+l)(x+l)i+,+(x+2>(x+2)2i-1

=(x+1)(x+1)"]+(x+l)(x++(無2++3)(x+2)2i

=(x+l)[(x+1嚴+(x+2產]+(x2+3x+3)(x+2產-1,

因此必須有代數式(x2+3x+3)?(x+2產1.

故答案為：(無2+3X+3)?(X+2)2J

2

04題型精講

題型01對數學歸納法的理解

【典例1](24-25高二上?全國?課前預習)對于不等式4777<"+l(”eN+),某同學用數學歸納法的證明

過程如下：

（1）當〃=1時，左邊=+1,右邊1+1,不等式成立.

（2）假設當〃=左（左21且無eN+）時，不等式成立，即病獲<4+1，

那么當”=上+1時，J（后+1『+（左+1）=J后2+31+2<3后+2）+++2=J（4+2）2=（1+1）+1,

所以當”=4+1時，不等式成立，則上述證法（）

A.過程全部正確B.”=1驗證不正確

C.歸納假設不正確D.從“=左到"=左+1的推理不正確

【答案】D

【分析】根據數學歸納法的概念進行判斷即可.

【詳解】在"=k+1時，沒有應用〃=左時的歸納假設，不是數學歸納法.

故選：D.

【變式1】（24-25高二上?全國,課后作業）已知命題1+2+2?+…+2"T=2"-1及其證明：

（1）當"=1時，左邊=1,右邊=2i-l=l，所以等式成立.

⑵假設〃=后（左?N+）時等式成立，即1+2+2?+…+21=2上一1成立，貝U當〃=左+1時，

1_?+1

1+2+2?+…+21+2斤=-----=2川一1,所以〃=左+1時等式也成立.

1-2

由（1）（2）知，對任意的正整數〃命題都成立.判斷以上評述（）

A.命題、證明都正確B.命題正確、證明不正確

C.命題不正確、證明正確D.命題、證明都不正確

【答案】B

【分析】由數學歸納法、等比數列求和公式即可求解.

【詳解】證明不正確，錯在證明當"=上+1時，沒有用到假設”=上時的結論.

由等比數列求和公式知1+2+2?+…+2"-1=L三=2"-1,命題正確.

1-2

故選：B.

【變式2】（24-25高二下?河南?期中）己知〃為正偶數，用數學歸納法證明

l-二+q-：H---1----；=2（----+--------］時，若已假設"=斤（k>2,左為偶數）時命題為真，則還

需要再證（）

A.〃=左+1時等式成立B.〃=上+2時等式成立

C.〃=2左+2時等式成立D.〃=2伍+2）時等式成立

【答案】B

【分析】直接利用數學歸納法的證明方法分析判斷即可.

【詳解】由數學歸納法的證明步驟可知，假設"=kU>2,左為偶數)時命題為真,

還需要再證明下一個偶數，即〃=k+2時等式成立.

故選：B

【變式3X23-24高二下?上海?期末)現有命題：1-2+3-4+5-6+……+(-1)向〃=；+(-1廣]；+￡|(〃eN*),

用數學歸納法探究此命題的真假情況，下列說法正確的是()

A.不能用數學歸納法判斷此命題的真假

B.此命題一定為真命題

C.此命題加上條件">9后才是真命題，否則為假命題

D.存在一個無限大的常數%,當〃〉加時，此命題為假命題

【答案】B

【分析】直接用數學歸納法證明可得答案.

【詳解】①當〃=1時，左邊=1,右邊=1,左邊=右邊，即〃=1時，等式成立；

②假設〃=左(左21，左￡N*)時，等式成立，

即1_2+3_4+5—6+…+(_1)及%=]+(_1)1(；+0],則當“=左+]時，

4142J

]—2+3—4+5—6+…+(—1)"晚+(—1)"2(左+1)=；(—1)"1[；+1_]+(_1)"2(左+1)

㈠產dT

=%(-盧卜號,

即當〃=上+1時，等式成立.

綜上，對任意〃eN+，

等式1-2+3-4+5-6+...+(-1嚴77=1+(-1)"+'恒成立,

4142J

所以ACD錯誤.

故選：B.

【變式4】(2024?高二?新疆伊犁?期末)利用數學歸納法證明/(〃)=1+2+3+4+…+(4〃-1)時，第一步應證

明()

A./(1)=1B./⑴=1+2+3

C./(2)=1+2D./⑴=1+2+3+4

【答案】B

【解析】由題意/(")=1+2+3+…+4〃一1,〃eN*,

即從1起連續4〃-1項正整數之和.

則/（I）為從1起連續3個正整數之和，

故第一步應證明/（1）=1+2+3.

故選：B.

題型02數學歸納法中的增項問題

【典例2】（2024?高二?上海?期中）用數學歸納法證明」7+-^+‘7+--+32考（后1,“€2，由”“

到〃二女+1時，不等式左邊應添加的項是（）

111

A_____B__________

?2左+1?2左+1k+1

1111

C.-------+--------D.------------------

2左+12k+22左+12左+2

【答案】D

【解析】當"=左時，左邊的代數式為丁1+L+上

k+\k+2k+32k

1111

當"=左+1時，左邊的代數式為----------F+...+H------------

左+1+11+1+2左+1+左2左+2

故用〃=人+1時左邊的代數式減去n=k時左邊的代數式的結果為:

-------1--------1-------1----------1--------1-----------1--------------

k+\+k2k+2k+12左+12k+2

故選：D.

【變式1】（2024?高二?上海青浦?階段練習）利用數學歸納法證明不等式1+:+（?>2,

232-1

且〃eN*）的過程，由〃=后到〃=k+1時，左邊增加了（）

A.項B.2k項

C.4一1項D.I項

【答案】B

【解析】當〃=左（左22,左eN*）時，不等式左邊為1+:+：+…+京二

232-1

當〃=%+1時'不等式左邊為1+；+；+…+/7[+*白7[+…+齊占,

增加的項為*上+???+口=*“+???+?—共有2項

故選：B

【變式2X2024?高二?陜西榆林?階段練習）利用數學歸納法證明不等式1+（+:+…+;<"（〃1,〃eN*）

232—1

的過程中，由〃=左到"=左+1時，左邊增加了（）

A.2k-1項B.2k項C.七項D.1項

【答案】B

【解析】當〃=《時，不等式左邊為1+:+：+…+京二，

232—1

當T+1時，不等式左邊為i+1g+…+即+++占+…+/3r

故增加的項數為：（21一1）一（2--1）=2x2"-2k=2上

故選：B.

【變式3】（2024?高二?遼寧?階段練習）利用數學歸納法證明不等式1+〈+；+...+3?）</（〃21，〃€?4*）的

過程中，由"=左優21）變到〃=左+1時，左邊增加了（）

A.1項B.左項C.3*項D.2x3上項

【答案】D

【解析】由題意，不等式的左邊中分子都為1,分母是從1開始到（3"-1）,故共有3,-1項，

又由〃=上變到〃=左+1時，左邊由（3*-1）項增加到（3加一）項,

從而左邊增加了（3川-1）-（3、1）=2><3上項.

故選：D.

【變式4】（2024?高二?河南南陽?專題練習）用數學歸納法證明:

（〃+1）（〃+2）（〃+3）…（〃+〃）=2〃xlx3x5x…x（2〃-1）x（2〃+1）（幾wN*）時，從〃=左至!J〃=左+1,等式的左邊

需要增乘的代數式是（）

2左+1

A.2k+1B.-------

k+1

C2k+3D.2（2左+1）

.k+1

【答案】D

【解析】從〃=上到〃=k+1,等式的左邊需要增乘的代數式是

（4+2）（后+3）…2h（2后+1）,（2左+2）

（上+1）（\+2）（?+3）…-2人—Ih

故選：D.

題型03證明恒等式

【典例3］（24-25高二上?全國?課后作業）用數學歸納法證明：對任意的正整數

2+6+10H----F（4“-2）=2〃2.

【答案】證明見解析

【分析】應用數學歸納法證明即可.

【詳解】當"=1時，左邊=2=2xf=右邊;

假設"=左(左21,)時，原等式成立,則”=左+1時，

等式左邊=[2+6+10+―+(4左一2)]+(4左+2)=2后2+4左+2=2(左+1)2,因此“=左+1時原等式也成立.

綜上，V"eN*都有2+6+IOH----F(4,Z-2)=2〃".

【變式1】(24-25高二上?上海?期中)己知等差數列｛七｝的首項為可，公差為d,前〃項和為S".若q="=l,

用數學歸納法證明：

i=l

【答案】證明見解析.

【分析】根據給定條件，求出等差數列｛%｝的通項。"，前"項和為S“，再利用數學歸納法證明.

【詳解】等差數列｛%｝中，2=%+(〃-1)"=〃，5"=幽磬=巴羅，

當”=1時，彳=1,S；=l,原等式成立；

假設當〃=W：eN*)時，原等式成立，即/3=[與與，

?=1i=l2

貝I￡=￡媼+at,=k3+(k+1)3=[^-^]2+(后+1)3

z=lz=l2

二駕?3+4("3=駕Q+2『=](""[=舔，

即當〃=后+1時,原等式成立，

所以對一切〃eN*,等式fa；=黑成立.

Z=1

【變式2](23-24高二上?上海?課后作業)用數學歸納法證明

l.?+2-(?-l)+3-(W-2)+---+77-l=1n(W+l)(/7+2)(〃為正整數).

【答案】證明見解析

【分析】根據數學歸納法證明的步驟，首先驗證當"=1時成立，進而假設〃=左時等式成立，證明”=上+1

時，等式也成立；即可得證.

【詳解】設/⑺=1?〃+2?(〃—1)+3?5-2)+…+(〃-1)?2+〃?1.

①當”=1時，左邊=1,右邊=：xlx(l+l)x(l+2)=l,等式成立；

0

②設當"=左時等式成立，^f(k)=l-k+2-(k-l)+3-(k-2)+...+(k-l)-2+k-l=yk(k+lXk+2),

6

則當〃=左+1時，

/(左+1)=1?伏+1)+2[(左+1)—1]+3[(左+1)—2]+…+[(左+1)—2]?3+[(后+1)—112+(左+1>1

=/(無)+1+2+3+...+1+(左+1)

=-k(k+Y)(k+2)+-(k+\)(k+\+\)

62

=-(k+l)(/c+2)(k+3).

6

.?.由①②可知當〃eN,時等式都成立.

【變式3】(2024?高二?江蘇?專題練習)有下列命題：1+3+5+…+(2〃-l)=〃2(〃eN*)；使用數學歸納法證

明

【解析】當〃=1時，左邊=1,右邊=F=i，則原等式成立；

假設當"=左(左eN*)時，原不等式成立，即1+3+5+---H(2左—1)=笈?成立，

則當"=左+1時，1+3+5+…+(2左一1)+(2%+1)=%2+2左+1=(左+1『，即當〃=左+1時原等式成立，

所以1+3+5+…+(2"-1)=〃2對于任意“eN*成立.

題型04證明不等式

【典例4】(2024高三?全國?專題練習)證明:不等式而1成立.

2462n

【答案】證明見解析

【分析】利用數學歸納法證明即可.

【詳解】①當"=1時，左邊=^＞收=右邊，二不等式成立.

②假設當〃父時不等式成立，即》33…,亭＞信-

③當〃=左+1時,

3572左+12左+3

左邊=-x—X—X-x_____x______

2462k2左+2

2左+3（2左+3）2

>yjk+lx

2k+24（左+1）

_4（左+1『+4（左+1）+1

4（V+1）

.??當〃=左+1時,不等式也成立.

綜上可得，原不等式恒成立.

111

<eN）.

【變式1](2024高二?全國?隨堂練習)用數學歸納法證明:1+/+國+—訪+

【答案】證明見解析.

【分析】應用數學歸納法，結合基本不等式證明不等關系.

【詳解】當〃=1，則A=l<2xJT=2成立,

若〃=左且左eN+時，1+^rd--+-^=<2y[k成立,

人71rhi1111c萬121—(一+1)+1左+后+1+1rj—r

令〃=左+1,則l+-j=+…++左+-j^==—~j=---<---/=-=2，k+1,

V24k4k+l4k+i4k+iTk+1

所以〃=左+1時不等式也成立,

綜上'l+[+[+…+2<2〃(neN+)恒成立.

【變式2】(2024高二上?浙江紹興?階段練習)用數學歸納法證明:

1+—+-+.?-+—>ln(/i+l)+——-~-IneN")

23nv'2(〃+l)\).

【答案】證明見解析

xx

【分析】構造函數〃x)=5+而可-ln(l+x),利用導數分析該函數的單調性，推導出對任意的左eN*,

萬1>心1+1卜而1r而可，然后利用數學歸納法即可證明出原不等式成立.

【詳解】先證明出辦3—>14+)+：-就1即J+可/Ml+J>0,

構造函數/^)=鼻+了9-111(1+月，

當X>0時，則/(x)=；+11\2—二7=J]\2>0,

22(x+l)x+12(x+l)

j_

所以，函數y=/(x)在(o,+8)上單調遞增，則0=左+彳^-Vln[1+^}>0T

〃n2U+1J"

,1,f,H111,1^1

則丁〉ln|1+-\-,即__—>ln1+--zx，

2n\nJ2(〃+l)n2n1nJ2(〃+l)

1/11

即—>1.1+-+--―n,

nInJ2n2(〃+l)

141111

對任忌的hN*,當”左+1時，萬T>1”1+17TJ+不而一而可.

當〃=1時，左邊=1,右邊=：，左邊〉右邊;

假設當〃=M《eN*)時，不等式成立，即…+：>ln(左+1)+①濡.

i1111,/；k1k+211

則當〃二女+i時，貝出+井丁…+工+171＞爪"1A)+1^+山百+^^一

=In(左+2)+/+1

I72(k+2).

這說明，當〃=左+1時，原不等式也成立.

11111/八〃

綜上所述，對任意的〃EN*,1+不+￡+…+—＞山(〃+1)+“，1、.

23n2(H+1)

【變式3](2024高三?全國?專題練習)用數學歸納法證明：一二+二；+」^+…+1＞￥(〃22,〃eN*)

【答案】證明見解析

【分析】

由數學歸納法證明不等式的一般步驟可知：第一步驗證初值〃。=2時不等式成立；第二步進行歸納假設：假

設當〃=左(左")時所證不等式成立，在此基礎上來證明當"=%+1時所證不等式也成立；特別注意證

〃=左+1時一定要用至1」〃=左(左22)時的結論；第三步下結論：在第一步及第二步的基礎上就可得出所證不等

式對一切力之2,〃wN*都成立.

【詳解】

證明：⑴當"=2時，六+W21413

—〉—命題成立.

2424

1111134

(2)假設當〃=左(左22)時,----------11F...H>成立，

k+\---k+2-左+3---------2k----24

當〃二女+1時,L+-U」」+」一+」

左+2左+3左+42k2左+12k+2

=-L+-L+,+,+…+!+'+」1

左+1左+2左+3左+42k2k+12k+2k+\

13111

>------1-------------1------------------------

242左+12k+2k+1

[?]---------1------------------=—7-------77------C〉0

2左+12左+2k+12(2左+1)(左+1)

]]]]13

0(171)+1+(=+1)+2+(I+1J+3+…+2(1+1)>24

當〃=左+1時命題成立.

所以對于任意此2/￡N*都成立.

題型05歸納一猜想一證明

【典例5】(2024?高二?全國?課后作業)已知數列｛七｝的首項q=1,且。用=廣("=1,2,3,-.)，試猜想出

1十

這個數列的通項公式，并用數學歸納法證明.

【解析】％=1,。2=不，。3=鼻，％=Z，…，

NJ-

猜想：-

n

證明如下：

(1)當〃=1時，％=1,猜想成立；

(2)假設當〃=^ksN*)時，猜想成立，

即％=；，

k

貝！J當〃=左+1時，％+i=T~^―=-^r=T—7，

1+%i+l左+1

k

所以當"=斤+1時，必+1=廠工猜想也成立.

綜合(1)(2),可知猜想。“=!對于任意〃eN*都成立.

【變式1】(2024?高二?陜西渭南?期中)在數列｛6｝中，%用=六七("=1,2,3,…)

(1)求〃29"3'04；

(2)猜想數列｛6｝的通項公式，并用數學歸納法證明你的結論.

a

【解析】(1)%=胃75=1a...24;：1

3

2al+12xl+l"2%+l2xl+16

24

1_

〃_a3-6_1

42%+l2」+l8’

6

(2)猜想數列｛4｝的通項公式為4=二，

下面用數學歸納法證明此結論正確.

證明：①當〃=1時，左邊=%=1,右邊=—?=:，結論成立，

22x12

②假設當〃"(11)時，結論成立，即4=，

2k

1

那少0=%=/_1=_!_

那么1一24+1-2x^+1-2左+2-2(左+1)'

2k

也就是說，當篦=左+1時結論成立,

根據①和②可知，結論對任意正整數〃都成立，即為=1.

2n

【變式2】（2024?高二?上海?隨堂練習）設數列｛。“｝的前〃項和為S.，百=:，對任意〃eN,〃力都有

S〃+]=~——成立.

幺一3”

⑴求$2,S3,邑的值;

⑵猜想S”的表達式并用數學歸納法證明.

c1d=:，令〃=1,貝|」邑=i7^=「=§；

【解析】（1）5?=——

+122-5

令〃=2,邑=自4

令〃=3,=

—

Zo33

V]

（2）猜想S,=-

n+1

①當〃=1時，滿足上式；

②假設”=后時，上式成立，即工二7二，

4+1

_1_1_-+1-+1

貝IJ當〃=左+1時，k+T-2—S1一？k—左+2-左+1+1,

k+\

顯然，猜想成立，所以S“="7.

n+1

7b

【變式3】（2024?高二?上海?期末）已知點勺（%,或）滿足%+i=a1A+i，bn+l=~r^,且點耳的坐標為

1一4Q”

(1,-1).

⑴求過點6、鳥的直線/的方程；

（2）試用數學歸納法證明：對于任意〃eN,點《都在（1）中的直線/上;

⑶試求數列包,｝、他,｝的通項公式.

【解析】（1）由月的坐標為（L—D知，q=L4=T.

7bli1

所以&=匚膏=十出，也="

所以點鳥的坐標為（;，1）,

所以直線/的斜率為心一f-=-2,

1——

3

直線方程為＞+1=-2k-1),即2x+y=l.

(2)證明：①當〃=1時，

2%+4=2x1+(—1)=1成立.

②假設〃=左(左EN*,左21)時，2〃左+4=1成立,

則2%+i+瓦+i=2%*b+b=--^(2即+1)

k+ik+i1—4%

_bk_1-2外_]

1——2。左1——2。左

.??當〃=左+1時，命題也成立.

由①②知，對〃￡N*,都有2%+bn=\,

即點匕在直線/上.

(3)由(2)知，2an+bn=1,所以2%=1-%

所以％=4%2=1_(：砧2=寸,

「生717173[5月士口72〃一3*

因為4=-1,b=-,b=~,Z?=-,…，猜想以=7；----,Z?GN;

2335472n-l

2L—3

用數學歸納法證明如下：因為“=1時，4=-1,假設〃=人時成立，即

2左一1

_1_1_2左一1_2（左+1）—3

貝lj〃=左+1時，"1—-22k-3-2左+]—2（左+1）_]，

~2k-l

所以〃二女+1時也成立，

所以對于任意“eN*都成立，即2=誓

2/7-1

所以0“=；（1一"）=；乂（1-"）=占.

222n-l2n-l

題型06用數學歸納法證明整除性問題

【典例6】（2024?高二?上海閔行?期中）證明：當"eN*時，〃"）=322-8〃-9能被64整除.

【解析】（1）當〃=1時，〃1）=34-8-9=64能被64整除.

（2）假設當"=左（左21,左€雙*）時，/（左）=3?*+2—8左一9能被64整除，

則當〃=左+1時，f（k+l）=32（M+2-8（）l+l）-9=9x32t+2-8^-17=9x（3M+2-8Ar-9）+64A+64.

故/伍+1）也能被64整除.

綜合（1）（2）可知當“eN*時，/（〃）=32"+2-8〃一9能被64整除.

【變式1】（2024?高二?陜西西安?階段練習）用數學歸納法證明：42向+3"2（〃€乂）能被13整除.

【解析】當〃=1時，43+33=64+27=91,又13x7=91,4?向+3川（〃e能被13整除；

假設當〃=左時，422+3加2能被13整除，即422+3l2=13加（加€代），

那么當〃=《+1時，42t+3+3M=16x42M+3x3t+1=16x42i+I+16x3M-13x3i+1

=16x（421M+3"）-13x3"I=16xl3%-13x3i=13（16m-3"+）能被13整除；

綜上所述：42向+3"+2（〃eN+）能被13整除.

【變式2］（2024?高二?全國?課后作業）用數學歸納法證明：/+（"+1）3+（“+2）3能被9整除（〃eN）

【解析】證明：（1）當”=1時，F+23+33=36能被9整除，所以結論成立；

（2）假設當〃=左（左€雙*）時結論成立，即后3+（左+以+（無+2）3能被9整除.

2

貝IJ當〃=左+1時，化+1）3+（左+2）3+（后+3丫=（后+療+（后+2）3+F+9k+21k+27k

=左3+（左+1）3+（左+2丫+9（左2+3上+3）,

因為二+（人1）3+（左+2）3能被9整除，9（/+3/+3）能被9整除，

所以，（左+以+（左+2）3+（左+3）3能被9整除，即即〃=左+1時結論也成立.

由（1）（2）知命題對一切"eN*都成立.

【變式3］（2024?高二?全國?隨堂練習）用數學歸納法證明：一―產能被x+.y整除（〃eN+）

【解析】當〃=1時，X?-必=（x+,

故Y-V能被x+y整除，

假設當”=左時，結論成立，即/尢-/"能被x+y整除，

則當〃=左+1時,x2k+2-y2k+2=x2x2k-x2y2k+//上_/尢/

=4針_力+廣力產

由于7”和Y一/均能被x+y整除，

故一/?+2能被x+y整除，

綜上：X?"-/"能被x+y整除（"eN+）.

題型07用數學歸納法證明幾何問題

【典例7】（2024?高二?全國?課后作業）平面上有23）個點，其中任何三點都不在同一條直線上.過

這些點中任意兩點作直線，這樣的直線共有多少條？證明你的結論.

【解析】當"=3時，過任意兩個點作直線，共有3條；

當〃=4時，設四個點為42,C,D,過48,C三點中的任意2點的直線有三條，過4瓦C三點中的任意1點

與。點相連的直線有3條，即共有3+3=6條；

當”=5時，設五個點為4,4,4,4,4，同上，過4,4,4,4中的任意2點的直線有6條，過4,4,4,4

中的任意1點與4的連線共有4條，即共有6+4=10條；

假設當〃=左，（左25）,過左個點（任意三點不共線）中任意2點作直線，共有3+3+4+…+（"1）=若［

條；

當"=左+1時，共有立+1個點4,4,4「、4,4+1（任意三點不共線），過上個點4,4,4,…，4中任意2個

作直線，共有”［條；過這左個點中的任一個點與4+/相連的直線共有左條，因此，過這什1個點中的

任意2個點作直線，共有幺了+先=&±嗎止12,

22

所以當〃=左+1時，假設成立；

綜上，有”（"€^^,〃23）個點，其中任何三點都不在同一條直線上.過這些點中任意兩點作直線，這樣的直

n(n—1)

線共有條.

2

【變式1】（2024?高二?吉林?期末）已知點￡（%,“）滿足%=。屋加，"田=占江川,且點＜的坐

標為（T1）.

（1）求過點用5的直線的方程;

（2）試用數學歸納法證明：對于“eM,點￡都在（1）中的直線/上.

【解析】（1）由尸/的坐標為（1,T）知：即=1，m=T.

,b,11

一2-77^一］，。2=即?岳=§?

；?點巳的坐標為

直線I的方程為2x+y-l=0.

⑵要證明原問題成立只需證明點匕都滿足2x+y=l即可.

①當〃=1時，2ai+bi=2x1+（-1）=1?成立.

②假設〃=左（左$N*,左＞1）時，2ak+bk=1成1tL,即d=1一2%成立，

b,小八b,\-2a,1

1

貝！J2ak+1+bk+l=2ak-bk+l+bk+l=~~~7T（2%+1）=~"—~~~--二，

當n=k+\時，命題也成立.

由①②知，對“eN*,都有

即點1在直線/上.

【變式2】（24-25高二上?全國?課后作業）己知數列｛??｝的通項公式為%/+2”，若第2m項是第m項的3

倍，則加=.

【答案】2

【分析】根據題意，由數列的通項公式列出方程，代入計算，即可求解.

【詳解】由題得a2n1=34,又a?”,=4〃r+4私%“=加"+2加，所以4加2+4"?=3加2+6加，

解得相=0（舍去）或機=2.

故答案為：2

【變式3】（2024?高二?全國?課后作業）己知〃（〃22,aeN*）個半徑相等的半圓的圓心在同一直線/上，這"

個半圓每兩個都相交，且都在直線/的同側，試用數學歸納法求這"個半圓被所有的交點最多分成多少段圓

弧.

【解析】設這"個半圓被所有的交點最多分成了（"）段圓弧，

如圖分別是"=2,〃=3的情形.

由圖可知，/（2）=4,〃3）=9,由此猜想22,”eN*）.

現用數學歸納法證明該猜想.

①當〃=2時，猜想顯然正確.

②假設〃=M"22,〃eN*）時，猜想正確，即/㈤=/，

則當〃=左+1時，作出第左+1個半圓，它與前上個半圓均相交，最多新增上個交點,

第左+1個半圓自身被分成了k+1段弧，同時前上個半圓又各多分出1段弧，

故有/（后+1）=/（左）+左+4+1=后2+2左+1=（后+1）二

即當〃=上+1時，猜想正確.

綜上，對于"N2,"wN*,/（"）=/都成立.

故這"個半圓被所有的交點最多分成”2段圓弧.

強化訓練

1.（2024高二下?四川成都?階段練習）用數學歸納法證明"對任意的〃eN*,都有

---1---—1-???-|----------1---------1--------1-???-|----第一步應該驗證的等式是（)

234--------2/7-12n〃+1n+2n+32n

A.—IIII

B.I—i——I—

234342323

1II

C.I=—+—D.I-

222-2

【答案】D

【分析】根據數學歸納法的知識確定正確答案.

【詳解】在等式1一+;一:+…+小111117*

——=------+-------+-------+…+——,/zeN中，

2n77+1n+2〃+32n

當〃=1時，2n=2,

故等式的左邊為右邊為3

所以第一步應該驗證的等式是K

故選：D

2.（2024高二下?河南?期中）某個與自然數有關的命題，如果當"=MkeN*）時該命題成立，可推得〃=4+1

時該命題也成立，那么，若已知〃=5時該命題不成立，則可推得（）

A.當〃=6時，該命題不成立B.當〃=6時，該命題成立

C.當〃=4時，該命題不成立D.當〃=4時，該命題成立

【答案】C

【分析】根據逆否命題與原命題真假性一致可得出結論.

【詳解】可得題干等價于其逆否命題：當〃=^+l（￡eN*）時該命題不成立，則可推得"=左時該命題也不成

立.

所以，當〃=5時該命題不成立，則當〃=4時，該命題也不成立.

故選：C.

3.（2024?高二?全國?課前預習）對于不等式4rm<"+1（〃eN+）,某同學用數學歸納法的證明過程如下:

（1）當〃=1時，左邊=+],右邊1+1,不等式成立.

（2）假設當〃二女（n1且丘N+）時，不等式成立，即護II〈k+1，

那么當”=無+1時，J（4+1），+（6+1）=J后2+34+2<J（[2+3V+2）+斤+2=,（1+2）2=（左+1）+1,

所以當”=斤+1時，不等式成立，則上述證法（）

A.過程全部正確B.〃=1驗證不正確

C.歸納假設不正確D.從〃=上到”=后+1的推理不正確

【答案】D

【解析】在〃=上+1時，沒有應用〃=左時的歸納假設，不是數學歸納法.

故選：D.

4.（2024高二上?上海靜安?階段練習）〃〃）=1+:+!+…+,+」7+…+5（〃eN*）,那么/伍+1）-/㈤

23nn+12

共有（）項.

A.2k-1B.mC.2丘+1D.以上都不對

【答案】B

【解析】寫出/■（左+1）-/（公，然后計算項數.