2025年高考第二次模擬考試

高三數學（新高考n卷）02?全解全析

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合”={123,4,5},且/門8=/,則集合8可以是（）

2

A.{1,2,3}B.|x|x>1}C.卜忙>1}D.|x|log2（x-2）<21

【答案】C

【詳解】因為/口8=/,所以/=

A中集合不合題意；

B中集合為{#2>1}={小<一1或%>1},也不合題意，

C中集合為卜|2,>1=2。}={中〉0},滿足題意，

D中集合為{x1og2（x-2）<2=log24}={x|0<x-2<4}={x|2<x<6},不合題意.

故選：C.

2.已知函數〃x）定義域為R,則命題。：“函數為偶函數”是命題4：“亂eR,滿足〃=

的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【詳解】若"X）為偶函數，則有/（x）=/（f）,充分性滿足；

若〃x）=sing）,則有/（-l）=sin（-兀）=0./⑴=sin7C=0,即=/⑴,

而〃x)=sin(加)為奇函數，因此必要性不滿足.

故命題0：“函數為偶函數”是命題4：“現eR,滿足/'(X。)=/(-%)”的充分不必要條件.

故選：A.

3.若2尸=1一百，則目=()

A.1B.V7C.V6D.3

【答案】C

【詳解】因為d=1-西,

所以z==^=B!i=(i-占卜=",

i3-i-ii

所以d=((乖)+1=y/~6.

故選：C.

=牛，貝Ijcos|%+2、

4.已知sin]1=()

、6)

7575

A.——B.一C.—D.—

9999

【答案】D

【詳解】因為sin卜—=乎，所以cos2(a—f=1-2sin2^a-=1-|,

即cosf2a5

9

所以cos12a+-^)=cosf2cr--^-j+7i5

9

故選：D.

5.已知平面直角坐標系1。歹中，4(-2,-2),3(1,2),OP=WA+(3-^OB,若石//礪，則尸的坐標為:

A.B.(0,2)C.(3,6)D.(3,4)

【答案】B

【詳解】設痂=(一24一2彳)+(3—幾)?(1,2)=(3—346—44),

______O_AQ

==(5-32,8-42)/7(1,2),所以—=2n4=l,

5—3/1

故歷=宓+2礪=(O,2),

故選：B.

6.2024年春節放假安排：農歷除夕至正月初六放假，共7天.某單位安排7位員工值班，每人值班1天,

每天安排1人.若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排

方案共有()

A.1440種B.1360種

C.1282種D.1128種

【答案】D

【詳解】采取對丙和甲進行捆綁的方法：

如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有：A；A；=1440種，

如果“乙在正月初一值班”，則安排方案有：C；A；A；A：=192種，

若“甲在除夕值班“，貝『'丙在初一值班”，則安排方案有：A；=120種.

則不同的安排方案共有1440-192-120=1128(種).

故選：D.

7.已知橢圓C的左、右焦點分別為耳鳥,平行四邊形片/班的頂點42都在C上，。在了軸上且滿足

2甌=月萬，則。的離心率為：().

AV10口后「2夜門屈

A.--------D.--------C.--------JJ.

5533

【答案】A

【詳解】連接/用,3，設力片＜^軸=6,由于/片。。=/。盟,DF2//GF{,

所以/月GZ)=NGM=/片。。，故片G=大。，所以四邊形片GB。為菱形.

由于28/^=工。，可設|，G|=x,|G凰=2x,|/閶=加，

則在中有明=（2方+/一.

n\AB\=2xcosZ/

2-2x-x

在“因中―今『

又cosZABF2=-COSZBAF],所以3=_(2x)+(3x)",

2?2x?x2?2x?3x

整理得至|J3加2+〃2=28l2,

又MGI+H閶=\BFXI+\BF2\=2af即3x+加=x+〃=2〃,

所以3(2a-3x)2+(2a-x)2=28/，解得％=gq,故加=￡,〃=?,

a

在A/G月中有Ml=歸閶,則cosZAGF2=金=；，故cos/月Gg=一;,

T

=29故c=?,故e=^

所以4c2

2555

故選：A.

1兀

8.將函數）=sinx圖象上所有點的橫坐標變為原來的一（O>1）,縱坐標不變，再將所得圖象向右平移彳個

co3

7T

單位長度后得到函數/（X）的圖象，若/'（X）在區間無上恰有5個零點，則。的取值范圍是（）

「<⑸-

A.[\5母]31B.F母C.卜<萬13]1D.[6,萬15一

【答案】B

JT7TTT21T。）

【詳解】依題意，/（X）=sin[?（x-J）],當xe[§,兀]時，?（x-y）e[0,^-],

由/（x）在區間耳，利上恰有5個零點，得4兀4—<5兀，解得6V0<?.

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.函數/(x)=2jJsinGxcos3x+2cos20x—l(0<0<l)的圖象，如圖所示，則()

A.〃x)的最小正周期為無

B.函數/Qx+g]是奇函數

C.y=/fx+?]cosx的圖象關于點|中對稱

I6；162J

17

D.若y=〃可(feR,f>0)在[0,可上有且僅有三個零點，則-

OO

【答案】BCD

【詳解】依題意，/(x)=V3sin2①x+cos2a)x=2sin2a)x+—,

I6J

jr

觀察圖象可得X=H時，函數-x)取最大值，又0<3<1,

r-Li.t兀兀CT兀1rw

所以2G----1—=2左兀H—,左EZ,

362

解得co=3k+—,kEZJF而0<GV1,解得①=3,

71

/(x)=2sinX+-,/(x)的最小正周期為2兀，A錯誤;

>=7'[2工+^)=25皿2工+兀)=一25也2工是奇函數，B正確;

y=/1x+—Icosx=2sinIx+y71Icosx，

3

y2x+^~(]V3

=cosxkinx+V^cosx)=gsin+cos2x)=sin12x+；)+

V'

令2x+?=kii,keZ,可得％二期一至，keZ,

326

/TV]kKjTTi

因此>=/卜+/.osx的對稱中心為--eZ),

2rv]^

當左=0時，函數V=7|X+J71[cosx的對稱中心為,故C正確;

<6；(62)

71兀7171

/(/%)=2sin|tx+—r>0,當工式。,兀]時,txH—w一,"H---

6666

依題意，3兀4機+=<4兀，解得D正確.

666

故選：BCD.

10.設△48C的內角的對邊分別是Q,b,c,若Q=G，且(2b-c)cos/=acosC,則下列結論正確的是

()

1T

A.A=-B.A/3C的外接圓的面積是兀

6

C.ZUBC的面積的最大值是或D.0-C的取值范圍是(-右,2后)

4

【答案】BCD

【詳解】對于A項，因為(26-c)cos/=acosC,

所以2sin3cosA-sinCcosA=sinAcosC,

所以2sin3cos/=sin為cosC+sinCcosA=sin(/+C)=sin8,

又因為sin5w0,所以cosZ=；,

又因為/e(0,兀)，所以Z=故A項錯誤.

對于B項，設A/3C的外接圓的半徑為由正弦定理可得2R=」、=2,

sin/

則△45。的外接圓的面積是兀K2=兀，故B項正確.

對于C項，由余弦定理可得/=〃+，-26CCOS/,即〃+/一A=3①.

因為〃+。2之2兒②，當且僅當b=C時，等號成立，

所以由①②得AW3,當且僅當6=。時，等號成立，

所以ZX/BC的面積S--besinA-^-bc<±8，則C項正確.

244

對于D項，由正弦定理可得61=—^-=°=2,則b=2sin5,c=2sinC=2sin|—+5|=sin5+73cos5,

sinAsinBsinC<3)

所以2b一c=3sin8一百cosB=2^3sin一.

又因為0<H<斗，所以--,所以-彳<sin[B-m<1,

3662

所以-6<2gsin,-胃<2g,即0-c的取值范圍是(-6,2百)，故D項正確.

故選：BCD.

4

11.已知函數/(%)=%-78(%)=2、，貝U()

A.y=/(x)g(%)的圖象關于歹軸對稱

B.y=/(x)-g(x)有最大值

C.當X>1時，/(2x-l)<g(x+l)

D.若點RO分別在函數〃x),g(x)的圖象上，則|尸。的最小值為手

【答案】ACD

4

【詳解】因為/(x)=x-、(xw0),g(x)=2x,

對于選項A：y=/(x)g(x)

且/'(-x)g(-x)=2(-x『-8=2/_8=/(x)g(x),

可知V=/(x)g(x)為偶函數，圖象關于》軸對稱，故A正確;

對于選項B：y=/(x)_g(x)=

由對勾函數可知y=x+：的值域為(-8,-4］口［4,+8),

可知k-1+J的值域為(-嗎-4］。［4,+8),即y=-g(x)沒有最大值，故B錯誤;

對于選項C：因為g(x+l)-/(2x_l)=2(x+l)J(2x_l)_，］=4+3,

?Lx—12.x—1

且x>l,則2x-l>0,

Wg(x+l)-/(2x-l)=-^-+3>0,即〃2xT)<g(x+l),故C正確;

2x—1

對于選項D：由選項13可知/@)-8(尤)=-卜+：)/0,

即函數/(x),g(x)的圖象沒有交點,

由題意可知：\PQ\的最小值即為點P到直線y=g(x)的距離的最小值,

44

又因為=1+令/'(x)=l+^=2,解得x=±2,

4_475

當x=2時，尸(2,0)到直線2x-y=0的距離為4=

忑=~T

4_475

當x=-2時，尸(一2,0)到直線2x-y=G的距離為d=

7F二丁

所以|「。|的最小值為R,故D正確;

故選：ACD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

52345

12.（x-1）=a0+axx+a2x+a3x+a4x+a5x,貝！1。？=.

【答案】TO

【詳解】（x-l）5的展開式通項是：C^（-l）\

依題意得，5-k=2,即左=3,所以％=（3；（-1）3=_10,

故答案為：-10

13.拋物線/="的焦點為尸，A為了軸正半軸上的一點，射線均與拋物線交于點8,與拋物線準線交于

點".若|用網,成等差數列,則陷=.

【答案】10

【詳解】由題意可知：/（2,0）,設/（0,加），準線方程x=-2

如圖：

.?.點A為刊/中點，即=.同=\BF\,

又?.［印網成等差數列，即+|3|=2|必,

即+1期+阿|=2即，即2M=即，礪=的=［一：,；）

又在拋物線］=8X上，（1）=8xy,:.m=4a,

A|ylF|=^22+（4V6）2=10.

故答案為：10.

37T

14.在體積為一的三棱錐4-BCQ中，ACLAD,BCVBD,平面4CQ_L平面5CD,AACD=-,

26

rr

4BCD=：,若點A、B、C、。都在球。的表面上，則球。的表面積為

【答案】1271

【詳解】過點A在平面/CD內作作月〃_LOC,垂足點為以，

取線段CD的中點。，連接。/、0B,如下圖所示：

因為BC1BD,則。/=08=』CD=OC=,

2

所以，三棱錐”-BCD的外接球的球心。為。C中點，

因為平面NCD_L平面8cO,平面/CDPl平面3cD=CD,AHVDC,

平面4CD,則平面BCD,

設球。的半徑為尺，則DC=27?,

又，所以，，

ZACD=F/BCD],DB=CB=y/2RAD=R,AC=mR,

ADxAC小R26n

所以,AJHTr=----------=-------=——R,

DC2R2

所以,三棱錐的體積為=3,

3232262

解得R=百，因此，球。的表面積為4位?2=12n.

故答案為：12兀.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）某芯片代工廠生產甲、乙兩種型號的芯片，為了解芯片的某項指標，從這兩種芯片中各抽取

100件進行檢測，獲得該項指標的頻率分布直方圖，如圖所示：

頻率

乙型芯片

假設數據在組內均勻分布，以樣本估計總體，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.

（1）求頻率分布直方圖中尤的值并估計乙型芯片該項指標的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值為

代表）；

（2）已知甲型芯片指標在［80,100）為航天級芯片，乙型芯片指標在［60,70）為航天為航天級芯片.現分別采用

分層抽樣的方式，從甲型芯片指標在［70,90）內取2件，乙型芯片指標在［50,70）內取4件，再從這6件中任

取2件，求至少有一件為航天級芯片的概率.

_3

【答案】⑴x=0.020,x=47.（2）P（^）=".

【詳解】（1）由題意得10x（0.002+0.005+0.023+0.025+0.025+x）=l,解得x=0.020.

由頻率分布直方圖得乙型芯片該項指標的平均值：

于=（25x0.002+35x0.026+45x0.032+55x0.030+65x0.010）x10=47.

（2）根據分層抽樣得，來自甲型芯片指標在［70,80）和［80,90）的各1件，分別記為A和B,

來自甲型芯片指標在［50,60）和［60,70）分別為3件和1件，分別記為G，G，G和。，

從中任取2件，樣本空間可記為。=｛（48）,（4G）,（A,C2）,（4G），（4。），（B，G）,

（5,C2）,（5,C3）,（B,D）,（GC），C，G），（G，D），（GC）,G，。），G，0｝共15個，

記事件￡：至少有一件為航天級芯片，則￡=｛（48）,（4。），（BC）,（3C）,（BC）,

（昆。），（GQ）,G，D）,（G，D）｝共9個，

o3

所以尸（0=西=不

16.（15分）如圖，在三棱柱/8C-4臺。1中，側面NCCH為菱形，ZA,AC=60°,底面N8C為等邊三角形,

平面NCG4,平面N3C，點滿足麗瓦，港=:福，點廠為棱G。上的動點（含端點）.

（1）當尸與c重合時，證明：平面。所，平面/BC；

(2)是否存在點尸，使得直線/C與平面。所所成角的正弦值為如？若存在，求出第的值；若不存在,

4cic

請說明理由.

【答案】⑴證明見解析⑵存在，器=;

【詳解】(1)如圖，取NC中點。，連接4。,

因為側面/CG4為菱形，ZAtAC=60°,

所以4OLNC,

又因為平面NCC/，平面48C,平面NCG4n平面/3C=/C,

40u平面NCG4,所以4。，平面/3C,

又因為E為4G的中點，所以四邊形4OFE為平行四邊形，所以40//E。

所以M_L平面48C,又EFu平面DEF,所以平面DEFJ_平面N3C；

B

(2)連接02,因為△48C為等邊三角形，則O8LOC,

所以。瓦。co%兩兩垂直，則以。為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示:

令三棱柱的棱長為2,所以08=04=6,

故0(0,0,0),/(0,-1,0),B(6,0,0),

4(0,0,V3),C(0,l,0),E(0,1,6),q(0,2而,

、

又4。=；4B,所以

設彳=2配，2e[0,l],

貝IJ礪=4雙+(1_田西=(0,40)+(0,2_246_君/1)=(0,2_4,6_7§2),

BP7?(0,2-2,73-732)；

又瓦=「*,：,0,EF=(0,l-2,-V3A),

133)

設平面DE產的法向量為玩=(x,y,z),

m-DE=0

則—取x=百2，則>=-^-(1—,

mEF=0

故平面。斯的法向量可為式=V32,-2,^-(l-2)

又就=(0,2,0),設直線/C與平面。好所成角為6,

r-I身_________|3￡|_________V6

由題可得sinO=k°s流就卜?，即例函「2也2+》+京1T「彳

整理得：64-3=0,解得X=g,

故當學=；時，直線NC與平面所成角的正弦值為逅.

CjC24

17.(15分)設函數/(x)=/+zwln(x+l)(meR).

⑴若m=~l,

①求曲線〃x)在點(OJ(O))處的切線方程;

②當xe(l,+8)時，求證：/(x)<x3.

(2)若函數/(x)在區間(0,1)上存在唯一零點，求實數加的取值范圍.

【答案】(1)①x+7=0；②證明見解析(2)]+，o]

【詳解】(1)①當"7=-1時，/(x)=x2-ln(x+l),可得/''(x)=2x--L=2L+2XT,

x+1x+1

則八0)=-1,/(0)=0，

可得曲線”X)在點(0,7(0))處的切線方程為^-O=-lx(x-O),即x+y=0.

②令h(x)=f(x)-x3=-x3+x2-ln(x+1),

貝|J"(x)=-3x2+2x--—=_3丁+(1)2,

x+1x+1

當Xe(1,+S)時，可得〃(x)<0,//(x)在(L+s)上單調遞減，

又因為〃⑴=-1?2<0,所以為x)<0,即/_in(x+l)</,gp/(x)<x\.

即當xe(l,+oo)時，f(x)<x3.

(2)由函數/(x)=x2+〃?lna+l),xe(0,l),可得/⑴=2x+』-二2『+2.+加,

x+\x+1

令g(x)=2x2+2x+m,xe(0,1),

當機20時，g(x)>0,即/1'(x)〉。,“無)在區間(0,1)上單調遞增.

因為"0)=0,所以〃尤)>/(0)=0,

所以函數“X)在區間(0,1)上沒有零點，不符合題意；

當加<0時，函數g(x)=2/+2x+m的圖像開口向上，且對稱軸為直線x=-；,

由g⑴=2+2+機40,解得m<-4,

當加W-4時，g(x)<0在區間(0,1)上恒成立，

即/(X)<0J(x)在區間(0,1)上單調遞減.

因為"0)=0,所以〃x)</(0)=0,

所以函數在區間(0,1)上沒有零點，不符合題意.

綜上可得，-4<w<0,

設尤0€(0,1)使得g(x())=0，

當xe(O,x。)時,g(x)<0/(x)<0J(x)單調遞減；

當xe(x(),l)時，g(x)>0/(x)>0,/(x)單調遞增,

因為/(0)=0,要使得函數/(x)在區間(01)上存在唯一零點，

貝U滿足/(l)=l+Hn(l+l)>0,解得加>_白，

所以實數m的取值范圍為1《■,())

18.(17分)平面內有一點巴(1,0)和直線/"=2,動點尸(xJ)滿足：尸到點用的距離與尸到直線/的距離

的比值是".點尸的運動軌跡是曲線E,曲線E上有4氏C。四個動點.

2

⑴求曲線E的方程；

(2)若A在x軸上方，2月［+郎=6,求直線的斜率；

(3)若C、。都在x軸上方，^(-1,0),直線Cg//Z當，求四邊形CEE。的面積的最大值.

【答案】(1)；+/=1⑵浮⑶血

【詳解】(1)由題意而二斤壽=|x-2|.f,

兩邊平方得/-2X+1+/=/-,化簡得《+2=i,

-22

所以曲線￡的方程為、+必=1；

(2)2項+月5=6,即月方=一2月1,則直線的斜率是正數，

設&,：》=@+1,直線48的斜率為〈(后＞0),

x=ky+l

設4(%1,丫1),3(%2)2)，聯立7/2,，

12'

化簡得e+2)/+2⑶-1=0,所以必+%=廣，%%=萬］，

由題意知名=-2%，

2后-1

代入必+%,必為,消歹2，可得M2—，

￡十Z/C+N

CF2//DF1,由對稱性可知Gg=。片，△片G瑪和等底等高，S△4G%=S&CDF\，

四邊形CZVQ的面積S=%C4=：M用?(凡-居)=外-外，

-2k.-1

設/°：%=左＞+1,由（2）知歹。+凡=記豆，歹。兒=正15,

所以先_.%=yl（y-y）2=y/Uc?2左；+8'即5=4'

cG+兒）―4%人=