PAGE1-課后限時集訓(三十)等比數列及其前n項和(建議用時：60分鐘)A組基礎達標一、選擇題1．已知數列{an}滿意3an＋1＋an＝0，a2＝－eq\f(4,3)，則{an}的前10項和等于()A．－6(1－3－10) B．eq\f(1,9)(1－3－10)C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)C[∵3an＋1＋an＝0，∴eq\f(an＋1,an)＝－eq\f(1,3)，∴數列{an}是以－eq\f(1,3)為公比的等比數列，∵a2＝－eq\f(4,3)，∴a1＝4.由等比數列的求和公式可得，S10＝eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))10)),1＋\f(1,3))＝3(1－3－10)．故選C.]2．(2024·湘潭模擬)已知等比數列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，則eq\f(a7－a9,a5－a7)的值為()A．3B．5C．9D．25D[設等比數列{an}的公比為q，則a4a7＝eq\f(a5,q)·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，eq\f(a7－a9,a5－a7)＝eq\f(a5q2－a7q2,a5－a7)＝q2＝25.故選D．]3．(2024·太原模擬)已知等比數列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，則a1＝()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(2,9) D．－eq\f(1,9)B[設等比數列{an}的公比為q(q≠1)，因為S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以eq\f(a3,a1)＝q2＝2.因為a2a5a8＝aeq\o\al(3,5)＝－8，所以a5＝－2，即a1q4＝－2，所以4a1＝－2，所以a1＝－eq\f(1,2)，故選B．]4．已知數列{an}中，an＝－4n＋5，等比數列{bn}的公比q滿意q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，則|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝()A．1－4n B．4n－1C.eq\f(1－4n,3) D．eq\f(4n－1,3)B[由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴bn＝(－3)×(－4)n－1，∴|bn|＝3×4n－1，即|bn|是以3為首項，4為公比的等比數列．∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝eq\f(31－4n,1－4)＝4n－1.]5．(數學文化題)《九章算術》中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺．莞生一日，長一尺．蒲生日自半；莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：蒲第一天長3尺，以后逐日減半；莞第一天長1尺，以后逐日增加一倍，若蒲、莞長度相等，則所需時間約為()參考數據：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，結果精確到0.1A．2.2天B．2.4天C．2.6天D．2.8天C[設蒲每天的長度構成等比數列{an}，其首項a1＝3，公比為eq\f(1,2)，其前n項和為An.設莞每天的長度構成等比數列{bn}，其首項b1＝1，公比為2，其前n項和為Bn.則An＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))，Bn＝eq\f(1－2n,1－2).設蒲、莞長度相等時所需時間約為x天，則eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2x))),1－\f(1,2))＝eq\f(1－2x,1－2)，化簡得2x＋eq\f(6,2x)＝7，計算得出2x＝6,2x＝1(舍去)．所以x＝eq\f(lg6,lg2)＝1＋eq\f(lg3,lg2)≈2.6.則估計2.6天后蒲、莞長度相等．故選C.]二、填空題6．(2024·湖南十校聯考)若等比數列{an}的前n項和為Sn，且eq\f(S4,S2)＝5，則eq\f(S8,S4)＝________.17[法一：設數列{an}的公比為q，由已知得eq\f(S4,S2)＝1＋eq\f(a3＋a4,a1＋a2)＝5，即1＋q2＝5，所以q2＝4，eq\f(S8,S4)＝1＋eq\f(a5＋a6＋a7＋a8,a1＋a2＋a3＋a4)＝1＋q4＝1＋16＝17.法二：由等比數列的性質可知，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比數列，若設S2＝a，則S4＝5a，由(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)得S6＝21a，同理得S8＝85a，所以eq\f(S8,S4)＝eq\f(85a,5a)＝17.]7．在14與eq\f(7,8)之間插入n個數組成等比數列，若各項之和為eq\f(77,8)，則此數列的項數為________．5[設此等比數列為{am}，公比為q，則該數列共有n＋2項．∵14≠eq\f(7,8)，∴q≠1.由等比數列的前n項和公式，得eq\f(77,8)＝eq\f(14－\f(7,8)q,1－q)，解得q＝－eq\f(1,2)，∴an＋2＝14×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋2－1＝eq\f(7,8)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n＋1＝eq\f(1,16)，解得n＝3，∴該數列共有5項．]8．在正項等比數列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n＝________.14[設數列{an}的公比為q，由a1a2a3＝4＝aeq\o\al(3,1)q3與a4a5a6＝12＝aeq\o\al(3,1)q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aeq\o\al(3,1)q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14.]三、解答題9．(2024·陜西二模)已知Sn為數列{an}的前n項和，且滿意Sn－2an＝n－4.(1)證明：{Sn－n＋2}為等比數列；(2)求數列{Sn}的前n項和Tn.[解](1)證明：當n＝1時，由Sn－2an＝n－4，得a1＝3.∴S1－1＋2＝4.當n≥2時，Sn－2an＝n－4可化為Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－4.即Sn＝2Sn－1－n＋4，∴Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]．∴{Sn－n＋2}是首項為4，公比為2的等比數列．(2)由(1)知，Sn－n＋2＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1＋n－2.∴Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝eq\f(221－2n,1－2)＋eq\f(1＋nn,2)－2n＝2n＋2＋eq\f(n2－3n,2)－4.10．已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常數λ，使得{an＋λ}為等比數列？若存在，求出λ的值和通項公式an，若不存在，請說明理由．[解](1)當n＝1時，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，當n＝2時，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，當n＝3時，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.(2)假設{an＋λ}是等比數列，則(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.下面證明{an＋3}為等比數列：∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，∴2(an＋3)＝an＋1＋3，∴eq\f(an＋1＋3,an＋3)＝2，∴存在λ＝3，使得數列{an＋3}是首項為a1＋3＝6，公比為2的等比數列．∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N*)．B組實力提升1．(2024·合肥一模)已知數列{an}的前n項和為Sn，若3Sn＝2an－3n，則a2018＝()A．22018－1B．32018－6C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2018－eq\f(7,2)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2018－eq\f(10,3)A[因為a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3?a1＝－3.當n≥2時，3Sn＝2an－3n,3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以數列{an＋1}是以－2為首項，－2為公比的等比數列，所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n，則a2018＝22018－1.]2．已知數列{an}滿意a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且對隨意n∈N*都有eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜t，則實數t的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))D[依題意得，當n≥2時，an＝eq\f(a1a2a3…an,a1a2a3…an－1)＝eq\f(2n2,2n－12)＝2n2－(n－1)2＝22n－1，又a1＝21＝22×1－1，因此an＝22n－1，eq\f(1,an)＝eq\f(1,22n－1)，數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,2)為首項，eq\f(1,4)為公比的等比數列，等比數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項和等于eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n)))＜eq\f(2,3)，因此實數t的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).]3．已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數列，a2＋a5＝4，則a8＝________.2[因為S3，S9，S6成等差數列，所以公比q≠1，eq\f(21－q9,1－q)＝eq\f(1－q3,1－q)＋eq\f(1－q6,1－q)，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－eq\f(1,2)，故a2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝4，解得a2＝8，故a8＝8×eq\f(1,4)＝2.]4．已知數列{an}滿意a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數列；(2)求數列{an}的通項公式．[解](1)證明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥