豎直面內的圓周運動（輕繩與輕桿模型）

【提升01輕繩模型】

1.如圖所示，甲圖中小球僅受繩拉力和重力作用，乙圖中小球僅受軌道的彈力和重力作用，在豎直面內做

圓周運動，小球在繩、軌道的限制下不能遠離圓心且在最高點無支撐，我們稱這類運動為“輕繩模型”。

輕繩模型

彈力特征在最高點彈力可能向下，也可能等于零

\mg'\mg"

受力示意圖

?0；。

V2

動力學方程F~\~mg=m一

r

^2__

臨界特征/=0,即加g="—,得是小球能否通過最高點的臨界速度

r

2.小球通過最高點時繩上拉力與速度的關系

⑴。=歷時，mg=m-,即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受繩的拉力（或軌道的壓力）為零。

r

濟

（2）0<J7時，mg>m—,即重力大于小球所需要的向心力，小球不能通過最高點。

r

（3）吟質時，即重力小于小球所需要的向心力，小球還要受到向下的拉力（或軌道的支持力），重力

r

v2

和拉力（或軌道的支持力）的合力充當向心力，^mg+F=m-

ro

【學霸練01一輕繩模型】2024年五一小長假期間，某同學隨父母一起來到達州市宣漢縣巴山大峽谷景區體

驗了懸崖秋千，該同學坐在秋千上擺動到最高點時的照片如圖所示，則（）

A.秋千對該同學的作用力大小等于其自身重力

B.該同學所受的合外力不為零

C.該同學此時的速度為零，加速度也為零

D.此時秋千的鋼繩所受的拉力最大，最容易斷裂

【答案】B

【詳解】AB.該同學坐在秋千上擺動到最高點時，秋千對該同學的作用力大小等于其自身重力沿半徑方向

的分力，即秋千對該同學的作用力大小小于其自身重力；該同學所受的合外力等于其自身重力沿切線方向

的分力，不為零，故A錯誤，B正確；

C.該同學此時的速度為零，由于該同學所受的合外力等于其自身重力沿切線方向的分力，所以加速度不為

零，故c錯誤；

D.設繩子與豎直方向的夾角為仇根據牛頓第二定律可得

T-mgcos0=m——

r

可得

V2

T=mgcos0+m——

r

在最高點時，速度最小，e最大，則秋千的鋼繩所受的拉力最小，最不容易斷裂，故D錯誤。

故選Bo

【學霸鞏固01】（多選）如圖甲所示，小球用不可伸長的輕繩連接后繞固定點。在豎直面內做圓周運動,

小球經過最高點時的速度大小為V,此時繩子的拉力大小為尸T，拉力號與速度的平方V2的關系圖像如圖乙

所示。圖像中的數據〃和b,包括重力加速度g都為已知量，假設小球質量為加,則以下說法正確的是（）

A.a=2gr

br

C.—=—D.利用數據a、b和g能夠求出小球的質量和圓周軌跡半徑

am

【答案】BD

【詳解】在最高點時由牛頓第二定律可知

v2

4+mg=m—

r

解得

-mg

r

當產產0時

a=v2=gr

當v2=2a時

b=Ff=mg

可得

b_m

ar

可得小球的質量

b

m=—

g

故選BDo

【提升02輕桿模型】

1.如圖所示，細桿上固定的小球和在光滑管形軌道內運動的小球僅在重力和桿（管道）的彈力作用下在豎直

平面內做圓周運動，這類運動稱為“輕桿模型”。

輕桿模型

彈力特征在最高點彈力可能向下，可能向上，也可能等于零

一"節,、卜"、、尸"?

受力示意圖*?1'?,img

?0i。i0

V2

動力學方程mg^F=m一

'r

臨界特征。=0,即尸向=o,止匕時b=Mg

的意義尸表現為方向向上的支持力還是方向向下的拉力（或壓力）的臨界點

2.小球在最高點時桿上的力（或管道的彈力）隨速度的變化

浮

（l）o=J7時，mg=m—,即重力恰好提供小球所需要的向心力，輕桿（或管道）與小球間無作用力。

r

時，mg>m—,即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力尸，mg—F=m—,即尸=

rr

v2

mg—m—,o越大，尸越小。

r

v2

（3）0>J，時，mg<m—9即重力小于小球所需要的向心力，小球還要受到向下的拉力（或壓力）產。重力和拉力

（或壓力）的合力充當向心力，mg+斤=加一，即尸=加---mg,。越大，尸越大。

rr

【學霸02-輕桿模型】如圖所示，質量為L6kg、半徑為0.5m的光滑細圓管用輕桿固定在豎直平面內，

小球A和B（均可視為質點）的直徑略小于細圓管的內徑（內徑遠小于細圓管半徑）。它們的質量分別為

加A=lkg、mB=2kgo某時刻，小球A、B分別位于圓管最低點和最高點，且A的速度大小為%=3m/s,此

時桿對圓管的彈力為零。則B球的速度大小％為（取g=10m/s2）（）

A.2m/sB.4m/sD.8m/s

【答案】B

【詳解】對A分析，根據牛頓第二定律有

F片

可得，圓管對小球A的彈力為

4=28N,方向向上

則小球A對圓管的彈力為

片=4=28N,方向向下

對圓管分析，則有

F2=Fx+mg

解得，則小球B對圓管的彈力為

B=44N,方向向上

則圓管對小球B的彈力為

"=g=44N,方向向下

對小球B分析，有

F+mg=m

BBBr

解得，小球B的速度為

vB=4m/s

故選B。

【學霸鞏固02】如圖所示，半徑為尺的鼓形輪可繞固定的光滑水平軸。轉動。在輪上沿相互垂直的直徑方

向固定四根直桿，桿上分別固定有質量為加的A、B、C、D,4個小球，球心與。的距離均為2尺現讓鼓形

輪勻速轉動，若某時刻8、。兩球所在直桿恰好位于水平方向，小球B的速度大小為v,不計空氣阻力，重

力加速度為g,下列說法正確的是（）

A.鼓形輪的角速度為2B.桿對小球C的作用力一定豎直向上

C.桿對小球D的作用力為網E

D.桿對小球A的作用力一定大于mg

R

【答案】D

【詳解】A.鼓形輪的角速度為

v

CD=——

2R

故A錯誤；

B.小球C所需的向心力大小為

F=

2R

若

v2

F=m—>m父

2R

則桿對小球c的作用力豎直向下，故B錯誤;

C.對于小球D,豎直方向有

Fy=mg

水平方向有

F=m—

x2R

則桿對小球D的作用力為

FD=J月2+岑=J(mg)2+(m

故C錯誤;

D.對于小球A,根據牛頓第二定律可得

FA-mg=m^>0

可知桿對小球A的作用力一定大于mg,故D正確。

故選D。

1.（23-24高一下?河南南陽?期中）如圖所示，一位游客沿水上樂園的滑梯下滑，當滑至尸點時恰好脫離滑

道。已知滑道的"N段為一段處于豎直面內的半徑為尺的圓弧，。點為圓弧的圓心，"。連線豎直，。尸與

的夾角為a,重力加速度為g,由此可知該游客運動至尸點時的速度大小為（）

【答案】C

【詳解】依題意，游客在尸點時，有

mgcosa=

解得

v=y/gRcosa

故選Co

2.（23-24高一下?浙江杭州?期中）2022年3月23日15：40分中國空間站第二次授課正式開始，在本次

授課中宇航員王亞平、葉光富向我們展示了水油分離試驗。如圖宇航員葉光富正用手握住繩子的一端并將

裝有水油混合物的瓶子系在另一端，讓其在豎直平面內做圓周運動，通過離心作用將水油分離。等效模型

如圖。假設當瓶子運動到最高點時速度為V,做圓周運動的半徑為心水油混合物的及瓶子的總質量為加,

則此時繩子的拉力為（）

A.F=--------mg

rJ

【答案】C

【詳解】因空間站內的物體處于完全失重狀態，則當瓶子運動到最高點時繩子的拉力

F=——

r

故選Co

3.（23-24高一下?新疆伊犁?期中）如圖所示，用長為￡=lm的輕質桿連著質量為加=lkg的小球在豎直平面

內做圓周運動，則下列說法中正確的是（）

A.若小球剛好在豎直平面內做圓周運動，則其在最高點速率為lm/s

B.小球在圓周最高點時所受的向心力可能僅由重力提供

C.小球過最低點輕桿對小球的拉力可能小于小球的重力

D.小球在最高點時輕桿受到作用力不可能為零

【答案】B

【詳解】A.若小球剛好在豎直平面內做圓周運動，則其在最高點時，由于輕桿能對小球提供支撐力，可知

速率為零，選項A錯誤；

BD.小球在圓周最高點時所受的向心力可能僅由重力提供，此時輕桿受到作用力為零，此時的速度滿足

v

mg=m—

選項B正確，D錯誤;

C.小球過最低點時根據

T-mg=m—

可知，輕桿對小球的拉力一定大于小球的重力，選項c錯誤；

故選Bo

4.（23-24高一下?江西萍鄉?期中）如圖所示，長為2m的細繩，上端系在一高架天車上，下端拴一質量為20kg

的重物。天車與重物一起以4m/s的速度勻速運動，當天車突然急剎車并停止運動時，取g=10m/s2,下列

說法正確的是（）

□

A.重物所受合力為0B.重物處于失重狀態

C.重物的加速度為2m/s2D.繩子的拉力為360N

【答案】D

【詳解】A.當天車突然急剎車并停止運動時，重物因為慣性會繼續做圓周運動，停止瞬間合外力提供向心

力，合力不為零，故A錯誤；

B.當天車突然急剎車并停止運動時，重物向心加速度豎直向上，則處于超重狀態，故B錯誤；

C.重物的加速度為

V22

a=——=8m/s

R

故C錯誤；

D.根據牛頓第二定律

T—mg=ma

解得

T=360N

故D正確。

故選D。

5.（23-24高一下?河北,期中）如圖甲所示，質量為M的人站在體重計上，手持輕繩一端，另一端系著質

量為加的小球。小球在豎直平面內做半徑為工的圓周運動，且小球恰好能通過圓軌道最高點。用頻閃相機

拍出小球運動的軌跡如圖乙所示，。、6兩點分別為軌跡的最高點和最左側點，則（）

甲

A.小球運動到最高點的速度為零

B.小球在0、6兩點時，體重計示數相同

C.小球運動到最低點時體重計的示數最小

D.小球運動到6點時，人不受摩擦力的作用

【答案】B

【詳解】A.繩子只能產生拉力，為使小球做完整的圓周運動,小球在最高點的向心力大小應該滿足

F=

則可知小球在最高點的速度大小滿足

v>Vgi

當小球在最高點的速度為瘋，故A錯誤；

B.小球在0、6兩個位置時，豎直方向的加速度均為g,小球處于完全失重狀態，體重計示數相同，故B正

確；

C.小球在最低點時，繩子拉力最大，體重計示數最大，故C錯誤。

D.小球運動到6點時，繩子對人有向左的拉力，故人應受到向右的摩擦力，D錯誤

故選Bo

6.（23-24高一下?河北邢臺?期末）如圖所示，過山車的軌道可視為豎直平面內半徑為尺的圓軌道。一質量

為加的游客坐在座椅上隨過山車一起勻速轉動，當游客經過圓軌道最低點時，對座椅的壓力恰好為自身重

力的2倍，重力加速度大小為g,游客及座椅整體可視為質點，則游客經過圓軌道最高點時（）

A.速度大小為庾B.處于超重狀態

C.處于平衡狀態D.向心力大小為2加g

【答案】A

【詳解】A.當游客經過圓軌道最低點時，有

FN-mg^m

K

其中

Fz=F=2mg

解得

v=y[g^

由于過山車勻速轉動，因此游客經過圓軌道最高點時速度大小為旅，選項A正確；

BC.游客經過圓軌道最高點時有豎直向下的加速度，處于失重狀態，選項BC錯誤；

D.結合前面分析可知游客所需向心力大小為

V2

m—=mg

選項D錯誤。

故選Aa

7.（23-24高一下?河北保定?期中）建筑工地上有一種小型打夯機，其結構原理如圖所示，一個質量為M

的支架（含電動機）上有一根長為Z的輕桿，一端固定一個質量為加的鐵塊（視為質點），另一端固定在

電動機的轉軸上。電動機帶動鐵塊在豎直平面內做勻速圓周運動，當轉動的角速度達到一定數值時，支架

抬起然后砸向地面，從而起到夯實地基的作用。若重力加速度為g,空氣阻力不計，則（）

A.鐵塊做圓周運動的線速度始終不變

B.鐵塊轉動到最低點時處于支架對地面的壓力小于（M+機）g

c.若使支架離開地面，則電動機的角速度。」陛

VmL

D.若使支架離開地面，則電動機的角速度02

mL

【答案】D

【詳解】A.鐵塊做勻速圓周運動時，線速度大小不變，方向沿圓的切線，因此線速度不斷變化，故A錯誤;

B.鐵塊轉動到最低點時，有豎直向上的加速度，故桿對鐵塊的拉力大于其所受的重力，鐵塊處于超重狀態,

即支架對地面的壓力大于+故B錯誤；

CD.鐵塊轉動到最高點時對支架有向上的拉力使其離開地面，支架剛離開地面時，對鐵塊的拉力有

T=Mg

其轉動到最高點時，由牛頓第二定律可得

T+mg=ma>2L

解得

*回+小

VmL

即若使支架離開地面，則電動機的角速度

VmL

故C錯誤，D正確。

故選D。

8.（23-24高一下?河北邯鄲?期中）如圖甲所示為一種叫"魔力陀螺”的玩具，其結構可簡化為圖乙所示。鐵

質圓軌道用支架固定在豎直平面內，質量為加、可視為質點的陀螺在軌道內、外兩側均可以旋轉，半徑均

為陀螺磁芯對軌道的吸引力始終沿軌道半徑的方向，大小恒為6〃陪。不計摩擦和空氣阻力，重力加速

度為g。下列說法正確的是（）

圓軌道

陀螺

甲

A.陀螺在軌道內側運動到最高點時的速度最小值為我

B.陀螺在軌道內側運動的過程中，無論速度取何值，均不會脫離軌道

C.當陀螺在軌道外側運動時，只要速度不超過即可保證其始終不脫離軌道

D.若陀螺在軌道外側運動到與軌道圓心等高處時速度為^則其所受合外力的大小為2加g

【答案】B

【詳解】A.陀螺在軌道內側運動到最高點時，由于

F喙=6mg>mg

可知速度最小值可以為0,此時軌道彈力大小為

N^F^-mg^Smg

故A錯誤；

B.陀螺在軌道內側運動的過程中，由于陀螺離開軌道只能做近心運動，而在最高點的最小速度可以為0,

所以無論速度取何值，均不會脫離軌道，故B正確；

C.當陀螺在軌道外側運動時，在最低點的彈力剛好為。時，則有

LUV2

FVL-mg=5mg=m—

可得

v=y15gR

可知要保證陀螺始終不脫離軌道，其速度不能超過同，故C錯誤；

D.若陀螺在軌道外側運動到與軌道圓心等高處時速度為任無，陀螺受到磁吸引力和軌道彈力處于水平方

向，重力處于豎直方向，則合外力的水平分力為

v2

rx=m—=2mg

合外力的豎直分力為

Fy=mg

則所受合外力的大小為

Fa=+F；=#mg

故D錯誤。

故選Bo

9.（23-24高一下?湖南邵陽?期中）如圖所示，我國男子體操運動員張成龍用一只手抓住單杠，伸展身體,

以單杠為軸做圓周運動。如圖甲所示，張成龍運動到最高點時，用力傳感器測得張成龍與單杠間彈力大小

為F,用速度傳感器記錄他在最高點的速度大小為v,得到尸-v?圖像如圖乙所示。g取lOm/s"則下列說

法中錯誤的是（)

甲

A.張成龍的質量為65kg

B.張成龍的重心到單杠的距離為0.9m

C.當張成龍在最高點的速度為4m/s時，張成龍受單杠的彈力方向向上

D.當張成龍在最高點的速度為4m/s時，張成龍受單杠的彈力方向向下

【答案】C

【詳解】A.由圖乙可知，當v2=o時，有

F=mg=650N

可得張成龍的質量為

m=65kg

故A正確；

B.由圖乙可知，當/=9m2/s2時，F=0,則有

v2

mg=m—

r

可得張成龍的重心到單杠的距離為

v2

r-——=0.9m

g

故B正確；

CD.當張成龍在最高點的速度為4m/s時，設張成龍受單杠的彈力方向向下，根據牛頓第二定律可得

V2

mg+F=m—

r

解得

V242

F=m-----mg=(65x-------650)N>0

r0.9

可知張成龍受單杠的彈力方向向下，故C錯誤，D正確。

本題選錯誤的，故選C。

10.(2024高一?全國?專題練習)水流星是一項中國傳統民間雜技藝術。雜技演員用一根繩子兜著兩個碗,

里面倒上水，迅速地旋轉著做各種精彩表演，即使碗口朝下，碗里的水也不會灑出來。用可視為質點的小

球替代水碗，可將水流星抽象為豎直平面內的圓周運動，輕質細繩長為3重力加速度為g。小球通過最高

點時，繩對小球的拉力/與其速度的二次方儼的關系圖像如圖所示，圖線與縱軸的交點坐標為。，下列說

法正確的是（）

A.利用該裝置可以得出重力加速度g='

a

B.繩長不變，用質量較大的球做實驗，得到的儼-尸圖線斜率更小

C.繩長不變，用質量較小的球做實驗，得到的v2-尸圖線斜率更小

D.繩長不變，用質量較小的球做實驗，v2-F圖線與縱軸的交點坐標變小

【答案】B

【詳解】小球通過最高點時，有

v2

F+mg=m~￡

可得

V2=—F+gL

m

結合V?-尸圖像可知

gL=a

解得重力加速度為

a

g=z

圖像的斜率為

k=—

m

則繩長不變，用質量較大的球做實驗，得到的儼一F圖線斜率更小，圖線與縱軸的交點坐標與質量無關。

故選Bo

二、多選題

11.（23-24高一下?廣西欽州?階段練習）如圖所示，長為/的懸線固定在。點，在。點正下方有一釘子

C,OC距離為g,把懸線另一端的小球m拉到跟懸點在同一水平面上無初速度釋放，小球運動到懸點正下

方時懸線碰到釘子，則小球的（）

\\\\\\\\\_________Qtn

ii

ii

/f//

◎J

A.線速度突然增大為原來的2倍

B.角速度突然增大為原來的2倍

C.向心加速度突然增大為原來的2倍

D.懸線拉力突然增大為原來的2倍

【答案】BC

【詳解】A.懸線與釘子碰撞前后，線的拉力始終與球運動方向垂直，不改變小球線速度大小，故小球的線

速度大小不變，故A錯誤；

B.當半徑減小時，由

。=一V

r

知半徑減小為原來的g倍，。變大，0為原來的2倍，故B正確；

C.由

V2

CI——

r

知半徑減小為原來的■倍，。變大，。為原來的2倍，故C正確；

D.在最低點

廠wv2

卜-mg=-----

r

故碰到釘子后合力變為原來的2倍，懸線拉力變大，但不是原來的2倍，故D錯誤。

故選BC。

12.（2024?重慶?模擬預測）如圖甲、乙所示為自行車氣嘴燈，氣嘴燈由接觸式開關控制，其結構如圖丙所

示，彈簧一端固定在頂部，另一端與小物塊P連接，當車輪轉動的角速度達到一定值時，P拉伸彈簧后使觸

點/、8接觸，從而接通電路使氣嘴燈發光。觸點8與車輪圓心距離為R,車輪靜止且氣嘴燈在最低點時觸

點）、8距離為d,d<R,已知P與觸點力的總質量為加，彈簧勁度系數為b重力加速度大小為g,不計接

觸式開關中的一切摩擦，小物塊P和觸點/、8均視為質點，則（）

接

塊p

小物觸

式

開

觸點A

關

觸點B

丙

能發光

置一定

其他位

光，

能發

低點

在最

嘴燈

A.氣

光

定能發

位置一

，其他

發光

點能

最高

燈在

氣嘴

B.

、風

度為

角速

最小

動的

速轉

輪勻

，車

發光

燈能

氣嘴

要使

c.

VmR

羽旦

為、性

速度

小角

的最

轉動

勻速

車輪

光，

直發

燈一