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2024-2025學年度高三下學期開學質量檢測

數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名，準考證號等填寫在答題卡上。

2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一.單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知向量4=(1,2),b=(-4,x),q_L6，貝ljx=()

A.-8B.-2C.2D.8

2.已知等差數列｛《J的前〃項和為S“，若%+4+%=15,則品=()

A.30B.55C.80D.110

3.聲波在空氣中的振動可以用三角函數來表示.在音樂中可以用形如了二次詁&耳。〉。)的正弦型函數來表

示單音，將三個或三個以上的單音相疊加為和弦.若某和弦由三個單音組成，其中一個單音可以用y=siru

表示，另外兩個單音的正弦型函數圖象如圖所示，則該和弦的一個周期可能為()

4.已知直線依7-3左=0與圓O：f+y2=i有公共點，則上的可能取值為()

A.1B.—C.—1D.—2

3

5.VABC的內角A,B,C的對邊分別為b,c,且.y+上則c為()

sin+sinCa+c

22

6.已知耳工分別是橢圓＜?:3+與=1(。＞匕＞0)的左、右焦點，M是C上一點且崢與x軸垂直，直線

ab

M々與C的另一個交點為N,若MR=3RN,則C的離心率為()

A.BB「C."D.速

3323

7.在正四棱錐P-ABCD中，AB=40，PA=4或，過側棱的延長線上一點A作與平面平行

的平面，分別與側棱PB,PC,PO的延長線交于點耳，G，D,.設幾何體尸-aqGR和幾何體

i今最小時PA

ABCD-的外接球半徑分別為Rt和4,當)

34

ABC.D.

-1-i55

8.設函數/(x)=Lg(x)=ox2+bx(a,b&R,a^O),若y=/(x)的圖象與y=g(x)圖象有且僅有兩個不同的

x

公共點A?,%),B(x?%),則下列判斷正確的是

A.當avO時,項+々<°,%+%>0

B.當avO時，項+々>°,%+%<0

C.當〃〉0時，玉+兀2<0,%+%<0

D.當。〉0時,%]+兀2>°，%+>2>°

二.多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但選不全對的得部分

分，有選錯的得0分.

9.下列有關回歸分析的結論中，正確的有()

A.若回歸方程為y=6-2.5x，則變量y與x負相關

B.運用最小二乘法求得的經驗回歸直線一定經過樣本點的中心(；,工)

C.若決定系數我的值越接近于0,表示回歸模型的擬合效果越好

D.若散點圖中所有點都在直線V=。92尤-4.21上，則相關系數廠=0.92

10.已知實數x,y滿足優＜加(0＜a＜l),則下列關系式恒成立的有()

A.>y3B.—<—c.ln(x-y+l)>0D.sinx>siny

xy

77r

11.設函數y(x)=cos(Ox+e)3，e為常數，?>o,o<^<7t),若函數〃x)在區間-五，五上為單調函

數，且一小引=/［曰=/圖，則下列說法中正確的是()

A.點，方,。］是函數圖象的一個對稱中心

B.函數“X)的最小正周期為

C.直線彳=-9是函數/(X)圖象的一條對稱軸

O

4

D.函數“X)的圖象可由函數)=85(5)向左平移?7r個單位長度得到

O

三.填空題：本題共3小題，每小題5分.共15分.

12.某元宵燈謎競猜節目，有6名守擂選手和6名復活選手，從復活選手中挑選一

名選手為攻擂者，從守擂選手中挑選1名選手為守擂者，則攻擂者、守擂者的不同

構成方式共有種.

13.一張方桌有四個座位，A先坐在如圖所示的座位上，B,C,。三人隨機坐到

其他三個位置上，則C與。相鄰的概率為.

14.若王40,2］,使不等式(e-l)lna2aeiT+e(x-l)-x成立，其中e為自然對數的

底數，則實數。的取值范圍是.

四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明.證明過程或演算步驟.

15.已知圓C的方程為f+y?-2x+4y-?j=0.

(1)求實數M的取值范圍；

⑵若圓C與直線/：x+y+3=0交于/,N兩點，且|跖V|=2若，求m的值.

sinAcosA

16.已知在△ABC中,

sinB+sinCcosB+cosC

⑴求A;

(2)證明：AB+AC<2BC.

17.如圖，四邊形WF是矩形，平面ABC_L平面ABEF,。為BC中點，ZCAB=120°,AB=AC=4,

AF=y[6.

(1)證明：平面AD尸，平面BCb；

(2)求二面角產-A￡>-E的余弦值.

18.已知函數〃x)=三1,g(x)=^^.

(1)對任意實數x,[g(x)f-"(x)f是否為定值？若是，請求出該定值，若不是，請說明理由;

⑵求不等式〃3x-2)+〃x+l)>0的解集；

⑶當X€[0,ln3]時，求〃(X)=4nrf(x)-2g(2x)的最大值(p(m).

19.動圓C與圓G：(x+2)2+V=50和圓C2：(x-2)2+V=2都內切，記動圓圓心C的軌跡為E.

⑴求E的方程；

(2)已知圓錐曲線具有如下性質：若圓錐曲線的方程為42+2%+0?+26+24+尸=0,則曲線上一點

(七,為)處的切線方程為：Axox+B(xoy+yox)+Cyoy+D(xo+x)+E(yo+y)+F=O,試運用該性質解決以

下問題：點尸為直線x=8上一點(尸不在無軸上)，過點P作E的兩條切線PAPB,切點分別為A3.

(i)證明：直線A8過定點；

（ii）點A關于x軸的對稱點為A,連接AB交了軸于點設AC2M,BC2M的面積分別為印邑，求

國-邑|的最大值

2024-2025學年度高三下學期開學質量檢測

數學答案

題號12345678910

答案CBCBBACBABAC

題號11

答案ACD

12.3613.-14.-,e2

3|_e

15.(1)(-5,+8)(2)m=2

(1)方程x?+y?-2x+4y-m=0可化為(x-1)-+(y+2y=5+加,

此方程表示圓，.[5+冽>0,BPm>-5,

故實數加的取值范圍是（-5,+oo）；

（2）

由（1）可得圓心C（l,-2）,半徑「=而百，

如圖，過點C作C4,肱V于點A,則|AM|=g|MN|=若，

圓心C（l,-2）至1」直線/:x+y+3=0的距離為d=|CA|==后，

由圖可得:，=儲+（陷）2,即5+租=（五『+（⑹2,

解得：m=2.

即加的值為2.

16.(l)^=f(2)證明見解析

sinAcosA

(1)由題意,

sinB+sinCcosB+cosC'

即sinA(cosB+cosC)=cosA(sinB+sinC),

化簡得sinAcosB—sinBcosA=cosAsinC-sinAcosC,

艮|]sin(A—i?)=sin(C—A),故A—B=C—A或(A—B)+(C—A)=TI,

又A+B+C=?,解得A=g或A=0(舍去)，故人=|.

(2)要證AB+ACV2BC,艮[J證C+Z?W2Q,BPidEsinC+sinB<2sinA,

由(1),A=/，所以sinA=,即證sinC+sinBW百.

32

不妨設3=>(其中弋<0q)，

貝|JsinC+sinB=sin+a[+sin-a]

71717171

=sin—cosa+cos-sina+sin—cosa-cos—sina

3333

=2sin/cosa=^3cosa《若顯然恒成立.

故AS+ACV23C,命題得證.

17.(1)證明見解析；(2)是.

3

(1)因為AB=AC,。為3C中點，所以AD13C,因為ABEF是矩形，所以出,河,

因為平面ABC_L平面ABEF,平面A3c平面AB￡F=AB,

AFu平面ABEF,所以AFL平面ABC,因為3Cu平面ABC,所以

又AF,ADu平面ADP,AFAD=A,所以2C_L平面ADE,

又BCu平面BCb,所以平面AD尸，平面3b；

（2）在平面4BC內過點/作4c口48,由（1）知，AF_L平面

ABC,

故以點Z為坐標原點，分別以Ar,AB,A歹的方向為x軸，,

軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系A-孫z,如圖：

則A（0,0,0）,F（0,0,V6）,8（0,4,0）,以0,4,萌），C（2石，一2,0）,則

Q（五1,0）,

所以A￡>=(6,1,0),AF=(0,0,V6),AE=(0,4,A/6),8C=(2』,一6,0),

由（1）知，8c為平面ADF的一個法向量，設平面ADE的法向量為〃=（x,y,z）,

n-AD=0

則，即<]—>令x=l,則y=,z-2-\/2,所以〃=(1,—25^),

n-AE=04>+限=0

n-BC2A/3+6^73

所以cosez,BC

|n||BCr2石.40一3

因為二面角尸-AD-E為銳角，則二面角歹-AD-E的余弦值為坐.

18.(1)是,定值1⑵，出中

-2,m<0

28

⑶9⑺=<m-2,0<m<—

3

1682、8

[393

（1）由〃X）=g（尤卜三，

可得[g（x）?[〃x）T=FF[-

eJlx+.e-2x+.2ce+.e-2x-2c

44

(2)因為〃_切=￡小=-〃H，所以/(%)為奇函數，

所以不等式〃3x-2)+〃x+l)>。為〃3x-2)>—-)=/51),

又因為〃x)=專:是單調增函數，所以3x-2>r-1,所以x>；,

所以不等式的解集為“㈤".

「x-

(3)令r=e*-eT,知"e"-ef在彳€［。,山3］上單調遞增，所以此。,§,又因為

t2=e2x+e-2x-2,

則y=2〃M-(產+2),Ze0,|,開口向下，對稱軸為/=〃?，

當他小寸，］。,1是單調增區間，所以Y時取最大值附)=卷+1吁24吁黑

8

當用《0時,O,3-是單調減區間，所以f=0時取最大值(p(m)=-2.

8

當0<〃7<(時，［0,向是單調增區間,是單調減區間,

所以r=加時取最大值0(租)=-療+2療_2=病-2；

-2,m<0

m)=<m2-2,0<m<—

——16m--82-,m>—8

[393

19.(1)：+［=1(2)(i)證明見解析，(ii)半

(1)設動圓c的半徑為『，由題意得圓a和圓C2的半徑分別為5&,也,

因為c與a,g都內切，

所以|CCj=5夜-r,|CC2|=r-V2,

所以|CCj+|CC2k5忘-r+―0=4四,

又6(-2,0),C2(2,0),故|C2G|=4<4應,

所以點c的軌跡是以G,a為焦點的橢圓，

22

設E的方程為：[+a=1(°>6>0),

ab

則2a=4夜，2c=4,所以：=合一,?=4,

22

故E的方程為：j+==L

84

(2)(i)證明：設2(%、yi),B(x2,y2),P(8,t)?#0),

由題意中的性質可得，切線叢方程為等+多=1,